Ejercicio 1 1- Golden ratio and Fibonacci sequence

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  • Geometra y

    Trigonometra

    Actividad 1.1

    La razn de oro y la serie de Fibonacci

    G. Edgar Mata Ortiz

  • Geometra y Trigonometra La razn de oro y la serie de Fibonacci

    http://licmata-math.blogspot.mx/ 1

    Introduccin

    Los Elementos de Euclides es un conjunto de 13 libros, escritos en griego, que

    contienen el desarrollo de la geometra a partir de 5 postulados y, mediante

    proposiciones lgicas, demuestra otras afirmaciones llamadas teoremas.

    En el libro 6, la proposicin 30, plantea dividir un segmento en extrema y media

    razn, lo cual significa dividir un segmento en dos partes de tal forma que la

    divisin del segmento completo entre la parte mayor, sea igual a la divisin de la

    parte mayor entre la menor. Geomtricamente:

    Dado un segmento AB:

    Encontrar un punto C sobre ese segmento que tenga la propiedad:

    =

    El procedimiento geomtrico es interesante, sin embargo, por ahora, es

    preferible convertir este problema geomtrico a uno algebraico.

    Vamos a considerar la longitud total del segmento como una unidad, es decir:

    = 1

    Y tomaremos como incgnita la longitud del segmento AC: =

    Por lo tanto, la longitud del segmento BC debe ser: = 1

    Sustituyendo estos valores en la proporcin queda:

    =

    =

    Resuelve la expresin algebraica obtenida, anota e interpreta el resultado en el

    siguiente espacio:

    Expresin algebraica simplificada: _____________________________________

    Resultado: ________________________________________________________

    Interpretacin: ____________________________________________________

    _________________________________________________________________

    _________________________________________________________________

    _________________________________________________________________

    _________________________________________________________________

    La Geometra

    La Geometra

    y su origen

    Todas las antiguas

    civilizaciones desarrollaron

    conceptos matemticos,

    generalmente relacionados

    con necesidades prcticas.

    Sin embargo, el pueblo

    griego, desarroll una

    forma de hacer

    matemticas que era

    diferente a todos los

    dems; se bas en el

    razonamiento lgico y

    transform radicalmente y

    para siempre el significado

    de esta ciencia.

    La referencia ms confiable

    que tenemos de la

    matemtica griega es el

    libro: Los Elementos

    escrito por Euclides

    alrededor de 300 a. C.

    Este libro desarrolla los

    conceptos geomtricos

    mediante el mtodo

    axiomtico deductivo.

    Es el libro cientfico ms

    editado de todos los

    tiempos.

    La razn de oro y la serie de Fibonacci

    A B

    A B C

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    Otra forma de calcular las medidas de los segmentos. Qu sucede si ahora consideramos que el segmento BC = 1, y tomamos como incgnita (x), la medida del

    segmento AC?

    Resuelve e interpreta el resultado en las siguientes lneas.

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    La cultura y las artes. La cultura griega ha tenido una fuerte influencia en las obras de numerosos artistas, un ejemplo interesante de

    este hecho es la pintura de Raphael, La Escuela de Atenas. En ella se encuentran representados los ms

    importantes filsofos y cientficos de la antigedad clsica.

    Elabora una sntesis de, al menos, 1500 palabras, en la que indiques quines son estos personajes, as como sus

    aportaciones a nuestra civilizacin. Puedes encontrar ms informacin en la siguiente direccin:

    http://www.authorstream.com/Presentation/licmata-3014945-golden-ratio/

    http://www.authorstream.com/Presentation/licmata-3014945-golden-ratio/

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    El rectngulo ureo. El rectngulo ureo se caracteriza porque la razn del lado mayor, al menor, es igual al nmero ureo:

    = 1.618033

    En el reverso de esta hoja, o en una hoja adicional, construye un rectngulo ureo utilizando solamente una

    regla no graduada y un comps, conforme a la figura de la derecha:

    1. Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida

    2. Localiza el punto medio M de la base AB de dicho cuadrado

    3. Utiliza el comps con una abertura igual a la distancia desde el punto medio de la base (M) hasta uno

    de los vrtices del lado opuesto, C o D.

    4. Utiliza la prolongacin de la base AB y traza un arco de crculo tomando centro en M y sealando el

    punto P sobre la prolongacin del lado AB.

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    5. Con una abertura del comps igual a la distancia AP, y con centro en el punto D, traza un arco en

    direccin al punto P.

    6. Con una abertura del comps igual a la distancia AB, y con centro en el punto P, traza un arco que corte

    al arco trazado en el paso anterior en el punto Q.

    7. Une los puntos P y Q.

    8. Prolonga el lado CD hasta el punto Q.

    9. El rectngulo APQD es un rectngulo ureo.

    10. Al dividir la medida del lado AP entre la medida del lado AD debe ser igual a 1.618033

    Aplicaciones del rectngulo ureo. Por mucho tiempo se ha afirmado que

    las proporciones de este rectngulo son

    armoniosas por naturaleza y que,

    cualquier diseo que est basado en el

    valor de = 1.618033, ser

    visualmente atractivo. Es posible que

    estas afirmaciones carezcan de bases

    cientficas slidas, pero, debido a la

    popularidad de estas creencias,

    numerosos diseadores modernos

    utilizan estas proporciones en sus

    creaciones, de modo que podremos

    encontrar diversos diseos de logotipos,

    pginas web, portadas de libros y

    revistas, entre muchos otros productos,

    que estn elaborados con base en el

    rectngulo ureo y/o el valor de .

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    Entre los argumentos ms importantes para afirmar que las

    proporciones del rectngulo ureo son naturalmente

    atractivas, se dice que estas proporciones son comunes en la

    naturaleza; de alguna forma se afirma que la naturaleza utiliza

    estas proporciones en el diseo de los seres vivos.

    Algunos investigadores consideran que todas estas afirmaciones

    carecen de fundamento, por ejemplo: George Markowski, en

    Misconceptions about the Golden Ratio, seala, uno por uno,

    los conceptos errneos que las personas emplean para justificar

    sus afirmaciones.

    Este documento se encuentra en la siguiente direccin:

    https://goldennumber.net/wp-content/uploads/George-Markowsky-Golden-Ratio-Misconceptions-MAA.pdf

    Elabora un ensayo de 2400 palabras acerca de los argumentos a favor, y en contra, de la creencia en la armona

    del rectngulo ureo, incluye dos ejemplos del uso de dicho rectngulo; uno de ellos en la antigedad, y otro

    actual.

    La serie de Fibonacci. Leonardo de Pisa es el nombre real de El hijo de Bonaccio = Filis Bonaccio = Fibonacci. Naci en Pisa

    alrededor de 1175 d. C. Debido al trabajo de su padre, Fibonacci vivi su niez en el norte de frica, donde

    aprendi el sistema de numeracin arbigo y, en 1202, ya de regreso en Italia, public el libro; Liber Abaci o

    Libro del baco, en el que explica el sistema de numeracin arbigo e incluye un problema que,

    posteriormente, se volvi famoso: el problema de la reproduccin de dos conejos.

    Este problema, es el que da lugar a la serie de Fibonacci, que, por muchos aos, pas desapercibida, hasta que

    el matemtico Edouard Lucas, en los ltimos aos del siglo XIX, redescubri este problema y lo atribuy a su

    autor original.

    Investiga y anota en las siguientes lneas la redaccin del problema de la reproduccin de los dos conejos:

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    En el siguiente espacio, explica el proceso de solucin del problema de los dos conejos:

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    ___________________________________________________________________________________________

    https://goldennumber.net/wp-con