UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DERIVADA PARCIAL

PROFESOR: LUIS LOPEZ MACIAS.

Ejercicios de Derivada parcial

1. Dadas las funciones

A. Calcular las cantidades que maximizan beneficio

B. Verificar si es un máximo

2. Maximiza las funciones A. ; ;

y encontrar: a) los puntos críticos b) condiciones de segundo orden

3. Dadas ( ) Encontrar los efectos con respecto a las

variables exógenas ( ) dadas las variables endógenas (Y,C,T)

4. Dada la función calcular óptimos y maximizar la

función .

5. Minimizar la función

6. Dada la función

. Determinar la funcionalidad de

las funciones y verificar si los puntos críticos de esta función, son mínimos o máximos.

7. Dada la función [ ( ) ] ⁄ . Encontrar las cantidades de K y L que

maximizan la función de producción.

8. Dada la siguiente función de utilidad µ .Demostrar que la utilidad de esta

función es igual al cociente entre la utilidad marginal de x con respecto a y ( ⁄ ) ( ⁄ )⁄

9. Sea la función de producción evaluar : a) puntos críticos b) condiciones de

concavidad y convexidad c) máximos y mínimos relativos

10. Dada la función de producción , encontrar

a) las condiciones de primer y segundo orden b) si hay máximos y mínimos

11. Un productor tiene la posibilidad de vender para la economía doméstica y los mercados

internacionales, sus demandas son respectivamente .

a) Encontrar la discriminación del mercado b) sin discriminación c) comparar las utilidades entre el

mercado discriminado y no discriminado y verificar cual es la mejor forma.

12. Dada la función de Isocuantas y de producción

A. Usando la derivada implícita encontrar la pendiente de la isocuanta ⁄ O TMST

B. Evaluar la TMST en los puntos y

13. Verificar si la función es definida positiva o negativa tenga en

cuenta encontrar valores críticos

14. Verificar y encontrar los puntos críticos y las condiciones de segundo orden según hessianos de la

función

15. Si una empresa competitiva tiene una función de costo

, entonces:

(a) cuales son los niveles óptimos de ?

(b) cual es el valor de que es lo que implica económicamente?

16. Una empresa productora de dos bienes tiene las siguientes funciones de demanda y de costo :

(a) Hallar los niveles de producción que satisface la condición de primer orden para maximizar el

beneficio.( utiliza fracciones)

(b) Comprueba la condición suficiente de segundo orden. Se puede concluir que este problema tiene

un único máximo absoluto?

(c) Cuál es el beneficio máximo?

17. Suponga también que la empresa del ejercicio 16 tiene las siguientes funciones de demanda y de costo

:

(a) Hallar los niveles de producción que satisface la condición de primer orden para maximizar el

beneficio (utiliza fracciones).

(b) Comprueba la condición suficiente de segundo orden. Se puede concluir que este problema tiene

un único máximo absoluto?

(c) Cuál es el beneficio máximo?

18. Sobre la base del precio y la cantidad de equilibrio del ejercicio 16, calcular la elasticidad puntual de la

demanda | |( para ) cuál es el mercado que tiene la elasticidad de demanda más alta y cual

el que tiene la más alta?

19. Si la función de costo del ejercicio 16 fuera,

(a) Hallar la nueva función de costo marginal.

(b) Hallar las nuevas cantidades de equilibrio (utilice fracciones)

(c) Hallar los nuevos precios de equilibrio.

(d) Verificar que se cumple la condición suficiente de segundo orden.

20. Defina el Hessiano Orlado: La matriz hessiana orlada es una variante de la matriz hessiana utilizada

en problemas de optimización restringida. El determinante de sus principales menores se utiliza como

criterio para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo, máximo, punto silla o no

determinado (extremos condicionados).

21. Utilizando el Hessiano Orlado, determine el extremo de

(a) sujeto a

(b)

sujeto a

22. Defina punto de ensilladura: Es el punto sobre una superficie en el que la elevación es máxima en una

dirección y mínima en la dirección perpendicular. El nombre proviene del parecido con una silla de

montar de las superficies en torno a un punto de silla.

23. Utiliza el concepto de punto de silla en

24. Defina Jacobiano: Representa la derivada de una función Multivariable.

25. Determina la matriz Jacobiana en la función :

( ) ( )

26. Un propietario desea encerrar un área rectangular de 800 metros cuadrados en su finca. Tres lados

tendrán malla de alambre y el otro será de ladrillo. Los costos de la malla de alambre son de $8 el

metro; el ladrillo cuesta $24 el metro. Con que dimensiones se minimizara el costo?

