Ejercicio 1 Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000

Ejercicio 1

Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000, 5000 y 10000 euros, respectivamente. Si el primero le rinde un 5% anual, el segundo un 4% anual y el tercero un 2% anual, ¿cuál es el tipo de interés medio que recibe?

Solución:

D1: 2000 2000 -100%; x-5%: X=100…….monto final 2100

D2: 5000 5000 -100%; x-4%: X=200…….monto final 5200

D3: 10 000 10 000 -100%; x-2%: X=100…….monto final 10 200

Hallamos los respectivos intereses por mes de cada depósito.

D1:

5%-12 meses; 0.4167%- 1 mes D1: 2000 2008.334

2000-100% X=8.334

X -0.4167%

D2:

5%-12 meses; 0.33 %- 1 mes D1: 5000 5016.65

2000-100% X=16.65

X -0.33 %

D3:

5%-12 meses; 0.167%- 1 mes D1: 10 000 10 016.65

2000-100% X=16.65

X -0.167%

Para hallar el tipo de interés medio que recibe

D1+D2+D3=17 000; luego de un mes. 17 041.634 suma de intereses. 41.634

17 000-100% 41.634 -x

X=0.250% es el interés medio.

5%

4%

2%

1 año

1 mes

1 mes

1 mes

Ejercicio 2

Calcular la media, mediana, moda de los conjuntos de datos siguientes: a) 18, 18, 19, 17, 23, 20, 21, 18 b) 20, 21, 18, 19, 18, 17, 18

Solución:

Media(a) Media (b)

17,18,18, 18, 19,20,21,23 17, 18, 18,18, 19,20, 21

x=∑i=1

k

Xi

n

= 17+18+18+18+19+20+21+23

8=19.25

x=

∑i=1

k

Xi

n

= 17 ,+18+18+18+19+20+21

7 =18.72

Mediana (a) par Mediana (b) impar

Me=

x( 8

2)+x

(82+1)

2=18+19

2=18.5

Me=x(n2 +

12 )=18

Ejercicio 3

Obtener la media, mediana, moda y cuartiles en la siguiente distribución.

Solución:

Primeramente calculamos la marca de clase

li ls xi ni xini0 10 5 1 5

10 20 15 2 3020 30 25 4 10030 40 35 3 105

∑i=1

k

Xini = 240 ; n=10

Media

x= ∑i=1

k

Xini

n=240

10=24

Mediana

Hallamos la frecuencia acumulada, luego n/2=5 y determinamos Nj.

li ls xi ni Ni0 10 5 1 1

10 20 15 2 3 Nj-120 30 25 4 7 Nj30 40 35 3 10

lj-1=20 ; Nj-1=3 ; nj=4 ; aj=30-20=10

Me=l j−1+

n2−Nj−1

nj∗aj=20+

5−34

∗10=25

Moda

Como los datos son agrupados tenemos:

li ls ni

0 10 1

10 20 2

20 30 4

30 40 3

ni=4 ; nj-1=2 ; lj-1=20 ; aj=10 ; ni+1=3

Mo=l j−1+

ni−ni−1

(n¿¿ i−ni−1)+(ni−ni+1)∗aj=20+ 23∗10=26.67¿

Cuartiles

li ls ni Ni

0 10 1 1

10 20 2 3

20 30 4 7

30 40 3 10

Para los datos agrupados:

Cuartil 1(Q1)

q rk

= rnk

=104

=2.5 : q rk

=l j−1+

rnk

−Nj−1

nj∗aj=10+

1.52

∗10=17.5

Cuartil 2 (Q2)

q rk

= rnk

=204

=5 : q rk

=l j−1+

rnk

−Nj−1

nj∗aj=20+

24∗10=25

Cuartil 3 (Q3)

q rk

= rnk

=204

=5 : q rk

=l j−1+

rnk

−Nj−1

nj∗aj=30+

0.53

∗10=31.67

Ejercicio 4

Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.

