MATEMÁTICA III

APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas.Veamos el caso de las utilidades netas

Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de

dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de

dólares por año.a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan?b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º,

durante el período que éste es más rentable que el 1º?c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el

ítem b.

Solución:a.) El segundo plan será más rentable hasta que

b) Para , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º

es dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la integral definida:

c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por las curvas desde hasta

Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por una maquinaria industrial, por ejemplo.

Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de

dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se

acumulan a razón de dólares por año.a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de

tiempo?

Aplicaciones de la integral definida 1

0 5 10 15 x

y

275

200

50

R2 (x)

R1 (x)

Exc. Util.

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c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.

Solución:a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan

los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que

b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida:

c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por el área de la región limitada entre las curvas y , desde

hasta .

Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del excedente en la producción.

La siguiente gráfica muestra una curva de oferta para un producto, donde p indica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.También se muestra la curva de demanda para el producto, donde p indica el precio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo.

El punto es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación

producto – consumidor.Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del producto es

, observando la curva de demanda se puede apreciar que hay consumidores que estarían

dispuestos a pagar más que por el producto, así como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendo que hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior que .De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso.

En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor, y es la ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar

Aplicaciones de la integral definida 2

0 5 10 x x

5000

3000

2000

R(x)

C(x)

y

Gan. Neta

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el producto a un precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:

En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la ganancia total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:

En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en función de los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente:

Aplicaciones de la integral definida 3

D(q)

p 0

p

q 0 q

Ex .C

F(q)

p 0

p

q 0 q

Ex. P

0

0

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Aplicaciones de la integral definida 4

q

q0

p0p1 p2

Ex C

Ex P

0p