Ejercicio nº 1.-Halla el dominio de definición de las funciones:

Ejercicio nº 2.-Averigua el dominio de definición de las siguientes funciones, a partir de sus gráficas:a) b)

Ejercicio nº 3.-Vamos a considerar todos los rectángulos de 30 cm de perímetro. Si llamamos x a la longitud de la base, elárea será:

A 15 x¿Cuál es el dominio de definición de esta función? Ejercicio nº 4.-Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

I) II)

III) IV)

Ejercicio nº 5.-Asocia cada gráfica con su correspondiente ecuación:

I) II)

III) IV)

Ejercicio nº 6.-

Ejercicio nº 7.-Sabiendo que 15 C (grados centígrados) equivalen a 59 F (grados Fahrenheit), y que 30 C son 86 F, averigua cuántos grados centígrados son 70 F. ¿Y 92 F? Ejercicio nº 8.-Representa gráficamente la siguiente función:

Ejercicio nº 9.-Representa la siguiente función:

Ejercicio nº 10.-

siguiente:

Ejercicio nº 11.-Ponemos al fuego un cazo con hielo cuya temperatura es de 20 C. En 10 minutos se descongela y semantiene a 0 C otros 10 minutos más. Un cuarto de hora más tarde llega a alcanzar 100 C.a Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión analítica.b ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?

MATEMÁTICAS B 141

Para practicar

1. Considera la función que a cada nº le asigna su cuadrado menos 1. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de -1, 1 y 2. Calcula también los cortes con los ejes.

2. Considera la función que a cada nº le asigna su mitad más 3. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de -1, 1 y 3. Calcula también los cortes con los ejes.

3. Considera la función que a cada nº le asigna su doble menos 5. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de -2, -1 y 1. Calcula también los cortes con los ejes.

4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x)=-2x2+5x-6

b) f(x)=4x2

x2−

c) f(x)= 12x4 2 +−

d) f(x)= 20x4 2 +

e) f(x)=4x2

3

−

5. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x)= 3x2x

−− b) f(x)=

3xx+−

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indica:

a) f(x)= ⎩⎨⎧

>+−≤+

1x2x1x2x

en x=1

b) f(x)=⎩⎨⎧

>+≤+

0x2x0x2x2

en x=0

c) f(x)= ⎩⎨⎧

−>−≤+−1x41x3x

en x=-1

d) f(x)= ⎩⎨⎧

−>−≤+−1x41x3x

en x=-1

7. Estudia la simetría de las funciones:

a) f(x)= x3+2x b) f(x)=2

2

x5

3x −

c) f(x)= 1x2 2 + d) f(x)= 1x1x

−+

e) f(x)=x2

1x4 2 + f) f(x)= x4-3x2-3

8. En cada caso la gráfica representa un tramo o periodo de una función periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica:

a) f(-2)

b) f(-3)

c) f(-1)

9. Calcula las TVM de las funciones de la gráfica en los intervalos [0,4] y [2,4].

a) b)

Funciones y gráficas

142 MATEMÁTICAS B

10. El gráfico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autovía.

a) ¿Cuánta gasolina había al cabo de 240 km?. En el depósito caben 40 litros, ¿cuándo estaba lleno más de medio depósito?.

b) ¿En cuántas gasolineras paré?, ¿en qué gasolinera eché más gasolina?. Si no hubiera parado, ¿dónde me habría quedado sin gasolina?

c) ¿Cuánta gasolina usé en los primeros 200 km?. ¿Cuánta en todo el viaje?. ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía?.

11. María y Jorge son dos personas más o menos típicas. En la gráfica puedes comparar como ha crecido su peso en sus primeros 20 años

a) ¿Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, ¿y María a los 12?. ¿Cuándo superó Jorge los 45 kg?.

b) ¿A qué edad pesaban los dos igual?. ¿Cuándo pesaba Jorge más que María?, ¿y María más que Jorge?

c) ¿Cuál fue el promedio en kg/año de aumento de peso de ambos entre los 11 y los 15 años?. ¿En qué periodo creció cada uno más rápidamente?

12. El gráfico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto.

a) ¿Cuál es la distancia recorrida?. ¿Si el primer coche salió a las 10:00, a qué hora salió el 2º?. ¿Cuánto le costó a cada uno hacer el recorrido?

b) ¿Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche?. ¿En qué km adelantó el 2º al 1º?, ¿y el 1º al 2º?.

c) ¿Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, ¿en qué tramo la velocidad de cada coche fue mayor?.

