UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y MECANICA

INTEGRALS POR PARTES

16)∫ 𝑥3√1 − 𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥3

𝑑𝑢 = 3𝑥2dx

𝑣 = ∫(1 − 𝑥)12𝑑𝑥

𝑣 =2

3(1 − 𝑥)

32

∫ 𝑥3√1 − 𝑥𝑑𝑥=2

3(1 − 𝑥)

3

2 ∗ 𝑥3 − 2 ∫(1 − 𝑥)3

2 ∗ 𝑥2𝑑𝑥

=2

3(1 − 𝑥)

32 ∗ 𝑥3 −

4𝑥2

5√(1 − 𝑥)5 +

8

5∫ 𝑥(1 − 𝑥)

52𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥2

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑣 = ∫(1 − 𝑥)32𝑑𝑥

𝑣 =2

5(1 − 𝑥)

52

=2

3(1 − 𝑥)

32 ∗ 𝑥3 −

4𝑥2

5√(1 − 𝑥)5 +

8

5[𝑥 ∗ (1 − 𝑥)

72

7− ∫(1 − 𝑥)

72𝑑𝑥]

𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣 = ∫(1 − 𝑥)52𝑑𝑥

𝑣 =2

7(1 − 𝑥)

72

=2

3(1 − 𝑥)

32 ∗ 𝑥3 −

4𝑥2

5√(1 − 𝑥)5 +

16

35𝑥√(1 − 𝑥)7 −

32

315(1 − 𝑥)

92 + 𝑐

=2

3√(1 − 𝑥)3 ∗ 𝑥3 −

4𝑥2

5√(1 − 𝑥)5 +

16

35𝑥√(1 − 𝑥)7 −

32

315√(1 − 𝑥)9 + 𝑐

17) .-∫𝑥𝑒𝑥

(1+𝑥)2 =𝑒𝑥

1+𝑥+ 𝑐

∫ 𝑓𝑑𝑔 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑔𝑑𝑓

𝑓 = 𝑥𝑒𝑥

𝑑𝑔 =1

(𝑥 + 1)2𝑑𝑥

𝑑𝑓 = 𝑒𝑥(𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑔 = −1

𝑥 + 1

=𝑥𝑒𝑥

𝑥 + 1+ ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 −𝑥𝑒𝑥

𝑥 + 1

=𝑒𝑥

𝑥 + 1+ 𝑐

18)∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑑𝑢 =𝑑𝑥

𝑥2 + 1

𝑣 = 𝑥𝑑𝑥

𝑢 =𝑥2

2

𝑥2

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 − ∫

𝑥2

2(

1

𝑥2 + 1)

𝑥2

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 −

1

2∫

𝑥2 + 1 − 1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

𝑥2

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 −

1

2∫

𝑥2 + 1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 − ∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥

𝑥2

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 −

𝑥

2+

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥

2

1

2(𝑥2 + 1)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 −

𝑥

2+ 𝑐

19.- ∫ 𝑥2𝑒−3𝑥𝑑𝑥 = −1

3𝑒−3𝑥 (𝑥2 +

2

3𝑥 +

2

9) + 𝑐

𝑢 = 𝑥2

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒−3𝑥

𝑣 = −1

3𝑒−3𝑥

𝑥2 (−1

3𝑒−3𝑥) − ∫ −

1

3𝑒−3𝑥2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 (−1

3𝑒−3𝑥) +

2

3∫ 𝑒−3𝑥𝑥𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒−3𝑥

𝑣 = −1

3𝑒−3𝑥

𝑥2 (−1

3𝑒−3𝑥) +

2

3[𝑥 (−

1

3𝑒−3𝑥) − ∫ −

1

3𝑒−3𝑥𝑑𝑥]

𝑥2 (−1

3𝑒−3𝑥) +

2

3[𝑥 (−

1

3𝑒−3𝑥) +

1

3∫ 𝑒−3𝑥𝑑𝑥]

𝑥2 (−1

3𝑒−3𝑥) +

2

3[(−

1

3𝑒−3𝑥𝑥) +

2

9(−

1

3𝑒−3𝑥)]

−1

3𝑒−3𝑥𝑥2 −

2

9𝑒−3𝑥𝑥 −

2

27𝑒−3𝑥 + 𝑐

−1

3𝑒−3𝑥 (𝑥2 −

2

3𝑥 −

2

9) + 𝑐