UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

NOMBRE: VANESSA CANACUAN

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

1.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

P( ingenierosdirectivos )= 0.2∗0.750.2∗0.75+0.2∗0.5+0.6∗0.20

=40.54%

2.- La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?Sean los sucesos: I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

P( no produce incidentesuenalaalarma )= 0.9∗0.020.1∗0.97+0.9∗0.02

=15.65%

3.- Una bolsa contiene tres caramelos rojos, siete blancos y nueve verdes. Si se retiran dos caramelos de manera aleatoria y con reemplazo, encuentre la probabilidad de que del mismo color.

E.M = {3 Rojas, 7 blancas, 9 verdes}

P= Sean del mismo color

P ¿

4.- D e un grupo de 5 hombres y 3 mujeres se selecciono, sin reposición, dos personas al azar. Calcule la probabilidad de que resulten:-Dos mujeres.-Dos hombres. Dos Mujeres

P(M 1)=38

P(M 2/M 1)=27

P (Dosmujeres )=38.27= 328

=10.71%

HOMBRES

P (Doshombres )=58.47= 514

=35.71%

5.- La clase de estadística tiene 35 estudiantes: 20 cursan la clase de matemática; 18 cursan la clase de economía y 10 cursan ambas materias. Encuentre la probabilidad de que, al seleccionar un estudiante al azar, el estudiante:

a) Curse economía o Matemáticas

b) Ni curse matemáticas ni curse economía

P(Mate)=2035

P (Economí a )=1835

P(Matemáticas y Economía)=1035

a) P (M∪E )=2835

=45=0.80

b) P (M '∩E ' )= 735

=15=0.20

6.- La probabilidad de que un avión con varias escalas llegue a Denver a tiempo es de 0.30. La probabilidad de que este avión llegue a Houston es de 0.40 y la probabilidad de que ni llegue a Houston ni llegue a Denver a tiempo es de 0.40. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión:

a) ¿llegue a tiempo a Denver pero no a Houston? b) ¿llegue a Houston o a Denver a tiempo pero no ambos?

P (Denver )=0.30 P (Houston )=0.40 P (H '∩D' )=0.40

a) P (H∩D )=1−P (H '∩D' )=1−0.40=60%=0.60

b) P (D'∩ H ' )=0.30+0.40−0.60=0.10=10%

7.- Las probabilidades de que una persona que se detiene en una estación de servicio pida que se revisen las llantas de su auto es de 0.14, la probabilidad de que pida que se revise el aceite de su auto es de 0.27 y la probabilidad de que pida uno u otro servicio es de 0.32

a) pida que revisen las llantas pero no el aceitec) No pida estos dos servicios.

P (L )=0.14 P (A )=0.27 P (L∪ A )=0.32

a) P (L∩ A )=P (L )+P ( A )−P (L∪ A )=0.14+0.27−0.32=0.09

b) P (L'∩ A ' )=0.32−0.27=0.05

8.- Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez. Se prueba uno de ellos y se prueba que es bueno. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno?

E.M= {4 T Malos, 6 T Buenos}

E= Sea bueno

P (E )= 610.610

= 36100

= 925

=0.36=36%

9.- Se lanza un dado no cargado, dado que el resultado es un número par, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor q 3?

E.M= {1, 2, 3, 4, 5,6}

A= Pares= {2, 4, 6}

B= Mas de 3= {4, 5, 6}

P {A }=36=12=0.5=50% P {A∩B }=2

6

P {BA }=2636

=1218

=23=0.666=66.67%

10.- En una clase hay 12 alumnos y 16 alumnas. El profesor saca a 4 a la pizarra.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean alumnas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean alumnos?

E.M= {12 alumnos, 16 alumnas}

a) P (Todas alumnas )=1628

.1527

.1426

.1325

= 43,680491,400

=8.89%

b) P (Todos alumnos )=1228

.1127

.1026

.925

= 11,880491,400

=2.42%

11.-La probabilidad de que un niño, sea mayor, estudie una carrera universitaria es 1/6 y en el caso de una niña es 1/10. Si se toman al azar un niño y una niña, calcula las siguientes probabilidades.

a) Que los dos estudien una carrera universitaria

b) Que ninguna de ellos estudien una carrera universitaria

A= {una niña} P (A )=16

B= {un niño} P (B )= 110

a) P (A ∩B )=P (A ) .P (B )=16.110

= 160

=1.67%

b) 1−P ( A∪B )=1− [P ( A )+P (B )−P ( A∩B ) ]=1−( 16 + 110

− 160 )=4560=75%

12.- Juan y Pedro lanzan una pelota a un blanco. La probabilidad de que Juan dé en el blanco es 1/3 y la probabilidad de que dé Pedro es 1/4. Supóngase que Juan lanza primero y que los dos chicos se van turnando para lanzar:

a) Calcula la probabilidad de que el primer lanzamiento que dé en el blanco sea el segundo de Juan.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan dé en el blanco antes de que lo haga Pedro?

A = {Juan da en el blanco} P (A )=13

B = {Pedro da en el blanco} P (B )=14

a) P (A ∩B∩ A )=P (A ) .P (B ) .P ( A )=23.34.13= 212

=16=16.67%

b) P (Juandaen elblanco antes que pedro )=13.2=2

3

13.- Una caja de cartón contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Se extraen 2 bolas sucesivamente y sin reemplazamiento.

a) Sea blanca y negra

P (B . N )= 610

.49=2490

= 415

=26.67%

b) Ambas sean negras

P (N .N )= 410

.39=1290

= 215

=13.33%

14.- Estudiando un determinado colectivo de personas resulta que: 2 de cada 5 son morenas, y 3 de cada 9 tienen los ojos azules, teniendo el resto los ojos de distinto color al azul. Calcula las siguientes probabilidades:

a) Que una persona sea morena y tenga los ojos azules.b) Que una persona sea morena o no tenga los ojos azulesc) Que tres personas sean morenas.

M = {ser morena} P(M )=25

A = {tener los ojos azules} P(A)=13

a) P (M∩ A )=P (M ) . P (A )=25.13= 215

=13.33%

b)

P (M∩ Ã )=P (M )+P ( Ã )−P (M∩ Ã )=P (M )+P ( Ã )−P (M ) .P ( Ã )=25+ 23−25.23=1215

=45=80%

c) P (M∩M ∩M )=P (M ) . P (M ) . P (M )=25.25.25= 8125

=6.4%

15.- Una caja contiene 15 bolas rojas, 2 bolas negras y 4 bolas verdes. Calcule la probabilidad de que una bolsa seleccionada al azar sea roja o verde.

E1= Bola roja

E2= Bola verde

P {R∪ A }=1521

+ 421

− 021

=1921

=90.47%

16.- Para la señalización de emergencia de un hospital se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador A se accione durante la avería es de 0’99, mientras que para el indicador B, la probabilidad es de 0’95:

a) Calcula la probabilidad de que durante una avería se accione un solo indicador.b) Calcula la probabilidad de que durante una avería no se accione ninguno de los dos indicadores.

a) P ¿

b) P (A ∩B )=1−P ( A∪B )=1− [P ( A )+P (B )−P(A∩B)]=1−(0.99+0.95−0.99∗0.95 )=1−0.9995=0.0005

17.- El despertador de Javier no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena.Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0,20, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde es 0,90.

a) Determina la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador.b) Determina la probabilidad de que llegue temprano.

c) Javier ha llegado tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador?

S = {el despertador de Javier suena} P (S )=0.80

T = {Javier llega tarde a clase} P(TS )=0.20 P(TS )=0.90

a) P ¿

b) P (T )=P [ (T ∩S )∪ (T ∩S ) ]=P (T ∩S )+P (T ∩S )=P ¿

Entonces la probabilidad de que llego temprano es:

P (T )=1−P (T )=1−0.34=0.66

c) P( ST )= P(S∩T )P (T )

=0.160.34

=0.47

18.- Se seleccionan tres cartas de manera aleatoria y con re emplazo de una baraja de 52 cartas.

a) La probabilidad de escoger en orden, un 10, una carta de espada y una sota negra.

E1= 10

E2= Espada

E3= Sota negra

P {E1∪E3 }= 452

.1252

+ 452

− 252

=1852

=35%

b) Escoger exactamente 3 reyes

E= 3 Reyes

P {R∪R }= 452

+ 452

+ 452

− 452

= 852

=15.38%

19.- Se saca 1 carta de un naipe, calcular la probabilidad de que la carta sea un As o carta roja.

