Eje Temático: Geometría

Carolina Villagrán Altamirano, Constanza Saez Delpino Educadoras Diferencial PIE.

Eje Temático: Geometría

Ángulos: un ángulo es la porción del plano limitada por dos semi rectas que comparten un mismo origen llamado vértice. Cada semi recta recibe de nombre “lado del ángulo”. Ejemplo:

El ángulo anterior se puede nombrar utilizando la notación AOB, de medida , siendo O el vértice del ángulo.

Clasificación de ángulos según sus medidas Según sus medidas un ángulo se puede clasificar en:

Clasificación de ángulos según la suma de sus medidas Según la suma de sus medidas dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios.


Polígonos Un poligono es una porción de un plano delimitada por segmentos unidos en sus extremos, los cuales determinan una línea poligonal cerrada.

Los elementos básicos de un polígono son: Lados: segmentos que delimitan el polígono. Si están trazados uno a continuación del otro son lados consecutivos. Vértices: puntos de intersección entre dos lados consecutivos de un polígono Ángulos: estos pueden ser interiores (aquellos limitados por dos lados consecutivos) o exteriores (ángulos suplementarios a los interiores). Diagonales: segmentos que unen cada uno de los vértices no consecutivos Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados. Ejemplo:


tricas:

Una transformación isométrica es una transformación de una figura en otra similar que mantiene la forma y tamaño original, y sólo varía su posición. Al aplicar una isometría a una figura se obtiene otra figura congruente al original llamada imagen.

Traslación:

Una traslación es una transformación isométrica respecto a un vector dado, por lo

tanto, en una traslación se puede distinguir dirección, sentido y magnitud.

En la figura 1, el triángulo ABC se trasladó con respecto al vector ⃗, dando origen al

triángulo A'B'C'. El vector ⃗ indica que cada vértice del triángulo original debe moverse 3

unidades a la derecha y una unidad hacia arriba.

En la figura 2, el triángulo DEF se trasladó con respecto al vector ⃗⃗ dando origen al

triángulo D'E'F'. El vector ⃗⃗ indica que cada punto debe moverse 4 unidades hacia abajo.

Los puntos A y A', B y B', C y C', D y D', E y E', F y F' son puntos correspondientes entre sí.

Se puede verificar que las figuras originales y sus respectivas imágenes son congruentes,

es decir, la figura trasladada tiene la forma y las medidas de la figura original.

Traslación en un sistema de coordenadas.

Al realizar la traslación de una figura con respecto a un vector, se puede utilizar un sistema

cartesiano de coordenadas. Así, conociendo las coordenadas originales de la figura, y las

coordenadas de un vector dado, se pueden obtener las coordenadas de la figura

trasladada.

Las nuevas coordenadas de un punto trasladado con respecto a un vector ⃗

son:

a'= a + m. y b'= b + n

El nuevo punto será:


Composición de traslaciones

Una composición de traslaciones consiste en realizar varias traslaciones (dos o más) en

el mismo plano cartesiano. Es decir, a un punto se le aplica una traslación con

respecto al vector ⃗ y sobre la misma imagen se aplica otra traslación con

respecto al vector ⃗⃗ , el resultado es una traslación del punto original con respecto a

un vector ⃗⃗⃗ , obteniéndose el punto .

Tener en cuenta que cuando se realiza una traslación sobre el eje horizontal sólo cambian

las coordenadas del eje , mientras que las coordenadas del eje se mantienen iguales;

cuando se realiza una traslación sobre el eje vertical sólo cambian las coordenadas del eje

mientras las coordenadas del eje se mantiene iguales.

Rotación: Una rotación de centro O y ángulo de rotación es una isometría que asocia a un punto P otro punto P', tal que la distancia entre O y P y equivale a la distancia entre O y P', y la medida del ángulo POP es

Los ángulos de rotación pueden tener sentido positivo (en sentido contrario a las manecillas del reloj) o negativo (en el sentido de las manecillas del reloj)

Rotación de un punto dado Para rotar un punto A en torno a un centro O en un ángulo se pueden realizar los siguientes pasos: 1º Dibujar una circunferencia con centro O y radio OA 2º con un transportador, medir un ángulo a partir del radio OA, considerando el sentido del ángulo (positivo o negativo), y marcar el punto A' sobre la circunferencia. Ejemplo:


Reflexión: Una reflexión o simetría es una transformación isométrica en la que a cada punto

de la figura original se le asocia otro punto (llamado imagen), de modo que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

La reflexión puede ser de dos tipos:

Simetría axial: es una transformación en la cual a cada punto de una figura se le asocia otro punto, llamado imagen, de modo que: El punto y su imagen están a igual distancia de una recta dada, llamada eje de simetría (L) El segmento que une un punto con su imagrn es perpendicular al eje de simetria.

En la imagen, el triángulo A'B'C' es la imagen del triángulo ABC con respecto del eje de

simetría L.

Simetría Central: en geometría, es una transformación en la que a cada punto se

le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.


Semejanza, proporcionalidad y homotecia de figuras planas:

Dos polígonos son semejantes si sus ángulos interiores correspondientes son congruentes y la razón entre las medidas de sus lados homólogos es constante, es decir, son proporcionales. Semejanza de triángulos Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y la razón entre las longitudes de los pares de lados homólogos es constante. En la figura A y A', B y B', C y C' son vértices homólogos a y a', b y b', c y c' son lados homólogos ABC y A'B'C': BCA y B'C'A'; CAB C'A'B', son ángulos homólogos y de igual medida. Entonces: Para denotar que dos triángulos son semejantes, se escriben los vértices correspondientes en el mismo orden, y se utiliza el símbolo , en el caso anterior:

Razón de semejanza

Se llama razón de semejanza (o factor de escala) al cociente entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes. Si dos triángulos son semejantes, cumplen las siguientes propiedades:

- La razón entre las alturas, bisectrices, transversales y simetrales correspondientes de ambos triángulos es igual a la razón de semejanza.

- La razón entre los perímetros de los triángulos es igual a la razón de semejanza. - La razón entre las áreas de los triángulos es igual al cuadrado de la razón de

semejanza.


Criterios de semejanza de Triángulos

Criterio A A Dos triángulos son semejantes si al menos dos de sus ángulos interiores correspondientes son, respectivamente, congruentes.

Criterio L A L Dos triángulos son semejantes si dos lados homólogos son proporcionales, y los ángulos comprometidos entre ellos son congruentes.

Criterio L L L Triángulos son semejantes si los tres pares de lados homólogos son proporcionales, respectivamente.


Teorema de thales Si tres o más rectas paralelas interceptan a dos rectas rectas secantes, las longitudes de los segmentos delimitados por la intersección de estas son proporcionales. Sean L1//L2//L3 y L4, L5 rectas secantes, como se observa en la figura:

Homotecia Una homotecia es una transformación geométrica, que permite obtener un polígono semejante a otro dado. Dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas sus vértices correspondientes, estas rectas concurren en un único punto, llamado centro de homotecia (O) En una homotecia, la razón entre las medidas de los lados correspondientes se llama razón de homotecia (k). Una homotecia con centro en O y razón de homotecia k se denota H(O, k).

Razón de homotecia

Según la razón de homotecia se tiene: si k > 1, la homotecia se llama directa. En este caso, la homotecia es una ampliación (ver figura 1). Si 1 <k <0, la homotecia se llama inversa. En este caso, la homotecia es una reducción (ver figura 2). Si k = 1, la homotecia es una identidad, es decir, la figura no se modifica, son congruentes.


Centro de homotecia: Respecto al centro de la homotecia se puede afirmar que: Si k = -1, la homotecia corresponde a una rotación alrededor del centro (O) en un ángulo de 180° (ver figura 3). Si k < 0, el centro de homotecia está entre el vértice y su homólogo (ver figura 4). Si 0 < k < 1, la figura homotética está ubicada entre el centro de homotecia y la figura original (ver ejemplo).

Ejemplo: Los triángulos ABC y A'B'C' son homotéticos, con centro de homotecia (O) y razón de homotecia 0 < k < 1.