13. Las gráficas siguientes corresponden a las funciones I y II.

I) f(x)=x3-6x2+9x II) f(x)=x

1x2 +−

Calcula en cada una:

a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

e) Los máximos y mínimos.

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tienen?.

g) Los intervalos de concavidad y convexidad.

Funciones y gráficas

1

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

xxxf 32 2

Ejercicio nº 2.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Ejercicio nº 3.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Ejercicio nº 4.- Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Ejercicio nº 5.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12

2a)

2

x

xxf

xxexf b)

Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Ejercicio nº 7.- Consideramos la función:

2

12

xxf

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo. Ejercicio nº 8.-

1]3,[ intervalo el en3

función la de media variación de tasa la Calcula a) x

xf

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo?

2

Ejercicio nº 9.- Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

0,1 a)

2,1 b)

Ejercicio nº 10.-

.2

13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando

xxf,f´

Ejercicio nº 11.-

.x

xf,f'2

siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando

Ejercicio nº 12.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Ejercicio nº 13.-

derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla2

xxxf

Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

12 xxf

Ejercicio nº 15.-

., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf

Ejercicio nº 16.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Ejercicio nº 17.-

1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),

3

Ejercicio nº 18.-

.x

xf, xf' 1

siendocalcula derivada de definición la Aplicando

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.- Halla la función derivada de:

234a) 23 xxxf

xtgxf b)

Ejercicio nº 20.- Calcula la función derivada de:

12a) 23 xxxf

lnxxf b)

Ejercicio nº 21.- Halla la derivada de:

5

13a) 23 xxxf

xcosxf b)

Ejercicio nº 22.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

3

2a) 5 xxxf

xsenxf b)

Ejercicio nº 23.- Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Ejercicio nº 24.- Calcula f´(x) en cada caso:

32

3a)

2

x

xxf

xsenxxf 3b)

4

Ejercicio nº 25.- Halla la función derivada de:

3

1a)

2

x

xxf

xlnxxf b)

Ejercicio nº 26.- Calcula la derivada de las funciones siguientes:

2

13a)

2

x

xxf

xsenxxf 2b)

Ejercicio nº 27.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:

12

2a)

2

x

xxf

xxexf b)

Ejercicio nº 28.- Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2

a)

xe

xxf

13b)

Ejercicio nº 29.- Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2

a)

xe

xxf

13b)

Ejercicio nº 30.- Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Ejercicio nº 31.- Halla la función derivada de:

423 xxxf

5

Ejercicio nº 32.- Halla f´(x) para la función:

xxexf 24 3

Ejercicio nº 33.- Calcula la función derivada de:

32

1

x

xsenxf

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Ejercicio nº 35.-

14

1recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y

Ejercicio nº36.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.

Ejercicio nº 38.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x

2 + x -1.

Ejercicio nº 39.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3 2

x

xxf

Ejercicio nº 40.- Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

24 2xxxf

6

Ejercicio nº 41.- Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3

x

xxf

Ejercicio nº 42.- Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

xxxxf 156 23

Ejercicio nº 43.- Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 xxxy

Ejercicio nº 44.- Dada la función:

32xxf

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Ejercicio nº 45.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

123 2 xxxf

Ejercicio nº 46.- Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

23123 xxxf

Ejercicio nº 47.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

2

132

xxxf

Ejercicio nº 48.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

22 xxf

Ejercicio nº 1.- Hemos preguntado a 20 personas por el número medio de días que practican deporte a la semana y hemos obtenido las siguientes respuestas:

62353

62016

43237

31233

a) Haz una tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas. b) Representa gráficamente la distribución (tomando las frecuencias absolutas). Ejercicio nº 2.- En unas pruebas de velocidad se ha cronometrado el tiempo que tardaba cada participante en recorrer cierta distancia fija. Los tiempos obtenidos, en segundos, han sido los siguientes:

8,1128,5910

8,18,28,19,210,1

8109,51312

15149,38,38

109,49,28,18,3

98,58910

a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 1, empezando en 8. b) Representa gráficamente la distribución. Ejercicio nº 3.- Hemos lanzado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada vez. La información queda reflejada en la siguiente tabla:

o

Resultado 1 2 3 4 5 6

N. de veces 12 20 10 15 20 23

a) Calcula la media y la desviación típica.

