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ANLISIS MATEMTICO DE FUNCIONES REALES DE
UNA Y VARIAS VARIABLES REALES
EJERCICIO DE AUTOEVALUACIN
TEMAS 6 A 11 - EJERCICIO 8
1. Dada la funin r(t)peridia de periodo
2pi que aparee repre-sentada en la gura,
alular su serie de
Fourier S(t) y analizarsu onvergenia.
2. Una sustania porosa humedeida on ierto lquido y expuesta al aire,
pierde su humedad on una rapidez que suponemos omo hiptesis que
es proporional al uadrado del ontenido de lquido que ontiene.
a) Construir un modelo matemtio para alular la antidad de
lquido H(t) que ontiene la sustania en ada instante.
b) Calular la familia de funiones H(t).
) Calular y representar gramente la funin H(t) si se sabe quela humedad pasa del valor H = 1 al valor H = 1/7 en tres das.
3. Considerar las superies S1, S2 y S3 denidas abajo. Sea V el slidointerior a S2 y limitado por S1 y S3. Representar gramente V y
alular su volumen.
S1 : x2 + y2 = a(z b) (0 < a < b)
S2 : x2 + y2 = a2
S3 : z = 2b
4. Supongamos que la transformada de Laplae de ierta funin derivable
y(t) es Y (s). Calular la transformada de Laplae F (s) de la funinF (t) = teaty(t), donde a es una onstante real.
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RESPUESTAS
1. r(t) par bn = 0 n N
a0 =1
pi
pi0
(t + pi) dt =3pi
2
an =2
pi
pi0
(t + pi) cosnt dt =
[u = t + pi du = dt
dv = cosnt dt v =sen nt
n
]=
=2
pi
((t + pi)
sennt
n
]pi0
1
n
pi0
sen nt dt
)=
2
pin2cosnt
pi0
=2
pin2((1)n 1) =
=
0 si n es par4
pin2si n es impar
S(t) =3pi
2
4
pi
k=0
cos(2k + 1)t
(2k + 1)2
Como r(t) es ontinua, S(t) = r(t) t R
2. a) H (t) = k H2(t)
b)
dH
H2= k dt
1
H= kt + C H =
1
kt + C
) H(0) = 1 1 = 1IC C = 1
H(3) = 1/7 1/7 =1
1 + 3k k = 2
H(t) =1
1 + 2t
3. Volumen=
= 4
pi2
0
a0
2b(2/a)+b
dz d d =
= 4
pi2
0
a0
(b 2/a) d d =
= 4
pi2
0
(1
2a2b
1
4a3)
d = (2a2ba3)pi
2
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4. L (y) = Y ; L (y) = sY y(0)
L (ty) = (1)1d
ds(sY y(0)) = (Y + sY ) = sY Y
L (eatt y) = (s a)Y (s a) Y (s a)