Geometra y

Trigonometra

Actividad 1.1

La razn de oro y la serie de Fibonacci

G. Edgar Mata Ortiz

Geometra y Trigonometra La razn de oro y la serie de Fibonacci

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Introduccin

Los Elementos de Euclides es un conjunto de 13 libros, escritos en griego, que

contienen el desarrollo de la geometra a partir de 5 postulados y, mediante

proposiciones lgicas, demuestra otras afirmaciones llamadas teoremas.

En el libro 6, la proposicin 30, plantea dividir un segmento en extrema y media

razn, lo cual significa dividir un segmento en dos partes de tal forma que la

divisin del segmento completo entre la parte mayor, sea igual a la divisin de la

parte mayor entre la menor. Geomtricamente:

Dado un segmento AB:

Encontrar un punto C sobre ese segmento que tenga la propiedad:

=

El procedimiento geomtrico es interesante, sin embargo, por ahora, es

preferible convertir este problema geomtrico a uno algebraico.

Vamos a considerar la longitud total del segmento como una unidad, es decir:

= 1

Y tomaremos como incgnita la longitud del segmento AC: =

Por lo tanto, la longitud del segmento BC debe ser: = 1

Sustituyendo estos valores en la proporcin queda:

=

=

Resuelve la expresin algebraica obtenida, anota e interpreta el resultado en el

siguiente espacio:

Expresin algebraica simplificada: _____________________________________

Resultado: ________________________________________________________

Interpretacin: ____________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

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La Geometra

La Geometra

y su origen

Todas las antiguas

civilizaciones desarrollaron

conceptos matemticos,

generalmente relacionados

con necesidades prcticas.

Sin embargo, el pueblo

griego, desarroll una

forma de hacer

matemticas que era

diferente a todos los

dems; se bas en el

razonamiento lgico y

transform radicalmente y

para siempre el significado

de esta ciencia.

La referencia ms confiable

que tenemos de la

matemtica griega es el

libro: Los Elementos

escrito por Euclides

alrededor de 300 a. C.

Este libro desarrolla los

conceptos geomtricos

mediante el mtodo

axiomtico deductivo.

Es el libro cientfico ms

editado de todos los

tiempos.

La razn de oro y la serie de Fibonacci

A B

A B C

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Otra forma de calcular las medidas de los segmentos. Qu sucede si ahora consideramos que el segmento BC = 1, y tomamos como incgnita (x), la medida del

segmento AC?

Resuelve e interpreta el resultado en las siguientes lneas.

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La cultura y las artes. La cultura griega ha tenido una fuerte influencia en las obras de numerosos artistas, un ejemplo interesante de

este hecho es la pintura de Raphael, La Escuela de Atenas. En ella se encuentran representados los ms

importantes filsofos y cientficos de la antigedad clsica.

Elabora una sntesis de, al menos, 1500 palabras, en la que indiques quines son estos personajes, as como sus

aportaciones a nuestra civilizacin. Puedes encontrar ms informacin en la siguiente direccin:

http://www.authorstream.com/Presentation/licmata-3014945-golden-ratio/

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El rectngulo ureo. El rectngulo ureo se caracteriza porque la razn del lado mayor, al menor, es igual al nmero ureo:

= 1.618033

En el reverso de esta hoja, o en una hoja adicional, construye un rectngulo ureo utilizando solamente una

regla no graduada y un comps, conforme a la figura de la derecha:

1. Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida

2. Localiza el punto medio M de la base AB de dicho cuadrado

3. Utiliza el comps con una abertura igual a la distancia desde el punto medio de la base (M) hasta uno

de los vrtices del lado opuesto, C o D.

4. Utiliza la prolongacin de la base AB y traza un arco de crculo tomando centro en M y sealando el

punto P sobre la prolongacin del lado AB.

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5. Con una abertura del comps igual a la distancia AP, y con centro en el punto D, traza un arco en

direccin al punto P.

6. Con una abertura del comps igual a la distancia AB, y con centro en el punto P, traza un arco que corte

al arco trazado en el paso anterior en el punto Q.

7. Une los puntos P y Q.

8. Prolonga el lado CD hasta el punto Q.

9. El rectngulo APQD es un rectngulo ureo.

10. Al dividir la medida del lado AP entre la medida del lado AD debe ser igual a 1.618033

Aplicaciones del rectngulo ureo. Por mucho tiempo se ha afirmado que

las proporciones de este rectngulo son

armoniosas por naturaleza y que,

cualquier diseo que est basado en el

valor de = 1.618033, ser

visualmente atractivo. Es posible que

estas afirmaciones carezcan de bases

cientficas slidas, pero, debido a la

popularidad de estas creencias,

numerosos diseadores modernos

utilizan estas proporciones en sus

creaciones, de modo que podremos

encontrar diversos diseos de logotipos,

pginas web, portadas de libros y

revistas, entre muchos otros productos,

que estn elaborados con base en el

rectngulo ureo y/o el valor de .

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Entre los argumentos ms importantes para afirmar que las

proporciones del rectngulo ureo son naturalmente

atractivas, se dice que estas proporciones son comunes en la

naturaleza; de alguna forma se afirma que la naturaleza utiliza

estas proporciones en el diseo de los seres vivos.

Algunos investigadores consideran que todas estas afirmaciones

carecen de fundamento, por ejemplo: George Markowski, en

Misconceptions about the Golden Ratio, seala, uno por uno,

los conceptos errneos que las personas emplean para justificar

sus afirmaciones.

Este documento se encuentra en la siguiente direccin:

https://goldennumber.net/wp-content/uploads/George-Markowsky-Golden-Ratio-Misconceptions-MAA.pdf

Elabora un ensayo de 2400 palabras acerca de los argumentos a favor, y en contra, de la creencia en la armona

del rectngulo ureo, incluye dos ejemplos del uso de dicho rectngulo; uno de ellos en la antigedad, y otro

actual.

La serie de Fibonacci. Leonardo de Pisa es el nombre real de El hijo de Bonaccio = Filis Bonaccio = Fibonacci. Naci en Pisa

alrededor de 1175 d. C. Debido al trabajo de su padre, Fibonacci vivi su niez en el norte de frica, donde

aprendi el sistema de numeracin arbigo y, en 1202, ya de regreso en Italia, public el libro; Liber Abaci o

Libro del baco, en el que explica el sistema de numeracin arbigo e incluye un problema que,

posteriormente, se volvi famoso: el problema de la reproduccin de dos conejos.

Este problema, es el que da lugar a la serie de Fibonacci, que, por muchos aos, pas desapercibida, hasta que

el matemtico Edouard Lucas, en los ltimos aos del siglo XIX, redescubri este problema y lo atribuy a su

autor original.

Investiga y anota en las siguientes lneas la redaccin del problema de la reproduccin de los dos conejos:

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En el siguiente espacio, explica el proceso de solucin del problema de los dos conejos:

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https://goldennumber.net/wp-con