Ejercicio Ilustrativo CSTR

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Universidad Nacional de Colombia - Facultad de Minas Curso de Control III Ejercicio ilustrativo Creado por: Ing. Jairo Espinosa M.Sc. Ph.D. [email protected] Fecha: Septiembre 2006 Introducción El presente ejercicio pretende aplicar los principales elementos estudiados a lo largo del curso de Control Multivariable. Este es un documento que recibe continuas actualizaciones y la idea es que el lector (estudiante) a través de un estudio activo (reproduciendo estos resultados) encuentre preguntas nuevas y logre el objetivo de aprender a diseñar controladores multivariables. Envíe sus preguntas a mi correo electrónico. La planta La planta utilizada en este ejemplo es un reactor tanque agitado (CSTR - Continuous Stirred Tank Reactor). La reacción química que tiene lugar en el reactor convierte de manera irreversible el componente A en un componente B. A B . Esta reacción es irreversible y tiene lugar en un tanque cilíndrico agitado con una capacidad total de V max = 120 litros. El tanque es cilíndrico con una sección de 2 0.2 m A = . Figura 1 Diagrama de un reactor de tanque agitado El reactante entra al sistema con un flujo q(t), una temperatura To=350 K y una concentración de producto A Cao= 1 mol/l. El reactor tiene un volumen instantáneo Cao, T0, q Ca,T,V h q c ,Tc0 Ca,q o ,T

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Universidad Nacional de Colombia - Facultad deMinas

Curso de Control III

Ejercicio ilustrativo

Creado por: Ing. Jairo Espinosa M.Sc. Ph.D. [email protected]: Septiembre 2006

Introducción

El presente ejercicio pretende aplicar los principales elementos estudiados a lo largodel curso de Control Multivariable. Este es un documento que recibe continuasactualizaciones y la idea es que el lector (estudiante) a través de un estudio activo(reproduciendo estos resultados) encuentre preguntas nuevas y logre el objetivo deaprender a diseñar controladores multivariables. Envíe sus preguntas a mi correoelectrónico.

La planta

La planta utilizada en este ejemplo es un reactor tanque agitado (CSTR - ContinuousStirred Tank Reactor). La reacción química que tiene lugar en el reactor convierte demanera irreversible el componente A en un componente B.A B→ . Esta reacción esirreversible y tiene lugar en un tanque cilíndrico agitado con una capacidad total deVmax = 120 litros. El tanque es cilíndrico con una sección de 20.2 mA = .

Figura 1 Diagrama de un reactor de tanque agitado

El reactante entra al sistema con un flujo q(t), una temperatura To=350 K y unaconcentración de producto A Cao= 1 mol/l. El reactor tiene un volumen instantáneo

Cao, T0, q

Ca,T,V h

qc,Tc0

Ca,qo,T

Page 2: Ejercicio Ilustrativo CSTR

V(t), una temperatura T(t) y una concentración de producto A Ca(t). El fluido deja elreactor con un caudal qo(t) y una concentración y una temperatura igual a las queexisten en el reactor. Ya que la reacción es exotérmica el sistema requiererefrigeración para controlar la reacción. Un serpentín de refrigeración con agua Tco =350K y con caudal qc(t) es utilizado para controlar la temperatura del reactor.

El sistema se puede describir usando las siguientes ecuaciones:

( )

( )

( )3

( )0 0

( )0 1

( )2 0

4

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )1 ( )

( )

( )( ) ( )

c

E

RT t

E

RT t

k

q tcC

dCa t q tCa Ca t k Ca t e

dt V t

dT t q tT T t k Ca t e

dt V t

q tk e T T t

V t

dV tq t k V t

dt

= − −

= − +

+ − −

= −

Los valores de las constantes están dados por:

01 2 3, ,c pc a

p p c pc

CHk hk k k

C C C

ρρ ρ ρ∆= − = = ,

Parámetro Descripción Valor Nominal

0k Constante de velocidadde reacción.

