Listado de ejercicios 1

Andrs Felipe Guerrero

12 de Marzo del 2015

1. Un ncleo, incialmente en reposo, se desintegra radiactivamente emitiendo un electrn de

caltidad de movimiento 1, 73 MeV/c y perpendicularmente a la direccin del electrn, unneutrino de cantidad de movimiento 1, 00 MeV/c. (El MeV (milln de electrn-volt) esuna unidad de energa, utilizada en fsica moderna, igual a 1, 60 1012 erg. Correspon-dientemenete, el MeV/c es una unidad de cantidad de movimiento igual a 5, 34 1023gm-cm/s.) En qu direccin retrocede el ncleo? Cul es su cantidad de movimeinto en

MeV/c? Si la masa del ncleo residual es 3, 90 1022 g, Cul ser su energa cintica enelectrn-volt?

2. La velocidad de escape de una partcula de la Tierra es la mnima velocidad que debe

tener en la supercie terrestre para que la partcula pueda escapar del campo gravitatorio

terrestre. Si se desprecia la resistencia de la atmsfera, el sistema es conservativo. A partir

del teorema de conservacin de la suma de las energs cinticas y potencial, demostrar que

la velocidad de escape para la Tierra, ignorando la presencia de la Luna, es de 11, 2 km/s.

3. Demostrar que para una partcula de masa constante, la ecuacin del movimiento implica

la siguiente ecuacin diferencial para la energa cintica:

dT

dt= F VF VF V

mientras que si la masa vara con el tiempo, la ecuacin correspondiente es

d(mT )

dt= F pF pF p

4. Dos ruedas de radio a se montan en los extremos de un eje comn de longitud b de tal

manera que las ruedas giren independientemente. La combinacin total rueda sin deslizar

sobre un plano. Demostra que hay dos ecuaciones de ligadura no holonomas,

cos dx+ sin dy = 0,

sin dx cos dy = a(d+ d),

(donde , y tiene signicados anlogos a los del problema del disco nico verticaly (x, y) son las coordenadas de un punto del eje equidistante de las dos ruedas) y una

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ecuacin de ligadura holonoma,

= C ab( )

donde C es constante.

5. Una partcula se mueve en el plano x-y bajo la accin de una ligadura consistente en que su

vector velocidad est siempre dirigido hacia un punto del eje x cuya abscisa es una cierta

funcin dada del tiempo f(t). Demostrar que para f(t) derivable, pero arbitraria por lodems, la ligadura es no holonoma.

6. Dos puntos de masa m estn unidos por una varilla rgida y sin peso de longitud l, el puntomedio de la cual est obligado a moverse sobre una circunferencia de radio a. Escribir la

energa cintica en coordenadas generalizadas.

7. Demostrar que las ecuaciones de Lagrange de la forma (1-53) se pueden escribir tambin

en la forma siguiente:

T

qj 2 T

qj= Qj

A esto se le da a veces el nombre de forma de Nielsen de las ecuaciones de Lagrange.

8. Una lagrangiana para un sistema fsico particular se puede escribir en la forma

L =m

2(ax2 + 2bxy + cy2) K

2(ax2 + 2bxy + cy2)

donde a, b y c son constantes arbitrarias pero sometidas a la condicin b2ac 6= 0. Culesson las ecuaciones de movimiento? Examinar particularmente los dos casos a = 0 = c yb = 0, c = a, Cul es el sistema fsico descrito por la anterior lagrangiana? Demsotrarque la lagrangiana usual para este sistema denida por la ecuacin (1-56) est relacionada

con L por una transformacin de punto ( cfr. Ejercicio 15). Cul es el signicado de lacondicin impuesta al valor de b2 ac?9. Obtener las ecuaciones de Lagrange para el movimiento de un pndulo esfrico, es decir,

una masa puntual suspendida de una varilla rgida sin peso.

10. Una partcula de masa m se mueve en una dimensin de tal manera que tiene la lagrangiana

L =m2x4

12+mx2V (x) V 2(x)

donde V es una cierta funcin derivable de x. Hallar la ecuacin del movimiento para x(t)y describir la naturaleza fsica del sistema basndonos en esta ecuacin.

11. El sistema dado tiene una varilla delgada rgida de longitud l y masa m que puede rotaralrededor de O. Un disco uniforme de radio r y masa m esta unido a la varilla por unpivote en O y rueda sin deslizarse dentro de la supercie de un cilindro que rota teniendoun momento de inercia Io en su eje central en O. Encuentre una ecuacin de ligadura

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que exprese como una funcin de y , donde las tasas de cambio de estos ngulos sonabsolutas. Obtenga una expresin para la energa cintica total en trminos de y , yresuelva para los momenta generalizados p y p.

12. Una partcula de masa m puede deslizarse sin friccin en un alambre circular jo de radior que se encuentra en un plano vertical. Usando el principio de d'Alembert y la ecuacinde ligadura muestre que yx xy gx = 013. La partcula A de masa 2m y la partcula B de masa m estn conectadas por una varilla

sin masa de longitud l. La partcula A est restringida a moverse en el eje horizontal x

mientras que la partcula B slo puede moverse en el eje vertical y. Cul es la ecuacin de

ligadura que relaciona a x y a y? Use el principio de d'Alembert para obtener la ecuacin

de movimiento 2vx xy gx = 014. Dos partculas de masas m y 2m estn conectadas por una varilla sin masa para formar

una mancuerna. sta puede deslizar sin friccin en un tazn de radio r. Considere un

desplazamiento virtual y use el principio de trabajo virtual para obtener el valor de yla posicin de equilibrio esttico.

15. Un pndulo invertido consiste de una partcula de masa m soportada por una varilla rgidasin masa de longitud l. El pivote O tiene un movimiento vertical dado por z = A sinwt.Obtenga la funcin Lagrangiana y encuentre la ecuacin diferencial de movimiento.

16. Una partcula de masa m est ja a una distancia l del centro de un disco circular sinmasa de radio r. ste rueda abajo sin deslizarse en un plano inclinado con ngulo con lahorizontal. Use el mtodo lagrangiano para escribir la ecuacin diferencial de movimiento

del sistema.

17. Una partcula de masa m puede deslizarse en un alambre rgido liso en la forma y = 3x2,donde la gravedad acta en direccin del eje negativo y.

(a) Use el mtodo lagrangiano para obtener las ecuaciones de movimiento

(b) Asumiendo las condiciones iniciales y(0) = 0, y(0) = y0, encuentre la mxima fuerzade ligadura durante el movimiento resultante.

18. La posicin de una partcula de masa m est dada por las corrdenadas cartesianas (x,y,z).Asumiendo una funcin de energa potencial V = 12k(x

2+ y2+ z2) y una ligadura descritapor la ecuacin 2x+ 3y + 4z + 5 = 0, encuentre:

(a) Las ecuaciones diferenciales de movimiento

(b) La velocidad de la ligadura en movimiento

19. Un pequeo tubo de masa m se dobla en forma de crculo de radio r y es pivotado alredorde un punto jo O en su circunferencia. Una partcula de masa m puede deslizarse sinfriccin dentro del tubo.

(a) Use el mtodo lagrangiano para obtener las ecuaciones diferenciales de movimiento en

el plano.

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(b) Ahora asuma pequeos movimientos y obtenga las frecuencias naturales y las corre-

spondientes amplitudes.

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