Lógica 1. Determine si cada una de las oraciones siguientes es una proposición o un

enunciado. a) 4 0x + = b) ¡Soy el mejor! c) ¿Quién ganará las elecciones? d) El sueldo mínimo es 1000 soles. e) Dina Paucar es cantante. f) GPS es un instrumento para la ubicación geográfica. g) ¡cierra la puerta! h) 3+5>4x-7 i) Todos los números enteros son positivos. j) Prohibido fumar. k) ¿Cuál es su nombre? l) Cajamarca es capital del carnaval peruano. m) Cero es el elemento neutro adictivo. n) 3y+5x<20 o) Ayer soñé que me ganaría un auto. p) Ojalá apruebe MB0. q) Cristóbal Colon descubrió América. r) “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro” s) “Hoy es martes 13, no te cases ni te embarques ni de tu casa te apartes” Solución: Son enunciados: (b), (c), (g), (h), (j), (k), (o), (p), (r), (s). Son enunciados abiertos: (a), (n). Son proposiciones: (d), (e), (f), (i), (l), (m), (q).

2. Indicar el valor de verdad de las proposiciones enunciadas en el ejercicio (1). Solución:

El sueldo mínimo es 1000 soles. Proposición falsa. Dina Paucar es cantante. Proposición verdadera. GPS es un instrumento para la ubicación geográfica. Proposición verdadera. Todos los números enteros son positivos. Proposición falsa. Cajamarca es capital del carnaval peruano. Proposición verdadera. Cero es el elemento neutro adictivo. Proposición verdadera. Cristóbal Colon descubrió América. Proposición falsa.

3. Determine cuál de las proposiciones siguientes son atómicas o compuestas.

a) Silvia y Juan son primos hermanos. b) Silvia y Juan son muy buenos estudiantes. c) No todos los alumnos son muy estudiosos. d) Perú y Brasil no son países vecinos. e) Los estudiantes cumplen con sus tareas. f) El día tiene 24 horas y la hora 50 minutos.

g) Perú y chile son países vecinos. h) Es falso que el aula es grande. i) El número 5 no es impar. j) O mi reloj está mal o llegaré tarde. k) No es cierto que Elías ama la música. l) El número 3 es impar. m) Juan y Pedro son exitosos. n) Fumar es dañino para el desarrollo físico. o) Federico Villarreal fue un matemático lambayecano.

Solución: Son proposiciones atómicas: (a), (e), (g), (l), (n), (o). Son proposiciones compuestas: (b), (c), (d), (f), (h), (i), (j), (k), (m). 4. Determine los conectivos lógicos en las siguientes proposiciones compuestas.

a) O mi reloj está mal o llegaré tarde. b) No es cierto que Elías ama la música. c) El número 5 es impar o es un número primo. d) Es falso que todos los números pares son positivos. e) El cero o es un número par o impar. f) Si febrero tiene 30 días entonces marzo tiene 32 días. g) Me gusta ir al cine, pero prefiero el concierto. h) Rosa tiene 15 años, también María. i) 2 es un número primo a pesar de que es par. j) Elías compra su departamento si y sólo si obtiene un préstamo.

Solución: Conjunción: (g), (h), (i). Disyunción inclusiva: (c). Disyunción exclusiva: (a), (e). Condicional: (f). Bicondicional: (j). Negaciones: (b), (d).

5. Formalice cada una de las siguientes proposiciones: a) Democracia significa un modo de vida en el que la libertad de opinión y la justicia

están presentes. Solución:

p: Democracia significa un modo de vida en el que la libertad de opinión está presente.

q: Democracia significa un modo de vida en el que la justicia está presente. Formalizando la proposición compuesta, se obtiene el siguiente esquema lógico.

Fórmula: p   q

b) O está lloviendo y garuando, o está soplando el viento. Solución: p: Está lloviendo. q: Está garuando. r : Está soplando el viento.

Formalizando la proposición compuesta, se obtiene el siguiente esquema lógico. Fórmula: (p q) Δ r

c) Dos es un número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. Solución:

p: 2 es un número primo. q: 2 es divisible por sí mismo. r: 2 es divisible por la unidad.

