PRACTICA DIRIGIDA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO

TEMA: Edades PROFESOR: Lic. Marco Antonio Vega Mucha

El enigma de la edad de Diofanto

La introducción de símbolos y abreviaturas para designar la variable y las operaciones que hay que efectuar para resolver ecuaciones es obra de Diofanto, de allí que a su Álgebra se le ha llamado “Álgebra sincopada” que antecede al Álgebra simbólica actual.

Muchos autores consideran a Diofanto como el padre del Álgebra moderna.

Un problema, atribuido a Hypatia de Alejandría, cuenta que en la lapida de su tumba había una inscripción que explicaba, en forma de problema, la edad que tenía el sabio cuando murió:

Esta tumba contiene a Diofanto.¡Oh gran maravilla!

Y la tumba dice con arte la medida de su vida.Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas

tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo,

y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero, ¡ay! Niño tardío y desgraciado,

en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena cuatro años con esta ciencia del cálculo llegó al término de

su vida”

¿Cuántos años había vivido Diofanto cuando le llego la muerte?

Solución del problema:

Si llamamos “x” a la edad a la que murió Diofanto, entonces traduciendo el acertijo al lenguaje algebraico tenemos:

Por lo tanto, si es históricamente cierto, Diofanto vivió 84 años. Además podemos deducir que fue niño hasta los 14 años, le salió barba a los 21, se casó a los 33 y tuvo un hijo a los 38, el cual murió cuando su padre tenía 80 años. Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO” 2 ESPECIALISTAS EN APTITUD ACADÉMICA

Grupo de Estudios “Vega Carreño” Av. Lima Norte Nº 184 – Chosica –

EDADES

En este capitulo evaluaremos problemas donde los protagonistas son las edades de uno o mas sujetos.

De acuerdo al número de sujetos pode- mos distinguir dos tipos de problemas:

I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO.

Si la edad actual de un sujeto es x años, entonces dentro de “n” años y hace “m” años, su edad se expresara así: m n

Hace “m” años ahora Dentro de “n” años (Pasado) (Presente) (Futuro)

Ejemplos:

1. Hace 2 años tenia la quinta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tenia hace 3 años?

2. “Tres veces la edad que tendré dentro de tres años, menos tres veces la edad que tenia hace tres años, resulta mi edad actual”. ¿Cuántos años faltan para cumplir 25 años?

II. CUANDO INTERVIENEN LAS EDADES DE DOS O MAS SUJETOS.

Para resolver estos tipos de problemas es recomendable utilizar un cuadro de doble entrada con el propósito de ordenar y relacionar convenientemente los datos.

TIEMPOS

Pasado Presente

futuro

A

B

C

CONDICIONES

Ejemplo:

3. Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años la edad del padre era el triple de la edad del hijo?

¡Veamos una observación muy importante!

Asumiendo que las edades de tres perso- nas en el pasado, presente y futuro, sean

4 años 7 años

Pasado

Presente

futuro

yo 17tu 15el 10

Del cuadro se observa que:

1. La diferencia de las edades de dos personas es constante en cualquier tiempo.Diferencia en Diferencia en Diferencia en el pasado el presente el futuro.................... = ..................... = ......................

2. La suma en aspa (de valores ubicados simétricamente) nos da un mismo resultado- ……………………………………………………- ……………………………………………………- ……………………………………………………

Ejemplo:

4. Maria tiene 30 años, su edad es el quíntuplo de la edad que tenía Ana, cuando Maria tenía la tercera parte de la edad actual de Ana. ¿Cuál es la edad actual de Ana?

¡Otra observación importante!

Para toda persona la relación de su edad, su año de nacimiento y el año actual es el siguiente:

* Si la persona ya cumplió años:

* Si la persona aun no cumple años:

Ejemplos:

5. Flor tenía en 1999 tantos años como el doble del número formado por las dos ultimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la edad actual de flor?

6. El 27 de Octubre de 1981, sucedió que la suma de las edades mas los años de nacimiento de Eduardo, Pepe y Víctor fue 5941. Si Eduardo nació en Abril, Pepe en noviembre y Víctor el 31 de cierto mes; ¿en que mes nació?

Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO” 3 ESPECIALISTAS EN APTITUD ACADEMICA PROBLEMAS

EDADES

SUJETOS

Edad = año actual - año de nacimiento

Edad = año actual - año de nacimiento - 1

1. Si al doble de la edad que tendré dentro de 2 años, le resto el doble de la edad que tenia hace 2 años, se obtiene la edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de 2 años?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14

2. Hace 4 años la edad de Ana era el cuádruplo de la edad de Juan; pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales.

a) 90 b) 98 c) 96 d) 94 e) 92

3. Cuando nació el primer hijo de Carmen, la edad de ella y la de su esposo estaban en la relación de 7 a 9. Cuando su hijo cumplió 9 años la edad de Carmen y la de su esposo estaban en la relación de 5 a 6. Si Carmen se caso 3 años antes de nacer su primer hijo. ¿Cuántos años tenia en ese entonces?

