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Ejercicios profwes/os5476.Dada la funcin f(x, y) ~ x2 + y2, encuentre + Ax 'y)- m a) lm K x-*o Ax f(x, y + Ay) - /(x, y)&y -*o Ay14.3 1 2. 3. 4.Derivadas parciales Encuentre las derivadas parciales respecto a x y a y x2 , 4y2 2y x 2 2 z = eos (x + y ). Dada la funcin /(x, y) = 4xy / Vx2 + y2, encuentre y /y en el punto (1, 0). Encuentre todas las derivadas parciales de h(x, y, z) = sen (x + 2y + 3z). Encuentre 32z / 3x2, a2z / iy2, d2z / dy dx, y d2z / dx ay para z = le**1 z = x4 - 3x2y2 + y4 Muestre que z = sen wcr sen wx es una solucin de la ecuacin dlzldt1 = c2(92z/6x2). Utilice la definicin de lmite de derivadas parciales para encontrar /*(*> y) y fy(x, y) para f(x, y) = 1 / (x + y). Bosqueje la curva formada por la interseccin de la superficie z = x2 + 4y2 y el plano y \. Encuentre la pendiente de la curva en el punto (2, 1, 8).5. 6. 7. 8. 9.14.4i. 2. 3.DiferencialesEncuentre la diferencial total para x2 + 1 y - e-*2 + y2). z = \(e w ~ xzyz1 + sen yz Dada la funcin f(x, y) = 3x - 4y, a) evale /(l, 2) y /(l.05, 2.1), y calcule Az, b) use la diferencial total dz para obtener una aproximacin de Az. La potencia elctrica P est dada por P = Ez/R, en donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproxime el error porcentual mximo al calcular la potencia si se aplican 200 volts a una resistencia de 4000 ohms y los posibles errores porcentuales en las medidas de Ey.R son 2 y 3%,4.respectivamente.y 48Captulo 14 funciones de varias variables14.5 1. 2.Regla de la cadena Si w = xycosz, x = , y = 2, z = arceos t, encuentre dw i di usando la regla de la cadena. Si w = sen (2e + 3y), x - s + r, y = s - /, encuentre dn'/d y dw I dt usando la regla de la cadena. Evale cada derivada parcial cuando s 0 y t = *. Si w = eos (x y), x t\ y 1, encuentre dw I dt a) por la regla de la cadena y b) convirtiendo H> en funcin de t antes de derivar. Si w - V4 - Tx1 - 2y2, x = /' eos 6, y = r sen (9, encuentre dw / dt y dw I d& a) por la re^to de la cadena y b) convirtiendo w a una funcin de r y 0 antes de derivar. Utilice derivacin implcita para encontrar dw / dx, dw I dy y dw I dz para xyz + xzw yzw + w2 ~ 5. El radio r y la altura de un cilindro circular recto aumentan a razn de 6 y 4 pulgadas por minuto, respectivamente. Encuentre las razones de cambio del volumen y el rea superficial en el momento en que el radio es de 12 pulgadas y la altura es de 36. Una funcin f(x, y) es homognea de grado ti si [{tx, ty) t"f(x,y). Encuentre el grado dla funcin homognea f(x, y) = 2x3 3xy2.3. 4.5. 6.7.14.6Derivadas direcrionales y gradientes Encuentre la derivada direccional de la funcin dada en el punto P y la direccin que se indica: h(x, y) = e-^seny, P = (1, ), Y = i f(x,y) = .r - y-, P = .(43), y - ^-(i + j) f(x, y, z) = x2 + y2 + z\ P = (.1, 2, -1), v = i - 2j + 3k Encuentre el gradiente de la funcin y el valor mximo de la derivada direccional en el punto indicado: h(x,y) = ycos(x-y), P(0, f) /(-*, h z) = Vx2 + y2 + z \ P = (1, 4, 2) Si f(x, y) = 3 - (x/3) - (y/2), encuentre Du/(3, 2), donde u = eos 6i + sen #j y a) 0 '.= 4J, b) 6 - -5. Si /(x, y) = 3 (x/3) (y/2) encuentre un vector unitario u ortogonal a V/(3, 2) y calcule Duf(3, 2). Analice el significado geomtrico del resultado.4. 56. 7.iEjercicios propuestos549Utilice el gradiente para encontrar un vector normal a la grfica de 3x2 - 2y~ - 1 en el punto P == (1, 1). Bosqueje sus resultados. La ecuacin h(x, y) = 4000 - O.OOlx2 - .004y2 describe la superficie de una montaa. Suponga que un alpinista est en el punto (500, 300, 3390). En qu direccin debe moverse para ascender lo ms rpido posible? Encuentre la trayectoria que sigue una partcula rastreadora de calor situada en un punto P sobre una placa metlica que tiene un campo de temperatura dado por T(x, y) = 50 x2 - 2y2 en el punto P = (0, 0). 