Formalizando la proposición compuesta, se obtiene el siguiente esquema lógico. Fórmula: p ↔ (q r)

d) Si Pedro es un buen estudiante, entonces tendría más oportunidades de trabajo o obtendrá una beca para salir del país. Solución: p: Pedro es un buen estudiante. q: Pedro tendrá más oportunidades de trabajo. r: Pedro obtiene una beca para salir del país. Formalizando la proposición compuesta, se obtiene el siguiente esquema lógico.

Fórmula: p → (q v r)

e) Si Cristina es experta en política financiera, entonces es falso que si cristina no estudia Derecho o no es Arquitecto. Solución: p: Cristiana es experta en política financiera. q: Cristina estudia derecho. r: Cristina es Arquitecta. Formalizando la proposición compuesta, se obtiene el siguiente esquema lógico. Fórmula: p → ∼ (∼ q v ∼ r)

f) Si Juan es un Administrador o Ingeniero Industrial, entonces será un buen un gerente. Solución: p: Juan es un Administrador. q: Juan es un Ingeniero Industrial. r: Juan será un buen gerente. Formalizando la proposición compuesta, se obtiene el siguiente esquema lógico.

Fórmula: (p v q) → r

6. Con las siguientes proposiciones simples: p: Luis recibió el mensaje. q: Luis asistirá a la reunión.

r: Juan presentará su renuncia. Contextualizar cada una de los siguientes esquemas lógicos. a) p → (q r) Solución: Si Luis recibió el mensaje, entonces asistirá a la reunión y presentará su renuncia.

b) {[p → (q r)]  ∼ r} → ( ∼ q → ∼ p)

Solución:

Si Luis recibió el mensaje, entonces asistirá a la reunión y presentará su renuncia. Luis no presentará su renuncia. Luego, si Luis no asistirá a la reunión no recibió el mensaje.

7. Si es falsa la negación de [ ] )()( ~ srqp ∨→∧ . Hallar el valor de verdad de:

[ ] )(~ )( ~ sqpxr ∨∧∧→ y ( ) ( )[ ]{ } ~ ~ wsrq ∧→→ Solución: Si la negación del esquema lógico es falsa entonces [ ] )()( ~ srqp ∨→∧ es verdadero. Luego ( ) ( )p q r s∧ → ∨ es falso, entonces ( )p q∧ es una vedad y ( )r s∨ es una falsedad. De donde se obtiene que las proposiciones p y q son verdaderas, mientras que las proposiciones r y s son falsas.

Por lo tanto:

( ) ( )( ) ~( )¿ ?

~

~ ~ F F

VFFV

V

r x p q sF

q r s w→ ∧ ∨∧ → → ∧

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

8. Construir su tabla de verdad de las siguientes proposiciones lógicas. a) Siempre que se apruebe el crédito entonces compraré el departamento; sin

embargo se aprueba el crédito. Por tanto compraré el departamento. Solución: Sean las proposiciones: p: “Se aprueba el crédito” q: “Compraré el departamento” Se formaliza por: [(p → q) ∧ p] → q La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

Luego como el resultado son todos valores de verdad es una tautología.

p q [(p → q ) ∧ p ] → q V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F

b) “Los virus son alternados no obstante son virulentos. Por tanto tienen una clasificación” Tenemos las proposiciones:

p: “Los virus son alternados” q: “Los virus son virulentos” r: “Tienen una clasificación”

Solución: Se formaliza por: (p ∧ q) → r Luego: como se puede observar el esquema molecular tiene 3 proposiciones simples, es decir que para este caso se tiene: 2 3= 8 asignaciones posibles para los valores de verdad en total. La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

Luego como el resultado de la tabla tiene valores de verdad y falsos es una contingencia.

9. Verificar que los siguientes esquemas lógicos son equivalentes.

a) p→ q es equivalente a (∼q → ∼ p). Solución:

p q p → q ↔ ∼ q → ∼p

V V V V F V F

V F F V V F F

F V V V F V V

F F V V V V V

Como el resultado es una tautología, se concluye que dichos esquemas son equivalentes.

b) p ∧ (∼ p ∨ q) es equivalente a (p ∧ q). Solución:

p q r (p ∧ q) → r V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V F V V F V F F V F F F V F V V F F F F V F

p q p ∧ ( ∼ p v q ) ↔ p ∧ q V V V V V V V

V F V F F V F

F V F F V V F

F F F F V V F

Como el resultado no es una tautología, se concluye que dichos esquemas no son equivalentes.

10. Simplificar las siguientes proposiciones: a) ( ∼ p ∧ q) → (r v ∼ r )

∼ (∼ p ∧ q ) v ( r v ∼ r) Condicional (p v ∼ q ) v V Morgan y tercio excluido

V Identidad. b) [ ( p → q ) v ∼ p ] ∧ [ ∼ q → p ] [ (∼ p v q ) v ∼ p ] ∧ [ ∼ (∼ q) v p ] Condicional [ (∼ p v ∼ p) v q ] ∧ [ q v p ] Asociativa y doble negación [∼ p v q ] ∧ [ p v q ] Idempotencia y Conmutativa q v [∼ p ∧ p ] Distributiva q v F Contradicción q Identidad

c) [ ( p v q ) ∧ ( p ∧ q) ]→ p { [ ( p v q ) ∧ p ] ∧ q } → p Asociativa ( p ∧ q ) → p Absorción ∼ ( p ∧ q ) v p Condicional (∼ p v ∼ q ) v p Morgan (∼ p v p ) v ∼ q Asociativa V v ∼ q Tercio excluido V Identidad

11. Diseñar circuitos lógicos de las siguientes proposiciones: a) (p v p) ∧ r b) p→ q c) p ↔ q

Solución: (a) Primero se trabajamos el paréntesis en serie con r.

(b) según la equivalencia: p  q   ~p    q

p

q r

~ p

q

(c) Según la condicional: p     q    p   q     ~p   ~q 12. Describir simbólicamente el circuito: Solución:

a) r y ~q están conectados en paralelo; se simboliza: r   ~q b)  p y  r   ~q  están conectados en serie; se simboliza: p    r   ~q

c)   q y ~r están conectados en serie; se simboliza: q   ~r d)   p    r   ~q  o  q   ~r están conectados en paralelo. Con lo que el circuito se simboliza: p    r   ~q     q   ~r

13. Determinar el circuito equivalente al siguiente circuito: Solución:

El esquema molecular que representa al circuito dado es: ~p   ~q     p   q     p    q    q   ~p ~ p   q     p   q      p   q Ley de Morgan y Absorción  V       p   q Ley del Tercio Excluido

p   q Ley de Identidad Por lo tanto el circuito equivalente es:

14. Hallar el circuito equivalente de p   q (Disyunción exclusiva) Solución:

Sabemos que: p   q    p   q  ~ p   q Ley del Bicondicional

r

~ qp

q ~ r

~p ~q

p

q

p

qq

~p

p

q

~p

~q

p

q

~ ~q

p q

15. El costo de cada llave de instalación del siguiente circuito es S/.30. ¿En cuánto se reducirá el costo de la instalación si se reemplaza dicho circuito por el más simple posible?

Solución:   p   q   q   ~ q     p   q   ~p  ~q

    p    p   q  q   r    q   ~r  p

  p   q    V      p   q     ~p   ~q        p   q      r   q   p

    p   q     p   q     ~p   ~q     p   q

    p   q     ~p  ~q        p   q  

(p ∧ q) El costo se reducirá a 60 soles.

Conjuntos 1. Expresar el conjunto A= {x∈ N / (x-5)(x-3) (x+4) (x-6)=0} por extensión.

Solución Los elementos del conjunto A son números naturales con siguiente propiedad (x-5)(x-3) (x+4) (x-6)=0 se tiene: x=5, x=3, x=-4, x=6 Por lo tanto A= {3; 5; 6}

2. Expresar el conjunto A= {x2∈Z / x>-2, x<4} por extensión. Solución Los elementos del conjunto A son números enteros con siguiente propiedad x>-2, x<4 se tiene: -2<x<4 entonces se tiene: 1, 0, 4, 9 son elementos del conjunto A. Por lo tanto A= {1; 0; 4; 9}