7.2 x 1010 min-1

4k Constante de la válvulade salida del tanque

10 l/(min m3/2)

E R Energía de activación 1 x 104 K

0T Temperatura del flujodel reactante

350 K

0CT Temperatura del liquidorefrigerante

350 K

H∆ Calor de la reacción -2 x 105 cal/mol,p pcC C Calores específicos 1 cal/g/K

, cρ ρ Densidad de loslíquidos

1 x 103 g/l

ah Coeficiente detransferencia de calor

7 x 105 cal/min/K

0Ca Concentración deproducto A en laalimentación del reactor

1 mol/l

Tabla 1 Parámetros del reactor

Los flujos qc(t) (refrigerante) y q(t) (materia prima) están limitados a un valormáximo qcmax = qmax =120 l/min.

Page 3: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Definición del problema de Control

Se requiere controlar el reactor mostrado en la sección anterior de forma que laconcentración Ca y el volumen V se puedan fijar en valores deseados. Los flujos qc(t)(refrigerante) y q(t) (materia prima) son la variables que se pueden manipular. Elobjetivo es controlar el sistema alrededor de un punto de operación definido como:

Variable Valor en el punto deoperación

Ca 0.1 mol/lV 100 lq 100 l/minqc 103.37 l/minT 438.54 K

Tabla 2 Punto de operación del Reactor

Si suponemos que solo podemos medir las variables Ca y V, nuestro sistema quedarádefinido de la siguiente manera:

Estados: Ca(t), T(t), V(t)Salidas: Ca(t) y V(t)Entradas: q(t) y qc(t)

Se espera que el sistema en lazo cerrado presente un sobreimpulso inferior al 10% yun tiempo de establecimiento de 7 minutos. Observe que el sistema está descrito conel tiempo en minutos.

Linealización del sistema

Aplicando el concepto de series de Taylor se puede linealizar el sistema alrededor delpunto de operación mostrado en la Tabla 2.

* *

* * * *

( , )

( , ) ( , )( , ) ( ) ( )

x u

dxf x u

dtf x u f x u

f x u x x u ux x

=

∂ ∂≈ + − + −∂ ∂

* *

( , ) ( , ),

( )( ) ( )

( ) , ,( ) ( )

( )

x u

c

f x u f x uA B

x u

Ca tq t Ca t

x T t u yq t V t

V t

∂ ∂= =∂ ∂

= = =

Page 4: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Calculando la linealización sobre el sistema descrito en el sistema de ecuaciones seobtiene:

( )

( )

( )

* *

*

*

33**

* **

0 0 0* *2 *2

***

01 *2* *2

1 ***

2 02 *2*

4

*

*0

*

0

( )

( )

11

0 02

0

cc

E E

RT RT

E

RT

E

RTkk

qq ccC

q E qk e k Ca t e Ca Ca

V RT V

qq ET T tk Ca e

VV RTA k e

qqk e T Tk e

VV

k

V

Ca Ca

V

TB

− −

−−

− − − − −

− − −− + −

= − − −

=

……

……

( ) ( )3 3* *

** *2 32

0 0* * * *

* * *

* * *

1

1 0

( ) ( ) ( )

1 0 0 0 0,

0 0 1 0 0

0.1100 0.1

438.54 , ,103.37 100

100

c c

k k

q qC C

c

T k kke T T e T T

V V q V

y t y C x x D u u

C D

x u y

− −

− − − −

≈ + − + −

= =

= = =

La anterior derivación es sencilla desde el punto de vista conceptual, sin embargo, elcálculo de este tipo de derivadas de forma manual puede en algunos casos ser tediosoy susceptible de error. Por ello le recomiendo que para sistemas muy complejos utiliceherramientas computacionales como Maple o el Symbolic Math Toolbox de Matlabpara realizar este cálculo. Otra alternativa es utilizar funciones tales como linmodque permite linealizar modelos en Simulink, sin embargo, está última funciones puedegenerar confusión desde el punto de vista conceptual, dado que esta función linealizatodos los estados presentes en el modelo y genera matrices relacionadas con todas lassalidas señaladas en el modelo, aún sin que ellas sean físicamente medibles.

