Ejercicios Cs. Materiales
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Estructuras cristalinas de los sólidos (F.E.A.) 1.- Demostrar que el factor de empaquetamiento atómico para BCC es 0.68. R: El Factor de empaquetamiento atómico es la relación entre el volumen ocupado por los átomos y el volumen de la celda, una celda unitaria BCC (cubica centrada en el cuerpo), y se muestra a continuación: En la figura a es la longitud de la aristas del cubo, por lo que el Volumen del cubo será a 3 . Tomando en cuenta que el radio del átomo es r, la ecuación para el FEA (Factor de Empaquetamiento Atómico), será la siguiente: a a a
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Estructuras cristalinas de los sólidos (F.E.A.)
1.- Demostrar que el factor de empaquetamiento atómico para BCC es 0.68.
R:El Factor de empaquetamiento atómico es la relación entre el volumen
ocupado por los átomos y el volumen de la celda, una celda unitaria BCC (cubica
centrada en el cuerpo), y se muestra a continuación:
En la figura a es la longitud de la aristas del cubo, por lo que el Volumen del
cubo será a3. Tomando en cuenta que el radio del átomo es r, la ecuación para el FEA
(Factor de Empaquetamiento Atómico), será la siguiente:
FEA = Vol. Átomos en el cubo / Vol. de la celda (a3)
Para determinar el volumen de átomos dentro del cubo se debe tomar en
cuenta que los átomos de las esquinas esta compartido por otras ocho celdas y que el
átomo central es único para la unidad, por lo que:
Cantidad de átomos dentro del cubo = 8 . 1/8 + 1 = 2
Volumen de átomos dentro del átomo = 2 . (4/3) π . r3 = 8/3. π . r3
a
a
a
Si se observa una de las caras de la celda, aplicando trigonometría se puede
deducir lo siguiente:
A continuación se debe relacionar la longitud de las aristas con el radio del
átomo:
De la figura anterior se deduce que:
C2 = 2 a2 + a2 = (4 r)2
3 a2 = 16 r2
a = (4 / Ѵ3) r
a
a
a
a
a
a
El volumen de la celda será:
Volumen celda = a3 = [(4 / Ѵ3) r]3
Volumen celda = (64 / 3Ѵ3) r3
El factor de empaquetamiento atómico será:
FEA=Volumende átomosen la celda
Volumende la celda=
2 .43
. π .r3
643√3
.r3=0,68
2. El molibdeno tiene una estructura cristalina BCC, un radio atómico de 0.1363
nm un peso atómico de 95.94 g/mol. Calcular la densidad
R:
La densidad de un elemento relacionada con el volumen de su celda es
el siguiente:
densidad= n x AVc x N A
Donde, n es el número átomos en la celda (2 para la BCC), A es el peso
atómico (95,94 gr/mol), Vc es el volumen de la celda y NA es el número de Avogrado
6,023x1023. El volumen de la celda es la siguiente, donde r es el radio átomico:
V c=( 4√3
r )3
=( 4√3
1,363 x10−8)3
=3,12x 10−23cc
Entonces la densidad nos quedara:
densidad= 2 x95,94
3,12 x1 0−23 x 6,023 x1 023=10,21 g /cc
3.- Se adjuntan el peso atómico, la densidad y el radio atómico de tres hipotéticas
aleaciones. Determinar para cada una si su estructura cristalina es FCC, BCC o
cúbica simple y justificarlo. Una celdilla unidad cúbica simple se muestra en la
figura:
Aleación Peso Atómico (g/mol) Densidad (g/cm³) Radio Atómico (nm)A 43.1 6.4 0.122B 184.4 12.3 0.146C 91.6 9.6 0.137
Para determinar el tipo de estructura se revisará el FEA obtenido para cada
aleación
Aleación A:
1. Caso BCC: Calcularemos la densidad del elemento y lo compararemos con el
resultado dado:
densidad= masavolumen
=2 x
PAN Avogrado
( 4 r√3 )
3 =2 x
43,1
6,023 x1 023
( 4 x 1 ,22 x1 0−8
√3 )3=6,40 g /cc
Que es igual al valor suministrado en la tabla por lo tanto la estructura es BCC.
Aleación B:
1. Caso BCC: Calcularemos la densidad del elemento y lo compararemos con el
resultado dado:
densidad= masavolumen
=2 x
PAN Avogrado
( 4 r√3 )
3 =2 x
184,4
6,023 x1023
( 4 x 1,46 x10−8
√3 )3=15,97 g /cc
No es igual al valor suministrado en la tabla por lo tanto la estructura No es BCC.
2. Caso FCC: Calcularemos la densidad del elemento y lo compararemos con el
resultado dado:
densidad= masavolumen
=4 x
PAN Avogrado
( 4 r√2 )
3 =4 x
184,4
6,023 x1 023
( 4 x 1,46 x1 0−8
√2 )3=17,39 g /cc
No es igual al valor suministrado en la tabla por lo tanto la estructura No es FCC.
3. Caso Cubica Simple: Calcularemos la densidad del elemento y lo
compararemos con el resultado dado:
densidad= masavolumen
=1 x
PAN Avogrado
(2 r )3=
1 x184,4
6,023 x 1023
(2 x 1,46 x1 0−8 )3=12,3 0 g/cc
No es igual al valor suministrado en la tabla por lo tanto la estructura Si es
Cubica Simple.
Aleación C:
1. Caso BCC: Calcularemos la densidad del elemento y lo compararemos con el
resultado dado:
densidad= masavolumen
=2 x
PAN Avogrado
( 4 r√3 )
3 =2x
91,6
6,023 x1023
( 4 x 1,37 x10−8
√3 )3=9,60g /cc
Como el valor de la densidad es igual al dado por la tabla entonces la
estructura es BCC
4.- El titanio tiene una celdilla unidad HC y la relación de parámetros de red c/a
es 1.58. Si el radio del átomo de Ti es 0.1445 nm, determinar el volumen de la
celdilla unidad y calcular la densidad del Ti.
R:La densidad de un elemento relacionada con el volumen de su celda es el
siguiente:
densidad= n x AVc x N A
Donde, n es el número átomos en la celda, A es el peso atómico (47,867
gr/mol), Vc es el volumen de la celda y NA es el número de Avogrado 6,023x1023.
Para la celda hc se asocian 6 átomos, el volumen de la celda es la siguiente:
Volumen=3√32
a2 . c
ca=1,58 → c=1,58 a
Volumen=3√32
a2 . 1,58 a=4,105 a3
a=2 .r (radio átomico)
Volumen=4,105 .¿
Volumen=32,84 .(1.445 x1 0−8)3=9,908 x 1 0−23 cc
La densidad será la siguiente:
densidad= 6 x 47,867
9,908 x1 0−23 x6,023 x 1023A
=4,81 g /cc