Xi ni0 141 102 153 264 205 15

14 10 15 26 20 15

0000011…11222…2233…3334…444555…5 1, 14,15, 24, 25,26, 39,40, 50,51 65, 75,76 85,86, 100

Cuartil 2 (Q2)

Posición = r/k (n+1) = 2/4 (100+1) = 50,5 Entonces: q2 = 3+0,5(3-3) = 3

Cuartil 3 (Q3)

Posición = r/k (n+1) = 3/4 (100+1) = 75,75 Entonces: q3 = 4+0,75(4-4) = 4

Ejercicio 5

Calcular los cuartiles 1, 2 y 3 y percentil 25, percentil 50 y percentil 75 de las siguientes cantidades en metros: 3, 3, 4, 4, 5.

Solución:

Cuartil 1 (Q1)

Posición = r/k (n+1) = 6/4 = 1.5

Entonces: Q1 = 3+0,5(3-3) = 3

Cuartil 2 (Q2)

Cuartil 1 (Q1)

Posición = r/k. (n+1) = ¼. (100+1) = 25,25

Entonces:

q1 = 2+0,25(2-2)=2

C Metros.33445

C Metros.33445

Posición = r/k (n+1) = 12/4 = 3

Entonces: Q2 = 3+0,5(3-3) = 3

Cuartil 3 (Q3)

Posición = r/k (n+1) = 18/4 = 4.5

Entonces: q3 = 4+0,5(5-4) = 4.5

Percentil

Percentil 25 (P25)Posición = r/k (n+1) = 25*6/100 = 1.5

Entonces: P25 = 3+0,5(3-3) = 3

Percentil 50 (P50)

Posición = r/k (n+1) = 50*6/100 = 3

Entonces: P50 = 3+0,5(4-3) = 3.5

Percentil 75 (P75)

Posición = r/k (n+1) = 75*6/100 = 4.5

Entonces: P75 = 4+0,5(5-4) = 4.5

Ejercicio 6

Considere la siguiente muestra de la resistencia de 50 lotes de algodón (libra necesarias para romper una madeja)

74 90 99 97 89 94 87 79 90 83 91 96 81 98 81 98 91 99 94 98 98 82 90 86 96 88 97 85 92 97 96 76 96 81 93 100 108 101 105 105

C Metros.33445

C Metros.33445

C Metros.3

3445

C Metros.3

3445

110 101 106 103 106 115 101 102 100 101

a) Construya la tabla de frecuencias, b) grafique el histograma, polígono de frecuencias c) interprete los datos en la tabla d) determine la media aritmética e) determine la mediana y el tercer cuartil f) determine la moda

Solución:

Tabla de frecuencias

Li Ls Xi ni fi Ni Fi74.00 80.00 77.00 3.00 0.06 3.00 0.0680.00 86.00 83.00 6.00 0.12 9.00 0.1886.00 92.00 89.00 9.00 0.18 18.00 0.3692.00 98.00 95.00 11.00 0.22 29.00 0.5898.00 104.00 101.00 14.00 0.28 43.00 0.86

104.00 110.00 107.00 5.00 0.10 48.00 0.96110.00 116.00 113.00 2.00 0.04 50.00 1.00

50.00 1.00

Histograma, polígono de frecuencias

106.00 112.00 118.00 124.00 130.00 136.00 142.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Interpretación

3 lotes de algodón pueden producir de 74 a 80 libras para romper una madeja; el 10% de los lotes pueden producir de 104 hasta 110 libras de algodón para romper una madeja.

Media aritmética

Primeramente, calculamos la marca de clase (X). Para después calcular el producto Xini y proceder a calcular finalmente la media.

