7/28/2019 Ejercicio 2 Opción A Matemáticas Selectividad Junio 2012 Madrid

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S o l u c i ó n O p c i ó n A  

P r e g u n t a 2  

a ) P a r a q u e l o s p u n t o s s e a n c o p l a n a r i o s , e l p r o d u c t o m i x t o d e t r e s d e l o s v e c t o r e s f o r m a d o s p o r e l l o s t i e n e  

q u e s e r c e r o : −−−→P 1P 2 = (a− 1,−1, 1)−−−→P 1P 3 = (0, 2, 5)−−−→P 1P 4 = (1,−3, 3)

( 1 ) 

−−−→P 1P 2,

−−−→P 1P 3,

−−−→P 1P 4

=

a− 1 −1 10 2 51 −3 3

= 6 (a− 1)− 5 − [2 − 15 (a− 1)] = ( 2 ) 

= 6a − 6 − 5 − 2 + 15a− 15 = 21a− 28 = 0 ⇒ a =

28

21 =

4

3 .( 3 ) 

b ) E l v o l u m e n d e u n t e t r a e d r o s e c a l c u l a c o n l a e x p r e s i ó n :

V  =1

6|[  v1,  v2,  v3]| . ( 4 ) 

V a m o s a c a l c u l a r l a s d i s t i n t a s p o s i b i l i d a d e s q u e p o d r í a n d a r n o s u n v o l u m e n i g u a l a 7 :

V  =1

6

−−−→

P 1P 2,−−−→P 1P 3,

−−−→P 1P 4

=1

6|21a − 28| = 7 ⇒

21a− 28 = 42 ⇒ a = 70/21 = 10/3

28 − 21a = 42 ⇒ a = −14/21 = −2/3.( 5 ) 

c ) P a r a h a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o c u y o s p u n t o s e q u i d i s t a n d e   P 1 y  P 3 p r i m e r o c a l c u l a m o s e l p u n t o  

m e d i o ,

M , d e l s e g m e n t o f o r m a d o p o r  

P 1 y 

P 3 :

M  =

P 1x + P 3x

2,

P 1y + P 3y2

,P 1z + P 3z

2

=

1 + 1

2,

3 + 5

2,−1 + 4

2

=

1, 4,

3

2

. ( 6 ) 

E l v e c t o r n o r m a l a l p l a n o (  n = (A ,B,C )) t e n d r á l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e  

−−−→P 1P 3 , e s d e c i r :

n = (0, 2, 5) . ( 7 ) 

V é a s e l a F i g . ( 1 ) a c o n t i n u a c i ó n p a r a u n a m e j o r v i s u a l i z a c i ó n d e l p r o b l e m a .

E l p l a n o   π , p o r t a n t o , t e n d r á a   n c o m o v e c t o r n o r m a l y p a s a r á p o r e l p u n t o   M . I m p o n i e n d o l a p r i m e r a  

c o n d i c i ó n e n l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e u n p l a n o ,

Ax + By + Cz + D = 0, s e t i e n e :

0x + 2y + 5z + D = 0 ⇒ 2y + 5z + D = 0, ( 8 ) 

e i m p o n i e n d o l a s e g u n d a :

2 · 4 + 5 ·3

2+ D = 0 ⇒ D = −

31

2. ( 9 ) 

C o n t o d o e s t o , e l p l a n o   π b u s c a d o q u e d a d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

π : 2y + 5z −31

2= 0 ⇒ 4y + 10z − 31 = 0.

( 1 0 )  

1 

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    P 1

P 3

πM    

n

F i g u r a 1 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e l p r o b l e m a .

2