Universidad Politcnica SalesianaINTEGRACIN POR PARTESSupngase que se tiene la funcin producto y = uv. Si se deriva con respecto de x seobtiene:

Multiplicando toda la igualdad por dx para eliminar denominadores:

Integrando en ambos miembros de la igualdad:

y, finalmente, despejando la primera integral se llega a:

A la integral u dv se le llama la integral original y a la integral v du se le llama la integral que resulta. Para su buena utilizacin deben vigilarse las siguientes normas:a) La integral original debe convertirse en u dv , para lo cual debe hacerse u una parte de la integral original y el resto hacerse dv . A lo anterior se le llama hacer la eleccin de variables. No existe regla alguna para establecer qu debe hacerse lo primero y qu lo segundo. La prctica es la que gua por el camino ms acertado.b) A partir de la eleccin de variables hecha en el inciso anterior, se calculan la diferencial du y la variable v. Derivando u se obtiene du; integrando dv se obtiene v.c) Las diferenciales deben ir en la misma igualdad.d) La integral que resulta debe ser ms sencilla, o la mucho semejante, que la integral original; de lo contrario, debe comenzarse el proceso eligiendo nuevas variables. Algunos criterios para decidir que la integral que resulta es ms sencilla o complicada que la original se irn estableciendo en ejemplos resueltos.e) El proceso de integracin por partes puede emplearse dos o ms veces dentro del mismo proceso.A pesar de que no existe una regla infalible, comprobada, universal, que lleve a hacer a la primera vez una eleccin de variables adecuada, s hay algunos criterios que funcionan en muchas o en la mayora de las ocasiones. Estos criterios son:

Se sugiere a veces apoyarse en el acrnimo o palabra clave LIATE, iniciales de:LogartmicasInversas trigonomtricasAlgebraicasTrigonomtricasExponencialesSegn este criterio, debe seleccionarse como ula primera funcin que figure en LIATE de izquierda a derecha y conforme al orden de esta palabra clave.Conviene en este momento agregar al formulario de integrales la integral de eu , ya que esta frmula no puede encajarse en algn grupo especial. Dicha frmula, que de aqu en adelante se requerir, es

Ejemplo 1: Integrar Solucin: Esta integral por ninguno de los mtodos estudiados hasta ahora puede resolverse , para convertir la integral original en udv existen tres posibilidades para la eleccin de variables:

Sustituyendo

La integral que resulta es a simple vista ms sencilla que la original, puesto que ya es directa de frmula, lo que significa que la eleccin de variables fue correcta: