Algebra lineal: Primera lista de ejerciciosProf: Ricardo Ceballos Sebastian

28 de agosto de 2014

1. Determine cuales de las matrices siguientes se encuentran en la forma escalonada en los renglones reducida.

a)

2 0 00 1 00 0 1

, b) 0 1 0 01 0 0

0 0 0 0

, c) 1 0 0 40 1 0 5

0 1 1 6

, d) 1 0 1 00 1 1 0

0 0 0 0

.

2. Expresar

2 1 30 2 73 4 5

, en la forma escalonada reducida sin introducir ninguna fraccion.3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante Gauss-Jordan

x y + z = 33x+ 2y z = 2x y + 2z = 0

4. Determine para que valores de k el siguiente sistema de ecuaciones lineales, a)no tiene soluciones, b)tieneexactamente una solucion, c)tiene una infinidad de soluciones.

x y = 32x 2y = k

}.

5. Determine para que valores del parametro k el sistema el siguiente sistema tiene solucion unica; justifique surespuesta.

kx+ y + z = 1x+ ky + z = 1x+ y + kz = 1

.6. En el siguiente sistema de ecuaciones determine para que valores de k el sistema, a) tiene solucion unica, b) no

tiene solucion, c)tiene infinitas soluciones.

2x y kz = 0x y 2z = 1x+ 2y = k

.7. Considere el sistema de ecuaciones,

x +y +2z = ax +z = b2x +y +3z = c

.Demuestre que para que el sistema sea consistente, a, b y c deben satisfacer c = a+ b.

8. Suponga que la siguiente matriz representa la matriz aumentada de un sistema: 1 0 10 0 2 1 1

determine los valores de de tal forma que el sistema:

i) Tenga solucion unica

ii) Tenga infinidad de soluciones

iii) No tenga soluciones

9. En los siguientes sistemas de ecuaciones determine la solucion o las soluciones(si estas existen:Use el metodode Gauss-Jordan).

a)x1 2x2 + 3x3 = 114x1 + x2 x3 = 42x1 x2 + 3x3 = 10

, b) 3x1 + 6x2 6x3 = 92x1 5x2 + 4x3 = 65x1 + 28x2 26x3 = 8

, c)x1 2x2 +x3 +x4 = 23x1 +2x3 2x4 = 8

4x2 x3 x4 = 15x1 +3x3 x4 = 3

.

1

10. En los siguientes ejercicios encuentre todas las soluciones.

a)

x1 2x2 +x3 +x4 = 03x1 +2x3 2x4 = 0

4x2 x3 x4 = 05x1 +3x3 x4 = 0

, b)x1 +x2 x3 = 02x1 4x2 +3x3 = 0x1 7x2 6x3 = 0

, c)x1 + x2 x3 = 0

4x1 x2 + 5x3 = 02x1 + x2 2x3 = 03x1 + 2x2 6x3 = 0

.11. Para que valores de k, el siguiente sistema tendra soluciones no triviales?

2x1 3x2 + 5x3 = 0x1 + 7x2 x3 = 0

4x1 11x2 + kx3 = 0

12. Sean a =

314

, b = 54

7

y c = 202

, hallar, a)a + b, b)2a + 4b 3c, c)determinar elvector columna d tal que, a+ b+ c+ d = 0.

13. Considere las matrices A =

1 32 51 2

, B = 2 01 47 5

y C = 1 14 67 3

, hallar,a) A+B,

b) 2A 3B + 4C,c) encuentre una matriz D tal que, A+ 2B 3C D = 0.

14. Dados A =

[1 12 3

]y B =

[ 1 02 3

], resuelva la siguiente ecuacion para X,

3(2A+B +X) = 5(X A+B).

15. Realice los productos que se muestran a continuacion,

a)

[2 31 2

] [4 10 6

],

b)

[ 4 5 10 4 2

] 3 1 15 6 40 1 2

,c)

2 3 51 0 62 3 1

1 4 62 3 51 0 4

.16. Sean A =

[2 28 2

]y B =

[2 24 2

], pruebe que, A2 +B2 = (A+B)2.

17. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas tales que, AB = BA, entonces, (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.

18. Considere la matriz A =

a11 0 0 . . . 00 a22 0 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . ann

, donde a11a22 . . . ann 6= 0. Demostrar que A es inversibley hallar A1.

19. Demuestre que,

[ 10

]n=

[n nn1

0 n

].

20. Halle la inversa de la matriz A, donde,

A =

3 4 11 0 32 5 4

.21. Una matriz A de nxn tal que A2 = In se llama involutiva. Pruebe que la siguiente matriz es involutiva.

