ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Ejercicio resuelto

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Ejercicio resuelto

Resolver la EDO

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥 + 𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Desarrollo:

Se verifica que la función

𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥 + 𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

Es un función homogénea de orden cero

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 =𝜆𝑥 + 𝜆𝑦

𝜆𝑥− 𝑡𝑔

𝜆𝑦

𝜆𝑥

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Desarrollo:

Se verifica que la función

𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥 + 𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

Es un función homogénea de orden cero

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 =𝜆𝑥 + 𝜆𝑦

𝜆𝑥− 𝑡𝑔

𝜆𝑦

𝜆𝑥

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 =𝑥 + 𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Se cumple que:

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦

Es una EDO homogénea la cual se puede reescribir como:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 +

𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

Por lo tanto la EDO

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥 + 𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Aplicaremos la sustitución 𝒖 = 𝒚/𝒙 con 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒖 + 𝒙

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1 − 𝑡𝑔 𝑢

Dándonos una EDO en variables separables

𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1 + 𝑢 − 𝑡𝑔 𝑢

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 +

𝑦

𝑥− 𝑡𝑔

𝑦

𝑥

Al sustituir en la EDO

Como la sustitución esta dada por:Tenemos que

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Separamos las variables

𝑑𝑢

1 − 𝑡𝑔 𝑢=𝑑𝑥

𝑥Integramos

1

2𝑢 − 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑢 − 𝑠𝑒𝑛𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶

La solución de la EDO es igual a:

1

2

𝑦

𝑥− 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠

𝑦

𝑥− 𝑠𝑒𝑛

𝑦

𝑥= 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE