Ejercicio de las 9 esferas

Ocho esferas iguales, de radio r y tangentes dos a dos, reposan sobre un plano horizontal ysus centros forman un octógono regular. Determinar el radio de la esfera tangente al plano ytangente a las ocho esferas.

Figura 1: Imagen del problema.

Realización del ejercicio

Para ayudar a entender la resolución de este ejercicio, he preparado un videotutorial que sepuede encontrar en:

https://www.youtube.com/watch?v=O7CvzJ7TRNA

Parte 1. Construcción de un octógono regular con el centro en (0,0)

1. Abrimos GeoGebra.

2. Activamos la Vista Gráfica 1.

3. Deslizador r entre 0 y 5 con incremento 0.1. Mantenemos hasta el final su valor en 1, parafacilitar los cálculos.

4. Punto O=(0,0).

5. Utilizando geometría y trigonometría, averiguamos que un punto perteneciente al octó-gono tiene que ser el punto A=(r,(-1) · (r/tan(22.5o)). Hay que tener cuidado con elsímbolo de grados pues se debe coger del cuadrado con el símbolo α que se encuentra alfinal de la línea de entrada. Para entenderlo mejor, mirar la imagen siguiente.

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Figura 2: Imagen para entender la definición del punto A.

6. Elegimos la herramienta Rota alrededor de un punto. Rotamos el punto A alrededor delpunto O, con un ángulo de 45o en sentido antihorario. Aparecerá un punto A’.

7. Herramienta Polígono Regular. Elegimos los puntos A y A’ y lados 8.

Parte 2. Construcción de las 8 esferas con centro los vértices del octógono regular

1. Activamos la Vista Gráfica 3D.

2. Pulsamos el botón derecho del ratón en medio de la ventana y quitamos el Plano.

3. Pulsamos otra vez y en Vista Gráfica→ Básico→, desmarcamos Usar Recorte y MostrarRecorte.

4. En la línea de entrada escribimos la instrucción que dibujará las 8 esferas con centros losvértices del octógono y de radio r. Estas instrucciones serán:

a) En la Línea de Entrada escribiremos Esfera[A,r].

b) Repetimos esta instrucción con los otros 7 vértices cambiando la A por los nombresde los otros vértices. El último vértice en mi caso se llama G.

Parte 3. Construcción de la esfera central

1. Activamos la Vista Gráfica 1.

2. Deslizador rc entre 0 y 5, con incremento 0.0001.

3. Activamos la Vista Gráfica 3D.

4. Construimos el punto más bajo de la esfera central. PC=(0,0,rc-r).

5. Esfera[PC,rc]. Aparece una nueva esfera que en mi caso se llama q.

6. Cambiamos el color a la esfera central.

7. Activar la Vista Gráfica 1.

8. Crear una casilla de control que oculte y muestre la esfera central (q). Le pongo de título“Esfera Central”.

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Parte 4. Construcción de un plano que contenga los centros de dos esferas y el dela esfera central y sus intersecciones

1. Activamos la Vista Gráfica 3D.

2. Construimos el plano z=-r. Este plano tiene que ser tangente a las 9 esferas. Aunque laesfera central sea grande o pequeña debe seguir siendo tangente a este plano. Comprobe-moslo.

3. Construimos un plano en el que estén dos centros de dos esferas y el centro de la esferacentral. En mi caso ese plano que contiene a los tres puntos se construirá escribiendo enla línea de entrada Plano[B, F, PC]. en mi caso se llama u.

4. Construimos las intersecciones de las tres esferas con el plano. Para mi es más fácilescribieno en la línea de entrada:

a) Interseca[k, u]

b) Interseca[o, u]

c) Interseca[q, u]

d) Nos aparecen las intersecciones en la Vista Algebraica como tres cónicas, puesto queson circunferencias.

e) Pulsamos con el botón derecho en cualquiera de esas cónicas y elegimos Represen-tación 2D.

f ) Nos aparece una ventana nueva llamada Vista de Plano con las tres intersecciones.

g) Seguimos trabajando con esa ventana nueva.

h) Movemos el deslizador rc para que la esfera central intersecte con esas dos esferas.

i) Con la herramienta Intersección le decimos que intersecte la esfera central con laesferas laterales.

j ) Movemos el deslizador para ver si somo capaces de sacar una intersección con unpunto solo. Veremos que no somos capaces, por que el radio de laesfera solución debeser un número con muchos decimales o incluso irracional.

k) Opcional. Como en mi caso la Casilla de Control que oculta la esfera central sellama s y la intersección de la esfera con el plano se llama e1, en las propiedadesde e1 ponemos en Avanzado → Condición para mostrar el objeto, escribimos s.Ahora cuando activemos o desmarquemos la casilla se ocultará la esfera central y lacircunferencia.

l) Interseca[t,u], para ver una línea donde están apoyadas las tres circunferencias.

Parte 5. Construcción del triángulo que nos ayudará a resolver el problema

1. Activamos la ventana Vista de Plano.

2. Unimos mediante un segmento los centros de las dos esferas exteriores. En mi caso sonlos puntos B y F y el segmento se llama en mi caso b1.

3. Con la herramienta Punto Medio sacamos el punto medio de ese segmento.

4. Unimos mediante segmentos los centros de esas esferas con el centro de la esfera central.

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5. Como el triángulo es isósceles lo dividimos en dos partes para tener un triángulo rectán-gulo.

6. Movemos el deslizador rc para que en apariencia las tres esferas sean tangentes (aunqueno lo sean realmente, ya que el radio que necesitamos tiene infinitos decimales).

Ahora vamos a averiguar lo que miden los segmentos de ese triángulo rectángulo, por que consus valores podemos construir una ecuación que será la que utilizaremos para resolver nuestroejercicio.

Figura 3: Imagen del plano que contiene las intersecciones.

Parte 6. Ecuación de nuestro problema y resolución por GeoGebraCASEl triángulo rectángulo que vamos a estudiar tiene de lados conocidos:

El cateto altura que mide rc-r (El radio de la esfera central menos el valor del radio delas esferas exteriores).

La hipotenusa que es la suma de los dos radios rc+r (Radio de la esfera central más elradio de la esfera extrior).

El cateto de la base. Es la mitad del segmento que une los centros de dos esferas exteriores.Es la mitad de la diagonal del octógono.

De todos ellos el que no conocemos es la base que coincide con la mitad de la diagonal deloctógono. Para calcularlo veamos la siguiente imagen:

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Figura 4: Imagen del octógono y un triángulo que nos ayuda a solucionar el problema.

Como vemos, al ser un octógono tenemos que el ángulo que forma la diagonal con la horizontales la mitad del ángulo central. Este ángulo es de 22,5o. Entonces:

sen(22,5◦) =r

mitad diagonal

mitad diagonal =r

sen(22,5◦)

Ahora podemos construir la ecuación que resolverá el problema.Utilizando el Teorema de Pitá-goras tendremos que:

(rc+ r)2 = (rc− r)2 +(

r

sen(22,5◦)

)2

Como el radio de la esfera central (rc) es el valor desconocido, sustituiremos rc=x, obteniendopor tanto la ecuación:

(x+ r)2 = (x− r)2 +(

r

sen(22,5◦)

)2

Abrimos la Vista de Cálculo Simbólico CAS e introducimos la ecuación y la resolvemos pulsandoen la herramienta del menú que pone x=. El resultado que nos aparece será:

x =

√2 + 2

2

Para obtener el valor decimal pulsariamos x ≈ , obteniendo como solución x=1.70711. Podemosmodificar el número de decimales en el menú superior en Opciones → Redondeo.

Si quisieramos obtener una solución general que dependa de r, tal como dice el enunciado delproblema, debemos sustituir en la ecuación la r, por otro parámetro, por que como r estádefinido y tiene un valor concreto, GeoGebra coge ese valor y resuelve la ecuación en función deese valor. Por eso, vamos a escribir en GoGebraCAS la ecuación, pero en lugar de r pondremosresf (radio de las esferas). La ecuación quedaría así:

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(x+ resf)2 = (x− resf)2 +(

resf

sen(22,5◦)

)2

Resolvemos pulsando en la herramienta del menú que pone x=. El resultado que nos apareceserá:

x = resf ·√2 + 2

2

Esta es la solución de nuestro problema.

Parte 7. Comprobación Gráfica

Construimos ahora la esfera solución. Seguimos los siguientes pasos:

1. Activamos la Vista Gráfica 3D.

2. Ocultamos la esfera central.

3. En la Línea de Entrada escribimos rsol=r · (sqrt(2)+2)/2.

4. Definimos el centro de la esfera solución PS=(0,0,rsol-r).

5. Esfera[PS,rsol]. En mi caso se llama v. Esta esfera aparentemente es tangente a las 8esferas exteriores.

6. Intersectamos v con el plano u. Escribimos en la Línea de Entrada, Interseca[v,u].

7. En la Vista del Plano u se verá una circunferencia tangente a las dos exteriores. Intersec-tamos la nueva circunferecia central con las exteriores y comprobamos que es tangente.

8. Opcional. Creamos una Casila de control que oculte la esfera solución y su circunferenciaintersección con el plano u (en mi caso h1).

En la imagen aparece el aspecto final de la actividad.

Figura 5: Actividad Terminada.

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