A

C B

D

M

N

80 m

50 m

50 m

20 m

A

C B

D

M

N

80 m

50 m50

m

20 m

1

2

3

4

5

1. Dos reservorios A y B están conectados por una tubería de 2500 pies de longitud y 0.0174 de coeficiente de fricción otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 4500 pies de longitud y 0.0167 de coeficiente de fricción. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan con una tubería MN de 3000 pies de longitud y 0.0183 de coeficiente de fricción. Las distancias AM = 1000 pies y ND = 2500 pies, por la tubería MN discurre 1 pies3/seg, si el flujo es turbulento con superficie hidráulicamente rugosa y las tuberías son del mismo material.a) Calcular los diámetros de las tuberías y que tuberías comerciales recomendaría Ud.b) Calcular los caudales en las tuberías.

LAB=2500 pies=762mf=0.0174LCD=4500 pies=1371.6mf=0.0167LMN=3000 pies=914.4 mf=0.0183LAM=1000 pies=304.8mLND=2500 pies=762m

QMN=1 pies3

seg=0.028 m3

segPor el enunciado del problema S.H.R. entonces su rugosidad absoluta es ε=0.015 cm=0.0015m=0.0052 pulg.

D= ε∗10( 1

2√ f )3.7

=9.84≈10 para la tubería AM

→D1=10 =0.254 D3=7.92≈8 →D3 =8 =0.2032 mD4=11.79≈12 → D4 =12 =0.3048 Como D1=10 → D1 > D2 → D2 =6 =0.1524 Como Q3+Q4=Q5

→necesitamayor diametroque12Q5=16 =0.406Por Bernoulli entre A y M

80=EM+hf 1

80=EM+414.36Q12… ( ¿ )

EM=50+hf 2

EM=50+7993.01Q22…¿

Q1=Q2+Q3

Q1=Q2+0.028… ( ¿∗¿ )

Reemplazando (**) en (*)

80=50+7993.01Q22+414.36Q1

2

Reemplazando (***) en la ecuación anterior

80=50+7993.01Q22+414.36 (Q 2+0.028 )2=0

7293.01Q 22+414.36 (Q2+0.028 )2−30=0

Calculando tenemos:

Q2=0.058 m3

segQ1=0.058+0.028

Q1=0.086 m3

seg60=EN+hf 4

60=EN+319.64Q42… (α )

EN=20+hf 5

EN=20+94.82Q52… (β )

Q5=Q3+Q 4

Q5=0.028+Q4… (γ )Reemplazando (β) en (α)

60=20+94.82Q52+319.64Q 4

2

Reemplazando (γ) en la ecuación anterior

60=20+319.64Q42+94.82 (Q4+0.028 )2=0

Calculando tenemos:

Q4=0.30 m3

segQ5=0.30+0.028

Q5=0.33 m3

seg

R

100 m

30 m

V

(1)

(2)

(3)

(4)

Bomba

10 m

R

100 m

30 m

V

(1)

(2) (3)(4)

Bomba

10 m

f1=0.0167L1=150 m

f2=0.0196L2=300 m

f3=0.0183L3=200 m

A

B

C

f4=0.0174L4=300 m

I S

2. La presión a la salida de la bomba es de 110000kg/m2 para una potencia de 100HP con eficiencia de 70%, la carga pérdida a través de la válvula V es 10 m, rugosidad absoluta de las tuberías es ε=0.015 cm, L1=150 m, f1=0.0167, L2=300 m, f2=0.0196, L3=200 m, f3=0.0183, L14=300 m, f4=0.0174, considerando flujo turbulento con superficie hidráulicamente rugosa. Hallar:

a) Los diámetros de las tuberías y sugerir que diámetros comerciales se debe comprar.b) La dirección del flujo.c) Los caudales en cada tubería.d) La cota del nivel de agua en el reservorio R.

ε=0.015 cm=0.00015m=¿0.0059 pulgadas

Ps=110000 kgm2

pot=100HPn=70 %presionvalvula=hv=10mTubería Hidráulicamente Rugosa:

1−√ f

=2 log( 3.70ε )

D= ε∗10( 1

2√ f )3.7

. . . (α )

Para ε=0.00159 pulg f 1=0.0167Reemplazando en (α )D1=11.80 pulg ≈12=0.3048 Así reemplazando para cada tubería tenemos:D2=5.94”≈6=0.1524 D3=7.98”≈8=0 2032 m

D4=9.84”≈10=0.254 Suponiendo que el flujo discurre de S a A entonces:

P s

ρ=V s

2

2g+zs=100+hf 4

1100001000

+10=100+0.0686∗f 4∗L4∗Q4

2

D45 −

V s2

2 g

120=100+401.35Q42+

V s2

2g

Q=VA→V s=Q 4

A4=

4Q4

A4=19.73Q4

20=437.83Q42+

(19.73Q 4 )2

2∗9.81427.59Q4

2=20

Q4=0.216 m3

seg entonces el asumido es correcto

Para el tramo 3 el escurrimiento es de B – I

E s=110+10+0.927=110.93m

Q4=Q3=0.216 m3

seg

Pot=γQ (Es−E I )

76n

100=1000 (0.216 ) (110.93−E I )

76∗0.7110.93=E I=24.629E I=96.30mEB=E I+h f 3

EB=96.30+40.71EB=137.01mSuponiendo que el agua discurre de R – B

ER=EB+h f 1+hv

ZR=137.01+0.0826∗f 1∗L1∗Q1

2

D15 +10

ZR=147.01+78.69Q12 . . . (1)

Suponiendo que discurre de B – C

EB=EC+hf 2

−137.01=Z A+0.0826∗f 2∗L2∗Q2

2

D25

107.01=5907.89Q22

Q2=0.134 m3

seg→el sentidode flujo supuesto escorrectoPor continuidad

Q1=Q2+Q3=0.134+0.216

Q1=0.35 m3

segReemplazando en (1)

ZR=156.64 m3

seg3. Se tiene una alcantarilla de sección circular que conduce un caudal de 6m 3/seg a una velocidad media de 1.2 m/seg, si se desea cambiar dicha

alcantarilla por un canal de sección trapezoidal con la misma magnitud de area mojada y talud optimo será mejor desde el punto de vista hidráulico (MEH)a) ¿Qué dimensiones tendrá el nuevo canal de máxima eficiencia hidráulica?

y

b) Si se tiene una curva de remanso en dicho canal con: α=1.1, So=0.0003, n=0.014. Hallar un tirante que diste 1000 m del tirante de la parte (a), considerar ∆x =100 m.

Q = 6m3/sVmedia = 1.2m/sQ = VA

A= 61.2

=5m2

Para MEH:

by=2 (√1+z2−z ). . . (1) para canal trapezoidal

A=(b+zy ) y . . . (*) para talud óptimo z=√33

=0.577

reemplazando en (1 ) y (¿ )

5=(b+0.577 y ) y . . . (**)

b=2 y (√1+0.5772−0.577 )b=1.155 yReemplazando en (**)

5=(1.155 y+0.577 y ) y

1.73 y2=5→y2= 51.73

y=1.70m→b=1.96mb) α = 1.1; So = 0.0003; n = 0.014; y2 = ?

x=1000m; y1=1.70; ∆ x=100m;Q=6m3 / seg

A1=5m2 ;P1=5.83m;T 1=3.42m→R= 55.83

=0.85

y2=9.8 A1(So A1

2R1

43−36∗0.0142)

R43 (9.8 A3−αQ2T )

y2=

9.8 (1.96+0.577 y2 ) y2[0.0003∗( (1.96+0.577 y2 ) y2 )2( (1.96+0.577 y2 ) y2

1.96+2 y2√1.33 )43 ]

( (1.96+0.577 y2 ) y2

1.96+2.31 y2)

43 (9.8 ((1.96+0.577 y2 ) y2 )2−1.1∗62 (1.96+1.154 y2 ))

y2=

9.8 (1.96+0.577 y2 ) y2[0.0003∗( (1.96+0.577 y2 ) y2 )2(1.96+0.577 y2 )

43 y2

43−0.007

(1.96+2.31 y2 )43 ]

((1.96+0.577 y2 ) y2)43

(1.96+2.31 y2 )43

(9.8 ((1.96+0.577 y2 ) y2 )2−39.6 (1.96+1.154 y2 ))

y2=9.8 (1.96+0.577 y2 ) y2[0.0003∗( (1.96+0.577 y2 ) y2 )2 (1.96+0.577 y2 )

43 y2

43−0.007]

(1.96+0.577 y2 ) y2(9.8 ( (1.96+0.577 y2 ))3 y23−39.6 (1.96+1.154 y2))

. . . (**)

y i+1= y i+( yi+ yi+1

2 )∆ x

B B BI S I S I S

L=5km L=5km

y2= y1+( y1+ y2

2 )∆ x…( I ) reemplazando en (**) en (I) y resolviendo la ecuación tenemo:

y2=1.70+(−0.0015+ y2

2 )∗100

y2=1.65m4. Un oleoducto con una tubería de 10” de diámetro, rugosidad relativa K/D=0.0004 aproximadamente horizontal, tiene una estación de bombeo de 30

HP. De potencia cada 5 km, si se quisiera aumentar el caudal de este oleoducto en 50%. ¿Cuánto tendríamos que aumentar la potencia de las estaciones de bombeo?. La eficiencia de los equipos de bombeo es de 80% peso especifico del petróleo es 900 kg/m3 y la viscosidad cinemática es 4x10–6m2/seg ¿Cuál es el nuevo caudal del oleoducto?

D=10=0.25 m; {K} over {D} =0.000Pot=30HP ;n=80%=0.8

γ=900 Kgm3 ; ν=4 x10−6 m2

s

Se sabe: Pot=γQ (ES−E I )

76 n… (1 )

ES−E I=pérdidade cargatramo S−I→ES−EI=h f en L = 5km

Pero: h f=f LD

V 2

2g=1020.4 f V 2… (α )

Q=VA=V∗π D2

4=0.049V … (β )

(α ) y (β ) en (1 )→30=1000 (0.049V ) (1020.4 f V 2 )76 (0.8 )

f V 3=0.036→V=3√ 0.036f

… (¿ )

Re=VDν

=Vx 0.254 x10−6 =6.25 x 104V …¿

Asumiendo: f =0.02en ( ¿ ) y ¿en gráficode Moody con :KD

=0.0004 y Re=7.6 x104

Asumiendo: f =0.021como yanoexiste mucha variaciónde f

→f =0.021

en ( ¿ ) V=1.197 ms

en (β )Q=0.0586 m3

sSi se aumenta el caudal en 50%

→Q1=1.5Q→Q1=0.0879 m3

s

V 1=Q1

A= 0.0879

π (0.25 )2

4

→V 1=1.79 ms

Luego: Re=1.79 x 0.25

4 x10−6 →Re=1.12 x105

Con: KD

=0.0004 y Re=1.12x 105

f=0.02en (α )hf=1020.4 (0.02 ) (1.79 )2

h f=65.39m→Lanueva Potencia en (1 )

Pot1=1000 (0.0879 ) (65.39 )

76x 0.8

Pot1=94.53HPPROB 1.- Demostrar que el perfil de flujo en un canal rectangular sin fricción puede ser expresado como:X = (Y/2So)2-3Yc/Y + (Yc/Y)3 + cte.

Donde: - Y = Tirante- Yc = Tirante crítico- So = Pendiente del canal. - X = distancia horizontal.

SOLUCION:

Del problema sabemos que el canal no presenta fricción, esto quiere decir que el sistema es conservativo y por lo consiguiente no hay pérdida de energía; lo expuesto anteriormente puede ser expresado matemáticamente como:Sf=0

Sabemos que el perfil de flujo está dado por la siguiente ecuación, que es la ecuación dinámica:

dydx

=So−S f

1−Q2Tg A3

… (1)

Tenemos que:

Q2Tg A3 =FR

2

Y para un flujo crítico FR=1, entonces:

Q2T c

g Ac3 =1

Q2

g=

Ac3

T c

Reemplazando en la ecuación (1):

dydx

=So−0

1−A c

3

T c

TA3

dydx

=So

1−A c

3

A3

, pero : A c=b yc∧ A=by

dydx

=So

1−y c

3

y3

, integrando :

∫ dx=∫yc

y 1−yc

3

y3

Sody

x= 1So

( 2 y3−3 yc y2+ yc

3

2 y2 )+cx= y

2So( 2 y3−3 yc y

2+ yc3

y3 )+cx= y

2So(2−

3 y c

y+y c

3

y3 )+c……lqqd

PROB 2.- Una galería circular de cemento pulido (n = 0.014) de 1.8 m. de diámetro debe conducir un caudal de 3m 3/seg. Calcular la pendiente necesaria para que el flujo sea uniforme.

z =2y

FH= y+F

SOLUCION:

Sea S la pendiente del conducto, sabemos que en un flujo uniforme se cumple:

Q= A R2 /3S1/2

n……(1)

Para un conducto circular tenemos las siguientes relaciones:

A=D2(θ−senθ)

8……∗¿

P=Dθ2

……∗¿

θ=2arcos(1−2 yD )……∗¿∗¿

En (***), con y=1.5, D=1.8, obtenemos: θ=4.60 radEn (*): A=2.27m2

En (**): P=4.41m

R= AP

=0.55m

Finalmente reemplazando valores en (1), obtenemos:

3=2.27∗0.552 /3 ¿S1/2

0.014S=0.0008

PROB 3.- Un canal de sección trapezoidal debe trasportar 750lt/seg, el talud z = 2, para evitar el deterioro del lecho y de los taludes, ya que el canal no está revestido la velocidad del agua no debe sobrepasar de 1m/seg.

a) Determinar las dimensiones del canal para que la pendiente sea mínima, considerar n = 0.03b) En caso de revestirlo el canal con piedra emboquillado, con que tirante fluirá el mismo caudal manteniendo la pendiente y la sección trasversal

calculada en el caso anterior, considerando para este caso n = 0.022

SOLUCION:

a. Como se trata de un canal de tierra, usamos el criterio de la máxima velocidad permisible, para hallar la pendiente del canal:

V= R2 /3S1/2

n……(1)

Considerando V y n constantes, la ecuación quedaría así:

K=R2/3S1 /2

Se observa claramente que para que S sea mínima R debe ser máxima, pero también tenemos que: R= AP

Para que R sea máxima P debe ser mínima, lo que implica que S es mínima cuando P es mínima. Lo anteriormente expuesto nos lleva al criterio de SMEH, entonces para un canal de sección trapezoidal tememos por SMEH:

b=2 y (√1+z2−z )……∗¿

R= y2…….∗¿

Por dato del problema tenemos que Q=0.75m3/ s, V=1m /s, usando estos valores obtenemos el área:

A=QV

=0.75m2

También sabemos que el área en un canal de sección trapezoidal es: A=by+z y2, reemplazando el valor de b hallado en ec. * obtenemos:

A=(2√1+z2−z ) y2, reemplazando valores obtenemos:

0.75=(2√1+22−2) y2

y=0.55mPor lo que b es igual a: b=0.26m

En **: R=0.275En ecuación 1:

1=0.2752 /3S1/2

0.03S=0.005

b. En la siguiente ecuación:

Q= A R2 /3S1/2

n……(2)

Con:

A=0.26 y+2 y2

P=0.26+4.47 yReemplazando estos valores en la ecuación 2:

0.75=( 0.26 y+2 y2 )5 /3

∗0.0051/2

( 0.26+4.47 y )2 /3∗0.022y=0.48m

PROB 4.- En la pared de un depósito que tiene forma de un triángulo isósceles con eje de simetría vertical y con el vértice hacia abajo, se quiere abrir un orificio a todo su ancho. Este orificio, que resulta trapezoidal, será de una altura igual a 1/6 de la altura de la pared. Encontrar la profundidad de su arista superior del orificio para que el caudal sea máximo. Considerando el coeficiente de descarga igual para cualquier posición que se da al orificio.

b=2 z(a−h6 )

Se sabe que, la velocidad de salida de un orificio es:V real=Cd√2 gH

Qreal=V real . A=C d A√2gHÁrea del trapecio: y=h/6

A=(b+zy ) y

A=(2 z (a−h6 )+a h6 ) h6

A=(12a−h ) zh36

Caudal máximo: dQda

=0

Q=C d A√2gH

Q=C d√2g . (12a−h ) z h36 √h−a

Q=C d√2g (12a−h ) √h−adQda

=Cd√2 g . (12 ) √h−a+Cd√2 g . (12a−h )( 12 ) −1

√h−a=0

24 (h−a )−(12a−h )=0

25h−36a=0

a=2536

h

PROB 5.- Se tiene un canal ancho cuyo fondo está formado por arena de diámetro uniforme, fluye agua (flujo uniforme y viscosidad cinemática ν = 10 -6

m2/s.) donde a partir del nivel del agua a una profundidad de 0.6m la velocidad es 3m/seg y a una profundidad de 1.5m la velocidad es 2.7m/seg. Para una Superficie Hidráulicamente Rugosa y velocidad de corte mínimo. Determinar:

a) El diámetro que debe tener las partículas de arena (1pto) b) El tirante del canal (1pto)c) El caudal por unidad de ancho (1pto)d) La pendiente del canal. (1pto)e) El número de Reynold (1pto)

Solución:

Tenemos:

Dividimos (1)/(2)

Asumiendo valores según ábaco:

De ábaco En (3): En (1):

De ábaco En (3): En (1): Interceptando con grafico tenemos:

a) El diámetro es:

b) En (3):

c)

d)

e)

PROB 6.- Un canal de sección trapezoidal debe trasportar 820lt/seg, el talud z = 1.5, para evitar el deterioro del lecho y de los taludes, ya que el canal no está revestido la velocidad del agua no debe sobrepasar de 2m/seg.a) Determinar las dimensiones del canal para que la pendiente sea mínima, considerar n = 0.02b) En caso de revestirlo el canal con piedra emboquillado, con que tirante fluirá el mismo caudal manteniendo la pendiente y la sección trasversal

calculada en el caso anterior, considerando para este caso n = 0.025c) Si se construye en este canal revestido un barraje y se produce un salto hidráulico donde el número de Froude en el punto después del salto es 0.18.

Determinar la velocidad en el punto donde se inicia el salto. Solucióna) DimensionesPara evitar el deterioro, se toma: v=2m /s

Ecuación de continuidad: A=Qv

A=0.822

=0.41m /s2

Ecuación de Manning:

Q=1n . A

53

p23

. S12

S=n2 .Q2

A103

. p43 …(1)

S es mínimo si p es mínimo (ecuación 1), se cumplen las condiciones de MEH (Máxima Eficiencia Hidráulica)Para una sección trapezoidal en M.E.H., se cumple:

by=2(√1+z2− z)

by=2(√1+1.52−1.5)

b=0.6056 y…(2)Ecuación del área hidráulica, se sustituye los valores obtenidos:

A=(b+zy ) yA=(0.6056 y+1.5 y ) yA=2.1056 y2

0.41=2.1056 y2

y2=0.1947y=0.4413mSustituyendo valores en (2):

b=0.6056 x0.4413b=0.2672mEl perímetro es:

p=b+2√1+z2 yp=0.6056 y+2√1+1.52 yp=4.2112 yp=4.2112 x0.4413p=1.8584 mSustituyendo valores en (1):

S=0.022 .0.822

0.41103

.1.858343

S=0.012 Respuestab) Sustituiremos los valores del área y el perímetro que variarán con el tirante, por lo tanto:Ecuación de Manning:

Q=1n . A

53

p12

. S12

p43

A103

=S

n2 .Q2

(4.2112 y )4

(2.1056 y2)10 =( 0.0120.0252 .0.822 )

3

y=0.498mc) Numero de Froude:

FR=0.18

FR=v

√ g AT

FR2= Q2

A3 gT

0.812= 0.822

(2.1056 y2)3 9.813.6056 y

y=0.5262mEste tirante es después del salto: y2= y=0.5262mEcuación de Fuerza Específica:

Fe1=Fe2

[3 y12+3 (0.6056 y1 ) y1 ]

6 ( 0.6056 y1+1.5 y1 ). (0.6056 y1+1.5 y1 ) y1+

0.822

9.81(2.1056 y12)

=[3 y2

2+3 ( 0.6056 y2) y2 ]6 (0.6056 y2+1.5 y2 )

. (0.6056 y2+1.5 y1 ) y2+0.822

9.81(2.1056 y22)

Sustituyendo y simplificando valores:

[ y12+ (0.6056 y1 ) y1 ]

2. y1+

0.822

9.81(2.1056 y12)

=0.2345

y1=0 .4475mEl área será:

A=2.1056(0.4475)2

A=0.4217m2

La velocidad antes del salto será:

v=QA

v= 0.820.4217

v=1.9445m /sPREG. 7.- Responder las siguientes preguntas

1.- Si se estudia la variación del caudal versus tirante, cuando la energía especifica sea constante en el caso de los perfiles (a) y (b) ¿Cuál es el grafico respectivo? Hacer un bosquejo y mencionar a que régimen de flujo corresponden.

2.- Si se incrementa la pendiente del fondo del canal en los perfiles (c) y (d), ¿qué ocurre con los caudales en ambos casos?3.- Si la pendiente del fondo del canal es mayor que la pendiente crítica y el tirante crítico el mayor que el Tirante normal y esta mayor que el

tirante del tramo donde ocurre una curva de Remanso. ¿A qué tipo de curva de Remanso corresponde?

Solución:

1) Energía especifica constante

Sabemos que:

Para el perfil a):

Para el perfil b):

2) Para el perfil c):

Si incrementamos la pendiente en este perfil es predecible que va incrementar la velocidad de flujo, pero el caudal va ser constante debido a la

sección de control.

Para el perfil d):

En este caso si incrementamos la pendiente el caudal de salida va ser mayor debido a que no hay nada q lo regule.PROB 8.- Un canal de sección trapezoidal de ancho de solera b = 2.00m. y talud z = 1.5, conduce un caudal de 2m 3/seg. En cierto lugar del perfil longitudinal tiene que vencer un desnivel, para lo cual se constituye una rápida, cuyas características se muestran en la siguiente figura, en el tramo 0-1 existe curva de Remanso y en el tramo 1-2 se tiene un Resalto hidráulico, la longitud horizontal de 0-1 es 4m. y la pendiente del canal en este tramo es 0.0004, los coeficientes de rugosidad son: 0.022 en el tramo revestido y 0.025 en el tramo sin revestir, el tirante conjugado mayor del resalto igual al tirante normal del tramo sin revestir. Calcular el tirante en la sección “0” y el tirante crítico.

Datos: b=2m; z=1.5 ;Q=2m3/s El tirante Y2 es igual al tirante normal después del resalto, se trata de un flujo uniforme, se utiliza la fórmula de Manning:

Q= A5 /3S1 /2

nP2/3

⟹ A2=(2+1.5 y2 ) y2

⟹ P2=2+3.6 y2

Luego:

2=[ (2+1.5 y2 ) y2 ]5/3

(0.0004)1 /2

0.025(2+3.6 y2)2 /3

y2=0.535m En el tramo 1-2 se produce un resalto hidráulico, siendo y1 y y2 tirantes conjugados, se cumple que:

F e1=Fe 2…(1)Entonces:

A1= (2+1.5 y1 ) y1

Z1=3 y1

2+6 y1

6 (2+1.5 y1)

A2=1.499m2

Z2=0.242mPosteriormente, reemplazando los valores en (1):

Z1 A1+Q2

g A1=Z2 A2+

Q2

g A2

3 y12+6 y1

6(2+1.5 y1)(2+1.5 y1 ) y1+

49.81 (2+1.5 y1 ) y1

=0.635

⇒ y1=0.318m En el tramo 0-1 se produce remanso hidráulico:

S0∆ x+E0−SE0

2∆x=E1+

SE1

2∆ x…(2)

∆ x=4mS0=0.0004

E0= y0+Q2

2 g(A02)

= y0+0.204

((2+1.5 y0 ) y0)2

SE0=n2Q2P0

4 /3

A010/3 =

0.0019 (2+3.6 y0)4 /3

[ (2+1.5 y0 ) y0 ]10 /3

Similarmente:

E1=0.646

SE1=0.019 Reemplazamos los datos en la ecuación (2):