A: As

R: Roja

P (A )= 452

P (R )=2652

P (A ∩R )= 252

P (A∪R )= 452

+ 2652

− 252

=2852

= 713

=53.85%

20.-En una familia de tres hijos, Cual es la probabilidad de que el segundo hijo sea mujer.

E.M= {HHH, HHM, HMM, HMH, MHH, MMH, MMM, MHM, HMM}

E1=2doHijo , seamujer

P {E1 }=48=12=50

TEOREMA DE BAYES

1.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

D= "la pieza es defectuosa"

N= "la pieza no es defectuosa"

a)

P (D )=P (A ) .P (DA )+P (B ) .P (DB )+P (C ) .P(DC )=0.45∗0.03+0.30∗0.04+0.25∗0.05=0.038b) Debemos calcular P(B/D) Por el teorema de Bayes

P (B /D )=P (B ) .( D

B)

P ( A ) . P(DA )+P (C ) . P(DC

)=

0.30∗0.040.45∗0.03+0.30∗0.04+0.25∗0.05

=12.8

=0.316

c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

P( AD )= 0.45∗0.030.45∗0.03+0.30∗0.04+0.25∗0.05

=135380

=0.355

P( CD )= 0.25∗0.050.45∗0.03+0.30∗0.04+0.25∗0.05

=125380

=0.325

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

2.- Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

R= "sacar bola roja"

N= "sacar bola negra"

P( AR )=P ( A ) . P( R

A)

P ( A ) . P( RA )+P (B ) . P(RB

)=

13.38

13.38+13.23+13.25

=45173

=0.260

3.- En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De

los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos

de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

H: seleccionar una niña.

V: seleccionar un niño.

M: infante menor de 24 meses.

a) P (M )=P (M ) . P(MM )+P (V ) . P(MV )=0.6∗0.2+0.4∗0.35=0.26=26%

b)P(MM )=P (M ) . P(MM )

P (M ) . P(MM )+P (V ) . P(MV )= 0.6∗0.200.6∗0.20+0.4∗0.35

=0.120.26

=46%

4) Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes,

el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el

restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero

masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes

mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al

azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se

haya realizado una cirugía de implantes mamarios.

F: pacientes que se realizan cirugías faciales

M: pacientes que se realizan implantes mamarios

O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

H: pacientes de género masculino

a)

P (H )=P (F ) . P(HF )+P (M ) . P(HM )+P (O ) . P( OH )=0.20∗0.25+0.35∗0.15+0.45∗0.40=0.28=28%

b)

P(MH )=P (M ) . P( HM )

P (F ) .P (HF )+P (M ) .P ( HM )+P (O ) .P (OH

)= 0.35∗0.150.2∗0.25+0.35∗0.15+0.45∗0.40

=0.05250.2825

=0.19=19%

5.- Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar

ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el

segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades

de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de

una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que

se ha usado el primer aparato.

P: seleccionar el primer aparato

S: seleccionar el segundo aparato

T: seleccionar el tercer aparato

E: seleccionar un resultado con error

P( PE )=P (P ) . P( EP )

P (P ) .P (EP )+P (S ) . P( ES )+P (T ) .P( ET )= 0.25∗0.010.25∗0.01+0.35∗0.02+0.4∗0.03

=0.00250.0215

=0.12=12%

6.- Un almacén esta considerando cambiar su política de de otorgamiento de créditos para reducir el numero de clientes que finalmente no pagan sus cuentas.

El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus pagos en 2 ocasiones distintas. La sugerencia del gerente se basa en el hecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas, se habían demorado en sus pagos en por lo menos 2 ocasiones.

Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2% de todos los clientes finalmente no pagan sus cuentas y que de aquellos que finalmente si los pagan el 45% se han demorado en por lo menos 2 ocasiones.

Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro por lo menos en 2 ocasiones finalmente no pague su cuenta y con la información obtenida analice la política que ha sugerido el gerente de ventas.

P (S∩P )=P (P ) . P( SP )=0.98∗0.45=0.441

P (S ∩P' )=P (P' ) .P( SP ')=0.02∗0.90=0.018

P( P 'S )=P(P'∩S )P (S)

=P (P ) .P( S

P)

P (P ) .P( SP )+P (P' ) .P (S

P' )=

0.4410.441+0.018

=96%