Donde:


Geometría analítica:

Plano Cartesiano Está compuesto por dos rectas perpendiculares, llamadas ejes coordenados. El eje horizontal recibe el nombre de eje de las Abscisas o eje “X”, y el eje vertical es llamado eje de las ordenadas o eje “Y”. Estos dividen el plano de forma perpendicular en cuatro regiones o cuadrantes I, II, III y IV, Ubicados en sentido antihorario.

El plano cartesiano es un sistema que permite asignar a cada punto del plano un par ordenado de números reales, de la forma . En un par ordenado es importante el orden en el que aparecen los números, pues de esto dependerá la posición de un punto en el plano cartesiano; el primer número , representa la posición respecto al eje de las abscisas , mientras que el segundo , representa su ubicación respecto al eje de las ordenadas . El punto donde se interceptan los ejes de coordenadas se llama origen, y se identifica mediante el par ordenado y es el punto de referencia para ubicar cualquier otro punto del plano. Ejemplo:


Distancia entre dos puntos: Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los

separa. d (A,B) = √ – –

Punto medio de un segmento: Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos cualesquiera del plano Argand. Se pueden determinar las coordenadas del punto medio (M) del segmento comprendido entre ambos, mediante la siguiente expresión:

(

)

Ejemplo: las coordenadas del punto medio de un segmento AB con A(3,4) y B(5,2) están

dadas por (

), es decir, tiene coordenadas .

De tal modo, conociendo las coordenadas de un extremo del segmento y las coordenadas de su punto medio, se pueden determinar las coordenadas del otro extremo.

Ecuación afín y ecuación lineal La expresión representa una ecuación de una recta dependiente “M”, que intercepta al eje en el punto , donde la ecuación de la recta “M” recibe el nombre de ecuación afín. Un caso particular de la ecuación afín es la ecuación lineal, en la cual , y por lo tanto, su expresión es de la forma . Esta representa una recta dependiente “M” que contiene el punto .


Ecuación principal de la recta: Ecuación de una recta: Se llama ecuación principal de una recta a una expresión de forma:

y = mx + n

Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax + By + C = 0

Pendiente de una recta

Ángulo de inclinación de una recta El ángulo de inclinación de una recta, es el ángulo que forma la recta respecto al eje de las Abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Valor de la pendiente Dada una recta determinada por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), se puede obtener el valor de su pendiente (m) mediante la expresión:

Dos puntos en el plano determinan una única recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos La ecuación de la recta que contiene los puntos P(X1,Y1) y Q(x2,y2) es:

y - y1 =

1)

Puntos colineales: Tres o más puntos se dicen colineales, si pertenecen a una misma recta. Para verificar si tres (o más) puntos P(x1,y1), Q(x2,y2) y R(x3,y3) son colineales, es decir, si pertenecen a la misma recta (PR) basta con verificar que mpq=mqr=mrp,es decir:

Ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto de ella La ecuación de una recta que pasa por el punto P(x1,y1) y cuya pendiente es “m” es:


y - y1= m(x-x1)

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m. Si m > 0, la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. Si m < 0, la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.


La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano cartesiano:

Dos rectas en el plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

Rectas paralelas Dos o más rectas son paralelas si sus pendientes tienen el mismo valor. Sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2 ( )

L1//L2 m1 = m2

Rectas coincidentes Si dos rectas son coincidentes, tienen el mismo valor de la pendiente y coeficiente de posición (n). L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2 Entonces:

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si el producto del valor de sus pendientes es igual a -1 Sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2, Entonces, L1 L2 m1 · m2 = -1


Rectas secantes

Dos rectas son secantes, si tienen sus pendientes tienen distinto valor. Sean L1 : y = m1x + n1 y L2 : y = m2x + n2, Entonces, L1 es secante a L2 m1 m2

Temario de la Prueba Obligatoria 2021 de Matemática

(Geometría) (Fuente: MINEDUC)

Eje Temático: Geometría

Documents

Transcript of Eje Temático: Geometría