Anlisis Estructural II Ejercicio de curso n2 Ciclo 2015-II

EJERCICIO DE CURSO 2

La figura muestra una barra de estructura espacial, el sistema de referencia adoptado

para estudiarla y las fuerzas que actan en los extremos. Es de seccin constante,

definida por un rectngulo vaco de lados a y b y espesor de la pared e, colocada de

forma que el lado b es paralelo al eje Z. La longitud de la pieza es L y los mdulos de

elasticidad y de elasticidad transversal del material que la forma son, respectivamente,

E y G.

Se pide determinar:

1. La matriz de flexibilidad de la barra.

2. La relacin de transferencia de la barra sometida a la accin de un momento

puntual Mi en el centro de la pieza y a un cambio de temperatura segn el eje

Z, definido por unos incrementos de 2TC en la cara superior y de 0C en la cara

inferior, que afecta a toda la longitud. Se debe obtener la matriz de

transferencia y el vector que incorpora los efectos del gradiente trmico.

3. La matriz de flexibilidad de la barra.

4. Las fuerzas de empotramiento perfecto originadas por el gradiente trmico

descrito en 2, calculadas resolviendo la viga empotrada en los dos extremos por

el mtodo de flexibilidad.

5. La matriz de rigidez, a partir de la matriz de flexibilidad.

6. La sptima, octava, novena y dcima columnas de la matriz de rigidez,

calculadas por el mtodo directo.

7. La matriz de rigidez y las fuerzas de empotramiento perfecto originadas por el

gradiente trmico descrito en 2, calculadas a partir de la relacin de

transferencia determinada en 2.

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NOTAS:

El problema se tiene que resolver teniendo en cuenta la deformacin por

cortante, es decir, considerando que la barra responde segn la teora de

Timoshenko. Se recomienda sustituir la rigidez frente a cortante GAQ en

funcin de la rigidez frente a flector EI y el factor de cortante en las matrices

de transferencia y de flexibilidad antes de calcular las de rigidez (apartados 5 y

7).

Teniendo en cuenta que la flexin en el plano XY, la flexin en el plano XZ, el

axil y la torsin determinan respuestas desacopladas, se recomienda analizarlas

una a una y despus montar los resultados en las matrices y vectores pedidos.

Eso os permitir trabajar con matrices 1x1 y 2x2, o 2x2 y 4x4 y simplemente

pasar los resultados a unas otras de 6x6 o 12x12 en lugar de operar con stas

desde el principio.

En los apartados que requieren invertir alguna matriz se recomienda trabajar

con los valores numricos antes que con los valores simblicos. Eso os

permitir invertir las matrices con la calculadora o con una hoja de clculo si no

queris hacerlo a mano. Recurriendo a un entorno matemtico (Mathcad,

Mathematica, Derive) podis invertir las matrices tanto numricamente como

simblicamente.

Por lo que respecta al punto 2, un gradiente trmico se trata exactamente igual

que una fuerza exterior. Notar que, en el caso ms general, un incremento de

temperatura y un gradiente trmico originan, respectivamente, un

alargamiento unitario de la directriz y un giro unitario que se pueden tener en

cuenta en los clculos recurriendo a un axial y un flector ficticios tanto en el

marco de la teora de Navier-Bernoulli como en el de Timoshenko. En efecto, la

accin trmica no origina ninguna distorsin angular, y las deformaciones que

produce es tratan de la misma forma en las dos teoras.

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DATOS:

a = 45 cm

b = 20 cm

e = 1 cm

L = 9 m

T = 35 C

M = 30 KNm

E = 150 GPa

= 0,3

= 210-5 C-1