Ejercicios

1. Liste todas las posibles muestras irrestrictas aleatorias de tamaño n = 2 que pueden seleccionarse de la población 0, 1, 2, 3, 4. Calcule la 2 de la población y la V (y) de la media muestraly Luego, demuestre por cálculo directos que

0,0=0 2,0=1 4,0=2.50,1=0.5 2,1=1.5 4,1=2.50,2=1 2,2=2 4,2=30,3=1.5 2,3=2.5 4,3=3.50,4=2 2,4=3 4,4=41,0=0.5 3,0=1.51,1=1 3,1=21,2=1.5 3,2=2.51,3=2 3,3=31,4=2 3,4=3.5

DATOS

n=2N=25Y=1.96σ 2=1.08

V (Y )=25−225 ( 1.08

2 )V (Y )=0.52

V (Y− )= N−nN−1 ( σ 2

n )

V (Y− )= N−nN−1 ( σ 2

n )

2. Para las muestras irrestrictas aleatorias generales en el Ejercicio 1, calcule la s2 de cada muestra. Demuestre numéricamente que

DATOS

n=2N=25Y=1.96σ 2=1.08

E (S2 )= 2525−1

1.08

E (S2 )=1.13

E ( s2 )= NN−1

σ2

3. Suponga que usted va a estimar el número de conglomerados de maleza de cierto tipo en un campo. ¿Cuál es la población, y que usaría como unidades de muestreo? ¿Cómo construiría un marco? ¿Cómo seleccionaría una muestra irrestricta aleatoria? Si la unidad de muestreo es un área, tal una yarda cuadrada, ¿afecta el tamaño seleccionado para la unidad de muestreo a la precisión de los resultados? ¿Qué consideración tomaría en cuenta su elección del tamaño de la unidad de muestreo?

Rpta.1. La población de una muestra conglomerada se divide en n elementos en varios grupos,

de tal manera que cada uno sea representativo, usaría como unidades de muestreo límites naturales de cada elemento de grupo.

2. El marco no se construiría obteniendo la población completa de maleza del campo3. Se seleccionaría:

a. Especificar claramente los extractos.b. Asegurarse de que las muestras seleccionadas sean independientes.c. Seleccionar una muestra mediante la técnica correspondiente.

4. No afecta el tamaño porque no muestra un grupo de elementos de la población en determinado grupo de maleza.

5. Se tomaría en cuenta la consideración de seleccionar aleatoriamente un cierto número de maleza e investigar después todos los elementos referentes a los elegidos.

5. Las autoridades de un parque estatal están interesadas en la participación de personas que acampan y que consideran que el espacio del área disponible para acampar en un terreno en particular es adecuado. Las autoridades decidieron tomar una muestra irrestricta aleatoria de n=30 de los primeros N=300 grupos acampados que visitan el campo. Sea yi = 0 si el jefe del i-ésimo grupo muestreado considera que el espacio del área disponible para acampar no es adecuado, y yi = 1 si considera que es adecuado (i = 1, 2, …….. 30). Use los datos de la tabla adjunta para estimar p, la proporción es adecuado. Establezca un limite para el error de estimación.

PersonaMuestreada Respuestas, yi

1 12 03 1. .

. .29 130 1

--------------------

p=2530

=0.83

p=±Z ∝2 √ pqn √ N−n

N

p=±1.96√ 0.83×0.1730 √ 300−30

300p=±0.13

∑i=1

30

yi=25

6. Use los datos del ejercicio 5 para determinar el tamaño de muestra requerido para estimar p con un límite para el error de estimación de magnitud E = 0.05.

DATOS

N=300Z1−∝=1.96p=0.83q=0.17e=0.05

n=N×Z1−∝

2× p×q

e2 (N−1 )+Z1−∝2× p×q

n= 300×1.962×0.83×0.170.052 (300−1 )+1.962×0.83×0.17

n=126.10

n=127

7. Una muestra irrestricta aleatoria de n = 100 medidores de agua es controlada dentro de una comunidad para estimar el promedio de consumo de agua diario por casa, durante un periodo estacional seco. La media y la varianza muéstrales fueron y = 12.5 y S2 =1252. Si suponemos que hay N = 10,000 casas dentro de la comunidad, estime , el promedio de consumo diario verdadero, y establezca un límite para el error de estimación.

DATOSn=100N=10,000y=12.5S2=1252μ=?e=?

Promedio

μ= y=∑ y in

μ=12.5

Varianza estimada de y

V ( y )=S2

n ( N−nN )

V ( y )=1252100 ( 10,000−100

10,000 )V ( y )=12.3948

Límite del error de estimación

1.96√12.3948

6.90

8. Usando los datos del Ejercicio 7, estime el número total de galones de agua, T, usado diariamente durante el periodo seco. Establezca un límite para el error de estimación = 0.10.

DATOS

n=100N=10,000y=12.5S2=1252

Estimar el total poblacional

t=N yt=10,000×12.5=125,000

Varianza estimada del total poblacional

V ( t )=V (N y )=N 2 S2

n ( N−nN )

V ( t )=10,0002 1252100 (10,000−100

100 )V ( t )=1,239,480,000

Límite de error de estimación para el total poblacional

2.58√1,239,480,000

90,832.12

9. Los encargados de administrar los recursos de los terrenos dedicados a la caza silvestre están interesados en el tamaño de las poblaciones de venado y de conejo en los meses de invierno en un bosque en particular. Como una estimación del tamaño de la población, los administradores proponen usar el número promedio de grupos densos de conejos de venados por parcelas de 30 pies por lado. De acuerdo con una fotografía aérea, el bosque fue dividido en N = 10,000 cuadros de 30 pies por lado. Una muestra irrestricta aleatoria de n = 500 parcelas fue seleccionada, y se observó el número de grupos densos de conejos y de venados, los resultados de este estudio se resumen en la tabla adjunta. Estime 1 y 2, el número promedio de grupos densos de venados y conejos, respectivamente, por parcelas de 30 pies por lado, establezca los límites para los errores de estimación. = 0.01

Venados ConejosMedia muestral = 2.30 Media muestral = 4.52Varianza muestral = 0.65 Varianza muestral = 0.97

VENADODATOS

n=500N=10,000y=2.30S2=0.65∝=0.01Z1−∝=2.58

Promedio

μ= y=∑ y in

μ=¿2.30

Varianza estimada de y

V ( y )=S2

n ( N−nN )

V ( y )=0.65500 ( 10,000−500

10,000 )V ( y )=0.001235

Límite del error de estimación

2.58√0.001235

0.09

CONEJO

DATOSn=500N=10,000y=4.52S2=0.97∝=0.01Z1−∝=2.58

Promedio

μ= y=∑ y in

μ=¿4.52

Varianza estimada de y

V ( y )=S2

n ( N−nN )

V ( y )=0.97500 ( 10,000−500

10,000 )V ( y )=0.001843

Límite del error de estimación

2.58√0.001843

0.11

10. Una muestra irrestricta aleatoria de n = 40 estudiantes de un colegio fue entrevistada para determinar la proporción de estudiantes que está a favor del cambio del sistema semestral al trimestral. Veinticinco de los estudiantes respondieron afirmativamente. Estime la proporción de estudiantes del colegio que está a favor del cambio (suponga que N = 2000). Establezca un límite para el error de estimación. = 0.05

DATOS

n=40N=2,000∝=0.05

p=2540

=0.625

q=0.375

p ±Z ∝2 √ pqn √ N−n

N

p±1.96 √ 0.625×0.37540 √ 2,000−40

2,000

p ±0.15