EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES · c) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años...

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EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados. 2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados. 3. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la primera y la “o” la última. 4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída? 5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída? 7. De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando la primera carta? ¿Y sin reintegrarla? 8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas. 9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar? 10. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber: a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra. 11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas. b) ¿Y de que sean un as, un dos y un tres? c) ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete? 12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras? 13. Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres? 14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar:

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EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.

2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar

dos dados.

3. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la primera y la “o” la última.

4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que

contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?

5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al

azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad

de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?

7. De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar

un caballo seguido de un tres, reintegrando la primera carta? ¿Y sin reintegrarla?

8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la

probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas.

9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que

sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar? 10. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.

11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas. b) ¿Y de que sean un as, un dos y un tres? c) ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete?

12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis

blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras?

13. Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de

puntos sea divisible por tres?

14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4? b) ¿Y de que sea múltiplo de 3?

15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres sean rojas. b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde. c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color. d) La probabilidad de que todas sean de distinto color. e) La probabilidad de que todas sean del mismo color.

16. Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1

en los 6 lanzamientos? 17. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3

blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?

18. En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al

50. ¿Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?

19. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2.

La probabilidad de acertar en dos disparos será p1=0,04; p2=0,36; p3=0,12. Determinar qué respuesta el la correcta.

20. ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar

tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %?.

21. Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos veces un dado”. ¿Cuál

es la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué?.

22. A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan inglés y 50 francés. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber:

a) ¿Cuál la probabilidad de que se entiendan sin intérprete? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma? d) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas?

22. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres niños sacan,

sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas?

23. Se lanza un dado “n” veces ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos

un 6 en los “n” lanzamientos?

25. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide:

a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces. b) La probabilidad de obtener dos caras.

26. Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en

cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es 1/7. ¿Cuál es la probabilidad de alcanzar el objetivo en los 7 disparos?

27. La probabilidad de que un hombre viva más de 25 años es de 3/5, la de una mujer es de 2/3. Se pide:

a) La probabilidad de que ambos vivan más de 25 años. b) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años el hombre. c) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años la mujer. d) La probabilidad de que viva más de 25 años, al menos, uno de los dos.

28. Si de una baraja de 40 cartas se eligen 4 al azar, determinar:

a) La probabilidad de elegir dos reyes. b) La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo. c) La probabilidad de que todos los números sean menores de siete.

29. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos:

A= ”obtener cruz en el primer lanzamiento”. B= “obtener alguna cara”. C= “obtener dos cruces”. Se desea saber: a) Si A y B son incompatibles. b) Si A y B son independientes. c) Si A y C son incompatibles. d) Si A y C son independientes

30. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen castellano? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sen entiendan sólo en castellano? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma? e) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas?

31. Un dado está “cargado” de modo que al lanzarlo, la probabilidad de

obtener un número es proporcional a dicho número. Hallar la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un número par.

32. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados, 12 celtas y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres fumen?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados.

32. Si de 800 piezas fabricadas por una máquina salieron 25 defectuosas y

se eligen 5 de aquéllas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas?.

34. Se tiene tres urnas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber:

a) Si se extrae una bola de una urna, elegida al azar, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) Se ha extraído una bola negra de una de las urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la 2ª urna?

35. En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis. 36. Hay una epidemia de cólera. Un síntoma muy importante es la diarrea, pero ese síntoma también se presenta en personas con intoxicación, y, aún, en personas que no tienen nada serio. La probabilidad de tener diarrea teniendo cólera, intoxicación y no teniendo nada serio es de 0,99; 0,5 y 0,004 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 2% de la población tiene cólera, el 0,5 % intoxicación y el resto (97,5 %), nada serio. Se desea saber:

a) Elegido un individuo de la población ¿Qué probabilidad hay de que tenga diarrea? b) Se sabe que determinado individuo tiene diarrea ¿Cuál es la probabilidad de tenga cólera?

37. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A2 un 8 por mil.

a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A2? b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? c) Se piden 5 artículos a la fábrica A1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?

38. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide:

a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?

39. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:

a) ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? b) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno? c) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso? d) Elegidos al azar dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso?

40. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:

a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b) La probabilidad de que no apruebe ninguna. c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1. El espacio muestral es:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 donde las casillas sombreadas son los casos favorables. La probabilidad pedida será:

365p =

2. El espacio muestral es el mismo de antes, es decir:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Y la probabilidad pedida es:

365p =

3. Al escribir al azar las 5 vocales tenemos P5= 5! = 120 casos posibles. De entre ellos, si la e ha de aparecer la primera y la o la última, tenemos las otras 3 vocales que han de permutar en los tres lugares centrales, es decir, los casos favorables son P3= 3!=6.

La probabilidad pedida es:

201

1206p ==

4. Las 12 bolas negras pueden tomar de 2 en 2 de 66

21112

!10!2!12

212

=⋅

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

maneras distintas (casos favorables). Mientras que las 27 bolas totales pueden

tomarse de 2 en 2 de 351

22627

!25!2!27

227

=⋅

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

maneras distintas (casos posibles). La probabilidad pedida es, pues:

11722

35166p ==

5. Sean los sucesos:

A= “Sacar las dos bolas blancas” B= “Sacar las dos bolas negras” C=”sacar las dos bolas del mismo color” Según la composición de la urna se tiene que:

9533

380132

1911

2012)A(p ==⋅=

9514

38056

197

208)B(p ==⋅=

Como una bola no puede ser al mismo tiempo blanca y negra (los sucesos A y B son incompatibles), se tiene que:

9547

9514

9533)B(p)A(p)C(p =+=+=

6. Sean los sucesos:

A= “ser negra la primera bola” B= “ser negra la segunda bola”. Los sucesos A y B son independientes pues el hecho de que la primera bola sea negra no afecta al hecho de que lo sea la 2ª (ya que la 1ª se devuelve a la urna de nuevo), se tiene:

254

40064

208

208)B(p)A(p)BA(p ==⋅=⋅=I

7. Llamamos:

A= “sacar un caballo” B= “sacar un tres” Si reintegramos la primera carta, los sucesos son independientes y se tiene:

1001

101

101

404

404)BA(p =⋅=⋅=I

Si no reintegramos la primera carta los sucesos son dependientes y se tiene: Llamando: C= “sacar un caballo la 1ª carta” D= “sacar un 3 la 2ª carta”

1952

156016

394

404)C/D(p)C(p)DC(p ==⋅=⋅=I

8. Sean los sucesos:

A= “realizarse el suceso efectuando 4 pruebas” A1= “realizarse el suceso en la 1ª prueba” A2= “realizarse el suceso en la 2ª prueba” A3= “realizarse el suceso en la 3ª prueba”

A4= “realizarse el suceso en la 4ª prueba” Se tiene que:

32)A(p)A(p)A(p)A(p

31)A(p)A(p)A(p)A(p

4321

4321

====

====

Además se cumple que 4321 AAAAA III= siendo los cuatro sucesos últimos independientes entre sí, por tanto se tendrá para el suceso complementario de A:

4

32

32

32

32

32)A(p ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⋅⋅=

Y para el suceso A:

8165

81161

321)A(p1)A(p

4

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

9. (Este problema se diferencia del nº 7 en que allí había que sacar primero el caballo y luego el 3, ahora hay que sacar caballo y 3 no importa en que orden).

