Clculo Diferencial Unidad 4 Aplicaciones de la Derivada

Actividad 3. Mximo y mnimos y grfica de una funcin

1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen mximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:

Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

2.

Dada la funcin y el punto hallar el punto sobre la grfica de que est ms cerca de .

3. Hallar dos nmeros cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea mximo.

4.

En un ro de ancho estn ubicados dos puntos y uno frente a otro y del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compaa de energa elctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:

Si el costo por metro del cable bajo tierra es ms barato que el cable bajo el agua. Cmo se d

5. Utilizando el mtodo presentado en esta unidad, grafica la curva .

La funcin es un polinomio, luego est definido en todo R, es continua y no tiene asntotas. Tiene simetra central por ser todos los trminos impares con lo cual Los cortes con el eje X son

Y el corte con el eje Y es La derivada primera es

Los puntos crticos son

La derivada segunda es

En es f ''(x) negativa. Luego es un mximoY en es f ''(x) positiva, luego es un mnimoEn es f '(x) positiva luego la funcin creceEn por ejemplo en 0 f'(0) = -4 es negativa luego la funcin decreceY en es positiva como lo prueba el hecho que el lmite en es luego la funcin crece. Y la derivada segunda

Es negativa en luego la funcin es cncava hacia abajo.Es positiva en luego la funcin es cncava hacia arriba.Y esta es la grfica.

6. Utilizando el mtodo presentado en esta unidad, grafica la curva

Es una funcin continua, tiene un corte con los ejes en el punto (0, 0) y los otros son difciles de calcular. No tiene asntotas de ningn tipo.Veamos los mximos, mnimos, zonas de crecimiento y decrecimiento, para ello la derivamos e igualamos a cero

En tomamos x=0 entonces luego f es decrecienteEn tomamos entonces luego f crecienteEn tomamos entonces luego f decrecienteEn tomamos entonces luego f crecienteEn tomamos entonces luego f es decreciente

En tenemosuego f cncava hacia arribaEn tenemos luego f cncava hacia abajoEn es cncava hacia arribaEn es cncava hacia abajo

Y todos estos mximos, mnimos, crecimientos, decrecimientos y concavidades se repiten cada .

7. Utilizando el mtodo presentado en esta unidad, grafica la curva

Derivando su primera derivada

Luego su segunda derivada

Aplicando que

Entonces los nmeros crticos son Los valores de la segunda derivada Es un mximo local

Estos son mnimos localesEntonces la grfica es:

8. Utilizando el mtodo presentado en esta unidad, grafica la curva .

Es una funcin definida en todo R menos en x=1.Tiene el corte con el eje X en x=-1Y el corte con el eje Y en Tiene asntota vertical en x = 1La derivada es

Es siempre negativa luego siempre es decreciente y no tiene mximos ni mnimos realtivos.La derivada segunda es

En por ejemplo es cncava hacia abajoEn por ejemplo es cncava hacia arriba.