0.0004 (4)+ y 0+0.204

(( 2+1.5 y0 ) y0 )2−

0.0019 (2+3.6 y0 )43

2 [ ( 2+1.5 y0 ) y0 ]103

(4)=0.646+ 0.0192

(4)

y0=0.587m Para el tirante crítico, se cumple que:

Q2

g=

Ac3

T c

49.81

=[(2+1.5 yc) yc ]3

2+3 y c

∴ yc=0.418m

Prob. 9 Una central térmica necesita 800m3/seg para su circuito de refrigeración, el mismo que es evacuado por un sistema que comprende:Un deposito “A” de gran ancho en donde se puede considerar nula la velocidad del flujo.Un canal en tierra “B” de sección rectangular, de ancho “b”, de 16km de largo y cuyo fondo, de pendiente regular, tiene un desnivel de 1m..Un canal “C” revestido de concreto, de sección rectangular, de igual ancho “b”, de 18km de largo y cuyo fondo, de pendiente regular presenta un desnivel de 18m.Un vertedero “D” de igual ancho que el canal “C” y cuya cresta se encuentra a 5m. por encima del fondo del canal “C”.

Considerar el coeficiente de Manning de 0.02 para el canal “B” y de 0.0111 para el canal “C”; que el tirante del agua es despreciable en relación al ancho del canal y que g = 10m/seg21ro ¿Qué condiciones de be satisfacer el ancho “b” para que:La velocidad media en el canal “B” sea superior a 1m/seg El flujo en el canal “C” no sea torrencial.2do Hallar los tirantes h1 y h2 así como las velocidades medias V1 y V2 en los canales B y C para el ancho b = 198.82m.3ro Si el caudal del vertedero está dado por Qv = 2/3 b 2g h3/2 , calcular “h”, el tirante “ho” y el desnivel “H” entre la superficie del agua en el depósito “A” y la superficie del agua encima de la cresta del vertedero. Trazar esquemáticamente la forma de la línea de agua a lo largo del eje del sistema indicando los diferentes valores de los tirantes y de las velocidades.4to Hallar el caudal máximo que se puede evacuar manteniendo el régimen fluvial en el canal.5to Hallar el coeficiente de Manning de las paredes del canal B, para que sin cambiar las características topográficas del sistema, la cota del plano de agua en el depósito A se reduzca en 1m., en la hipótesis que Q = 800m3/seg.

SOLUCION:Resolviendo la primera pregunta:Usando la ecuación de Maning:

V=R

23 S

12

nSe tiene:

V=( b∗yb+2 y )

23 (0.0000625 )

12

0.02 >1

Operando tenemos:

( b∗yb+2 y )

23 >2.53

b∗yb+2 y

>4.02

Esta es la condición que debe cumplir.Calculando “C” para que no sea torrencial.Entonces Flujo critico:

αQ2

g≤ A3

T→Q2

10≤ (b∗y )3

b; g=10 m

s2

Q2≤10∗b2 y3

V ≤√10∗yResolviendo la segunda pregunta: Considerando b=198.82m; Si:

b∗yb+2 y

>4.02

198.82∗y198.82+2 y

>4.02

1m18 m

198.82∗y>4.02∗(198.82+2 y )Resolviendo la inecuación:

y>4.79mLuego h1=5mCalculamos V, con la ecuación de Manning:

V=( 198.82∗5198.82+2∗5 )

23 (0.0000625 )

12

0.02

V=1.12 ms

Prob. 10 Demostrar que el coeficiente ¨C¨ de Chezy en tuberías circulares con Superficie Hidráulicamente Lisa se puede expresar mediante la siguiente fórmula:C = 18log (3.13Re/C)SOLUCION:Considerando:

V=C √RS=V ¿

x Ln (46 . 4Rδ 0 )

C√RS=√ gRSx

Ln(46 . 4(D /4 )δ 0 ) .

…… ( 1 )También Vδ0

ν=11. 6

δ 0=11.6 νV|

Para ello consideramos la ecuación:

Re=VDν

ν=VDRe

V ¿=V √ f8C=√8g

f

V ¿=V √gC

Reemplazando en (1):

C= √g0 .4

Ln(46 . 4∗D∗V|

4∗11.6∗V∗D /Re)

C=√ g0 . 4 Ln(46 . 4∗V |∗Re

4∗11.6∗V )C=√ g

0 . 4Ln(46 . 4∗V∗√g∗Re

4∗11.6∗V∗C )C=18 Log(3 .13 Re /C ) l.q.q.d

PROBLEMA 11:Una sección de canal se compone de dos taludes redondeados en la solera con un arco de circulo BC. Si se conoce el ancho b y el ángulo “α “ . Determinar el radio correspondiente “r”

A

b

B C

D

r r

a a

Solución:Considerando que el canal es de máxima eficiencia hidráulica (MEH).Por tanto tenemos que:

A dpdr

=P dAdr …………………….. (*)

Tenemos que:

At=A1+A2−A3…………….¿Pt=P1+P2…………….(¿∗¿)Para área 1 tenemos que:

b=2 rsenαT= y−r+rcosα= y−r 1−cosαz=ctgαTenemos el área.

A1= [2rsen∝+ctg∝ [ y−r (1−cos∝ ) ] ] [ y−r (1−cos∝) ]…………. (1 )T=2 rsen∝+2ctg∝ [ y−r (1−cos∝ ) ]También se tiene que:

y−r (1−cos∝ )= tg∝2

(T−2 rsen∝ )…………… (2 )

Reemplazando 2 en 1.

A1=[2 rsen∝+ctg ∝∗tg∝2

∗(T−2 rsen∝ )][ tg∝2 ∗(T−2 rsen∝ )]A1=[2 rsen∝+T

2−rsen∝][ tg∝2 ∗(T−2 rsen∝ )]

A1=[T2 +rsen∝] tg∝2 ∗(T−2 rsen∝ )

A1=tg∝

4∗(T 2−4 r2 sen2∝ )…………….(3)

Perímetro del A1

P1=2 √1+ctg2∝∗tg∝2

(T−2 rsen∝ )

P1=√csc2∝∗tg∝ (T−2 rsen∝ )

P1=

1sen∝∗sen∝

cos∝ (T−2rsen∝ )

P1=1

cos∝ (T−2 rsen∝ )…………….(4 )

Para área 2 tenemos que:

A2=π r2∗2α

2πA2=∝r2……………… (5 )Perímetro del A2

P2=2πr∗2α

2πP2=2 r∝………….(6)Para área 3 tenemos que:

A3=12∗2 rsen∝∗rcos∝

A3=r2 sen∝∗cos∝…………………(7)Reemplazando las ecuaciones 3, 5 y 7 en (**)

A= tg∝4

∗(T2−4 r 2sen2∝ )+∝ r2−r2 sen∝∗cos∝

A=tg∝4

∗T2−r2tg∝sen2∝+∝ r2− r2∗sen∝cos∝ ∗cos2∝

A=tg∝4

∗T2−r2 (tg∝ sen2∝+tg∝cos2∝−∝ )

A=tg∝4

∗T2−r2¿

A=tg∝4

∗T2−r2 (tg∝−∝ )…………… (8)

Reemplazando las ecuaciones 4 y 6 en (***)

P= 1cos∝ (T−2 rsen∝ )+2 r∝

P= Tcos∝−2 r sen∝

cos∝+2 r∝

P= Tcos∝−2 r (tg∝−∝ )……………… ..(9)

Derivando A y P respecto a r

dAdr

=d ( tg∝4

∗T2−r2 (tg∝−∝ ))

dAdr

=−2r (tg∝−∝)

dPdr

=d ( Tcos∝−2 r (tg∝−∝ ))

dPdr

=−2(tg∝−∝)

Reemplazando en la ecuación (*)

A dpdr

=P dAdr

[(tg∝) /4∗T2−r2(tg∝−∝)]∗[−2( tg∝−∝)]=[T /(cos∝)−2 r (tg∝−∝)] [−2 r (tg∝−∝) ]tg∝

4T 2−r2 (tg∝−∝ )=r [ T

cos∝−2 r (tg∝−∝)]tg∝

4T 2−r2 ( tg∝−∝ )= T

cos∝ r−2 r2(tg∝−∝)

r2 (tg∝−∝ )− Tcos∝∗r+ tg∝

4∗T 2=0

Aplicando la formula general para obtener las raíces de una ecuación cuadrática tenemos:

r=

Tcos∝ ±√ T2

cos2∝−4∗(tg∝−∝ )∗tg∝

4∗T 2

2( tg∝−∝)

r=

Tcos∝ ±T∗√ 1

cos2∝−tg2∝+∝tg∝

2( tg∝−∝)

r=T2 [ 1

cos∝ ±√ 1cos2∝

− sen2∝cos2∝

+∝ sen∝cos∝

sen∝cos∝−∝ ]

r=T2 [ 1

cos∝ ± 1cos∝ √1−sen2∝+∝ sen∝ cos∝

sen∝cos∝−∝ ]

r=T2 [ 1±√(1−sen2∝)+∝sen∝cos∝

cos∝∗(sen∝cos∝−∝) ]

r=T2 [ 1±√cos2∝+∝ sen∝cos∝

sen∝−∝cos∝ ]

PROBLEMA 12:Se tiene un canal alcantarilla cuya sección se muestra en la siguiente figura (D = 2m) Calcular el tirante para una velocidad máxima.Calcular el tirante para un caudal máximo

SOLUCIÓN:A1 y P1:

cos α2=0.91 D

Dα=2arccos (0.91 )=48.989°=0.855 rad

A1=12α D2−1

2(D cos α

2)(Dsen α

2)

A1=D2

2(α−senα )=0.2m2

P1=α D=1.71A2 y P2:

tg β=

(D−2Dsenα )2

0.41D

β=arctg( 1−senα0.82 )=11.765°=0.205 rad

A2=12α D2−1

2(D cos α

2)(Dsen α

2)

