Ejercicios.

Ejercicio N°1

Caída de un sistema computacional.

Se tiene la información de 80 semanas de operación de un terminal de computación conectado por vía telefónica a un computador central, donde se registró el número de caídas del sistema por semanas. Los datos son los siguientes:

1 0 2 0 0 3 2 3 1 0 1 0 2 0 1 0 0 2 1 10 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 3 0 30 2 0 1 2 1 0 1 1 2 1 0 2 0 1 0 1 1 1 30 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 3 0 3

Tabule los datos y represente la distribución mediante un gráfico circular.

Comentarios pedagógicos.

Comentar con los alumnos que esta actividad involucra una variable discreta con apenas cuatro valores distintos. Por lo tanto, los alumnos comprenderán que no conviene tabular la información considerando intervalos, ya que eso es adecuado, únicamente, en los casos de mayor variedad de valores de la variable.

La tabulación apropiada para poder representar posteriormente la distribución por medio de un gráfico circular debe exhibir la frecuencia relativa o bien la frecuencia relativa porcentual que a continuación se presenta:

Caídas por semana

FrecuenciaFrec. Relativa

porcentual

0 36 45,00

1 27 33,75

2 10 12,50

3 7 8,75

Así una forma de representar la situación por medio de un gráfico circular es la siguiente:

 

Porcentajes de caídas del sistema computacional

 

Ejercicio N°2

Cambio de escala de notas.

A continuación se da la tabla de frecuencia correspondiente a las notas finales de un curso en Ciencias Naturales, expresadas en la escala de 1 a 7:

 

Intervalo Frecuencia

[ 1 , 2 [ 2

[ 2 , 3 [ 3

[ 3 , 4 [ 7

[ 4 , 5 [ 18

[ 5 , 6 [ 7

[ 6 , 7 ] 3

Confeccione el histograma correspondiente a estos datos.

La Dirección del Colegio también pide dar otro histograma que separe a los alumnos en las tres categorías siguientes:

Reprobado: Alumno con nota en el intervalo [1,4[.

Aprobado: Alumno con nota en el intervalo [4,6[.

Distinguido: Alumno con nota en el intervalo [6,7].

Confeccione este nuevo Histograma.

Comentarios pedagógicos.

El diseño del primer histograma se basa en la siguiente tabla:

 

Intervalo Frecuencia Long. intervalo Altura

[ 1 , 2 [ 2 1 2

[ 2 , 3 [ 3 1 3

[ 3 , 4 [ 7 1 7

[ 4 , 5 [ 18 1 18

[ 5 , 6 [ 7 1 7

[ 6 , 7 ] 3 1 3

Por lo tanto se tiene:

Distribución de notas finales en Ciencias Naturales.

 

A continuación se diseña el segundo histograma, el cual da cuenta de los alumnos reprobado, los aprobados y los que se destacan por tener nota 6,0 o superior.

Intervalo Frecuencia Long. intervalo Altura

[ 1 , 4 [ 12 3 4

[ 4 , 6 [ 25 2 12,5

[ 6 , 7 ] 3 1 3

 

Distribución de notas finales en Ciencias Naturales.

 

Ejercicio N°3

Concentración de ozono.

Uno de los indicadores más importante de la contaminación en grandes ciudades es la concentración, medida en ppb, de ozono en la atmósfera.

En cierto sector de una ciudad se obtuvo información sobre ese contaminante, por medio de una medición efectuada diariamente a las 13:00 hrs. Esta se resumió en la siguiente tabla:

Concentración de Ozono

Frecuencias

Intervalos Absolutas

[ 0, 2[ 8

[ 2, 4[ 23

[ 4, 6[ 53

[ 6, 8[ 42

[ 8, 10[ 22

[10, 12[ 12

Así se obtiene la tabla:

FrecuenciasMarcas

deFrecuencias Frecuencias

Intervalos Absolutas Clase Acumuladas Relativas

[ 0 , 2 [ 8 1 8 0,05

[ 2 , 4 [ 23 3 31 0,14375

[4 , 6 [ 53 5 84 0,33125

[ 6 , 8 [ 42 7 126 0,2625

[ 8 ,10 [ 22 9 148 0,1375

[10 ,12 ] 12 11 160 0,075

El/la estudiante obtendrá el siguiente histograma, en el cual observará, por ejemplo, que los niveles registrados con mayor frecuencia se encuentran entre 4 y 8 ppb.

Concentración de ozono.

 

Ejercicio N°4

Clasificación de melones.

Un agricultor obtuvo una gran cosecha de melones. De los 50 camiones que salieron cargados, él seleccionó al azar un melón de cada uno y les midió el diámetro (en cm).Los resultados de esta muestra fueron los siguientes:

16.9 16.4 13.4 15.9 13.9 15.2 21.3 17.4 19.3 15.8

15.7 12.6 19.8 14.0 11.3 16.2 11.8 22.3 21.4 16.6

10.2 18.3 18.8 14.7 12.5 19.5 12.1 17.8 11.2 16.8

12.5 11.6 12.3 11.5 13.0 13.6 16.9 13.6 12.8 13.5

11.1 18.8 15.6 17.9 20.5 14.6 12.6 14.4 20.4 12.9

Los melones son considerados de primera clase si su diámetro es de por lo menos 17cm. El interés del agricultor, es conocer aproximadamente cuál es la proporción de melones de primera que viaja en los camiones. 