( )? intervalo el en hay resultados de porcentaje ¿Québ) σxσ,x +−

Ejercicio nº 4.- La nota media de una clase, A, en un examen ha sido 5,5, con una desviación típica de 2,1. En otra clase, B, la nota media en el mismo examen ha sido 7,3 y la desviación típica, de 2,6. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos. Ejercicio nº 5.- Un grupo de atletas ha obtenido las siguientes puntuaciones en una prueba deportiva que se valoraba de 0 a 5 puntos:

o

Puntuación 1 2 3 4 5

N. de atletas 4 4 12 18 12

Calcula Me, Q1 y Q3. Ejercicio nº 6.- La siguiente distribución corresponde a las edades de un grupo de personas:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

o

horas 0,4 4,8 8,12 12,16 16,20 20,24

N. de vahículos 16 14 110 120 150 25

Calcula numéricamente Me y Q1.

Ejercicio nº 7.- Se pregunta a un grupo de estudiantes de Bachillerato sobre el número de horas que dedica diariamente a estudiar. Las respuestas se recogen en la siguiente tabla:

(((( )))) [[[[ )))) [[[[ )))) [[[[ )))) [[[[ )))) [[[[ ))))

o

Tiempo h 0; 1,5 1,5; 2 2; 3 3; 4 4; 6

N. de alumnos 2 5 10 6 2

a) Representa gráficamente los datos.

b) Se considera que un estudiante de este nivel debe estudiar un mínimo diario de 3 horas y media. Según esto, ¿qué porcentaje de alumnos lo hace?

1

Distribuciones bidimensionales

Ejercicio nº 1.- Se ha medido el número medio de horas de entrenamiento a la semana de un grupo de 10 atletas y el tiempo, en minutos, que han hecho en una carrera, obteniendo los siguientes resultados:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,71; 0,71; 0,45; 0,32. Ejercicio nº 2.- Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matemáticas y en Física han sido las siguientes:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,23; 0,94; 0,37; 0,94. Ejercicio nº 3.- En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, que anunciaban en los productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números te parece más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2. Ejercicio nº 4.- Considera la siguiente distribución:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más apropiado

para el coeficiente de correlación: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4.

2

Ejercicio nº 5.- Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposición. Anotaron el número de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La información se recoge en la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos valores te parece más

apropiado para el coeficiente de correlación: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44. Ejercicio nº 6.- Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan el hogar familiar y el número de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información obtenida:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 7.- Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las variables?

Ejercicio nº 8.- En un reconocimiento médico a los niños de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se les ha medido, en centímetros. Aquí tienes los datos de los primeros seis niños:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?

Ejercicio nº 9.- En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el número 42) y su precio, en euros. La información obtenida se recoge en esta tabla:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?

3

Ejercicio nº 10.- Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteniéndose los siguientes resultados:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 11.- Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,85).que(Sabemoses?estimacionestasválidas¿Son.10e52,Calculab) ryy ˆˆ

Ejercicio nº 12.- Se ha analizado en distintos modelos de impresoras cuál es el coste por página (en céntimos de euro) en blanco y negro y cuál es el coste por página si esta es en color. La siguiente tabla nos da los seis primeros pares de datos obtenidos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X. b) ¿Cuánto nos costaría imprimir una página en color en una impresora en la que el coste por página en

blanco y negro fuera de 12 céntimos de euro? ¿Es fiable la estimación? (Sabemos que r 0,97). Ejercicio nº 13.- En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad útil de la bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,85). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .6Calculab) r y

4

Ejercicio nº 14.- En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,87). que (Sabemos ?estimación esta fiable ¿Es .55,Calculab) ry

Ejercicio nº 15.- Se ha medido el peso, en kilogramos, y el volumen, en litros, de distintos tipos de maletas, obteniendo los resultados que se recogen en esta tabla:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,79). que (Sabemos ?estimación estafiable ¿Es120Calculab) ry .ˆ

Ejercicio nº 16.- En una academia para aprender a conducir se han estudiado las semanas de asistencia a clase de sus alumnos y las semanas que tardan en aprobar el examen teórico (desde que se apuntaron a la autoescuela). Los datos correspondientes a seis alumnos son:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 17.- La estatura, en centímetros, de seis chicos de la misma edad y la de sus padres viene recogida en la siguiente tabla:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 18.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de días que suelen ir al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:

5

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 19.- Considera la siguiente distribución:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables? Ejercicio nº 20.- Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las

dos variables?