A2=0.41D(D+2Dsen α

2 )2

=1.4999m2

P2=2 0.41Dcosβ

=1.675

A3 y P3:

α=θ−π2

A3=18D2 (θ−senθ )− π

2 (D2 )2

A3=18D2 (θ−senθ−π )

A3=12

(θ−senθ−π )

P3=2 Dα2

=θ−π

El área total de la alcantarilla:

A=A1+A2+A3

A=0.2+1.4999+12

(θ−senθ−π )

A=1.6999+12

(θ−senθ−π )

dAdθ

=12

(1−cosθ )

El perímetro total:

P=P1+P2+P3

P=1.71+1.675+θ−πP=θ−1.466dPdθ

=1

Del gráfico, el tirante será:

y=D2

+ D2senα=D

2(1+sen (θ−π

2))

y=1−cos θ2

a) Calcular el tirante para una velocidad máxima.

P dAdθ

−A dPdθ

=0

(θ−1.466 )( 12 ) (1−cosθ )−(1.6999+ 1

2(θ−senθ−π )) (1 )=0

senθ−θcosθ+1.466 cosθ−8=0θ=14.7083 radLuego, el tirante será:

y=1−cos 14.70832

y=0.52mb) Calcular el tirante para un caudal máximo:

H

1

1

2

2

h

F

5 P dAdθ

−2 A dPdθ

=0

5 (θ−1.466 )( 12 ) (1−cosθ )−2(1.6999+ 1

2(θ−senθ−π )) (1 )=0

3θ+2 senθ−5θcosθ+7.33cosθ−7.85=0

θ=1.8227 radLuego, el tirante será:

y=1−cos 1.82272

y=0.387m

Prob: Se tiene un canal ancho con Superficie Hidráulicamente Lisa por donde discurre agua conν=10−6 m2

s. Para el aliviadero que se muestra, hallar la

Fuerza F para retener la plancha por ancho unitario. Asumir que la presión en la sección 1 y 2 se distribuyen hidrostáticamente y no hay pérdidas menores (f=0), H=2m, h = 1m, y la velocidad máxima aguas arriba del aliviadero es 2.72m/s.

b=anchode canalH=2mh=1m

V 1=2.72 ms

Por continuidad: V 1∗b∗H=V 2∗b∗H → V 2=HhV 1 . . . (1)

De la ec de cantidad de movimiento, entre 1 y 2:

P1∗A1−P2∗A2−F=ρ∗Q∗(V 2−V 1 ) . . .(2)

P1∗A1=F1=γ∗HG∗A1=γ∗H

2∗b∗H= γ∗b∗H2

2 . . . (3)

P2∗A2=F2=γ∗b∗h2

2 . . . (4)

Reemplazando los valores de (1), (3) y (4) en (2):

γ∗b∗H2

2− γ∗b∗h2

2−F=ρ∗Q∗(Hh V 1−V 1) , Q=V 1∗b∗H

F= γ∗b∗H2

2− γ∗b∗h2

2+ γgV 1∗b∗H*(V 1−

HhV 1)

F= γ∗b2

∗(H2−h2 )+ γg∗V 1

2∗b∗H∗(1−Hh )

F= γ∗b2

∗((H 2−h2 )+ 2g∗V 1

2∗H∗(1−Hh ))

Reemplazando valores tenemos:

F=500b (3−2.10 )F=449.46bProb: En una tubería circular de acero (k=10–4m) de 0.60 m de diámetro fluye aceite (DR=0.8) la viscosidad del aceite es de 1poise . la elevación del punto inicial es 20.2 m y la presión dicho punto es 5 kg/cm2.la elevación del punto final es 22.10 m y la presión es de 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1000 m.a) Si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa.b) El espesor de la subcapa laminar.c) El coeficiente de Chezy.d) La velocidad media.e) El gasto.SoluciónLa altura de presión en el punto inicial es:

50000 kgm2

800 kgm3

=62.5m

La cota piezométrica en dicho punto es 62.5 + 20.2 = 82.7. Similarmente la cota piezometrica de la cota final es: 47.1 m.Luego calculamos la pendiente:

S=h f

L=82.7−47.1

1000=3.56 x10−2

R=D4

Que es la pendiente de la línea piezometrica. En este caso por ser flujo uniforme es igual a la línea de energía.La velocidad de corte:

V ¿=√gRS=√9.8 x0.15 x3.56 x 10−2=0.229 ms

a) Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos la ec siguiente:

V ¿kℵ

=0.23 x10−4

1.25x 10−4 =0.184<5

Las paredes se comportan como hidráulicamenteb) Espesor de la subcapa laminar:

δ=11.6 ℶV ¿

=0.0036m

c) Coeficiente de ChezyComo las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad

C=18 log 42Rδ =54 m

12

sd) Velocidad media

V=C √RS=√0.15 x3.56 x10−2=3.95 ms

e) Gasto

Q=AV= π D2

4x3.95=1.12m

3

s