EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES · c) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años...

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EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados. 2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados. 3. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la primera y la “o” la última. 4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída? 5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída? 7. De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando la primera carta? ¿Y sin reintegrarla? 8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas. 9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar? 10. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber: a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra. 11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas. b) ¿Y de que sean un as, un dos y un tres? c) ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete? 12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras? 13. Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres? 14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar:
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EJERCICIOS DE CLCULO DE PROBABILIDADES

1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.

2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar

dos dados.

3. Se escriben a azar las cinco vocales. Cul es la probabilidad de que la e aparezca la primera y la o la ltima.

4. Cul es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que

contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extrada?

5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al

azar. Cul es la probabilidad de que sean del mismo color? 6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Cul es la probabilidad

de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extrada?

7. De una baraja espaola de 40 cartas Cul es la probabilidad de sacar

un caballo seguido de un tres, reintegrando la primera carta? Y sin reintegrarla?

8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. Cul es la

probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas.

9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 Cul es la probabilidad de que

sean un caballo y un tres, reintegrando? Y sin reintegrar? 10. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.

11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40:

a) Cul es la probabilidad de que sean tres sotas. b) Y de que sean un as, un dos y un tres? c) Y de que salga un rey, seguido de un cinco y ste de un siete?

12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis

blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. Cul es la probabilidad de que sean las dos negras?

13. Al lanzar dos veces un dado Cul es la probabilidad de que la suma de

puntos sea divisible por tres?

14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los nmeros posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada nmero. si se seala un nmero al azar:

a) Cul es la probabilidad de que sea mltiplo de 4? b) Y de que sea mltiplo de 3?

15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres sean rojas. b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde. c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color. d) La probabilidad de que todas sean de distinto color. e) La probabilidad de que todas sean del mismo color.

16. Se lanza un dado 6 veces. Cul es la probabilidad de que salga algn 1

en los 6 lanzamientos? 17. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3

blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. Qu probabilidad hay de que sean del mismo color?

18. En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al

50. Qu probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?

19. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2.

La probabilidad de acertar en dos disparos ser p1=0,04; p2=0,36; p3=0,12. Determinar qu respuesta el la correcta.

20. Cul es la probabilidad de torpedear un barco, si slo se pueden lanzar

tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %?.

21. Se considera el experimento aleatorio lanzar dos veces un dado. Cul

es la probabilidad de obtener nmero par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? Son dependientes o independientes estos sucesos? Por qu?.

22. A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan ingls y 50 francs. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber:

a) Cul la probabilidad de que se entiendan sin intrprete? b) Cul es la probabilidad de que se entiendan slo en francs? c) Cul es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma? d) Cul es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas?

22. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres nios sacan,

sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas?

23. Se lanza un dado n veces Cul es la probabilidad de sacar al menos

un 6 en los n lanzamientos?

25. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide:

a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces. b) La probabilidad de obtener dos caras.

26. Una pieza de artillera dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en

cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es 1/7. Cul es la probabilidad de alcanzar el objetivo en los 7 disparos?

27. La probabilidad de que un hombre viva ms de 25 aos es de 3/5, la de una mujer es de 2/3. Se pide:

a) La probabilidad de que ambos vivan ms de 25 aos. b) La probabilidad de que slo viva ms de 25 aos el hombre. c) La probabilidad de que slo viva ms de 25 aos la mujer. d) La probabilidad de que viva ms de 25 aos, al menos, uno de los dos.

28. Si de una baraja de 40 cartas se eligen 4 al azar, determinar:

a) La probabilidad de elegir dos reyes. b) La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo. c) La probabilidad de que todos los nmeros sean menores de siete.

29. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos:

A= obtener cruz en el primer lanzamiento. B= obtener alguna cara. C= obtener dos cruces. Se desea saber: a) Si A y B son incompatibles. b) Si A y B son independientes. c) Si A y C son incompatibles. d) Si A y C son independientes

30. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francs, 40 ingls, 51 castellano, 11 francs e ingls, 12 francs y castellano y 13 ingls y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber:

a) Cul es la probabilidad de que ninguno hable francs? b) Cul es la probabilidad de que hablen castellano? c) Cul es la probabilidad de que sen entiendan slo en castellano? d) Cul es la probabilidad de que slo hablen un idioma? e) Cul es la probabilidad de que hablen los tres idiomas?