3. Expresar por compresión cada uno de los siguientes conjuntos: a) A={-2; 1; 6; 13; 22; 33} b) B={1; 9; 25; 49; 81} c) C={lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo} Solución(a) Los elementos de A tiene la forma cuadrática x=an2+bn+c

-2 1 6 13 22 33 3 5 7 9 11

2 2 2 2 2

q

p

q p

~p ~q

~q

q

q

pp q

~r

qr p

q

Si n=1 entonces -2=a + b + c Si n=2 entonces 1=4a +2 b + c ⇒ 3= 3a+b (i) Si n=3 entonces 6=9a +3 b + c ⇒ 4=4a+b (ii) De las dos ecuaciones se obtiene a=1, b=0 y c=-3; por lo tanto x= n2-3. A= {x / x= n2-3, n ∈N, n<7} Solución (b)

Los elementos de B tiene la forma x=(2n-1)2 B= {(2n-1)2 / n ∈N, n<10}

Solución (c) C= {x / x es un día de la semana} 4. Dados los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1; 3a - 1} y B = {3x + y; x - y + 8}

Calcular: S = a + x + y; si: a, x e y son números enteros. Dar como respuesta la suma de los valores de S

Solución: • Si "A" es unitario * Si "B" es unitario ⇒ a2 + 1 = 3a - 1 ⇒ 3x + y = x - y + 8

a2 - 3a + 2 = 0 2x + 2y = 8 (a - 1) (a - 2) = 0 x + y = 4

a = 1 ó a = 2 Luego: Para a = 1 → S = 1 + 4 = 5 Para a = 2 → S = 2 + 4 = 6

∴ La suma de los valores de S, es: 5 + 6 = 11 5. Dado el conjunto: A = {1; {b}; {a}; β}. Indicar cuál de las siguientes expresiones

son verdaderas o falsas. i) { β } ⊂ A

ii) { b ; { b} } ⊂ A

iii) { β ; { a } } ⊂ A

iv) { { } ; { 1 } } ∈ P (A)

v) { 1 ; { a } } ∈ P (A)

vi) { { a } ; { b } } ⊂ P (A)

vii) { } ⊂ P (A)

viii) { } ∈ P (A)

ix) A ∈ P (A)

Solución: i) Verdad, pues β∈{β}⊂ A entonces β∈A. ii) Falso, pues b∉A. iii) Verdad, pues β∈A, {a} ∈A. iv) Falso, pues {{ }; {1}} no es subconjunto de A. v) Verdad, pues {1; {a}} es un subconjunto de A. vi) Falso, {{a}; {b}} es un subconjunto de A. vii) Falso, pues el vacio es un elemento de P(A). viii) Verdad, pues el vacio es subconjunto de A. ix) Verdad, pues él A es subconjunto de A.

6. D

So

7. Paciemy coam¿C

So C C C C C

Con

Del diagrama

a) Halle: Bb) Halle: c) Halle: d) Halle: (e) Halle:(Bf) Hallar

olución: a) B – A=b) CΔB=c) (B - A)d) (CΔB)'e) (B - A)f) (C ∪

ara generarircuitos elécmiten color rojo, 28 em

olores. ¿Cumarilla peroCuántos circolución: Card(Azul)=Card(Azul ∩Card(Azul ∩Card(AmarilCard(A∩ B∩

la informac

a adjunto:

B - A CΔB (B - A)'

(CΔB)' B - A)' ∩ (C: (C ∪ A)' ∩

=B={-3; 1; 8{-3; 0; 2; 3;)' ={-2; 0; 2={-2; 1; 5)' ∩ (CΔB)'=∪ A)' ∩ (A-B

r iluminacioctricos se enrojo, 23 em

miten luz deuántos circuo no azul?cuitos no em

=49 focos, ∩ Amarillo)=∩ Rojo)=18 llo ∩ Rojo)=∩ C)=8 fococión organiz

CΔB)' ∩ (A-B)'

8}, pues A y; 4; 8} ; 3; 4; 5; 7; ; 7; 9} ={-2; 5; 7; B)'={ }

ones de difncontró: 49

miten luz dee color amauitos emiten?, ¿Cuántosmiten luz?,

Card(Amar=23 focos focos =28 focos os zada llenar c

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9}

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