Llamando a los sucesos: A= “sirve la 1ª carta” (es caballo o tres) B= “sirve la 2ª carta” (es caballo o tres) Reintegrando:

501

160032

408

404)A(p)A/B(p)BA(p ==⋅=⋅=I

Sin reintegrar:

1954

156032

408

394)A(p)A/B(p)BA(p ==⋅=⋅=I

10. Los casos posibles (en ambos casos) son las combinaciones de 15

elementos tomados de 3 en 3, es decir 455

6131415

!12!3!15

315

=⋅⋅

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

a) En este caso los casos favorables son las diferentes formar de tomar las 8 bolas blancas en grupos de 3, es decir:

566

678!5!3

!838

=⋅⋅

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

siendo la probabilidad pedida:

658

45556p ==

b) En este segundo caso los casos favorables son el producto de las diferentes maneras de tomar las 8 bolas blancas de dos en dos por las diferentes maneras de tomar las 5 bolas negras de uno en uno, es decir:

14052785

!6!2!8

15

28

=⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

y la probabilidad es:

134

9128

455140p ===

11. a) Como el ejercicio está planteado sin devolución de las cartas extraídas previamente, se tendrá que, llamando A1, A2 y A3 respectivamente a los sucesos ser sota la primera, la segunda y la tercera, tenemos que:

24701

5928024

382

393

404)AAA(p 321 ==⋅⋅=II

ya que tras haber extraído la primera sota, sólo quedan tres y, tras haber extraído las dos primeras sólo quedan 2. b) Llamemos: A= “sirve la 1ª carta” (es un as un dos o un tres) B= “sirve la 2ª carta C= “sirve la 3ª carta. Se tiene:

384)C(p

398)B(p

4012)A(p

=

=

=

ya que para la 1ª teníamos 12 casos favorables (4 ases, 4 doses y 4 treses) y 40 posibles. Para la segunda, si la primera ha servido, sólo quedan 8 casos favorables y 39 posibles. Para la 3ª, si las dos primeras han servido, sólo quedan 4 casos favorables y 38 posibles. Tenemos pues para la probabilidad pedida:

12358

59280384

384

398

4012)CBA(p ==⋅⋅=II

c) En este caso sean:

A= “sacar un rey en la 1ª” B= “sacar un cinco en la 2ª” C= “sacar un siete en la 3ª” Será:

37054

74108

192

394

101)CBA(p

192

384)BA/C(p

394)A/B(p

101

404)A(p

==⋅⋅=

==

=

==

II

I

12. Sean los sucesos:

A= “sacar una bola negra de la 1ª urna” B= “sacar una bola negra de la 2ª urna”

Se tiene que: 52

104)B(p

53)A(p ===

y, dado que los dos sucesos son independientes:

256

52

53)BA(p =⋅=I

13. En la siguiente tabla de casos posibles aparecen sombreados los favorables (aquellos en los que la suma de puntos es divisible por 3)

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

La probabilidad pedida es, pues:

31

3612p ==

14. a) Sea A es suceso “señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 4”

necesariamente ha de acabar en 12, 24, 32, 52. De todos ellos terminan en 12 los que resulten de tomar las 3 cifras restantes (3, 4 y 5) de una en una influyendo el orden y sin repetición, esto es son V3

1. El mismo razonamiento es válido para las otras tres posibles terminaciones, es decir, los casos favorables son 4V3

1, mientras que los casos posibles son V5

3, entonces tenemos que:

51

34534

!2!5

!2!34

VV4)A(p 35

13 =

⋅⋅⋅

=⋅

==

b) Sea B es suceso “señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 3”. Necesariamente uno de estos números ha de estar formado por los números de cualquiera de los 4 conjuntos siguientes: {1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} y {3, 4, 5} ya que son los únicos la suma de cuyas cifras es múltiplo de 3. Pero los números de cada uno de los conjuntos anteriores se pueden poner en cualquier orden, es decir, de cada uno de esos conjuntos obtenemos P3 elementos. Los casos favorables serán pues 4P3 y los casos posibles son los mismos que en apartado a), luego tenemos:

52

23452234

!2!5

!34VP4)B(p 35

3 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

==

15. a) Sea A=”extraer las tres bolas rojas”, se tiene:

1027

4896336

161718678

!15!3!18!5!3

!8

31838

)A(p ==⋅⋅⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

b) Sea B=”extraer dos bolas rojas y una verde”:

347

48961008

216171823678

23161718

2678

!15!3!18

6!6!2

!8

318

16

28

)B(p ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅⋅

=

⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

c) Sea C=”extraer dos azules y una no azul”:

687

4896504

2161718231434

23161718

21434

!15!3!18

14!2!2

!4

318

114

24

)C(p ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅⋅

=

⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

d) Sea D=”extraer todas de distinto color”:

174

48961152

16171823648

23161718648

318

16

14

18

)D(p ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

e) Sean los sucesos:

R= “extraer las tres rojas” A= “extraer las tres azules” V= “extraer las tres verdes”. Se tiene que:

2045

31836

)V(p

2041

31834

)A(p

1027

31838

)R(p

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

Y por ser los sucesos R, A y V incompatibles dos a dos se tiene que la probabilidad pedida es:

515

20420

2045

2041

1027)VAR(p ==++=UU

16. Sea el suceso A=”sacar algún 1 en 6 lanzamientos” y sean A1, A2, A3, A4, A5, A6, los sucesos “sacar un 1 en el primero (segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto) lanzamientos”. Se tiene que:

65)A(p........................................)A(p)A(p

61)A(p)A(p)A(p)A(p)A(p)A(p

621

654321

====

======

Y como el suceso complementario de A (no sacar ningún 1 en los seis lanzamientos) es la intersección de estos seis últimos y éstos son independientes, se tiene:

4665631031

46656156251

651)A(p

65)A(p

6

6

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

17. Sean los sucesos: A= “sacar las dos bolas blancas” B= “sacar las dos bolas negras” C= “sacar las dos bolas rojas” Se tiene que los tres sucesos son incompatibles dos a dos y sus probabilidades son:

10816

124

94)C(p

10815

125

93)B(p

1086

123

92)A(p

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Siendo la probabilidad pedida:

10837

10816

10815

1086)CBA(p =++=UU

18. Sea el suceso A= “sacar las 50 bolas en el orden 1, 2, 3, .....50”. El número de casos posibles son todas las permutaciones de 50 y solamente una de ellas constituye el caso favorable luego:

!501

P1)A(p50

==

19. Sean los sucesos: A= “acertar en dos disparos” A1= “acertar el primer disparo” A2= “acertar el segundo disparo” Se tiene que:

21

21

21

AAA8,0)A(p)A(p2,0)A(p)A(p

I=

==

==

Y siendo estos dos últimos sucesos independientes se tiene:

36,064,01)A(p64,08,08,0)A(p)A(p)AA(p)A(p 2121 =−=⇒=⋅=⋅== I 20. Sean los sucesos: A= “Acertar en alguno de los tres lanzamientos”

A1= “acertar en el primer lanzamiento” A2= “acertar en el segundo lanzamiento” A3= “Acertar en el tercer lanzamiento”. Se tiene que:

321

321

321

AAAA7,0)A(p)A(p)A(p3,0)A(p)A(p)A(p

II=

===

===

y siendo estos tres últimos sucesos independientes se cumple que:

343,07,07,07,0)AAA(p)A(p 321 =⋅⋅== II siendo entonces la probabilidad pedida:

657,0343,01)A(p1)A(p =−=−= 21. Sean los sucesos: A= “sacar impar en el primer lanzamiento” B= “sacar par en el segundo lanzamiento” La tabla del espacio muestral es (en ella se han señalado los casos favorables al suceso intersección de A y B): 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Se tiene que:

21

2141

)A(p)BA(p)A/B(p

41

369)BA(p

21

3618)B(p)A(p

===

==

===

I

I

Que es la probabilidad pedida. Como además:

21)B(p)A/B(p ==

Queda demostrado que los sucesos A y B son independientes. 22. Observemos el siguiente diagrama de Venn:

donde hemos llamado “x” al número de congresistas que son capaces de hablar al mismo tiempo francés e inglés:

habiéndose de cumplir que: (70-X)+X+(50-X)=80 Y de ahí, resolviendo la ecuación obtenemos que X=40 Es decir, 40 de los congresistas hablan tanto francés como inglés. 30 hablan sólo inglés y 10 hablan sólo francés.

a) Sea ahora el suceso A= “los dos congresistas se entienden sin intérprete”.