7 Planos tangentes y rectas normales Encuentre un vector unitario normal a la superficie zexi-yt _ 3 ._ o en el punto P = (2, 2, 3). Encuentre una ecuacin del plano tangente para la funcin h(x, y) = In Vx2 + y2 en el punto (3, 4, ln 5). Encuentre la ecuacin del plano tangente a x2 + 4y2 + z2 = 36 en el punto (2, -2, 4). Encuentre la ecuacin del plano tangente y las ecuaciones simtricas para la recta normal a la superficie xz + y2 z2 0 en el punto (5, 12, 13). Encuentre una ecuacin para el plano tangente y las ecuaciones simtricas.de la recta normal a la superficie xyz = 10 en el punto (1, 2, S^-Para las superficies descritas por z = Vx2 + y2 y lx + y 4 2z = 20, encuentre a) ecuaciones simtricas de la recta tangente a su curva de interseccin en el punto (3, 4, 5) y b) el coseno del ngulo qu forman los gradientes de las superficies en el mismo punto.,2 2 2Muestre que el plano tangente al elipsoide - + ~- + -$ = 1 en el2bl2 + l + hl - i a2 2b c "punto (x0, y0, z0) se puede escribir en la forma8 Extremos de funciones de dos variables Analice si la funcin dada tiene extremos relativos y puntos silla: f(x, y) = x2 + 6xy + 10y2 - Ay + 4 g(xt y) = 120x 4- 120y - xy - x2 - y2550Captulo i 4 Punciones de varias variables3. 4.Encuentre los extremos absolutos de f(x, y) = xz - 4xy en la regin R = {(x, y) : 0 < x < 4, 0 < y < Vx } Para la funcin f(x, y) = (x - l)2 (y + 4)2, encuentre los puntos crticos y realice la prueba de extremos relativos. D una lista de los puntos crticos para los que la prueba de las segundas derivadas parciales no s cumple.14.9 Aplicaciones de extremos de funciones de dos variables 1. Encuentre tres nmeros positivos para los que la suma sea 32 y P xy2z sea mximo. 2. El material para construir la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces lo que el material para construir los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de volumen mximo que puede hacerse con una cantidad fija C de dinero. Una compaa fabrica dos productos. Los ingresos totales de xx unidades del producto 1 y x2 unidades del producto 2 son R = - 5x - Sx| - 2x^2 + 42c1 + 102x2. Encuentre Xj y x2 tales que los ingresos sean mximos. Para los siguientes puntos (1, 0), (2, 0), (3, 0), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (5, 2), (6, 2), a) encuentre la regresin lineal de mnimos cuadrados y b) calcule S, la suma de los cuadrados de los errores. Utilice el teorema sobre el sistema de ecuaciones para la regresin, para encontrar la regresin cuadrtica de los puntos (-2, 0), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 5).3.4.5.14.10 Multiplicadores de Lagrange Utilice multiplicadores de Lagrange para encontrar el mximo de la funcin / cuando est sujeta a la restriccin dada. En cada caso suponga que x, y y z son positivos. 12. 3. 4. 5. f(x> y) - V6 - x2 TJf, sujeta ax + y-2 = 0. /(x, y, z) = xyz , sujeta a x + y + z-6 = 0. /(x, y, z) = xy + yz, sujeta ax + 2y = 6 y x 3z = 0. Utilice multiplicadores de Lagrange para encontrar la distancia mnima del punto (4, 0, 0) al cono z = Vx2 + y2 Demuestre que el producto de tres nmeros positivos cuya suma es S, es mximo si los tres nmeros son iguales.Ejercicios propuestos 55114.11 Ejercicios de repaso 1. Encuentre las primeras derivadas parciales de f(x, y, z) = zarctan. 2. 3. Encuentre todas las segundas derivadas de f(x,y) ~ 3x2 xy + 2y* y verifique que las segundas derivadas parciales mixtas son iguales. Demuestre que la funcin z = x? 3xy2 satisface la ecuacin deLaplace -$ + - = 0. * + * dxz 2dy4.Encuentre du / dt si u = y2 x, x eos t, y sen t\ a) utilice la regla de la cadena y b) verifique el resultado sustituyendo los valores de x, y y z antes de derivar. Encuentre el gradiente y el valor mximo de la derivada direccional de f(x, y) - y (x2 + y2) en el punto (1, 1). Para la superficie definida por z = V9 x2 y2 encuentre una ecuacin para el plano tangente y ecuaciones paramtricas de la recta normal en el punto (1, 2, 2). Localice y clasifique cualquier extremo de la funcin f(x, y) = ,1,1 xy -\ ----+ . y x y La funcin de produccin de un fabricante es f(x, y) = 4r + xy + y. Suponiendo que la cantidad total disponible para trabajo y capital5. 6.7.8.es 2000 dlares y que las unidades respectivas de trabajo y capital cuestan 20 y 4 dlares, encuentre el nivel de produccin mximo de este fabricante.Ahora Mv = J j J z(densidad) 5 syJl / 2 f,TC I 2 ~a=kI JoI /o Jo(p COS