Geometría y

Trigonometría

Actividad 1.1

La razón de oro y la serie de Fibonacci

G. Edgar Mata Ortiz

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Introducción

“Los Elementos” de Euclides es un conjunto de 13 libros, escritos en griego, que

contienen el desarrollo de la geometría a partir de 5 postulados y, mediante

proposiciones lógicas, demuestra otras afirmaciones llamadas teoremas.

En el libro 6, la proposición 30, plantea dividir un segmento en extrema y media

razón, lo cual significa dividir un segmento en dos partes de tal forma que la

división del segmento completo entre la parte mayor, sea igual a la división de la

parte mayor entre la menor. Geométricamente:

Dado un segmento AB:

Encontrar un punto C sobre ese segmento que tenga la propiedad:

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝐴𝐶

𝐵𝐶

El procedimiento geométrico es interesante, sin embargo, por ahora, es

preferible “convertir” este problema geométrico a uno algebraico.

Vamos a considerar la longitud total del segmento como una unidad, es decir:

𝐴𝐵 = 1

Y tomaremos como incógnita la longitud del segmento AC: 𝐴𝐶 = 𝑥

Por lo tanto, la longitud del segmento BC debe ser: 𝐵𝐶 = 1 − 𝑥

Sustituyendo estos valores en la proporción queda:

𝐴𝐵

𝐴𝐶=𝐴𝐶

𝐵𝐶∴𝟏

𝒙=

𝒙

𝟏 − 𝒙

Resuelve la expresión algebraica obtenida, anota e interpreta el resultado en el

siguiente espacio:

Expresión algebraica simplificada: _____________________________________

Resultado: ________________________________________________________

Interpretación: ____________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

La Geometría

La Geometría

y su origen

Todas las antiguas

civilizaciones desarrollaron

conceptos matemáticos,

generalmente relacionados

con necesidades prácticas.

Sin embargo, el pueblo

griego, desarrolló una

forma de hacer

matemáticas que era

diferente a todos los

demás; se basó en el

razonamiento lógico y

transformó radicalmente y

para siempre el significado

de esta ciencia.

La referencia más confiable

que tenemos de la

matemática griega es el

libro: “Los Elementos”

escrito por Euclides

alrededor de 300 a. C.

Este libro desarrolla los

conceptos geométricos

mediante el método

axiomático deductivo.

Es el libro científico más

editado de todos los

tiempos.

La razón de oro y la serie de Fibonacci

A B

A B C

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Otra forma de calcular las medidas de los segmentos. ¿Qué sucede si ahora consideramos que el segmento BC = 1, y tomamos como incógnita (x), la medida del

segmento AC?

Resuelve e interpreta el resultado en las siguientes líneas.

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___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

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La cultura y las artes. La cultura griega ha tenido una fuerte influencia en las obras de numerosos artistas, un ejemplo interesante de

este hecho es la pintura de Raphael, “La Escuela de Atenas”. En ella se encuentran representados los más

importantes filósofos y científicos de la antigüedad clásica.

Elabora una síntesis de, al menos, 1500 palabras, en la que indiques quiénes son estos personajes, así como sus

aportaciones a nuestra civilización. Puedes encontrar más información en la siguiente dirección:

http://www.authorstream.com/Presentation/licmata-3014945-golden-ratio/

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El rectángulo áureo. El rectángulo áureo se caracteriza porque la razón del lado mayor, al menor, es igual al número áureo:

= 1.618033…

En el reverso de esta hoja, o en una hoja adicional, construye un rectángulo áureo utilizando solamente una

regla no graduada y un compás, conforme a la figura de la derecha:

1. Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida

2. Localiza el punto medio M de la base AB de dicho cuadrado

3. Utiliza el compás con una abertura igual a la distancia desde el punto medio de la base (M) hasta uno

de los vértices del lado opuesto, C o D.

4. Utiliza la prolongación de la base AB y traza un arco de círculo tomando centro en M y señalando el

punto P sobre la prolongación del lado AB.

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5. Con una abertura del compás igual a la distancia AP, y con centro en el punto D, traza un arco en

dirección al punto P.

6. Con una abertura del compás igual a la distancia AB, y con centro en el punto P, traza un arco que corte

al arco trazado en el paso anterior en el punto Q.

7. Une los puntos P y Q.

8. Prolonga el lado CD hasta el punto Q.

9. El rectángulo APQD es un rectángulo áureo.

10. Al dividir la medida del lado AP entre la medida del lado AD debe ser igual a 1.618033

Aplicaciones del rectángulo áureo. Por mucho tiempo se ha afirmado que

las proporciones de este rectángulo son

“armoniosas” por naturaleza y que,

cualquier diseño que esté basado en el

valor de = 1.618033…, será

visualmente atractivo. Es posible que

estas afirmaciones carezcan de bases

científicas sólidas, pero, debido a la

popularidad de estas creencias,

numerosos diseñadores modernos

utilizan estas proporciones en sus

creaciones, de modo que podremos

encontrar diversos diseños de logotipos,

páginas web, portadas de libros y

revistas, entre muchos otros productos,

que están elaborados con base en el

rectángulo áureo y/o el valor de .