Xi ni Xini77 3 231 83 6 49889 9 80195 11 1045

101 14 1414107 5 535113 2 226

n= 50∑i=1

k

Xini = 4750

x= ∑i=1

k

Xini

n=4750

50=95

Mediana

Primero ordenamos los datos

74 87 94 98 10176 88 94 98 10279 89 96 98 10381 90 96 99 10581 90 96 99 10581 90 96 100 10682 91 97 100 10683 91 97 101 10885 92 97 101 11086 93 98 101 115

Como el número de elementos (n es par)

Me=

x( n

2)+x

( n2 +1)2

=

x(50

2)+x

(502

+1)2

=x25+x26

2=96+96

2=96

El tercer cuartil ( Q3 )

Determinamos la posición del cuartil 3 (q3)

Posición ¿rk

(n+1 )=34

(50+1 )=38.25 ; q3=¿101 + 0.25*(101-101)= 101

La moda ( M )

74 87 94 98 10176 88 94 98 10279 89 96 98 10381 90 96 99 10581 90 96 99 10581 90 96 100 10682 91 97 100 10683 91 97 101 10885 92 97 101 11086 93 98 101 115

Mo= 96

Ejercicio 7


74 90 99 97 89 94 87 79 90 83 91 96 81 98 81 98 91 99 94 98 98 82 90 86 96 88 97 85 92 97 96 76 96 81 93 100 108 101 105 105 110 101 106 103 106 115 101 102 100 101

a) Construya la tabla de frecuencias, b) grafique el histograma, polígono de frecuencias c) interprete los datos en la tabla d) determine la media aritmética e) determine la mediana f) determine la moda g) determine la varianza, coeficiente variación h) determine el coeficiente de variación

Solución:


Li Ls Xi ni fi Ni Fi74.00 80.00 77.00 3.00 0.06 3.00 0.0680.00 86.00 83.00 6.00 0.12 9.00 0.1886.00 92.00 89.00 9.00 0.18 18.00 0.3692.00 98.00 95.00 11.00 0.22 29.00 0.58

98.00 104.00 101.00 14.00 0.28 43.00 0.86104.00 110.00 107.00 5.00 0.10 48.00 0.96110.00 116.00 113.00 2.00 0.04 50.00 1.00

50.00 1.00


106.00 112.00 118.00 124.00 130.00 136.00 142.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Interpretación

3 lotes de algodón pueden producir de 74 a 80 libras para romper una madeja; el 10% de los lotes pueden producir de 104 hasta 110 libras de algodón para romper una madeja.

La media aritmética: 95

La mediana: 96

Moda: 96

La varianza, coeficiente variación

Lotes Media (x'í - xJ )^274 95 421.070476 95 342.990479 95 240.870481 95 182.790481 95 182.790481 95 182.790482 95 156.750483 95 132.710485 95 90.6304

86 95 72.590487 95 56.550488 95 42.510489 95 30.470490 95 20.430490 95 20.430490 95 20.430491 95 12.390491 95 12.390492 95 6.350493 95 2.310494 95 0.270494 95 0.270496 95 2.190496 95 2.190496 95 2.190496 95 2.190497 95 6.150497 95 6.150497 95 6.150498 95 12.110498 95 12.110498 95 12.110498 95 12.110499 95 20.070499 95 20.0704

100 95 30.0304100 95 30.0304101 95 41.9904101 95 41.9904101 95 41.9904101 95 41.9904102 95 55.9504103 95 71.9104105 95 109.8304105 95 109.8304106 95 131.7904106 95 131.7904108 95 181.7104110 95 239.6304115 95 419.4304

∑ x ' i=¿4726

∑i=1

k

(x ' i−x )2= 4026.48

n=50

s2=∑i=1

k

(x' i−x)2

n−1=4026.48

49=82.174 ;s=√82.174=9.065

Coeficiente de variación (CV)

CV=Sx=9.065

95=0.0954

Ejercicio 8


114 120 99 97 89 94 87 79 90 83 97 78 81 125 98 98 90 85 94 98 98 71 90 110 103 102 97 85 92 97 96 76 96 81 80 100 108 110 108 105 110 101 106 103 106 115 101 102 100 110

a) construya la tabla de frecuencias, b) grafique el histograma, polígono de frecuencias c) interprete los datos en la tabla d) determine la media aritmética e) determine la mediana f) determine la moda

Solución:


Li Ls Xi ni fi Ni Fi70.00 81.00 75.50 5.00 0.10 5.00 0.1081.00 92.00 86.50 10.00 0.20 15.00 0.3092.00 103.00 97.50 21.00 0.42 36.00 0.72

103.00 114.00 108.50 11.00 0.22 47.00 0.94114.00 125.00 119.50 1.00 0.02 48.00 0.96125.00 136.00 130.50 1.00 0.02 49.00 0.98136.00 147.00 141.50 1.00 0.02 50.00 1.00

50.00 1.00


106.00 112.00 118.00 124.00 130.00 136.00 142.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Interpretación

5 lotes de algodón pueden producir de 70 a 81 libras para romper una madeja; el 2% de los lotes pueden producir de 114 e inclusive hasta 147 libras de algodón para romper una madeja.

Media aritmética


Xi ni Xini75.5 5 377.586.5 10 86597.5 21 2047.5

108.5 11 1193.5119.5 1 119.5130.5 1 130.5141.5 1 141.5

n=50 ∑i=1

k

Xini = 4875

x= ∑i=1

k

Xini

n=4875

50=97.5=98

Mediana


71 87 97 100 10676 89 97 101 10878 90 97 101 10879 90 97 102 11080 90 98 102 11081 92 98 102 11081 94 98 103 11083 94 98 103 11585 96 99 105 12585 96 100 106 144


Me=

x( n

2)+x

( n2 +1)2

=

x(50

2)+x

(502

+1)2

=x25+x26

2=96+96

2=98

La moda ( M )

71 87 97 100 10676 89 97 101 10878 90 97 101 10879 90 97 102 11080 90 98 102 11081 92 98 102 11081 94 98 103 11083 94 98 103 11585 96 99 105 12585 96 100 106 144

Mo= 98 y 110

Ejercicio 9


90 120 99 97 89 94 87 79 90 8397 78 81 125 98 98 90 85 94 9898 72 90 110 103 102 97 85 92 97

115 76 118 124 110 100 108 110 108 105110 101 106 103 106 115 101 102 100 110

a) Construya la tabla de frecuencias, b) grafique el histograma, polígono de frecuencias c) interprete los datos en la tabla d) determine la media aritmética e) determine la mediana f) determine la moda

Solución:


Li Ls Xi ni fi Ni Fi

71.00 79.00 75.00 3.00 0.06 3.00 0.0679.00 87.00 83.00 6.00 0.12 9.00 0.1887.00 95.00 91.00 8.00 0.16 17.00 0.3495.00 103.00 99.00 15.00 0.30 32.00 0.64

103.00 111.00 107.00 12.00 0.24 44.00 0.88111.00 119.00 115.00 3.00 0.06 47.00 0.94119.00 127.00 123.00 3.00 0.06 50.00 1.00

50.00 1.00


106.00 112.00 118.00 124.00 130.00 136.00 142.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Interpretación

3 lotes de algodón pueden producir de 71 a 79 libras para romper una madeja; el 6% de los lotes pueden producir desde 111 e inclusive hasta 127 libras de algodón para romper una madeja.

Media aritmética


Xi ni Xini

75 3 22583 6 49891 8 72899 15 1485

107 12 1284115 3 345123 3 369

n=50 ∑i=1

k

Xini = 4934

x= ∑i=1

k

Xini

n=4934

50=98.68=99

Mediana


72 89 97 102 110

76 90 98 102 11078 90 98 103 11079 90 98 103 11081 90 98 105 11583 92 99 106 11584 94 100 106 11885 97 100 108 120

85 97 101 108 12487 97 101 110 125


Me=

x( n

2)+x

( n2 +1)2

=

x(50

2)+x

(502

+1)2

=x25+x26

2=98+99

2=98.5

La moda ( M )

72 89 97 102 110

76 90 98 102 11078 90 98 103 11079 90 98 103 11081 90 98 105 11583 92 99 106 11584 94 100 106 11885 97 100 108 12085 97 101 108 12487 97 101 110 125