a) 17 b) 18 c) 16 d) 19 e) 20

4. Un padre pensó al ver a su hijo recién nacido y dijo: “Cuando tenga la mitad de mi edad yo tendré el triple de su edad; pero cuando el tenga mi edad, yo tendré el doble de la suya”. Si dentro de 30 años la suma de sus edades será 84 años; ¿qué edad tiene el padre actualmente?

a) 22 b) 20 c) 18 d) 36 e) 24

5. En 1990, la edad de Alex era cuatro veces la edad de Beto y en 1998 la edad de Alex fue el doble de la edad de Beto. Halle la edad que tuvo Beto en el 2005.

a) 16 años b) 17 años c) 18 años d) 19 años e) 20 años

6. Hace “p+q+r” años tenia “3p – 2q” años.

¿Qué edad tendré dentro de “5r+q” años?

a) 6r+4p b) 6p+4r c) 2p – 2q+2d) 2p – 2q+4r e) 6r+p

7. Marco nació en el año 19ab y en 1950 tuvo “a+b” años. ¿En que año tendrá “2a+3b” años?

a) 1960 b) 1962 c) 1965 d) 1961 e) 1964

8. Cierto día del mes de mayo del año 2000 a 10 personas se les pidió que sumasen las edades que tenían a los años en que nacieron y obtuvieron como resultado 19994. ¿Cuántas personas aun no habían cumplido años hasta ese entonces?

a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

9. Hace 5 años nuestras edades estaban en la relación de 5 a 3, y dentro de 25 años, tu edad será a la mía como 5 es a 7. ¿Cuántos años tengo?

a) 40 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

10. Jesús tiene 24 años y su edad es el séxtuplo de la edad que tenia Flor cuando el tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. ¿Qué edad tiene Flor?

a) 12 b) 16 c) 14 d) 21 e) 28

11. “Yo tengo tres veces la edad que tu tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años”. ¿Cuáles son nuestras edades?

a) 10 y 8 b) 12 y 8 c) 15 y 8 d) 15 y 10 e) 20 y 14

12. Hace x2 años tenia 11 años y dentro de 3x2 años tendré 47 años. Si “E” es mi edad, ¿cuántas veces mas es respecto a 10?

a) dos veces b) tres veces c) 4 veces d) una vez e) 5 veces

13. La suma de las edades de una pareja de esposos cuando nació su primer hijo era la tercera parte de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 35 años. ¿Qué edad tenia este cuando las edades de los tres sumaban 89 años?

a) 18 b) 23 c) 26 d) 28 e) 32

14. Una señora tuvo a los 24 años dos hijos mellizos. En el año en que la suma de las edades de los tres era 78, se caso un mellizo y tuvo su primer descendiente 2 años después. ¿Cuántos años tenía la madre de los mellizos cuando el hijo del que se casó cumplió 12 años?

a) 52 b) 56 c) 62 d) 68 e) 60

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO”

15. El tiene la edad que ella tenía, cuando el tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años mas que el, ¿cuántos años tiene ella?

a) 32 b) 36 c) 48 d) 52 e) 54

16. Charo es hija de Ángela y Luciana es hija de Charo. Cuando Luciana nació, la edad de Ángela era exactamente el doble de la edad de Charo. Hoy durante la reunión del décimo cumpleaños de Luciana, Ángela dice tener 45 años y Charo dice tener 27 años. Si la suma de las edades de Ángela, Charo y Luciana es 90 años. ¿Cuántos años ocultan cada una de las señoras?

a) A = 5 y Ch = 5 b) A = 5 y Ch = 3 c) A = 4 y Ch = 4 d) A = 4 y Ch = 3 e) A = 3 y Ch = 4

17. Dentro de “2a” años tendré 3 veces mas de los años que tuve hace “a” años. Si los años que tuve, tengo y tendré suman 84 años, ¿qué edad tengo?

a) 42 años b) 24 años c) 40 años d) 36 años e) 12 años

18. Mary tuvo en 1988 tantos años como el producto de las dos ultimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras del número que expresa el año en que cumplió 15 años?

a) 26 b) 22 c) 24 d) 16 e) 18

19. Cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes, tú tenías la edad que el tenia cuando tú naciste. Si hoy tengo 35 años y el tiene el cuádruplo de lo que tenía cuando tu naciste; ¿qué edad tienes?

a) 21 b) 28 c) 20 d) 30 e) 14

20. Si al doble de la edad de Chachi se le quita 17 años, se obtiene el complemento aritmético de su edad.

Luego, son ciertas:

I. Chachi tiene 9 años.II. Chachi tiene 39 años.III. El complemento Aritmético de la edad es 71.

a) Solo II b) Solo I c) I y II d) I ó II e) todas

RM - 04/MAVM