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Entre los argumentos más importantes para afirmar que las

proporciones del rectángulo áureo son “naturalmente”

atractivas, se dice que estas proporciones son comunes en la

naturaleza; de alguna forma se afirma que la naturaleza “utiliza”

estas proporciones en el diseño de los seres vivos.

Algunos investigadores consideran que todas estas afirmaciones

carecen de fundamento, por ejemplo: George Markowski, en

“Misconceptions about the Golden Ratio”, señala, uno por uno,

los conceptos erróneos que las personas emplean para justificar

sus afirmaciones.

Este documento se encuentra en la siguiente dirección:

https://goldennumber.net/wp-content/uploads/George-Markowsky-Golden-Ratio-Misconceptions-MAA.pdf

Elabora un ensayo de 2400 palabras acerca de los argumentos a favor, y en contra, de la creencia en la armonía

del rectángulo áureo, incluye dos ejemplos del uso de dicho rectángulo; uno de ellos en la antigüedad, y otro

actual.

La serie de Fibonacci. Leonardo de Pisa es el nombre real de “El hijo de Bonaccio” = Filis Bonaccio = Fibonacci. Nació en Pisa

alrededor de 1175 d. C. Debido al trabajo de su padre, Fibonacci vivió su niñez en el norte de África, donde

aprendió el sistema de numeración arábigo y, en 1202, ya de regreso en Italia, publicó el libro; “Liber Abaci” o

Libro del Ábaco, en el que explica el sistema de numeración arábigo e incluye un problema que,

posteriormente, se volvió famoso: el problema de la reproducción de dos conejos.

Este problema, es el que da lugar a la serie de Fibonacci, que, por muchos años, pasó desapercibida, hasta que

el matemático Edouard Lucas, en los últimos años del siglo XIX, redescubrió este problema y lo atribuyó a su

autor original.

Investiga y anota en las siguientes líneas la redacción del problema de la reproducción de los dos conejos:

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___________________________________________________________________________________________

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En el siguiente espacio, explica el proceso de solución del problema de los dos conejos:

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Desarrollo de la serie de Fibonacci. La regla para construir la serie es muy sencilla, comienza con 1, 1, y los siguientes elementos se obtienen

sumando los dos términos anteriores, es decir, 1+1=2, por lo que la serie queda: 1, 1, 2. El siguiente término se

obtiene de la suma 1+2=3, obteniéndose: 1, 1, 2, 3, y así sucesivamente. Continúa la serie en el espacio

siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ______________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Relación de la serie de Fibonacci con la proporción áurea. Estos dos conocimientos, uno de geometría que se encuentra en “Los Elementos”

escrito en el siglo III a. C. y otro de aritmética, desarrollado en el siglo XII d. C.

están relacionados: La división de dos números consecutivos de la serie de

Fibonacci tiende al valor de = 1.618033…

En la siguiente tabla, anota los valores de las divisiones indicadas, observa que los

resultados se van aproximando, cada vez más, al valor de

Uso de Excel para obtener el valor de Elabora una hoja de cálculo en Excel, en la que obtengas los primeros 200 elementos de la sucesión de

Fibonacci y efectúa las divisiones de cada pareja de números consecutivos para observar cuál es el mejor valor

de que podemos obtener de mediante este procedimiento.

1 34 34/21 = 1597 1597/987 =

1 1/1 = 55 55/34 = 2584 2584/1597 =

2 2/1 = 89 89/55 = 4181 4181/2584 =

3 3/2 = 144 144/89 = 6765 6765/4181 =

5 5/3 = 233 233/144 = 10946 10946/6765 =

8 8/5 = 377 377/233 = 17711 17711/10946 =

13 13/8 = 610 610/377 = 28657 28657/17711 =

21 21/13 = 987 987/610 = 46368 46368/28657 =

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Compara las siguientes figuras; la primera es la espiral áurea, y la segunda, se construye con cuadrados cuyas

medidas de los lados se toman de la serie de Fibonacci. Investiga cómo se construyen, trázalas utilizando

AutoCAD y explica sus diferencias y semejanzas.

Observaciones y conclusiones. El conocimiento científico, cuando no se comprende con

claridad, puede dar lugar a interpretaciones o

generalizaciones erróneas o sin fundamento. Es necesario

comprender claramente los conceptos en estudio para

facilitar su aplicación.

La geometría es una antigua disciplina científica; se consolidó

con base en el método axiomático desde el siglo III a. C. y

constituye la base sobre la cual se han desarrollado otras

ramas de la matemática.

Las necesidades prácticas dan lugar a la generación de conocimiento empírico que, posteriormente, es validado

y fundamentado para consolidarse como un conjunto de leyes científicas las cuales, a partir de ese momento,

podrán aplicarse a otras situaciones con la confianza de que se ha verificado su validez.

Explicación de las semejanzas y diferencias

geométricas de las figuras.

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Bibliografía