A =

0 1 14 3 43 3 4

.2

22. Pruebe que A2 = A, donde,

A =

1 3 51 3 51 3 5

.23. Demostrar que si una matriz cuadrada A satistace A2 3A+ I = 0, entonces A1 = 3I A.24. Determine si las siguientes matrices son inversibles. En caso afirmativo halle la inversa.

a)

[2 13 2

], b)

[ 1 33 9

], c)

0 1 33 4 21 5 8

, d) 0 0 10 1 1

1 1 1

.25. Demuestre que para todo numero real , la siguiente matriz es inversible y encuentre su inversa.[

cos sen sen cos

].

26. Calcule la inversa de,

A =

2 0 00 3 00 0 4

.27. Si A y B son matrices inversibles, resuelva las siguientes ecuaciones matriciales para X.

a) BXA = B,

b) A1X = A.

28. Sea A =

[a11 a12a21 a22

],

a) pruebe que A es inversible s y solo s a11a22 a21a12 6= 0, y determine su inversa.

b) Determine la inversa de la matriz, A =

[4 17 2

]mediante el resultado obtenido en el inciso anterior.

29. En cada uno de los siguientes casos determine la matriz elemental E tal que, EA = B.

a)A =

[2 31 4

], B =

[2 32 8

], b)A =

1 23 45 6

, B = 5 63 4

1 2

.c)A =

1 2 5 20 1 3 45 0 2 7

, B = 1 2 5 20 1 3 4

0 10 27 3

.30. Demuestre que cada matriz es inversible y escrbala como un producto de matrices elementales.

a)

[1 23 4

], b)

2 0 40 1 13 1 1

, c)

3 0 0 01 3 0 00 1 3 00 0 1 3

.

31. Sea A =

[a b0 c

], donde ac 6= 0. Escriba A como el producto de tres matrices elementales. Es A inversible?

32. Sea A =

a b c0 d e0 0 f

, donde adf 6= 0. Escriba A como el producto de seis matrices elementales. Es Ainversible?

33. Demostrar que si A es una matriz inversible y B es una matriz equivalente respecto a los renglones a A, entoncesB tambien es inversible.

3

34. En los siguientes ejercicios resuelva el sistema invirtiendo la matriz de coeficientes y posteriormente calculandox = A1b.

a)x1 + x2 = 2

5x1 + 6x2 = 9

}, b)

x+ y + z = 5x+ y 4z = 104x+ y + z = 0

, c)x 2y 3z = 0w + x+ 4y + 4z = 7w + 3x+ 7y + 9z = 4w 2x 4y 6z = 6

.35. Una matriz es antisimetrica si At = A. Si A es una matriz antisimetrica de nxn, demuestre que

detAt = (1)ndetA.

36. Si A es una matriz antisimetrica de tamano nxn, demuestre que si n es impar entonces, detA = 0.

37. Una matriz A se llama ortogonal si A es inversible y si A1 = At. Demuestre que si A es ortogonal entonces,detA = 1.

38. El determinante de Vandermonde de 3x3 esta dado por

D3 =

1 1 1a1 a2 a3a21 a

22 a

23

Demuestre que D3 = (a2 a1)(a3 a1)(a3 a2).

39. La matriz A de nxn se llama nilpotente si Ak = 0, para algun k 1. Demuestre que si A es nilpotente, entoncesdetA = 0.

40. La matriz A se llama idempotente si A2 = A. Cuales son los posibles valores para detA si A es idempotente?

41. Calcule los siguientes determinantes,

a)

1 2 72 3 81 2 7

, b)

1 1 2 40 3 5 61 4 0 30 5 6 7

, c)a b 0 0c d 0 00 0 a b0 0 c d

, d)

2 1 0 4 13 1 1 2 03 2 2 5 10 0 4 1 63 2 1 1 1

.

42. Dado que

a b cd e fg h i

= 6, hallar,

a)

d e fg h ia b c

, b)

3a 3b 3cd e f4g 4h 4i

, c)a+ g b+ h c+ i

d e fg h i

, d)3a 3b 3cd e f

g 4d h 4e i 4f

.43. Demuestre que para todo numero real , la siguiente matriz es inversible y encuentre su inversa. cos sen 0 sen cos 0

0 0 1

.44. Determine si las siguientes matrices son inversibles, en caso afirmativo, hallar la inversa mediante la adjunta.

a)

[3 21 2

], b)

1 1 34 1 62 0 2

, c)

1 1 1 11 2 1 21 1 2 11 3 3 2

,45. Resuelva los siguientes sistemas usando la regla de Cramer

a)2x+ 3y = 17x+ 4y = 47

}. b)

2x+ 3y + 4z = 73x+ 8y z = 2

5x 12y + 6z = 11

. c)x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0

2x1 + x2 + 9x3 + 6x4 = 33x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = 1

.

4