Para responder a esta inquietud, se debe procesar la información contenida en la muestra.El primer paso puede ser la construcción de un diagrama de tallo y hoja como el siguiente

10 2

11 1 2 3 5 6 8

12 1 3 5 5 6 6 8 9

13 0 4 5 6 6 9

14 0 4 6 7

15 2 6 7 8 9

16 2 4 6 8 9 9

17 4 8 9

18 3 8 8

19 3 5 8

20 4 5

21 3 4

22 3

Observando los datos, se puede observar que hay 14 melones que pueden ser considerados de primera en la muestra. Luego, a partir de esta simple observación, podemos decir que si  en los 50 melones escogidos hay 14 de primera, esto corresponde al 28% de la muestra, y por lo tanto, podría extrapolarse que en el cargamento va aproximadamente un 28% de melones de primera.

¿Qué pasa si en vez del diagrama de tallo y hojas se construye una tabla de frecuencias como la siguiente y, a partir de ella, se intenta dar respuesta al agricultor?

Diámetro Frecuencia

[10.0, 11.8[ 6

[11.8, 13.6[ 12

[13.6, 15.4[ 8

[15.4, 17.2[ 10

[17.2, 19.0[ 6

[19.0, 20.8[ 5

[20.8, 22.6[ 3

En esta tabla se observa que el valor de interés, (diámetro 17cm.) se encuentra al interior  del cuarto intervalo y no en un extremo. Esto complica un poco las cosas porque no se puede contar directamente cuántos melones sobrepasan la marca de calidad. 

Obsérvese de cerca el cuarto intervalo. Su ancho es 1.8 cm. y 17 se encuentra a 0.2 cm. del extremo superior. Además, la frecuencia del intervalo es 10 melones. 

Si se supone que en el intervalo los datos se reparten en forma pareja y continua, sobre 17 habrá una proporción de melones equivalente a la proporción dada por el cuociente 0.2/1.8, equivalente a 1/9. Es decir, habrá (1/9)*10 = 1.111 melones.

Si se observa que en los intervalos superiores hay 6+5+3 = 14 observaciones, tendríamos que el total de melones de primera, según la tabla de frecuencias, es 14+1.111 = 15.111 melones. Este valor representa un 30.222% de la muestra según la tabla.

Obsérvese que, dependiendo de la elección de los intervalos, puede haber respuestas diferentes. 

 

Ejercicio N° 5

Prueba de Aptitud Académica.

En la tabla siguiente se tiene los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Académica por  30 jóvenes, provenientes de un mismo establecimiento educacional:

  Aptitud Verbal

Aptitud Matemática

  Aptitud Verbal

Aptitud Matemática

1 685 664 16 730 642

2 490 548 17 618 533

3 580 567 18 690 654

4 705 665 19 680 542

5 470 452 20 690 678

6 620 506 21 710 732

7 650 618 22 742 749

8 702 718 23 685 570

9 643 621 24 595 574

10 540 555 25 674 657

11 575 502 26 722 747

12 600 531 27 585 620

13 500 478 28 505 482

14 680 558 29 600 643

15 587 600 30 543 500

 

La Dirección del Colegio solicitó hacer un estudio de estos resultados. En particular, le interesa:

Describir los puntajes obtenidos por los jóvenes en la prueba de aptitud verbal.

Describir los puntajes obtenidos por los jóvenes en la prueba de aptitud matemática.

Comparar los puntajes obtenidos en cada prueba.

Desarrollo del  estudio.

Estudio de los puntajes obtenidos en las pruebas de Aptitud Verbal y Matemática.

Para cada prueba, complete una tabla con el siguiente formato usando intervalos de 50 puntos de longitud:

Clase Frecuencia Frecuencia relativa

[450,500[    

[500,550[    

...    

 

Haga una representación gráfica de las frecuencias por medio de histogramas.

Compare los puntajes obtenidos en ambas pruebas.

Calcule los  promedios y las desviaciones estándar correspondientes a partir de los datos originales y de los datos tabulados.

Sobre el estudio de los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Verbal y los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Matemática:

El alumno podría considerar razonable elegir intervalos de igual longitud (50) y que, por lo tanto, en ambos casos el puntaje máximo se encontraría en el intervalo [700,750[.

Tabla de frecuencias de la P.A.V.

Clase FrecuenciaFrecuencia

relativa

[450,500[ 2 0,0666

[500,550[ 4 0,1333

[550,600[ 5 0,1666

[600,650[ 5 0,1666

[650,700[ 8 0,2666

[700,750[ 6 0,2000

Tabla de frecuencias de la P.A.M.

Clase FrecuenciaFrecuencia

relativa

[450,500[ 3 0,1000

[500,550[ 7 0,2333

[550,600[ 5 0,1666

[600,650 6 0,2000

[650,700[ 5 0,1666

[700,750[ 4 0,1333

 

Histogramas en que se describe la distribución de puntajes:

 

En cuanto a promedio y desviación estándar de los puntajes en cada prueba, se tiene:

  P. A. V. P. A. M.

Promedio 626,533 596,866

Desviación estándar 77,609 83,280