Un ejemplo de linealización analítica del anterior problema se puede calcular usandoel Symbolic Math Toolbox de Matlab de la siguiente forma:

Page 5: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Figura 2 Derivación analítica usando el toolbox de Math Symbol de Matlab

Calculando los valores de las matrices del sistema se obtiene:

MERGEFORMAT

-9.9979 -0.046787 -0.009

1799.6 7.3245 1.7999

0 0 -0.5

0.009 0

0.8854 0.8775

1 0

1 0 0 0 0,

0 0 1 0 0

A

B

C D

=

= − −

= =

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Implemente el modelo dado en la ecuación en simulink.2) Calcule de forma analítica en Matlab la linealización, preste mucha

atención al significado de la linealización recuerde que este texto no esauto contenido y es necesario que estudie la guía del curso.

3) Simule el sistema aplicando una pequeña perturbación aleatoria en qc esaperturbación debe tener una amplitud de 3 o 4 l/min, recuerde usar elvalor nominal de qc.

4) Implemente una simulación con el sistema lineal descrito por la matricesy aplique la misma perturbación, las respuestas deben ser muy parecidas,no olvide sumar los valores de y* a las salidas y de restar u* a lasentradas.

5) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

syms Ca q V Ca0 k0 ER T T0 k1 k2 qc Tc k3 k4

system = [ (q/V)*(Ca0-Ca)-k0*Ca*exp(-ER/T); (q/V)*(T0-T)+k1*Ca*exp(-ER/T)+k2*(qc/V)*(1-exp(-k3/qc))*(Tc-T); q-k4*sqrt(V)] states = [Ca T V]

inputs = [q qc]

A = jacobian(system,states)

B = jacobian(system,inputs)

Page 6: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Análisis de Controlabilidad y ObservabilidadCalculando a partir de la ecuación las matrices con Controlabilidad y Observabilidadobtenemos:

1

0.0090 0 -0.0576 0.0411 0.0414 -0.1098

-0.8854 -0.8775 11.5111 -6.4272 -20.1645 26.8069

1.0000 0 -0.5000 0 0.2500 0

rank( ) = 3

nCo B AB A B

Co

Co

− =

=

Lo que implica que el sistema es controlable. Para la observabilidad se obtiene:

1

1 0 0

0 0 1

-9.9979 -0.0468 -0.0090

0 0 -0.5

15.7616 0.1251 0.0103

0 0 0.25

rank( )=3

TnOb C CA CA

Ob

Ob

− =

=

Lo que implica que el sistema es observable.

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Reproduzca los resultado obtenidos en este punto usando MATLAB2) Aplique otros métodos de prueba de controlabilidad y observabilidad

como PBH (Popov Belevitch y Hautus)3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatorio

hacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

Análisis de Ganancias Relativas (RGA)

Usando la linealización del sistema expresada por las matrices de la ecuación sepuede calcular la ganancia del sistema usando la expresión:

1( ) ( )G j C j I A B Dω ω −= − +

Es importante recordar que el análisis de ganancias relativas se debe realizar a dosvalores distintos de frecuencia:

• Se debe realizar a frecuencia cero (0 rad/sω = ) para entender la influencia delas variables manipuladas en las variables controladas cuando se realizacontrol manual.

• Se debe realizar a la frecuencia esperada de crossover ( rad/snω ω= ) paraentender la influencia de las variables manipuladas en las variablescontroladas cuando se realiza control automático.

Page 7: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Tomando 7 minTs= y Mp = 1.1 si aproximamos la respuesta como una respuesta desegundo orden tendremos:

[ ][ ]

2

2

12 2

ln( 1)1 0.5912

ln( 1)

MpMp e

Mp

ζπ ζ ζπ

− − −= + → = =

− +

4 40.9666 rad/mins n

n s

tt

ωζω ζ

= → = =

usando esos valores de frecuencia obtenemos las siguientes ganancias:

0.0056 0.0037(0)

2 0G

− =

-0.0032 0.0028 0.0038 - 0.0010( 0.966)

0.4222 - 0.8162 0

j jG j

j

+ =

1

calculando las matrices de ganancias relativas se obtiene:0 1

(0)1 0

RGA

=

0 1( 0.9666)

1 0RGA j

=

De acuerdo con las reglas de selección estudiadas:“Las reglas de selección se pueden resumir de la siguiente manera:

1- Trate de hacer lazos con aquellos elementos en los cuales el ))(( cjGRGA ω lomás cercano posible al punto 1+j0 en el plano complejo.

