Ejercicios (fsica 1) Grupo 6, Saln 309

En los siguientes ejercicios, dibuje los vectores necesarios para la solucin del ejercicio.

1. Los desplazamientos son vectores En navegacin se especifican las direcciones dando el ngulo llamado RUMBO con

respecto a la lnea norte-sur. As, un desplazamiento de 70 millas con un rumbo de

N35 E denota un vector de magnitud 70 con direccin dada por el ngulo que apunta al

Norte y forma 35 al desplazarse al Este.

i) si un barco navega 70 millas en la direccin N35 N y despus 90 millas exactamente

al Este. Determine cul es su distancia y rumbo de desplazamiento con respecto a su

punto inicial.

ii) Si se caminan 10 millas con direccin N45 E y despus 10 millas exactamente hacia

el norte. Determine que tan lejos fue el desplazamiento del punto inicial y cul es el

rumbo o direccin de la posicin final con respecto al punto inicial.

iii) Un avin vuela 100 kilometros en la direccin S51 O y despus 145 kilometros en la

direccin S39 O. Determine la distancia y el rumbo del avin con respecto a su punto

de partida.

iv) Un barco navega 11.2 millas exactamente hacia el norte y despus 48.3 millas hacia

N13.2 O. Encuentre su distancia y rumbo con respecto al punto inicial.

2. Producto Punto y Algebra Vectorial

Escribir el vector U que va de P a Q y el vector V que va de P a R, en la forma

vectorial ai+bj y despus encuentre el producto punto entre U y V .

i) P(1,1), Q(6,3), R(5,-2)

ii) P(-1,2), Q(-3,6), R(0,-5)

iii) P(1,1), Q(-3,-4), R(-5,-6)

iv) P(-1,-1), Q(3,-5), R(2,4)

v) Si U es el vector de 10 unidades de largo apuntando en la direccin N30 O. Escriba

el vector en la forma a i + b j

vi) Si U es el vector de 9 unidades de largo apuntando en la direccin S21 O. Escriba el

vector en la forma a i + b j

vii) Determine x tal que xi+j sea perpendicular a 3 i 4 j

viii) Determine dos vectores perpendiculares a 2 i + 5 j, como sugerencia trate con los

vectores x i + j y x i - j

ix) Encuentre un vector de longitud unitaria que tenga la misma direccin que el vector

U = 3 i 4 j, considere la definicin de vector unitario.

x) Encuentre dos vectores de longitud unitaria perpendiculares a 2 i + 3 j

xi) Encuentre un vector del doble de largo que U =2 i 5 j y con direccin opuesta.

3. Producto Punto y Algebra Vectorial

En los problemas siguientes, encuentre el vector 3U - V y calculeU V , cos para

los vectores dados U y V

i) U = 3 i - 4 j , V =5 i + 12 j

ii) U = i + 3 j , V =6 i 8 j

iii) U = 2 i j , V =3 i - 4 j

iv) U = i + j , V = i - j

v) Si U = 14.1 i + 32.7 j y V =19.2 i -13.3 j encontrar , el menor ngulo positivo entre

U y V .

vi) Determine la longitud de 2U - 3V donde U y V son los vectores del problema

anterior.

4. Proyeccin de un vector sobre otro

En los siguientes problemas sea U = 2 i + 9 j, V = 4 i + 3 j y W = - 5 i 12 j , dibuje el

vector apropiado y encuentre la cantidad indicada.

i) Proyeccin escalar de U en V

ii) Proyeccin vectorial de U en V

iii) Proyeccin vectorial de U en W

iv) Proyeccin escalar de V en W

v) Proyeccin escalar de W en V

vi) Proyeccin vectorial de V en W

5. Producto Cruz I) Represente los vectores en trminos de sus componentes unitarios i, j, k.

i) Sea U = (1,2,-2) y V = (3,0,1) calcule U xV

ii) Sea U = (2,-1,3) y V = (0,1,7), W = (1,4,5) calcule V xW , (U xV )x(V xW ),

U x(V xW ), U x(V - 2W ), (U xV )xW , (U xV ) -2 W

iii) En cada caso halle el vector ortogonal tanto a U como aV

a) U = (-7,3,1) y V = (2,0,4)

b) U = (-1,-1,-1) y V = (2,0,2)

II) De la definicin de producto cruz

U x V =W

Y la magnitud del vector resultante es senVUW

De la siguiente figura senV es la altura del paralelogramo formado por U y V .

Por lo tanto, el area del paralelogramo esta dada por

Area = (base)(altura) = senVU

En otras palabras, la magnitud del vector resultante del producto cruz

U x V =W entre los vectores U y V , es igual al rea del paralelogramo que forman estos

vectores.

W = rea del paralelogramo formado por U y V

i) En los siguientes problemas, halle el rea del triangulo determinado por los puntos

P1,P2, P3 y dibuje la representacin vectorial que empleo en la solucin.

a) P1(2,2,0), P2(-1,0,2), P3(0,4,3)

b) P1(1,5,-2), P2(0,0,0), P3(3,5,1)

c) P1(2,0,-3), P2(1,4,5), P3(7,2,9)

ii) Calcule U (V x W ) para U = (-1, 4, 7) y V = (6,-7, 3), W = (4, 0, 1)