31. Un dado est cargado de modo que al lanzarlo, la probabilidad de

obtener un nmero es proporcional a dicho nmero. Hallar la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un nmero par.

32. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados, 12 celtas y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:

a) Cul es la probabilidad de que los tres fumen?

b) Cul es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados.

32. Si de 800 piezas fabricadas por una mquina salieron 25 defectuosas y

se eligen 5 de aqullas al azar. Cul es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas?.

34. Se tiene tres urnas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber:

a) Si se extrae una bola de una urna, elegida al azar, cul es la probabilidad de que la bola extrada sea negra. b) Se ha extrado una bola negra de una de las urnas. Cul es la probabilidad de que haya sido extrada de la 2 urna?

35. En un hospital especializado en enfermedades de trax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumona y un 20 % con gripe. La probabilidad de curacin completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis. 36. Hay una epidemia de clera. Un sntoma muy importante es la diarrea, pero ese sntoma tambin se presenta en personas con intoxicacin, y, an, en personas que no tienen nada serio. La probabilidad de tener diarrea teniendo clera, intoxicacin y no teniendo nada serio es de 0,99; 0,5 y 0,004 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 2% de la poblacin tiene clera, el 0,5 % intoxicacin y el resto (97,5 %), nada serio. Se desea saber:

a) Elegido un individuo de la poblacin Qu probabilidad hay de que tenga diarrea? b) Se sabe que determinado individuo tiene diarrea Cul es la probabilidad de tenga clera?

37. La probabilidad de que un artculo provenga de una fbrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fbrica A1 produce un 4 por mil de artculos defectuosos y la A2 un 8 por mil.

a) Se observa un artculo y se ve que est defectuoso. Cul es la probabilidad de que provenga de la fbrica A2? b) Se pide un artculo a una de las dos fbricas, elegida al azar. Cul es la probabilidad de que est defectuoso? c) Se piden 5 artculos a la fbrica A1 Cul es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?

38. En una poblacin animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras estn enfermos. Se sabe adems que hay doble nmero de hembras que de machos y se pide:

a) Elegido al azar un individuo de esa poblacin Cul es la probabilidad de que est enfermo? b) Un individuo de esa poblacin se sabe que est enfermo Qu probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?

39. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:

a) Cuntos estudiantes hay en la clase? b) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumno? c) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso? d) Elegidos al azar dos estudiantes Cul es la probabilidad de que ninguno repita curso?

40. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:

a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b) La probabilidad de que no apruebe ninguna. c) La probabilidad de que se apruebe Matemticas y no Lengua.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE CLCULO DE PROBABILIDADES

1. El espacio muestral es:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 donde las casillas sombreadas son los casos favorables. La probabilidad pedida ser:

365p =

2. El espacio muestral es el mismo de antes, es decir:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Y la probabilidad pedida es:

365p =

3. Al escribir al azar las 5 vocales tenemos P5= 5! = 120 casos posibles. De entre ellos, si la e ha de aparecer la primera y la o la ltima, tenemos las otras 3 vocales que han de permutar en los tres lugares centrales, es decir, los casos favorables son P3= 3!=6.

La probabilidad pedida es:

201

1206p ==

4. Las 12 bolas negras pueden tomar de 2 en 2 de 66

21112

!10!2!12

212

=

=

=

maneras distintas (casos favorables). Mientras que las 27 bolas totales pueden

tomarse de 2 en 2 de 351

22627

!25!2!27

227

=

=

=

maneras distintas (casos posibles). La probabilidad pedida es, pues:

11722

35166p ==

5. Sean los sucesos:

A= Sacar las dos bolas blancas B= Sacar las dos bolas negras C=sacar las dos bolas del mismo color Segn la composicin de la urna se tiene que:

9533

380132

1911

2012)A(p ===

9514

38056

197

208)B(p ===

Como una bola no puede ser al mismo tiempo blanca y negra (los sucesos A y B son incompatibles), se tiene que:

9547

9514

9533)B(p)A(p)C(p =+=+=

6. Sean los sucesos:

A= ser negra la primera bola B= ser negra la segunda bola. Los sucesos A y B son independientes pues el hecho de que la primera bola sea negra no afecta al hecho de que lo sea la 2 (ya que la 1 se devuelve a la urna de nuevo), se tiene:

254

40064

208

208)B(p)A(p)BA(p ====I

7. Llamamos:

A= sacar un caballo B= sacar un tres Si reintegramos la primera carta, los sucesos son independientes y se tiene:

1001

101

101

404

404)BA(p ===I

Si no reintegramos la primera carta los sucesos son dependientes y se tiene: Llamando: C= sacar un caballo la 1 carta D= sacar un 3 la 2 carta

1952

156016

394

404)C/D(p)C(p)DC(p ====I

8. Sean los sucesos:

A= realizarse el suceso efectuando 4 pruebas A1= realizarse el suceso en la 1 prueba A2= realizarse el suceso en la 2 prueba A3= realizarse el suceso en la 3 prueba

A4= realizarse el suceso en la 4 prueba Se tiene que:

32)A(p)A(p)A(p)A(p

31)A(p)A(p)A(p)A(p

4321

4321

====

====

Adems se cumple que 4321 AAAAA III= siendo los cuatro sucesos ltimos independientes entre s, por tanto se tendr para el suceso complementario de A:

4

32

32

32

32

32)A(p

==

Y para el suceso A:

8165

81161

321)A(p1)A(p

4

==

==

9. (Este problema se diferencia del n 7 en que all haba que sacar primero el caballo y luego el 3, ahora hay que sacar caballo y 3 no importa en que orden).

Llamando a los sucesos: A= sirve la 1 carta (es caballo o tres) B= sirve la 2 carta (es caballo o tres) Reintegrando:

501

160032

408

404)A(p)A/B(p)BA(p ====I

Sin reintegrar:

1954

156032

408

394)A(p)A/B(p)BA(p ====I

10. Los casos posibles (en ambos casos) son las combinaciones de 15

elementos tomados de 3 en 3, es decir 455

6131415

!12!3!15

315

=

=

=

a) En este caso los casos favorables son las diferentes formar de tomar las 8 bolas blancas en grupos de 3, es decir:

566

678!5!3

!838

=

=

=

siendo la probabilidad pedida:

658

45556p ==

b) En este segundo caso los casos favorables son el producto de las diferentes maneras de tomar las 8 bolas blancas de dos en dos por las diferentes maneras de tomar las 5 bolas negras de uno en uno, es decir:

14052785

!6!2!8

15

28

=

=

=

y la probabilidad es:

134

9128

455140p ===

11. a) Como el ejercicio est planteado sin devolucin de las cartas extradas previamente, se tendr que, llamando A1, A2 y A3 respectivamente a los sucesos ser sota la primera, la segunda y la tercera, tenemos que:

24701

5928024

382

393

404)AAA(p 321 ===II

ya que tras haber extrado la primera sota, slo quedan tres y, tras haber extrado las dos primeras slo quedan 2. b) Llamemos: A= sirve la 1 carta (es un as un dos o un tres) B= sirve la 2 carta C= sirve la 3 carta. Se tiene:

384)C(p

398)B(p

4012)A(p

=

=

=

ya que para la 1 tenamos 12 casos favorables (4 ases, 4 doses y 4 treses) y 40 posibles. Para la segunda, si la primera ha servido, slo quedan 8 casos favorables y 39 posibles. Para la 3, si las dos primeras han servido, slo quedan 4 casos favorables y 38 posibles. Tenemos pues para la probabilidad pedida:

12358

59280384

384

398

4012)CBA(p ===II

c) En este caso sean:

A= sacar un rey en la 1 B= sacar un cinco en la 2 C= sacar un siete en la 3 Ser:

37054

74108

192

394

101)CBA(p

192

384)BA/C(p

394)A/B(p

101

404)A(p

===

==

=

==

II

I

12. Sean los sucesos:

A= sacar una bola negra de la 1 urna B= sacar una bola negra de la 2 urna

Se tiene que: 52

104)B(p

53)A(p ===

y, dado que los dos sucesos son independientes:

256

52

53)BA(p ==I

13. En la siguiente tabla de casos posibles aparecen sombreados los favorables (aquellos en los que la suma de puntos es divisible por 3)

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

La probabilidad pedida es, pues:

31

3612p ==

14. a) Sea A es suceso sealar un nmero de cifras no repetidas que sea mltiplo de 4

necesariamente ha de acabar en 12, 24, 32, 52. De todos ellos terminan en 12 los que resulten de tomar las 3 cifras restantes (3, 4 y 5) de una en una influyendo el orden y sin repeticin, esto es son V31. El mismo razonamiento es vlido para las otras tres posibles terminaciones, es decir, los casos favorables son 4V31, mientras que los casos posibles son V53, entonces tenemos que:

51

34534

!2!5

!2!34

VV4)A(p 35

13 =

=

==

b) Sea B es suceso sealar un nmero de cifras no repetidas que sea mltiplo de 3. Necesariamente uno de estos nmeros ha de estar formado por los nmeros de cualquiera de los 4 conjuntos siguientes: {1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} y {3, 4, 5} ya que son los nicos la suma de cuyas cifras es mltiplo de 3. Pero los nmeros de cada uno de los conjuntos anteriores se pueden poner en cualquier orden, es decir, de cada uno de esos conjuntos obtenemos P3 elementos. Los casos favorables sern pues 4P3 y los casos posibles son los mismos que en apartado a), luego tenemos:

52

23452234

!2!5

!34VP4)B(p 35

3 =

=

==

15. a) Sea A=extraer las tres bolas rojas, se tiene:

1027

4896336

161718678

!15!3!18!5!3

!8

31838

)A(p ==

=

=

=

b) Sea B=extraer dos bolas rojas y una verde:

347

48961008

216171823678

23161718

2678

!15!3!18

6!6!2

!8

318

16

28

)B(p ==

=

=

=

=

c) Sea C=extraer dos azules y una no azul:

687

4896504

2161718231434

23161718

21434

!15!3!18

14!2!2

!4

318

114

24

)C(p ==

=

=

=

=

d) Sea D=extraer todas de distinto color:

174

48961152

16171823648

23161718648

318

16

14

18

)D(p ==

=

=

=

e) Sean los sucesos:

R= extraer las tres rojas A= extraer las tres azules V= extraer las tres verdes. Se tiene que:

2045

31836

)V(p

2041

31834

)A(p

1027

31838

)R(p

=

=

=

=

=

=

Y por ser los sucesos R, A y V incompatibles dos a dos se tiene que la probabilidad pedida es:

515

20420

2045

2041

1027)VAR(p ==++=UU

16. Sea el suceso A=sacar algn 1 en 6 lanzamientos y sean A1, A2, A3, A4, A5, A6, los sucesos sacar un 1 en el primero (segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto) lanzamientos. Se tiene que:

65)A(p........................................)A(p)A(p

61)A(p)A(p)A(p)A(p)A(p)A(p

621

654321

====

======

Y como el suceso complementario de A (no sacar ningn 1 en los seis lanzamientos) es la interseccin de estos seis ltimos y stos son independientes, se tiene:

4665631031

46656156251

651)A(p

65)A(p

6

6

==

=

=

17. Sean los sucesos: A= sacar las dos bolas blancas B= sacar las dos bolas negras C= sacar las dos bolas rojas Se tiene que los tres sucesos son incompatibles dos a dos y sus probabilidades son:

10816

124

94)C(p

10815

125

93)B(p

1086

123

92)A(p

==

==

==

Siendo la probabilidad pedida:

10837

10816

10815

1086)CBA(p =++=UU

18. Sea el suceso A= sacar las 50 bolas en el orden 1, 2, 3, .....50. El nmero de casos posibles son todas las permutaciones de 50 y solamente una de ellas constituye el caso favorable luego:

!501

P1)A(p50

==

19. Sean los sucesos: A= acertar en dos disparos A1= acertar el primer disparo A2= acertar el segundo disparo Se tiene que:

21

21

21

AAA8,0)A(p)A(p2,0)A(p)A(p

I=

==

==

Y siendo estos dos ltimos sucesos independientes se tiene:

36,064,01)A(p64,08,08,0)A(p)A(p)AA(p)A(p 2121 ====== I 20. Sean los sucesos: A= Acertar en alguno de los tres lanzamientos

A1= acertar en el primer lanzamiento A2= acertar en el segundo lanzamiento A3= Acertar en el tercer lanzamiento. Se tiene que:

321

321

321

AAAA7,0)A(p)A(p)A(p3,0)A(p)A(p)A(p

II=

===

===

y siendo estos tres ltimos sucesos independientes se cumple que:

343,07,07,07,0)AAA(p)A(p 321 === II siendo entonces la probabilidad pedida:

657,0343,01)A(p1)A(p === 21. Sean los sucesos: A= sacar impar en el primer lanzamiento B= sacar par en el segundo lanzamiento La tabla del espacio muestral es (en ella se han sealado los casos favorables al suceso interseccin de A y B): 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Se tiene que:

21

2141

)A(p)BA(p)A/B(p

41

369)BA(p

21

3618)B(p)A(p

===

==

===

I

I

Que es la probabilidad pedida. Como adems:

21)B(p)A/B(p ==

Queda demostrado que los sucesos A y B son independientes. 22. Observemos el siguiente diagrama de Venn:

donde hemos llamado x al nmero de congresistas que son capaces de hablar al mismo tiempo francs e ingls:

habindose de cumplir que: (70-X)+X+(50-X)=80 Y de ah, resolviendo la ecuacin obtenemos que X=40 Es decir, 40 de los congresistas hablan tanto francs como ingls. 30 hablan slo ingls y 10 hablan slo francs.

a) Sea ahora el suceso A= los dos congresistas se entienden sin intrprete.

Se tiene que:

15815

6320600

798021030

!78!2!801030

280

110

130

)A(p ==

=

=

=

entonces:

158143

158151)A(p ==

b) Sea ahora el suceso: B= los dos congresistas se entienden slo en francs (ello supone que slo hablan francs o que pueden hablar ambos idiomas): tenemos que:

63289

6320890

27980

240102910

!78!2!80

4010!8!2!10

280

140

110

2802

10

)B(p

==

=

+

=

+=

+

=

c) Sean ahora los sucesos: C= los dos congresistas se entienden en un solo idioma C1= Se entienden slo en ingls. C2= Se entienden slo en francs. Se tiene que:

632327

63203270

27980

2403022930

!78!2!80

4030!28!2

!30

280

140

130

230

)C(p 1 ==

+

=

+=

+

=

Como el suceso C2 coincide con el suceso b) del apartado b) su probabilidad ya ha sido calculada all. Entonces se tiene para el suceso C:

7952

632416

63289

632327)C(p)C(p)CC(p)C(p 2121 ==+=+== U

d) Sea ahora el suceso:

D= los dos congresistas se entienden en los dos idiomas. Se tiene que:

15839

632156

79803940

!78!2!80!38!2

!40

280240

)D(p ==

=

=

=

23. Sean los sucesos: A= el primer nio saca las dos rojas. B= el segundo nio saca las dos negras habiendo sacado el 1 las dos rojas. C= el tercer nio saca las dos blancas habiendo sacado el 1 las dos rojas y el segundo las dos negras. D= el primer nio saca las dos rojas y el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas Se tiene:

961415

201849315

383

7715

697)D(p

383

38030

192056

!18!2!20!4!2

!6

22026

)C(p

7715

46290

2122910

!20!2!22!8!2!10

2222

10

)B(p

697

55256

232478

!22!2!24!6!2

!8

22428

)A(p

===

==

=

=

=

==

=

=

=

==

=

=

=

Ya que los sucesos A, B y C de esta forma definidos son independientes y D es la interseccin de los tres. 24. Sea el suceso: A= sacar al menos un 6 en los n lanzamientos Ai= sacar un seis en el i-simo lanzamiento (donde i vara entre 1 y n) Se tiene que:

ni1i61)A(p i =

entonces:

n21

i

A.....AAA65)A(p

III=

=

siendo estos n sucesos independientes. Se tiene pues que:

n

n

n21

651)A(p1)A(p

65)A(p.........)A(p)A(p)A(p

==

==

25. El espacio muestral tiene RV24=24=16 elementos que son: CCCC +CCC +CC+ +C++ CCC+ CC++ C++C ++C+ CC+C C+C+ ++CC +++C C+CC +C+C C+++ ++++ a) Sea A= obtener a lo sumo tres cruces (es decir, 0, 1, 2 3)

1615)A(p =

b) Sea B= obtener exactamente dos caras:

83

166)B(p ==

26. Sea el suceso A= alcanzar el objetivo en al menos uno de los siete disparos Ai=alcanzar el objetivo en el disparo i-simo (i vara de 1 a 7) Se tiene:

721

i

i

A........AAA

7i1i76)A(p

7i1i71)A(p

III=

=

=

siendo estos 7 sucesos independientes, por lo tanto:

823543543607

8235432799361

761)A(p1)A(p

76)A(p

7

7

==

==

=

27. Sean los sucesos: a) A= el hombre vive ms de 25 aos. B= la mujer vive ms de 25 aos. C= ambos viven ms de 25 aos. Se tiene que:

52

32

53)BA(p)C(p

32)B(p

53)A(p

===

=

=

I

b) D= slo el hombre vive ms de 25 aos.

51

31

53)BA(p)D(p === I

a) c) E= slo la mujer vive ms de 25 aos:

154

32

52)BA(p)E(p === I

d) F= que viva ms de 25 aos al menos uno de los dos

1513

156109

52

32

53)BA(p)B(p)A(p)BA(p)F(p =+=+=+== IU

28. a) Sea A= sacar 4 cartas de la baraja entre las que haya dos reyes y dos no reyes

=

440

236

24

)A(p

b) Sea B= sacar cuatro cartas de la baraja entre las que haya tres del mismo palo y uno no. Para un palo cualquiera dado, la probabilidad de obtener tres de ese palo de entre 4 cartas es:

=

440

130

310

p

Y la probabilidad pedida es:

==

440

130

310

4p4)B(p

a) c) Sea C= sacar cuatro cartas de la baraja y que todas ellas sean

menores que 7

=

4404

24

)C(p

29. a) Al lanzar tres monedas al aire obtenemos como posibles resultados las Variaciones con repeticin de 2 elementos tomados 3 a 3, esto es RV23=23=8. Estos son:

CCC C++ CC+ +C+ C+C ++C +CC +++

El suceso A est formado por los sucesos elementales:

A= {(+CC), (+C+), (++C), (+++)} El B por: B= {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C)} Y el C por: C= {(C++), (+C+), (++C)}

Como +++++= )}C(),C,(),CC{(BA I , A y B no son incompatibles.

b) Para ver si A y B son independientes hay que comprobar si p(B/A)=p(B), en caso de ser falsa la igualdad anterior no sern independientes. Veamos:

87)B(p

43

8483

)A(p)BA(p)A/B(p

=

===I

Luego A y B no son independientes.

c) Como { } ++++= )C(),C(CAI , A y C no son incompatibles. d) Calculemos:

83)C(p

21

42

8482

)A(p)CA(p)A/C(p

=

====I

y siendo distintos ambos resultados, los sucesos A y C no son independientes.

30. Observemos el siguiente diagrama de Venn:

donde los nmeros salen de: Llamando x a los que hablan las tres lenguas, tenemos que:

40 hablan ingls. 40 hablan francs 51 hablan castellano 11 hablan francs e ingls 12 hablan francs y castellano 13 hablan ingls y castellano 11-x hablan slo francs e ingls 13-x hablan slo ingls y castellano 12-x hablan slo francs y castellano 40-(11-x)-x-(13-x)=16+x hablan slo ingls 40-(11-x)-x-(12-x)=17+x hablan slo francs 51-(12-x)-x-(13-x)=26+x hablan slo castellano Se ha de verificar, pues la siguiente ecuacin: hablan slo ingls+hablan slo francs+hablan slo castellano+hablan slo ingls y castellano+hablan slo francs e ingls+ hablan slo francs y castellano+ hablan los tres idiomas = 100 16+x+17+x+26+x+13-x+11-x+12-x+x=100 y de ah se obtiene que hablan los tres idiomas: x=5 11-x=6 hablan slo francs e ingls 13-x=8 hablan slo ingls y castellano 12-x=7 hablan slo francs y castellano 16+x=21 hablan slo ingls 17+x=22 hablan slo francs 26+x=31 hablan slo castellano

a) A= ninguno habla francs. Hay 21+8+31=60 que no hablan francs, luego

=

2100

260

)A(p

b) B= los dos hablan castellano. Como hay 51 en esas condiciones:

=

2100

251

)B(p

c) C= los dos se entienden slo en castellano. Hay 31 que slo hablan castellano; 39 (31+8) que hablan castellano e ingls pero no francs; 38 (31+7) que hablan castellano y francs pero no ingls; 36 (31+5) que hablan castellano slo o los tres idiomas, por tanto:

+

+

+

=

2100

15

131

17

131

18

131

231

)C(p

d) D= los dos hablan un solo idioma. Hay 74 (21+22+31) que hablan un solo idioma, luego:

=

2100

274

)D(p

e) E= hablan los tres idiomas. Hay slo 5 que lo hacen, por tanto:

=

2100

25

)E(p

31. El hecho de que la probabilidad de obtener un determinado nmero en el dado sea proporcional a dicho nmero significa que (siendo i un nmero comprendido entre 1 y 6 ambos inclusive), se tiene: p(i)=ki como la probabilidad de que salga cualquier nmero del dado es 1 (suceso seguro), se tendr que: p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1 k+2k+3k+4k+5k+6k=1 21k=1 k=1/21 entonces, llamando A sal suceso sacar un nmero par, este suceso es la unin de los tres sucesos incompatibles sacar 2, sacar 4 sacar 6, es decir:

2112

216

214

212)6(p)4(p)2(p)A(p =++=++=

32. Observemos el siguiente diagrama: donde x representa al nmero de alumnos que no fuman ni celtas ni ducados. Como hay 24 alumnos en total, se tiene que: 10+8+4+x=24 Y de ah: x= 24-10-8-4=2

a) A= los tres alumnos fuman:

4635

9270

552420

23222324

23202122

!21!3!24!19!3

!22

3243

22

)A(p ===

=

=

=

b) B= 2 de los tres fuman ducados. Ha de haber 2 de los 18 que fuman ducados y uno de los 6 que o no fuman o fuman celtas, es decir:

1012459

30361377

121445508

222324361718

23222324

261718

!21!3!24

6!16!2

!18

324

16

218

)B(p

=

==

=

=

=

=

33. Sea el suceso A= entre cinco piezas elegidas al azar hay alguna defectuosa, la probabilidad del suceso contrario (que no haya ninguna defectuosa) es:

=

58005

775

)A(p

Y la probabilidad de A es:

==

58005

775

1)A(p1)A(p

34.Sean los sucesos: A= extraer bola negra A1= extraer una bola de la primera urna A2= extraer una bola de la segunda urna. A3= extraer una bola de la tercera urna. Por el enunciado sabemos que:

a) Aplicando el Teorema de la probabilidad total tenemos: p(A)=p(A/A1)p(A1)+p(A/A2)p(A2)+p(A/A3)p(A3) que en nuestro caso da como resultado:

b) Por el Teorema de Bayes nos queda:

53)A/A(p

1)A/A(p74)A/A(p

31)A(p)A(P)A(p

3

2

1

321

=

=

=

===

10576

51

31

214

31

53

311

31

74)A(p =++=++=

7635

228105

1057631

31

53

311

31

74

311

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

332211

222

===++

=

=++

=

35. Sean los sucesos: A= el enfermo se cura A1= el enfermo ingresa con bronquitis. A2= el enfermo ingresa con neumona A3= el enfermo ingresa con gripe Sabemos del enunciado que: p(A1)= 0,5 p(A2)= 0,3 p(A3)= 0,2 p(A/A1)= 0,7 p(A/A2)= 0,8 p(A/A3)= 0,9 Aplicando el Teorema de Bayes:

36. Sean los sucesos: A= tienen diarrea A1= tienen clera A2= tienen intoxicacin A2= no tienen nada serio Sabemos que: p(A1)= 0,02 p(A2)= 0,005 p(A3)= 0,975 p(A/A1)= 0,99 p(A/A2)= 0,5 p(A/A3)=0,004

a) Por el Teorema de la probabilidad total:

b) Por el Teorema de Bayes:

37. Sean los sucesos: A= el artculo es defectuoso A1= el artculo procede de la 1 fbrica A2= el artculo procede de la 2 fbrica. Sabemos que: p(A1)= 0,7 p(A2)= 0,3 p(A/A1)= 0,004 p(A/A2)= 0,008

455,077,035,0

2,09,03,08,05,07,05,07,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

332211

111

==++

=

=++

=

0262,0975,0004,0005,05,002,099,0)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p 332211

=++==++=

0756,00262,0

00198,0995,0004,0005,05,0002,099,0

002,099,0)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p

)A(p)A/A(p)A/A(p332211

111

==++

=

=++

=

a) Por el Teorema de Bayes:

b) Por el Teorema de la probabilidad Total:

p(A)= 0,0052

ya que las operaciones a realizar en dicho Teorema coinciden con el denominador de la frmula de Bayes anteriormente calculado. c) Sean los sucesos:

B= entre los 5 artculos servidos por la fbrica A1 hay alguno defectuoso Bi= es defectuoso el objeto i ( i vara de 1 a 5) Se cumple que: p(B1)=p(B2)=p(B3)=p(B4)=0,004

Y siendo estos 5 ltimos sucesos independientes entre s, se tiene que:

siendo entonces la probabilidad pedida:

38. Sean los sucesos: A= el animal est enfermo A1= el animal es macho A2= el animal es hembra Se sabe que: p(A1)= 1/3 p(A2)= 2/3 p(A/A1)= 0,1 p(A/A2)=0,18 a) Por el Teorema de la probabilidad Total:

462,00052,00024,0

3,0008,07,0004,03,0008,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

2211

222

==+

=

=+

=

54321

54321

BBBBBB996,0)B(p)B(p)B(p)B(p)B(p

IIII=

=====

5521 996,0)B.......BB(p)B(p == III

99999,00000098,01996,01)B(p1)B(p 5 ====

b) Por el Teorema de Bayes:

39. a) Observemos la siguiente tabla de contingencia:

no

repiten repiten total

alumnos 15 10 25 alumnas 25 5 30

estudiantes 40 15 55

Donde estn sealados en negrita los datos no proporcionados por el enunciado pero que fcilmente se obtienen de l.

b) Sea el suceso A= ser alumno un estudiante elegido al azar. Ser:

c) Sea el suceso B= ser alumna y repetidora un estudiante elegido al azar. Ser:

d) Sea el suceso C= ser no repetidores dos estudiantes elegidos al azar. Tendremos:

40. Sean los sucesos: A= aprobar matemticas un alumno B= aprobar lengua C= aprobar matemticas y lengua

153,03218,0

311,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p 2211

=+=

=+=

218,0153,0033,0

3218,0

311,0

311,0

)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A(p)A/A(p)A/A(p

2211

111

==+

=

=+

=

115

5525)A(p ==

111

555)B(p ==

9952

297156

29701560

54553940

25455

23940

!53!2!55!38!2

!40

255240

)C(p ===

=

=

=

=

Se sabe que: p(A)= 0,6 p(B)= 0,5 p(C)=0,2

a) Sea D= aprobar una de las dos.

b) Sea E= no aprobar ninguna de las dos.

c) Sea F= aprobar matemticas y no lengua.

donde hemos tenido en cuenta que el suceso del primer parntesis es el suceso seguro (de probabilidad 1) y hemos aplicado la propiedad distributiva de la interseccin respecto de la unin.

Como los dos sucesos obtenidos en el ltimo miembro son incompatibles, tenemos:

9,02,05,06,0)BA(p)B(p)A(p)BA(p)D(p

=+==+== IU

1,09,01)D(p1)D(p)E(p ====

( ) )BA()BA(BBAABAF

IUIUI

I

==

=

4,02,06,0)BA(p)A(p)BA(p)BA(p)BA(p)A(p

====+= IIII