2- Evite hacer lazos con aquellos pares que tienen valores negativos deganancia relativa en estado estable ))0((GRGA .”

Ambos criterios se cumplen perfectamente si se hacen controles con los pares entre laentrada 1 (q(t)) y la salida 2 V(t) y entre la entrada 2 (qc(t)) y la salida 1 Ca(t).

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Reproduzca los resultado obtenidos en este punto usando MATLAB

2) Cambie la matriz C del sistema por 1 0 0

0 1 0C

=

de manera que las

salidas sean concentración y temperatura y repite el análisis de RGA.Observe la contradicción entre los resultados a frecuencia cero y a lafrecuencia de crossover.

3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

1 Observe que la frecuencia se dejó en rad/min y no en rad/seg, esto debido a que el modelo estaescalizado en minutos.

Page 8: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Cálculo de Controladores PID sin desacople

Usando el flujo q(t) para controlar el volumen en el reactor V(t) y qc(t) el flujo derefrigerante para controlar la concentración Ca(t), se diseñó un par de controladoresPID. Los controladores se sintonizaron en el siguiente orden primero el que controlael volumen y luego el que controla la concentración. El esquema de conexión de los controladores se puede observar en la Figura 3.Observe que a la señal de actuación de los PIDs se le añade el valor constantealrededor del cual se hizo la linealización. Los valores obtenidos para los PID usandosintonización manual fueron:

Kp Ti TdLazo de Volumen 1 1 0Lazo deConcentración.

50 0.333 0.2

Figura 3 Diagrama de conexión de los controladores PID sin desacoplador

Se aplicaron señales tipo paso después de 10 minutos para llevar el nivel de 100 a 110litros y a los 50 minutos para llevar la concentración de 0.1 mol/l a 0.11 mol/l.

En la figura se observa que después de sintonizados los PIDs el cambio en el nivelgenera un impacto en la concentración, sin embargo un cambio en concentración noafecta el nivel. Si queremos reducir este impacto podremos construir un desacopladorestático y recalcular los PIDs.

Page 9: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Figura 4 Resultados de la simulación de sistema controlado con dos PID's sin desacople2

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Experimente cambiando los parámetros de los PID en el archivoCSTRCoupledPID.mdl antes de correr esta simulación debe ejecutarel archivo cstrinit.m para inicializar los parámetros del simulador.

2) Trate de hacer su propia sintonización (Estoy seguro que con un poco deesfuerzo podrá obtener algo mejor!!)

3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

Cálculo de Controladores PID usando desacoplador.

Si observamos la ganancia estática del sistema

2 El archivo de simulink CSTRCouplePID.mdl contiene los elementos necesarios para reproducir estasimulación.

Page 10: Ejercicio Ilustrativo CSTR

0.0056 0.0037(0)

2 0G

− =

es imposible aplicar las formulas estudiadas en el curso para diagonalizar estesistema, ya que las fórmulas, requieren que los elementos en la diagonal principalsean distintos de cero. Hay dos opciones una es recalcular una formula para undesacoplador que no divida por los elementos de la diagonal principal o intercambiarlas entradas de modo que la ganancia en la diagonal principal sea distinta de cero. Quees lo que haremos en las siguientes líneas:

11 12

21 22

( )cq q

G s G GCa

G GV

=

Intercambiando las columnas de G(s) se obtiene:

12 11

22 21

'( )cq q

G s G GCa

G GV

=

En este caso

11 12

12 11

21 22

22 21

( )' ( ) ( )

( )

( )' ( ) ( )

( )

( )' ( ) ( )

( )

( )' ( ) ( )

( )

c

c

c

Ca sG s G s

q s

Ca sG s G s

q s

V sG s G s

q s

V sG s G s

q s

= =

= =

= =

= =

Si calculamos la expresión a frecuencia cero:0.0037 0.0056

'(0)0 2

G−

=

Con esta descripción podremos construir un desacoplador usando la fórmula:

12 11

21 22

1 '( ) '( )'( )

'( ) '( ) 1

G s G sD s

G s G s

− = −

ya que el desacoplador es estático se obtiene:1 1.4878

'(0)0 1

D

=

Page 11: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Observe que este desacoplador nos relaciona dos entradas f1(t) y f2(t) que estaránacopladas con qc(t) y q(t) .

