Ejercicios de Estática

Preparadurías 2013-2

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA

UNEFA – NÚCLEO COJEDES

INGENIERÍA CIVIL

ESTÁTICA DIAGRAMA DE CORTE

DIAGRAMA DE MOMENTO

ANÁLISIS DE JUNTAS

JESÚS HEREDIA

DICIEMBRE DE 2013


Esfuerzo Cortante y Momento Flector

CORTE:

Primero el equilibrio de las fuerzas en dirección vertical:


De esta ecuación se observa que la variación del esfuerzo cortante en cualquier punto sobre

el eje de la viga es igual a menos la intensidad de la carga distribuida en el mismo punto.

Se integra ambos lados

∫ ∫

ECUACIÓN DEL CORTE ∫

MOMENTO:

Si sumamos los momentos respecto a un eje situado en el eje izquierdo del elemento y se

considera los momentos antihorarios positivos, se obtiene:

Ignorando los productos de diferenciales por ser despreciables en comparación con los

otros términos, se obtiene la siguiente relación:

Se integran ambas partes

∫ ∫

ECUACIÓN DEL MOMENTO ∫


EJERCICIO 1 Obtener los diagramas de corte y momento.

Diagrama de cuerpo libre

∑

(

)


Las fuerzas que respeten este sistema serán positivas.

Sistema de Signos


Para el tramo I

Se debe analizar si existe alguna carga, en este caso no hay carga sobre la viga, las fuerzas

concentradas se toman como cortantes, (la reacción Ay) como está apuntando hacia arriba

por el sector izquierdo de la viga y respeta nuestro sistema de signos el diagrama de corte

abre por encima, en otras palabras, es positivo

Q(x) =0

∫

∫

Se realiza Condición de Borde:

Donde ¥x=0

V=C, Donde C=Vizq

Vizq= 204.17

Entonces la ecuación del corte para el Tramo I

V(x)=204.17

Y para encontrar la ecuación del momento se integra la ecuación de corte

∫

∫

Para realizar condición de borde se sustituye ¥x=0

0= 204.17*0 , donde C=Mizq

M=


Se obtuvo las Ecuaciones del Corte y Momento para el Tramo I

V(x)=204.17

M(x)=204.17X

Donde el corte para X=0, V=204.17 y para X=1, V=204.17

Y el momento para X=0, M=0 y para X=1, M=204.17

Para el Tramo II

Para obtener la ecuación del corte en este tramo se hace de igual manera como el tramo

anterior, pero tenemos otra fuerza concentrada que hace que el diagrama del tramo

anterior sea interrumpido. Se procede a hacer un análisis de junta.

Donde para el tramo II sólo existen dos cortantes y dos momentos en los extremos.

Como en el tramo II no existe carga se procede directamente a deducir que la ecuación del

corte es igual a su corte existente en el extremo izquierdo del tramo y para la ecuación del

momento se debe realizar condición de borde porque existe un momento al extremo

izquierdo.

V(x)=104.17

M(x)=∫

M(x)=104.17X+C

Condición de Borde:

0=104.17*0+Mizq


Donde C=Mizq

M(x)=104.17X+204.17

Donde el corte para X=0, V=104.17 y para X=1, V=104.17

Y el momento para X=0, M=204.17 y para X=2, M=412.51

Nota: Si bien se puede apreciar el tramo II y el sistema de signos se nota que se está

respetado el sistema porque por el extremo izquierdo tenemos un cortante que apunta

hacia arriba y un momento horario y esos sentidos para el lado izquierdo ambos son

positivos, es por ello que tanto en el diagrama de corte como en el de momento ambas

gráficas están sobre el eje, en otras palabras son “positivos”.

Para el tramo III

En el tramo III se debe realizar análisis de carga porque se posee una.

El análisis de carga no es más que obtener la ecuación de la carga por la siguiente ecuación:

Y(x)-Y0 = M(X - X0)

Para nuestro estudio Y = Q (porque estamos hablando de Cargas)

La Ecuación que usaremos será la siguiente:

Q(x)-Q0 = M(X - X0)

Q=carga

m= Pendiente

Para la carga a estudiar

(

)


Ya obtenida la carga se procede a obtener la ecuación del corte.

∫

Para el estudio del tramo I y II se pudo notar que la Constante C de las integrales son iguales

al Corte por la Izquierda (Vizq) y el Momento por la Izquierda (Mizq) según sea el caso, para

los tramos siguientes se omitirá la condición de borde.

∫

Nota: CUANDO EL CORTE ES IGUAL A 0, EL MOMENTO ES MÁXIMO.

Para poder saber la distancia de donde el momento es máximo se iguala la ecuación del

corte a 0.

Se sustituye 1.0417 en la ecuación del momento, dando como resultado:


Donde el corte para X=0, V=104.17 y para X=2, V=-95.83

Y el momento para X=0, M=412.51 y para X=1.0417, M=466.77, para X=2, M=420.85

Para el tramo IV

V(x)=-95.83

M(x)=-95.83X+420.85

Donde el corte para X=0, V= -95.83X y para X=2, V=-95.83

Y el momento para X=0, M=420.85 y para, X=1, M=325.05

Para el tramo V

Q(x)-Q0 = M(X - X0)

(

)

∫


∫

Donde el corte para X=0, V=-95.83y para X=2, V=-195.83

Y el momento para X=0, M=325.02y para, para X=2, M=0

EJERCICIO 2. Obtener los Diagramas de Corte y Momento


Diagrama de corte y momento de la barra A-B


Análisis de la junta B

Diagrama de momento de la barra B-C


Análisis de la junta C

Diagrama de corte y momento de la barra C-D


EJERCICIO 3. Determinar los diagramas de corte y momento:


Diagrama de corte y momento de la Barra A-B

Descomposición de la fuerza Cortante


Diagrama de corte y momento de la barra A-B



Diagrama de corte y momento de la barra B-C


Análisis de la Junta C

Diagrama de corte y momento de la Barra C-D



(

)

(

)

=

=


=

=

Cargas y reacciones sobre la estructura.

Para realizar los diagramas de corte y momento se hará análisis de juntas debido a que la

estructura posee fuerzas concentradas.


Se harán dos cortes a lo largo de la barra para el análisis

de juntas como se indica.

Los cortes respetarán las distancias según la posición de

las fuerzas puntuales.


Diagramas de corte y momento del segmento A-A’


Análisis de la junta A’

Nota: Para el análisis de junta se debe tener presente la 3ra ley de Isaac Newton (acción y

reacción), cuando tenemos un conjunto de fuerzas por un extremo de cualquier elemento,

se deben transferir hacia el extremo frontera de la junta la misma magnitud de la fuerza

pero en sentido contrario, y si en esa junta existe alguna fuerza externa se debe hacer una

sumatoria de fuerzas (∑Fx, ∑Fy, ∑M) para generar el equilibrio de la junta.


Diagramas de corte y momento del segmento A’-A’’


Análisis de la Junta A’’

Diagramas de Corte y Momento del segmento A’’-B


Diagramas de Corte y Momento de la Barra A-B

Análisis de junta B


Para poder realizar los diagramas de corte y momento de las barras B-C y C-D se deben girar

todas las fuerzas de modo que queden perpendiculares a la barra en estudio, es decir que

ejerzan el cizallamiento.

Diagramas de corte y momento de la Barra B-C

Análisis de junta C


Diagramas de Corte y Momento de la Barra C-D

Análisis de la junta D


Diagramas de corte y momento de la Barra D-E


Sistema de Carga Reacción Vertical A Reacción Vertical B

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

Tabla 1. Calculo de reacciones para vigas simplemente apoyadas

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