Se tiene que:

15815

6320600

798021030

!78!2!801030

280

110

130

)A(p ==⋅⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

entonces:

158143

158151)A(p =−=

b) Sea ahora el suceso: B= “los dos congresistas se entienden sólo en francés” (ello supone que sólo hablan francés o que pueden hablar ambos idiomas): tenemos que:

63289

6320890

27980

240102910

!78!2!80

4010!8!2!10

280

140

110

2802

10

)B(p

==

=⋅

⋅⋅+⋅

=

⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

c) Sean ahora los sucesos: C= “los dos congresistas se entienden en un solo idioma” C1= “Se entienden sólo en inglés”. C2= “Se entienden sólo en francés”. Se tiene que:

632327

63203270

27980

2403022930

!78!2!80

4030!28!2

!30

280

140

130

230

)C(p 1 ==⋅

⋅⋅+⋅

=

⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

=

Como el suceso C2 coincide con el suceso b) del apartado b) su probabilidad ya ha sido calculada allí. Entonces se tiene para el suceso C:

7952

632416

63289

632327)C(p)C(p)CC(p)C(p 2121 ==+=+== U

d) Sea ahora el suceso:

D= “los dos congresistas se entienden en los dos idiomas”. Se tiene que:

15839

632156

79803940

!78!2!80!38!2

!40

280240

)D(p ==⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

23. Sean los sucesos: A= “el primer niño saca las dos rojas”. B= “el segundo niño saca las dos negras habiendo sacado el 1º las dos rojas”. C= “el tercer niño saca las dos blancas habiendo sacado el 1º las dos rojas y el segundo las dos negras”. D= “el primer niño saca las dos rojas y el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas” Se tiene:

961415

201849315

383

7715

697)D(p

383

38030

192056

!18!2!20!4!2

!6

22026

)C(p

7715

46290

2122910

!20!2!22!8!2!10

2222

10

)B(p

697

55256

232478

!22!2!24!6!2

!8

22428

)A(p

==⋅⋅=

==⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

==⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

==⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

Ya que los sucesos A, B y C de esta forma definidos son independientes y D es la intersección de los tres. 24. Sea el suceso: A= “sacar al menos un 6 en los n lanzamientos” Ai= “sacar un seis en el i-ésimo lanzamiento” (donde i varía entre 1 y n) Se tiene que:

ni1i61)A(p i ≤≤∀=

entonces:

n21

i

A.....AAA65)A(p

III=

=

siendo estos n sucesos independientes. Se tiene pues que:

n

n

n21

651)A(p1)A(p

65)A(p.........)A(p)A(p)A(p

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⋅=

25. El espacio muestral tiene RV2

4=24=16 elementos que son: CCCC +CCC +CC+ +C++ CCC+ CC++ C++C ++C+ CC+C C+C+ ++CC +++C C+CC +C+C C+++ ++++ a) Sea A= “obtener a lo sumo tres cruces (es decir, 0, 1, 2 ó 3)”

1615)A(p =

b) Sea B= “obtener exactamente dos caras”:

83

166)B(p ==

26. Sea el suceso A= “alcanzar el objetivo en al menos uno de los siete disparos” Ai=”alcanzar el objetivo en el disparo i-ésimo” (i varía de 1 a 7) Se tiene:

721

i

i

A........AAA

7i1i76)A(p

7i1i71)A(p

III=

≤≤∀=

≤≤∀=

siendo estos 7 sucesos independientes, por lo tanto:

823543543607

8235432799361

761)A(p1)A(p

76)A(p

7

7

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

27. Sean los sucesos: a) A= “el hombre vive más de 25 años”. B= “la mujer vive más de 25 años”. C= “ambos viven más de 25 años”. Se tiene que:

52

32

53)BA(p)C(p

32)B(p

53)A(p

=⋅==

=

=

I

b) D= “sólo el hombre vive más de 25 años”.