Mo= 90,97 y 110

Ejercicio 10

Los siguientes datos corresponden a las lecturas de la presión sanguínea sistólica que se hicieron a 51 adultos que presentaron un examen físico:

104 112 139 118 132 132 112 106 126 126 118 117 116 113 122 123 116 114 117 106 124 115 118 123 105 120 121 120 102 138 106 113 114 122 108 122 112 112 123 116 124 111 111 114 123 107 120 120 124 122 131

a) Construir tabla de frecuencias. b) Que porcentaje de personas tiene una presión mayor a 117. c) Ordene los datos en un histograma y ojiva de frecuencias. d) Estime las medidas de tendencia central aprendidas.

Solución:


Li Ls Xi ni fi Ni Fi

100.00 106.00 103.00 3.00 0.06 3.00 0.06

106.00 112.00 109.00 7.00 0.14 10.00 0.20112.00 118.00 115.00 15.00 0.29 25.00 0.49118.00 124.00 121.00 16.00 0.31 41.00 0.80124.00 130.00 127.00 5.00 0.10 46.00 0.90130.00 136.00 133.00 3.00 0.06 49.00 0.96136.00 142.00 139.00 2.00 0.04 51.00 1.00

51.00 1.00

Qué porcentaje de personas tiene una presión mayor a 117.

Como 51 es al 100%; 0.31+0.10+0.06+0.04=0.51 es al 51% de los adultos.


106.00 112.00 118.00 124.00 130.00 136.00 142.000.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

Medidas de tendencia central

Media aritmética


Xi ni Xini

103 3 309

109 7 763

115 15 1725

121 16 1936

127 5 635

133 3 399

139 2 278

n=51 ∑i=1

k

Xini = 6045

x= ∑i=1

k

Xini

n=6045

51=118.53=119

Mediana


112 118 123

102 112 118 123

104 113 118 123

105 113 120 124

106 114 120 124

106 114 120 124

106 114 120 126

107 115 121 126

108 116 122 131

111 116 122 132111 116 122 132112 117 122 138112 117 123 139

Como el número de elementos (n es impar)

Me=x(n2 +

12 )=x

(512

+12 )=x (26 )=118

La moda ( M )

112 118 123

102 112 118 123

104 113 118 123

105 113 120 124

106 114 120 124

106 114 120 124

106 114 120 126

107 115 121 126

108 116 122 131

111 116 122 132111 116 122 132112 117 122 138112 117 123 139

Mo= 120 y 122

Ejercicio 11

Los pesos, en Kg, de 20 alumnos de cierto centro son: 51,47, 55, 53, 49, 47, 48, 50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61. a) Calcular la media y moda de los datos. b) Agrupar los datos en clases. Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media de los datos agrupados. c) ¿Qué diferencias existen entre la media de los datos agrupados o no agrupados? d) Calcular mediana y cuartiles, de los datos sin agrupar. e) Representar los datos mediante un diagrama de caja.

Solución:

Media

x=∑i=1

k

Xi

n

=

51+47+55+53+49+47+48+50+43+60+45+5+62+57+46+49+52+42+3+6120

=50.45

La moda ( M )

38 47 50 5542 47 51 5743 48 52 6045 49 53 6146 49 54 62

Mo= 47.


Li Ls Xi ni fi Ni Fi36.00 41.00 38.50 1.00 0.05 1.00 0.0541.00 46.00 43.50 3.00 0.15 4.00 0.2046.00 51.00 48.50 7.00 0.35 11.00 0.5551.00 56.00 53.50 5.00 0.25 16.00 0.8056.00 61.00 58.50 2.00 0.10 18.00 0.9061.00 66.00 63.50 2.00 0.10 20.00 1.00

20.00 1.00


41.00 46.00 51.00 56.00 61.00 66.000.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

Media aritmética


Xi ni Xini38.50 1.00 38.5043.50 3.00 130.5048.50 7.00 339.5053.50 5.00 267.50

58.50 2.00 117.0063.50 2.00 127.00

n=20.00∑i=1

k

Xini = 1020.00

x= ∑i=1

k

Xini

n=1020

20=51

¿Qué diferencias existen entre la media de los datos agrupados o no agrupados?

En la aplicación de la formula y el resultado.

x= ∑i=1

k

Xini

n=1020

20=51

x=∑i=1

k

Xi

n

=

51+47+55+53+49+47+48+50+43+60+45+5+62+57+46+49+52+42+3+6120

=50.45

Mediana y cuartiles, de los datos sin agrupar.

Mediana


38 47 50 5542 47 51 5743 48 52 6045 49 53 6146 49 54 62


Me=

x( n

2)+x

( n2 +1)2

=

x(20

2)+x

( 202

+1)2

=x10+x11

2=49+50

2=49.5

Cuartiles

38 47 50 5542 47 51 5743 48 52 6045 49 53 6146 49 54 62

El primer cuartil ( Q1 )


Posición ¿rk

(n+1 )=14

(20+1 )=5.25 ; q3=46+0.25∗(47−46)= 46.25



Posición ¿rk

(n+1 )=24

(20+1 )=10.5 ; q3=¿49+0.5*(50-49)= 49.5



Posición ¿rk

(n+1 )=34

(20+1 )=15.75; q3=¿54+0.75*(55-54)= 54.75

Diagrama de caja facas

Ejercicio 12

Las edades, en años, de los asistentes a cierto curso fueron 30, 28, 31, 29, 30, 33, 31, 19, 31.

a) ¿Cuál es la edad media de los asistentes? ¿Es representativa esta medida para los datos anteriores? En caso negativo, proponer una medida de centralización más adecuada.

Solución:

Media

x=∑i=1

k

Xi

n

= 30+28+31+29+30+33+31+19+319

=29.1

29.1 representa que la mayoría de jóvenes tienen entre 29 y 30 años que en un 27%.

Ejercicio 13

Dada la siguiente tabla de frecuencias calcular cuartiles, moda, media, mediana.

xi ni12 113 114 215 316 217 1

Solución:

Cuartiles



Posición ¿rk

(n+1 )=14

(20+1 )=5.25 ; q3=46+0.25∗(47−46)= 46.25



Posición ¿rk

(n+1 )=24

(20+1 )=10.5 ; q3=¿49+0.5*(50-49)= 49.5



Posición ¿rk

(n+1 )=34

(20+1 )=15.75; q3=¿54+0.75*(55-54)= 54.75

Moda

Mo=15

Media

xi ni xini12 1 1213 1 1314 2 2815 3 4516 2 3217 1 17

n=10 147

x=∑i=1

k

Xi

n

= 14710

=14.7

Mediana

Me=

x( n

2)+x

( n2 +1)2

=

x(10

2)+x

(102

+1)2

=14+14

2=14

Ejercicio 14

Las cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de hidroxiprolina absorbidos por 1 gramo de masa intestinal analizados en distintos pacientes.

mg hidroxiprolina(xi) 773 61.2 82.4 75.9 61 70.2 65 80

núm. Pacientes (ni) 3 10 15 13 8 5 2 0

Se pide: a) ¿Cuántos pacientes fueron examinados? b) Representar el diagrama de frecuencias relativas acumuladas. c) ¿Cuál es la moda?, ¿Cuál es la mediana?

Solución:

a) ∑i=1

k

¿=56

b)

xi ni fi Fi773 3 0.05 0.0561.2 10 0.18 0.23

82.4 15 0.27 0.5075.9 13 0.23 0.7361 8 0.14 0.88

70.2 5 0.09 0.9665 2 0.04 1.0080 0 0.00 1.00

56 1

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

FiSeries8Series7Series6Series5Series4Series3Series2Series1

c)

Moda

Mo=82.4

Mediana

n/2=28

Me=

x( n

2)+x

( n2 +1)2

=x(28 )+x ( 29)

2=

82.4+75.92

=79.15

xi ni773 361.2 1082.4 1575.9 1361 8

70.2 565 280 0

n=56

Ejercicio 1 Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000

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