1 2

' '11 12' '21 22

'( ) ( ) ( )

( ) ( )c

f f

D s q D s D s

q D s D s

=

si queremos que el desacoplar funcione con nuestro sistema original G(s), bastará conintercambiar las filas del desacoplador.

1 2

' '21 22' '11 12

( ) ( ) ( )

( ) ( )c

f f

D s q D s D s

q D s D s

=

0 1(0)

1 1.4878D

=

Comprobamos la condición de desacople, calculando el producto 0.0037 0

(0) (0)0 2

G D

=

Efectivamente el sistema queda reducido a un sistema desacoplado. La sintonizaciónde los PIDs es ahora más simple ya que los efectos debidos a los otros lazos sonmenores, permitiendo una mayor libertad en el momento de sintonizar el sistema.

Los parámetros de los PIDs para el sistema desacoplado quedan resumidos en lasiguiente tabla:

Kp Ti TdLazo de Volumen 1 1 0Lazo deConcentración.

200 2 2.5

El esquema de conexión de los PIDs y el desacoplador se muestra en la Figura 5

Figura 5 Sistema controlado con desacoplador y PID3

3 El archivo de simulink CSTRDeCouplePID.mdl contiene los elementos necesarios para reproduciresta simulación.

Page 12: Ejercicio Ilustrativo CSTR

La Figura 6 muestra los resultados de la simulación del sistema con el desacoplador.

Figura 6 Resultados de la simulación del sistema desacoplado y controlado con PIDs

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice en detalle el diseñodel desacoplador. Observe que el problema requiere un manejo especial.Si no comprende este manejo. Pregunte!!!

2) Experimente cambiando los parámetros de los PID en el archivoCSTRDeCoupledPID.mdl antes de correr esta simulación debeejecutar el archivo cstrinit.m para inicializar los parámetros delsimulador.

3) Trate de hacer su propia sintonización (Estoy seguro que con un poco deesfuerzo podrá obtener algo mejor!!)

4) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

Page 13: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Diseño de un controlador Multivariable LQR

En nuestro ejemplo se pide controlar dos variables (Concentración y Volumen) concero error de estado estacionario. Esta tarea exige que si queremos construir uncontrolador por realimentación de estado debamos extender el sistema de modo queincluya un par de integradores sobre las variables que deseamos controlar con ceroerror de estado estacionario. El sistema extendido tendrá la siguiente presentación:

[ ]

0 0

0

0

ref

ref

Cax A x Bu

Ve C e D I

xy C Du

e

= + + −

= +

ɺ

ɺ

donde el vector e representa la integral del error de seguimiento, definido como:( ) ( )( )

( ) ( )( )refCa

refv

Ca t Ca te te

V t V te t

− = = −

ɺɺ

ɺ

Usando esta nueva representación podremos calcular un controlador LQR sidefinimos las matrices de la función de costo:

0( ) ( ) ( ) ( )T TJ x t Qx t u t Ru t dt

∞ = + ∫

de la siguiente forma:1 0 0 0 0

0 1 0 0 01 0

,0 0 1 0 00 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Q R

= =

Observe que todos los estados y las entradas tienen la misma penalización.

Obteniéndose una matriz de realimentación de estado con los siguientes valores:125.7877 0.7120 1.4577 0.0788 -0.9969

-173.4768 -1.1591 -0.0897 -0.9969 -0.0788

K

=

Las tres primeras columnas corresponden a la realimentación de los 3 estados"naturales" del sistema (Concentración, Temperatura y Volumen) (matriz Ks) los doscolumnas restantes corresponden a la realimentación de las integrales de los errores deseguimiento (matriz KI).

125.7877 0.7120 1.4577

-173.4768 -1.1591 -0.0897

0.0788 -0.9969

-0.9969 0.0788

S

I

K

K

=

=

Page 14: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Figura 7 Diagrama de bloques de la simulación lineal del controlador LQR

Es conveniente realizar la sintonía del controlador usando el modelo lineal, una vezajustado se puede montar el controlador sobre el modelo no-lineal. La Figura 7muestra el diagrama de Simulink (CSTRLQRLin.mdl) utilizado para probar elsistema. El resultado generado por este primer controlador (Figura 8) no satisface losrequerimientos exigidos por las condiciones del problema.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.06

0.08

0.1

0.12

Con

cent

ratio

n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100

105

110

115

Vol

ume

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10090

100

110

120

130

Flo

ws

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100435

440

445

Tem

pera

ture

Figura 8 Respuesta del modelo lineal con controlador LQR (Q=diag([1 1 1 1 1 1]) R=diag([1 1]))

De la figura es claro que la respuesta de la concentración es particularmente lenta, deotro lado el control de volumen llena las expectativas que se requieren en el sistema.Intuitivamente podemos tomar dos acciones una penalizando la desviación de la

Page 15: Ejercicio Ilustrativo CSTR

concentración (Ca) o penalizar la integral del error de concentración eCa. La idea esincrementar esta penalización, mientras mantenemos los valores de los flujos dentrode los límites permitidos por el sistema. Las siguientes gráficas muestran el efecto delcambio en la penalización de la integral del error de concentración.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.06

0.08

0.1

0.12

Con

cent

ratio

n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100

105

110

115

Vol

ume

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10090

100

110

120

130

Flo

ws

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100435

440

445

Tem

pera

ture

Figura 9 Respuesta del modelo lineal con controlador LQR (Q=diag([1 1 1 1e4 1]) R=diag([1 1]))

Page 16: Ejercicio Ilustrativo CSTR

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.06

0.08

0.1

0.12

Con

cent

ratio

n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100

105

110

115

Vol

ume

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10090

100

110

120

130

Flo

ws

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100435

440

445

Tem

pera

ture

Figura 10 Respuesta del modelo lineal con controlador LQR (Q=diag([1 1 1 1 50000 1])R=diag([1 1]))

Observe que finalmente con las matrices de costo:1 0 0 0 0

0 1 0 0 01 0

,0 0 1 0 00 1

0 0 0 50000 0

0 0 0 0 1

Q R

= =

el sistema cumple con las especificaciones de control deseadas. Generando unasmatrices de realimentación de la forma:

153.5413 0.9292 1.4970 58.0275 -0.9657

-257.9776 -1.8432 -0.1256 -215.9463 -0.2595K

=

Que queda distribuida entre la realimentación de los estados originales y los de laintegral del error así:

153.5413 0.9292 1.4970

-257.9776 -1.8432 -0.1256

58.0275 -0.9657

-215.9463 -0.2595

s

I

K

K

=

=

Finalmente verificaremos el funcionamiento del sistema conectando las matrices derealimentación al sistema lineal original de acuerdo con el diagrama mostrado en laFigura 11 (CSTRLQR.mdl)

Page 17: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Volum e Ref

(Caa Ta v)

Sta te o f L inea ri za tion

-Ks* u

S ta te Feedb ack

1s

In tegra to r1

1s

In tegra to r

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Dem ux

1 03.3 7

Co nstan t1

100 Co nstan t

Conc Ref

Reactant Flow

Coolant Flow

Concentration

Temperature

Volume

CST R

Figura 11 Diagrama de simulación del controlador LQR con la planta no lineal

El desempeño del sistema es bastante similar al observado con el sistema lineal comolo muestra la Figura 12. Observe que el controlador realiza automáticamente la laborde desacoplamiento reduciendo el impacto producido por los cambios en la referenciade variables distintas.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.06

0.08

0.1

0.12

Con

cent

ratio

n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100

105

110

115

Vol

ume

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10090

100

110

120

130

Flo

ws

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100435

440

445

Tem

pera

ture

Figura 12 Desempeño del sistema no linear con el controlador LQR

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

Page 18: Ejercicio Ilustrativo CSTR

1) Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice en detalle el diseñodel controlador, especialmente la implementación y el uso de losintegradores así como los ajustes donde se adiciona o restan los valoresde referencia de linealización.

2) Experimente cambiando los parámetros Q y R y recalcule distintasrealimentaciones de estado, realice la implementación en CSTRLQRLiny analice los tiempos de establecimiento.

3) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

Diseño de un observador óptimo (Kalman Filter) .

