Ejercicios Propuestos

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A−1)

x− y−z=03 x− y+3 z=2−x+z=−1

Solución:

Tenemos las matrices: A=[ 1 −1 −13 −1 3

−1 0 1 ]B=[ 02

−1] X=[ xyz ]La solución del sistema está dada por:

X=A−1∗B

Primero hallamos la matriz inversa A−1usando el método de la matriz adjunta:

AdjA=[ |−1 30 1| −|−1 −1

0 1 | | 3 −1−1 0 |

−| 3 3−1 1| | 1 −1

−1 1 | −|1 −13 3 |

|−1 −1−1 3 | −| 1 −1

−1 0 | |1 −13 −1| ]

AdjA=[−1 1 −4−6 0 −6−1 1 2 ]

Ahora hallamos el determinante:

DetA=(1 ) (−1 )+(−1 ) (−6 )+(−1 ) (−1 )=−1+6+1=6

Luego la matriz inversa es:

A−1= 1DetA

∗AdjA

A−1=16∗[−1 1 −4

−6 0 −6−1 1 2 ]

A−1=[−16

16

−46

−66

0−66

−16

16

26

]A−1=[−1

616

−23

−1 0 −1−16

16

13

]Remplazamos:

X=A−1∗B

[ xyz ]=[−16

16

−23

−1 0 −1−16

16

13

]∗[ 02

−1]

[ xyz ]=[ 0+ 26+ 2

30+0+1

0+26−

13]

[ xyz ]=[110]Por lo tanto la solución es:

x=1

y=1

z=0