27. Halle la cantidad y que debe emplearse para maximizar la producción dadas las siguientes

funciones de producción Cobb – Douglas y las restricciones dispuestas por y dado el

presupuesto

a.

b.

28. Encontrar la distancia máxima entre la circunferencia y el punto( )

29. Consideremos el siguiente problema:

( )

Se infiere que el máximo de la función se obtiene en el punto ( ).

30. En cada una de las siguientes funciones de utilidad encontrar la curva de indiferencia

a. ⁄ ⁄

b. ⁄ ⁄

c. √ d.

31. Utilizando el multiplicador de LaGrange ⁄ ⁄ .

Encontrar la curva de indiferencia. 32. Verifica la concavidad o convexidad de cada una de las funciones del ejercicio 30 33. Evaluar las funciones

1. ( ) .

2. ( ) √ √

3. ( ) √

4. ( )

5. ( )

√

6. ( ) √

7. ( )

8. ( )

9. ( )

10. ( )

11. ( ) 12. ( ) ( )( )( )

34. Obtenga los máximo o mínimos (si los hubiera) de las funciones

a. ( ) sujeta a la restricción b. ( ) con base en la restricción c. con base en la restricción

35. Halle las diferenciales totales para cada una de las funciones a.

b. ( )

c. 36. En cada una de las siguientes funciones de utilidad encontrar la curva de indiferencia

⁄ ⁄

b. ⁄ ⁄ c.

c. √ d.

37. Un propietario desea encerrar un área rectangular de 800 metros cuadrados en su finca. Tres lados

tendrán malla de alambre y el otro será de ladrillo. Los costos de la malla de alambre son de $8 el metro; el

ladrillo cuesta $24 el metro. Con que dimensiones se minimizara el costo? ( dos métodos diferentes)

38. Suponga que en una economía existen solo dos industrias, cuya interacción se resume en la tabla (V: 1.5)

Insumos de la industria I

Insumos de la industria II

Demandas finales Producción Total

Producción de la industria I

240 750 1200

Producción de la industria II

720 450 1500

Insumos primarios

240 300

Insumos totales

A) Halle las ecuaciones que representan la Producción de cada una de las industrias

B) Obtenga la matriz de Insumo – Producto

C) Determine la matriz de producción si las demandas finales cambian a 312 unidades en la industria I y

a 299 unidades en la industria II.

D) Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes?

39. La relación entre las ventas S de un cierto artículo, y las cantidades x e y gastadas en dos medios de

publicidad, está dado por

.La utilidad neta es

de las ventas menos el costo de la promoción

publicitaria. El presupuesto para anuncios tiene un máximo de 25. Determinar cómo debe asignarse esta cifra

entre los dos medios para maximizar la utilidad neta.( Suponga que la restricción de desigualdad se considera

como restricción de igualdad, λ

. Emplee las condiciones de Kuhn – Tucker.

40. Una Tienda de ropa Femenina vende trajes de dos marcas M y N. Nunca realiza pedidos mayores de 60

trajes en un mes. La marca M le cuesta 20.000 euros y la vende en 23.000euros, mientras que compra la

marca N en 40.000euros para venderla en 44.000 euros. Si restringe su gasto para la compra de trajes a

1´600.000 euros por mes, cuántos de cada marca deberá comprar para que su utilidad sea máxima? Grafica el

área máxima (suponga que vende todos los trajes).

41. Dada la función de Isocuanta y de producción (V: 1.00)

C. Usando la derivada implícita encontrar la pendiente de la isocuanta ⁄ o TMST

D. Evaluar la TMST en los puntos y

42. Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de 350 dólares por unidad y estima que se gasta

x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran

aproximadamente

unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son 150

dólares por unidad.

a. Cuánto deberá gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad

posible si dispone de fondos ilimitados?

b. Suponga que el fabricante tiene solo 11000 dólares para gastar en desarrollo y promoción del nuevo

producto, cómo deberá distribuirse este dinero para generar la mayor utilidad posible?

c. Suponga que el fabricante del problema decide gastar 12000 dólares en lugar de 11000 dólares, en el

desarrollo y la promoción del nuevo producto. Emplee el multiplicador de Lagrange para estimar de qué

manera afectara este cambio la máxima utilidad posible.

43. A. Halle por Hessiano los extremos de la función ( ) cuando

B. Encuentre los máximos y mínimos absolutos de ( ) s.a por

Kuhn Tucker

C. Halle el gradiente de la función ( ) .en el punto (

). Usa la fórmula:

( )

D. Halle el gradiente de la función ( ) en el punto ( ). Usa la fórmula:

( )

.