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Buenas noches profesor, me propuse realizar un ejercicio que me paso un amigo, más o

menos parecido al que usted nos puso del haz de protones que tenía una trayectoria

parabólica.

Situación hipotética

Supongamos una partícula de carga positiva “𝑞” y masa “𝑚” entra en una región que

tiene un campo eléctrico uniforme de magnitud “𝐸” hacia abajo debido a que en dicha

región tenemos dos placas horizontales paralelas cargadas con signo opuesto (La

positiva está arriba y la de abajo es negativa). Las placas son de longitud “𝐿” y la

separación entre las mismas es “𝑑”. Se sabe que la partícula entra en el borde izquierdo

de la placa negativa formando un ángulo “𝜙” con la horizontal y que su velocidad inicial

es “𝑣0”. Entonces, con estos datos propondré un modelo que pueda predecir

condicionalmente si la partícula choca con alguna de las placas.

Adicionalmente en el ejercicio propusieron que la partícula al impactar con las placas,

las traspasaba de manera que seguía su trayectoria continuamente. Para no tomar en

cuenta el desvió que tiene la trayectoria de la partícula por una hipotética colisión con la

placa positiva.

Solución:

Del curso de Física 1 sabemos que el vector de posición de una partícula con trayectoria

balística es:

𝑟(𝑡) = (𝑥0 + 𝑣0,𝑥 ∙ 𝑡)�̂� + (𝑦0 + 𝑣0,𝑦 ∙ 𝑡 −1

2𝑔 ∙ 𝑡2) �̂�

Si desde la perspectiva de Física 2 ignoramos el movimiento que ocasiona la fuerza de

gravedad debido a que la masa de la partícula es muy pequeña. Tomaremos en cuenta la

aceleración que le imprime la fuerza eléctrica del campo “𝐸”:

𝑟(𝑡) = (𝑥0 + 𝑣0,𝑥 ∙ 𝑡)�̂� + (𝑦0 + 𝑣0,𝑦 ∙ 𝑡 −1

2𝑎 ∙ 𝑡2) �̂�

Debido a que la partícula entra por el borde izquierdo de la placa negativa (que se

encuentra abajo), podríamos colocar nuestro sistema de referencia en ese punto, de

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manera que podría ser el origen de nuestro movimiento y los parámetros “𝑥0” y “𝑦0”

serian ambos cero.

𝑟(𝑡) = (𝑣0,𝑥 ∙ 𝑡)�̂� + (𝑣0,𝑦 ∙ 𝑡 −1

2𝑎 ∙ 𝑡2) �̂�

Anulando la variable temporal de la función vectorial para pasar de una curva

paramétrica a una curva en coordenadas cartesianas, tendríamos que:

{

𝑥(𝑡) = 𝑣0,𝑥 ∙ 𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑣0,𝑦 ∙ 𝑡 −1

2𝑎 ∙ 𝑡2

𝑦(𝑥) = −1

2𝑎 ∙ (

𝑥

𝑣0,𝑥)

2

+ 𝑣0,𝑦 ∙ (𝑥

𝑣0,𝑥)

Y debido a los datos que suministra el problema, tenemos el modulo del vector

velocidad inicial y tenemos su ángulo con la horizontal, de manera que:

𝑦(𝑥) = −1

2𝑎 ∙ (

𝑥

𝑣0 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜙))

2

+ 𝑣0 ∙ 𝑆𝑖𝑛(𝜙) ∙ (𝑥

𝑣0 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝜙))

Simplificando, tenemos que:

𝑦(𝑥) = −𝑎

2 ∙ 𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙)

∙ 𝑥2 + 𝑇𝑎𝑛(𝜙) ∙ 𝑥

Mediante la Segunda Ley de Newton podemos deducir que la aceleración debido a la

fuerza eléctrica es:

∑ 𝐹𝑦 = 𝑞 ∙ 𝐸 = 𝑚 ∙ 𝑎

𝑎 =𝑞 ∙ 𝐸

𝑚

Y sustituyendo en la ecuación de “𝑦(𝑥)”:

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𝑦(𝑥) = −𝑞 ∙ 𝐸

2 ∙ 𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

∙ 𝑥2 + 𝑇𝑎𝑛(𝜙) ∙ 𝑥 ⟹ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

Predicción del choque con las placas:

Buscando la altura máxima, podríamos buscar el máximo de la ecuación anterior, de

manera que haciendo:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑞 ∙ 𝐸

𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

∙ 𝑥 + 𝑇𝑎𝑛(𝜙) = 0

El valor de abscisa que cumple con la igualdad es:

−𝑞 ∙ 𝐸

𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

∙ 𝑥 + 𝑇𝑎𝑛(𝜙) = 0

𝑥 =𝑇𝑎𝑛(𝜙) ∙ 𝑣0

2 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

𝑞 ∙ 𝐸

𝑥 =𝑣0

2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑆𝑖𝑛(2𝜙)

2 ∙ 𝑞 ∙ 𝐸⟹ 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙

Si evaluamos dicho valor en la ecuación de la trayectoria:

𝑌𝑚𝑎𝑥 =𝑣0

2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑆𝑖𝑛2(𝜙)

2 ∙ 𝑞 ∙ 𝐸

Para evidenciar el choque con la placa positiva, ya que sabemos que la trayectoria es

una parábola convexa, podemos decir que:

𝑌𝑚𝑎𝑥 < 𝑑

Si la desigualdad anterior se cumple, entonces la partícula no choca con la placa

positiva, en caso contrario, si llegase a ocurrir:

𝑌𝑚𝑎𝑥 > 𝑑

Entonces la partícula choca con la placa positiva.

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Para predecir si habrá choque con la placa negativa, debido a que tenemos una ecuación

de la trayectoria que es una ecuación de segundo grado, calculo las raíces de dicha

ecuación:

𝑦(𝑥) = −𝑞 ∙ 𝐸

2 ∙ 𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

∙ 𝑥2 + 𝑇𝑎𝑛(𝜙) ∙ 𝑥

𝑦(𝑥) = 𝑥 ∙ (𝑇𝑎𝑛(𝜙) −𝑞 ∙ 𝐸

2 ∙ 𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

∙ 𝑥)

Debido a que no escogeremos la solución trivial “𝑥 = 0”:

𝑇𝑎𝑛(𝜙) −𝑞 ∙ 𝐸

2 ∙ 𝑣02 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚

∙ 𝑥 = 0

𝑥 =2 ∙ 𝑣0

2 ∙ 𝐶𝑜𝑠2(𝜙) ∙ 𝑚 ∙ 𝑇𝑎𝑛(𝜙)

𝑞 ∙ 𝐸

𝑥 =𝑣0

2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑆𝑖𝑛(2𝜙)

𝑞 ∙ 𝐸⟹ 𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒

𝑥𝑚𝑎𝑥 =𝑣0

2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑆𝑖𝑛(2𝜙)

𝑞 ∙ 𝐸⟹ 𝐴𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒

Si comparamos, obtendremos:

𝑥𝑚𝑎𝑥 < 𝐿

En ese caso, la partícula impacta con la placa negativa. En caso contrario, si tenemos:

𝑥𝑚𝑎𝑥 > 𝐿

La partícula pasa de largo sin chocar con la placa negativa.

Pregunta: ¿Todo el razonamiento está bien?, agradezco su respuesta si llega a leer este

documento.