EJERCICIOS CAP 1

Problema 1

Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y opuestas existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón con una velocidadde v0=2 ·107 m/s en una dirección formando 5º por debajo del eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos, tal como se indica en la figura. La intensidad del campo eléctrico es de 20000 N/C y está dirigido hacia abajo.

¿Cuánto se habrá desviado el electrón en sentido vertical a la salida de las placas del condensador,x=4 cm?. ¿Cuál es su vector velocidad?

¿A qué distancia por encima del eje choca con la pantalla fluorescente, distante 12 cm del condensador?

Datos: carga del electrón q=1.6·10-19C, masa m=9.1·10-31 kg

Solución

Ecuaciones del movimiento entre las placas del condensador:

{ax=0ay=qEm=1.6⋅10−19⋅2⋅1049.1⋅10−31 {vx=2⋅107⋅cos5vy=−2⋅107sin5+ayt {x=2⋅107⋅cos5⋅ty=−2⋅107sin5⋅t+12ayt2

A la salida de las placas, x=0.04, entonces t=2.0·10-9 s, se calcula la desviación y0=0.0036 m

El movimiento fuera de las placas es rectilíneo y uniforme

t=2.0⋅10−9s{vx=1.992⋅107 vy=0.532⋅107  {x=vxty=y0+vyt

Para x=0.12 se obtiene y=0.0356 mO bien, geométricamente.

d=y0+0.12⋅tanθ=y0+0.12vyvx=0.0356 m 

Problema 2

Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, entra en una región donde hay un campo eléctrico producido por las placas de un condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se le aplicauna diferencia de potencial de 100 V. Calcular

La velocidad inicial del electrón antes de entrar en dicha región.

El punto de impacto o la desviación del electrón a la salida de las placas.

Ahora, aplicamos un campo magnético perpendicular al plano. Determinar la intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del campo magnético para que el electrón no se desvíe.

Datos: carga del electrón 1.6 10-19 C, masa 9.1 10-31 kg

Solución

Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial de 300 V

q(V'−V)=12mv2−12mv201.6⋅10−19⋅300=129.1⋅10−31v2  v=10.27⋅106 m/s  Movimiento del electrón entre las placas del condensador

El electrón experimenta una fuerza vertical a lo largo del eje Y, F=qE, Donde E es el campo eléctrico constante entre las placas y V’-V=E·d es la diferencia de potencial

E=V'−Vd  E=1000.04=2500 N/C 

Las ecuaciones del movimiento son:

{ax=0ay=qEm  {vx=vvy=ayt  {x=v⋅ty=12ayt2

Desviación a la salida de las placas, x=0.4, y=0.333 m>0.02. El electrón choca antes con las placas.

Para y=0.02, x=0.098=9.8 cm

Para que el electrón no se desvíe el campo magnético deberá ser perpendicular al plano del papel y hacia dentro tal como se muestra en eldibujo.

Fuerza magnética, Fm=qv×B, módulo, Fm=qvBsin90=qvB

Fuerza eléctrica, Fe=qE, módulo, Fe=qE

El electrón se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante si ambas fuerzas son iguales y opuestas,Fm=Fe

B=E/v=2.43·10-4 T

Si se suprime el campo eléctrico, el electrón describe una trayectoria circular de radio r, bajo la acción del campo magnético.

Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man

qvB=mv2r  r=mvqB  r=9.1⋅10−31⋅10.27⋅1061.6⋅10−19⋅2.43⋅10−4=0.24 m 

El electrón describe un arco de circunferencia hasta que impacta en la placa inferior del condensador a una distancia x del origen.

r=0.02+r·cosθ

x=r·sinθ=0.096 m

Problema 3

Un haz de electrones acelerados por una diferencia de potencial de 300 V, se introduce en una región donde existe un campo magnético uniforme dirigido desde el plano del papel hacia el lector, la anchura de la región es de 2.5 cm. Si no hubiese campo magnético, el haz de electrones produciría una mancha en el punto F de la pantalla fluorescente situada a5 cm del borde de dicha región. Cuando se conecta un campomagnético de 1.46·10-3 T.

Dibujar el arco de circunferencia que describe el electrón y calcular su radio. Determinar la desviación del haz en la pantalla.

Datos del electrón, m=9.1·10-31 kg, q=1.6·10-19 C

Solución

Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial de 300 V

q(V'−V)=12mv2−12mv201.6⋅10−19⋅300=129.1⋅10−31v2  v=10.27⋅106 m/s 

El electrón describe un arco de circunferencia de radio r bajo la acción del campo magnético.

Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man

qvB=mv2r  r=mvqB  r=0.04 m 

Desviación total

d=(r-r·cosθ)+0.05·tanθ=0.0488 m

donde, sinθ=0.025/r

Problema 4

Por una espira rectangular de la de lados 6 y 8 cm circula una corriente de 10 A en el sentido indicado en la figura. Está en el seno de un campo magnético uniforme B=0.2 T dirigido a lo largo del eje Y tal como se muestra en las figuras. La espira está orientada de modo que el ángulo θ=60º.

Calcular la fuerza sobre cada lado de la espira dibujando su dirección y sentido.

El momento de dichas fuerzas (módulo, dirección y sentido) respecto del eje de rotación Z

Solución

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)L

Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno de los lados de la espira rectangular.

F1=10(1·0.2·sin150)·0.08=0.08 N

F2=10(1·0.2·sin30)·0.08=0.08 N

F3=10(1·0.2·sin90)·0.06=0.12 N

F4=10(1·0.2·sin90)·0.06=0.12 N

Momento de las fuerzas F3 y F4 respecto del eje de rotación Z

Módulo; M=F4·d, , donde el brazo d=0.08·sin60

Dirección, eje Z

Sentido, positivo

M=0.00483√ kˆ N  ⋅mProblema 5

Una espira rectangular por las que circula una corriente de 5 A, de dimensiones 10 y 15 cm está en una región en la que hay un campo magnético uniforme B=0.02 T a lo largo del eje Z, la espira forma un ángulo de 30º con el plano XY tal como se indica en la figura

Dibujar las fuerza sobre cada uno de los lados de la espira, calcular su módulo

Hallar el momento (módulo, dirección y sentido) de las fuerzas respecto del eje de rotación.

Solución

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)L

Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno de los lados de la espira rectangular.

F1=5(1·0.02·sin90)·0.1=0.01 N

F2=5(1·0.02·sin120)·0.15=0.013 N

F3=5(1·0.02·sin90)·0.1=0.01 N

F4=5(1·0.02·sin60)·0.15=0.013 N

Momento de las fuerzas F3 y F4 respecto del eje de rotación

Módulo; M=F1·d+F3·d, donde el brazo d=0.075·sin30

Dirección, eje X

Sentido, negativo

M=−0.00075 iˆ N  ⋅m

Problema 6

Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el plano XY tal como se muestra en la figura. Se aplica un campo magnético paralelo al eje Z, que varía a lo largo del eje X de la forma B=0.1·y T (donde y se expresa en metros).

La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre cada uno de los lados de la espira

Solución

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)L Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno

de los lados de la espira rectangular.

Lado AB, B=0, FAB=0

Lado CD, y=0.1, B=0.1·0.1=0.01, FCD=10(1·0.01·sin90)·0.1=0.01 N

En el lado BC y DA las fuerzas son iguales y de sentido contrario. Comoel campo magnético B no es constante hay que calcular la fuerza sobre un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el lado BC integrando.

dF=10(1·0.1y·sin90) dy=y·dy

FBC=∫00.1y⋅dy=0.005 N 

Problema 7

Una corriente rectilínea está cerca de una espira rectangular, tal como se muestra en la figura. Calcular.

La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente rectilínea sobre los lados AB, BC, CD y DA de la espira cuando está a unadistancia de10 cm.

Solución

Campo magnético producido por una corriente rectilínea en un punto que dista y

Módulo, B=μ0i2πy

Dirección, perpendicular al plano del papel, eje Z

Sentido, hacia dentro, negativo

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)L

Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno de los lados de la espira rectangular.

Lado AB, y=0.1,FAB=3(1⋅4π⋅10−7⋅22π⋅0.1sin90)0.04=4.8⋅10−7 N Lado CD, y=0.18, FCD=3(1⋅4π⋅10−7⋅22π⋅0.18sin90)0.04=2.67⋅10−7 N 

En el lado BC y DA las fuerzas son iguales y de sentido contrario. Comoel campo magnético B no es constante hay que calcular la fuerza sobre un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el lado BC integrando.

dF=3(1⋅4π⋅10−7⋅22π⋅xsin90)dx=12⋅10−7dxxFBC=∫0.10.1812⋅10−7dxx=12⋅10−7ln(0.180.1)=7.05⋅10−7 N 

Problema 8

Por una espira rectangular de lados 5cm y 2 cm circula una corriente de 10 A de intensidad en el sentido indicado por la figura. Calcular:

La fuerza (módulo, dirección y sentido) que ejerce un campo magnético, paralelo al eje Z y de 0.2 T de intensidad, sobre cada uno de los lados de la espira.

El centro de masa de la espira, sabiendo que la densidad lineal del hilo conductor es 5 g/cm, y el peso es debido únicamente a los tres lados AC, CD, DB.

El ángulo θ de equilibrio

Solución

Posición del centro de masa

xcm=25⋅2.5+25⋅2.5+10⋅525+25+10=2.92 cm 

Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente rectilínea

Fm=i(uˆt×B)L Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno

de los lados de la espira rectangular.

Las fuerzas sobre los lados verticales AD y CD son iguales y de sentido contrario.

La fuerza sobre el lado CD es laque equilibra la espira

FCD=10(1·0.2·sin90)·0.02=0.04 N

Equilibrio

Para calcular el ángulo θ de equilibrio, hemos de igualar el momento de la fuerza magnética FCD al momento del peso mg=0.06·9.8.

FCD·d1=mg·d2, d1=0.05·cosθ, d2=xcm·sinθ, son los brazos de dichas fuerzas

tanθ=0.04⋅0.050.06⋅9.8xcm  θ=6.65º