Para construir este observador asumimos que el ruido de medición de las salidas es:0.001 mol/l

1 lCa

V

v

v

==

y el "ruido en los estados"0.007 mol/l

4 Kelvin

1.5 litros

Ca

T

V

w

w

w

===

Si asumimos dichos ruidos como no correlacionados, tendremos unas matrices decovarianza de la siguiente forma:

{ }

{ }

2 5

2

2

2 6

2

0 0 4.9 10 0 0

( ) ( ) 0 0 0 16 0

0 0 0 0 2.25

0 10 0( ) ( )

0 0 121

CaT

w T

v

T Cav

V

w

R w t w t w

w

vR v t v t

v

ε

ε

× = = =

= = =

Ya que el ruido w(t) se asume entrando a cada estado de manera individual, se puededecir que:

1 0 0

0 1 0

0 0 1wB

=

La ganancia del observador se puede calcular, resolviendo la ecuación de Riccati obien usando directamente la función kalman incluida en el toolbox de control deMatlab. Para utilizar la función kalman es necesario entregar a la rutina un sistemadinámico con la siguiente descripción:

[ ][ ]0

K k w

k k

A A B B B

C C D D

= =

= =el prototipo de la función es:

[KEST,L,P] = KALMAN(SYS,QN,RN)donde KEST es un sistema dinámico con el observador ya construido, L es laganancia del observador y P la solución de la ecuación de Riccati. SYS es el sistemadescrito por las matrices de la fórmula (SYS=SS(AK,BK,CK,DK)), QN es Rw y RN

Page 19: Ejercicio Ilustrativo CSTR

es Rv . Resolviendo obtenemos la matriz L que gobernará la dinámica del observador.En la Figura 13 se puede observar la conexión del observador de estado. Esimportante resaltar que a la señal de salida se le ha adicionado un ruido de medicióncon varianza igual a la diagonal de Rv. El diagrama está en el archivoCSTRKALMAN.mdl. En la Figura 14 se puede observar el diagrama interno de laimplementación del observador.

Figura 13 Conexión del Observador de estado al sistema con el controlador LQR

Figura 14 Diagrama interno del observador incluyendo las adaptaciones para el punto deoperación

El desempeño del observador se puede apreciar en la siguiente figura donde secompara el estado original con el estado estimado. Observe que a pesar de lo ruidosade la señal de salida con el ruido de medición el sistema es capaz de hacer unaestimación bastante "limpia" de los estados.

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice en detalle el diseñodel observador, especialmente la implementación y los ajustes donde seadiciona o restan los valores de referencia de linealización.

Page 20: Ejercicio Ilustrativo CSTR

2) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatoriohacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

Figura 15 Señales medidas incluyendo el ruido de medición

Page 21: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Figura 16 Estados estimados. Observe la apreciable reducción en la amplitud del ruido en lasseñales Concentración y Volumen comparados con las señales medidas.

Controlador Cuadrático Gaussiano (LQG)

En esta fase no nos resta sino cerrar el lazo de control de manera que conectemos elcontrolador LQR al observador. La conexión se puede hacer de dos maneras,

1. una es conectar al LQR las señales de salida (y) directamente y conectar losestados entregados por el observador (CSTRLQG2.mdl).

2. la otra manera es conectar el LQR a las señales de salida (ye) del observador yconectar los estados entregados por el observador (CSTRLQG1.mdl).

El desempeño de ambas opciones es diferente como se muestra en las siguientesfiguras.

Page 22: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Figura 17 Desempeño del sistema con controlador LQG y realimentación de la salida estimada.

En este punto le sugiero que haga lo siguiente:

1) Reproduzca cuidadosamente los resultados y analice en detalle lasdiferencias entre las dos conexiones

2) Reduzca los dos bloques de controlador y observador a un bloque únicoeliminando posibles ajustes de nivel que sean redundantes.

3) Repase los pasos que tomo para completar este diseño.4) Compare sus resultados con el sistema que utilizo unicamente PID y PID

con desacoplador5) Cual considera ud. es más fácil de diseñar.6) PREGUNTE LO QUE NO ENTIENDA. Recuerde que no es obligatorio

hacer estos ejercicios ni rendir informe, lo importante es que puedapreparar su evaluación.

Page 23: Ejercicio Ilustrativo CSTR

Figura 18 Desempeño del sistema con controlador LQG y realimentación de la salida medida.