51

31

53)BA(p)D(p =⋅== I

a) c) E= “sólo la mujer vive más de 25 años”:

154

32

52)BA(p)E(p =⋅== I

d) F= “que viva más de 25 años al menos uno de los dos”

1513

156109

52

32

53)BA(p)B(p)A(p)BA(p)F(p =

−+=−+=−+== IU

28. a) Sea A= “sacar 4 cartas de la baraja entre las que haya dos reyes y dos no reyes”

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

440

236

24

)A(p

b) Sea B= “sacar cuatro cartas de la baraja entre las que haya tres del mismo palo y uno no”. Para un palo cualquiera dado, la probabilidad de obtener tres de ese palo de entre 4 cartas es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

440

130

310

p

Y la probabilidad pedida es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⋅==

440

130

310

4p4)B(p

a) c) Sea C= “sacar cuatro cartas de la baraja y que todas ellas sean

menores que 7”

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

4404

24

)C(p

29. a) Al lanzar tres monedas al aire obtenemos como posibles resultados las Variaciones con repetición de 2 elementos tomados 3 a 3, esto es RV2

3=23=8. Estos son:

CCC C++ CC+ +C+ C+C ++C +CC +++

El suceso A está formado por los sucesos elementales:

A= {(+CC), (+C+), (++C), (+++)} El B por: B= {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C)} Y el C por: C= {(C++), (+C+), (++C)}

Como φ≠+++++= )}C(),C,(),CC{(BA I , A y B no son incompatibles.

b) Para ver si A y B son independientes hay que comprobar si p(B/A)=p(B), en caso de ser falsa la igualdad anterior no serán independientes. Veamos:

87)B(p

43

8483

)A(p)BA(p)A/B(p

=

===I

Luego A y B no son independientes.

c) Como { } φ≠++++= )C(),C(CAI , A y C no son incompatibles. d) Calculemos:

83)C(p

21

42

8482

)A(p)CA(p)A/C(p

=

====I

y siendo distintos ambos resultados, los sucesos A y C no son independientes.

30. Observemos el siguiente diagrama de Venn:

donde los números salen de: Llamando x a los que hablan las tres lenguas, tenemos que:

40 hablan inglés. 40 hablan francés 51 hablan castellano 11 hablan francés e inglés 12 hablan francés y castellano 13 hablan inglés y castellano 11-x hablan sólo francés e inglés 13-x hablan sólo inglés y castellano 12-x hablan sólo francés y castellano 40-(11-x)-x-(13-x)=16+x hablan sólo inglés 40-(11-x)-x-(12-x)=17+x hablan sólo francés 51-(12-x)-x-(13-x)=26+x hablan sólo castellano Se ha de verificar, pues la siguiente ecuación: hablan sólo inglés+hablan sólo francés+hablan sólo castellano+hablan sólo inglés y castellano+hablan sólo francés e inglés+ hablan sólo francés y castellano+ hablan los tres idiomas = 100 16+x+17+x+26+x+13-x+11-x+12-x+x=100 y de ahí se obtiene que hablan los tres idiomas: x=5 11-x=6 hablan sólo francés e inglés 13-x=8 hablan sólo inglés y castellano 12-x=7 hablan sólo francés y castellano 16+x=21 hablan sólo inglés 17+x=22 hablan sólo francés 26+x=31 hablan sólo castellano

a) A= “ninguno habla francés”. Hay 21+8+31=60 que no hablan francés, luego

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

2100

260

)A(p

b) B= “los dos hablan castellano”. Como hay 51 en esas condiciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

2100

251

)B(p

c) C= “los dos se entienden sólo en castellano”. Hay 31 que sólo hablan castellano; 39 (31+8) que hablan castellano e inglés pero no francés; 38 (31+7) que hablan castellano y francés pero no inglés; 36 (31+5) que hablan castellano sólo o los tres idiomas, por tanto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

=

2100

15

131

17

131

18

131

231

)C(p

d) D= “los dos hablan un solo idioma”. Hay 74 (21+22+31) que hablan un solo idioma, luego:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

2100

274

)D(p

e) E= “hablan los tres idiomas”. Hay sólo 5 que lo hacen, por tanto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

2100

25

)E(p

31. El hecho de que la probabilidad de obtener un determinado número en el dado sea proporcional a dicho número significa que (siendo i un número comprendido entre 1 y 6 ambos inclusive), se tiene: p(i)=ki como la probabilidad de que salga cualquier número del dado es 1 (suceso seguro), se tendrá que: p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1 k+2k+3k+4k+5k+6k=1 21k=1 k=1/21 entonces, llamando A sal suceso “sacar un número par”, este suceso es la unión de los tres sucesos incompatibles “sacar 2”, “sacar 4” ó “sacar 6”, es decir:

2112

216

214

212)6(p)4(p)2(p)A(p =++=++=

32. Observemos el siguiente diagrama: donde x representa al número de alumnos que no fuman ni celtas ni ducados. Como hay 24 alumnos en total, se tiene que: 10+8+4+x=24 Y de ahí: x= 24-10-8-4=2

a) A= “los tres alumnos fuman”:

4635

9270

552420

23222324

23202122

!21!3!24!19!3

!22

3243

22

)A(p ===

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

b) B= “2 de los tres fuman ducados”. Ha de haber 2 de los 18 que fuman ducados y uno de los 6 que o no fuman o fuman celtas, es decir:

1012459

30361377

121445508

222324361718

23222324

261718

!21!3!24

6!16!2

!18

324

16

218

)B(p

=

==⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

⋅⋅

=

⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

33. Sea el suceso A= “entre cinco piezas elegidas al azar hay alguna defectuosa”, la probabilidad del suceso contrario (que no haya ninguna defectuosa) es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

58005

775

)A(p

Y la probabilidad de A es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−=−=

58005

775

1)A(p1)A(p

34.Sean los sucesos: A= “extraer bola negra” A1= “extraer una bola de la primera urna” A2= “extraer una bola de la segunda urna”. A3= “extraer una bola de la tercera urna”. Por el enunciado sabemos que:

a) Aplicando el Teorema de la probabilidad total tenemos: p(A)=p(A/A1)p(A1)+p(A/A2)p(A2)+p(A/A3)p(A3) que en nuestro caso da como resultado:

b) Por el Teorema de Bayes nos queda:

53)A/A(p

1)A/A(p74)A/A(p

31)A(p)A(P)A(p

3

2

1

321

=

=

=

===

10576

51

31

214

31

53

311

31

74)A(p =++=⋅+⋅+⋅=

7635

228105

1057631

31

53

311

31

74

311

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

332211

222

===⋅+⋅+⋅

⋅=

=++

=

35. Sean los sucesos: A= “el enfermo se cura” A1= “el enfermo ingresa con bronquitis”. A2= “el enfermo ingresa con neumonía” A3= “el enfermo ingresa con gripe” Sabemos del enunciado que: p(A1)= 0,5 p(A2)= 0,3 p(A3)= 0,2 p(A/A1)= 0,7 p(A/A2)= 0,8 p(A/A3)= 0,9 Aplicando el Teorema de Bayes:

36. Sean los sucesos: A= “tienen diarrea” A1= “tienen cólera” A2= “tienen intoxicación” A2= “no tienen nada serio” Sabemos que: p(A1)= 0,02 p(A2)= 0,005 p(A3)= 0,975 p(A/A1)= 0,99 p(A/A2)= 0,5 p(A/A3)=0,004

a) Por el Teorema de la probabilidad total:

b) Por el Teorema de Bayes:

37. Sean los sucesos: A= “el artículo es defectuoso” A1= “el artículo procede de la 1ª fábrica” A2= “el artículo procede de la 2ª fábrica”. Sabemos que: p(A1)= 0,7 p(A2)= 0,3 p(A/A1)= 0,004 p(A/A2)= 0,008

455,077,035,0

2,09,03,08,05,07,05,07,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

332211

111

==⋅+⋅+⋅

⋅=

=++

=

0262,0975,0004,0005,05,002,099,0)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p 332211

=⋅+⋅+⋅==++=

0756,00262,0

00198,0995,0004,0005,05,0002,099,0

002,099,0)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p

)A(p)A/A(p)A/A(p332211

111

==⋅+⋅+⋅

⋅=

=++

=

a) Por el Teorema de Bayes:

b) Por el Teorema de la probabilidad Total:

p(A)= 0,0052

ya que las operaciones a realizar en dicho Teorema coinciden con el denominador de la fórmula de Bayes anteriormente calculado. c) Sean los sucesos:

B= “entre los 5 artículos servidos por la fábrica A1 hay alguno defectuoso” Bi= “es defectuoso el objeto i” ( i varía de 1 a 5) Se cumple que: p(B1)=p(B2)=p(B3)=p(B4)=0,004

Y siendo estos 5 últimos sucesos independientes entre sí, se tiene que:

siendo entonces la probabilidad pedida:

38. Sean los sucesos: A= “el animal está enfermo” A1= “el animal es macho” A2= “el animal es hembra” Se sabe que: p(A1)= 1/3 p(A2)= 2/3 p(A/A1)= 0,1 p(A/A2)=0,18 a) Por el Teorema de la probabilidad Total:

462,00052,00024,0

3,0008,07,0004,03,0008,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

2211

222

==⋅+⋅

⋅=

=+

=

54321

54321

BBBBBB996,0)B(p)B(p)B(p)B(p)B(p

IIII=

=====

5521 996,0)B.......BB(p)B(p == III

99999,00000098,01996,01)B(p1)B(p 5 =−=−=−=

b) Por el Teorema de Bayes:

39. a) Observemos la siguiente tabla de contingencia:

no

repiten repiten total

alumnos 15 10 25 alumnas 25 5 30

estudiantes 40 15 55

Donde están señalados en negrita los datos no proporcionados por el enunciado pero que fácilmente se obtienen de él.

b) Sea el suceso A= “ser alumno un estudiante elegido al azar”. Será:

c) Sea el suceso B= “ser alumna y repetidora un estudiante elegido al azar”. Será:

d) Sea el suceso C= “ser no repetidores dos estudiantes elegidos al azar”. Tendremos:

40. Sean los sucesos: A= “aprobar matemáticas un alumno” B= “aprobar lengua” C= “aprobar matemáticas y lengua”

153,03218,0

311,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p 2211

=⋅+⋅=

=+=

218,0153,0033,0

3218,0

311,0

311,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

2211

111

==⋅+⋅

⋅=

=+

=

115

5525)A(p ==

111

555)B(p ==

9952

297156

29701560

54553940

25455

23940

!53!2!55!38!2

!40

255240

)C(p ===⋅⋅

=⋅

=

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

=

Se sabe que: p(A)= 0,6 p(B)= 0,5 p(C)=0,2

a) Sea D= “aprobar una de las dos”.

b) Sea E= “no aprobar ninguna de las dos”.

c) Sea F= “aprobar matemáticas y no lengua”.

donde hemos tenido en cuenta que el suceso del primer paréntesis es el suceso seguro (de probabilidad 1) y hemos aplicado la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión.

Como los dos sucesos obtenidos en el último miembro son incompatibles, tenemos:

9,02,05,06,0)BA(p)B(p)A(p)BA(p)D(p

=−+==−+== IU

1,09,01)D(p1)D(p)E(p =−=−==

( ) )BA()BA(BBAABAF

IUIUI

I

==

=

4,02,06,0)BA(p)A(p)BA(p)BA(p)BA(p)A(p

=−==−=⇒+= IIII