Cátedra de Estructuras Metálicas – Facultad de Ingeniería – UBA Profesor Ing. Eduardo Juárez Allen

Análisis de la Posición del Eje Neutro en la Flexión de Vigas en Régimen Elástico y Plástico

1) Régimen Elástico Supondremos un giro relativo de la sección de la derecha respecto de la izquierda, con una variación lineal de deformaciones específicas, de acuerdo a la hipótesis de Navier-Bernoulli; a partir del mismo de ese diagrama, se construye el diagrama de tensiones normales σ cuya ley de variación está expresada por: Eσ ε= , de acuerdo a la ley de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, de Hooke. Ecuaciones de equivalencia para flexión simple:

Para Esfuerzo Normal: F

dF 0σ ⋅ =∫ (1)

Para Momento Flexor:

F

y dF Mσ⋅ ⋅ =∫ (2)

Del diagrama de tensiones normales, podemos establecer:

E y por semenjanza

deaquí yy 1

σ εσ σ σ σ

= ⋅

= = ⋅

Reemplazando en la (1):

F F

F

dF y dF

esindependientedelaintegral

y dF 0 (3)

σ σ

σ

σ

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

∫ ∫

∫

Para que se cumpla esta condición debe ser:

F

y dF 0⋅ =∫

Esta integral es el momento estático de la superficie el cual, para que se anule, debe ser tomado respecto del eje baricéntrico principal de la sección: F

nS . Este eje coincidirá con el eje neutro de la sección, para el cual: 0σ = . Reemplazando en la (2):

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2

F F

2

F

y dF y dF

esindependientedelaintegral

y dF M ( 4 )

σ σ

σ

σ

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

∫ ∫

∫

La integral de la (4) es el momento de inercia de la sección, respecto del eje baricéntrico:

n

n

J M despejando

MJ y

σσσ

⋅ =

= =

La tensión σ en una fibra ubicada a la distancia y, resultará igual a:

n

My

Jσ = ⋅ (5)

En coincidencia con el eje neutro la tensión es: σ = 0, lo cual se cumple para la (5) con y = 0, lo cual confirma lo indicado más arriba, que el eje neutro coincide con el eje baricéntrico principal, perpendicular al plano de cargas. Las ecuaciones de equivalencia para las componentes D y Z del par interno, podemos escribir:

o

o o

D

y

0

y yo o

0 0o o

Fon

o

D dF o bien,estableciendouna

nueva semejanza

D y dF y dFy y

D S (6)y

σ

σ σ

σ

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅

∫

∫ ∫

En la cual DF

nS es el momento estático respecto del eje neutro del área comprimida de la sección. De la misma manera, se puede escribir:

u

u u

Z

0

y

0 0u u

y yu u

Fun

u

Z dF obien,estableciendouna

nueva semejanza

Z y dF y dFy y

Z S (7)y

σ

σ σ

σ

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅

∫

∫ ∫

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Como la variación de tensiones es lineal, resulta: o u

o uy yσ σ= (8)

La ecuación de equilibrio interno de los esfuerzos normales, exige que:

D Z

D Z

F Fo un n

o u

F Fn n

D Z 0 reemplazando

S S lo cual implica,teniendoy y

encuentala(8)que

S S

σ σ− =

⋅ = ⋅

=

Lo cual, se puede interpretar como que el eje neutro, divide la sección transversal en dos áreas cuyos momentos estáticos respecto al mismo, son iguales. La ecuación de equilibrio interno de flexión, establece que debe ser satisfecha la condición:

M D z 0− ⋅ = (8) En la que z es el brazo elástico interno de la sección. Reemplacemos el valor de D, dado por la (6) y despejamos z:

D

D Z

oFo n

o on

n nF Fn n

Mz y enlaque,teniendo

S

encuentala(5),es:

My resulta a s í :

J

J Jz obien z

S S

σ

σ

= ⋅⋅

= ⋅

= =

Es decir, el brazo elástico de la sección z, está dado por el cociente entre el momento de inercia de la sección Jn y el momento estático del área comprimida

DFnS o traccionada ZF

nS , respecto del eje principal baricéntrico.

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2) Régimen Plástico Supondremos un giro relativo de la sección de la derecha respecto de la izquierda, con una variación lineal de deformaciones específicas, de acuerdo a la hipótesis de Navier-Bernoulli, de manera que cada fibra, y aún las más próximas al eje neutro, alcancen deformaciones específicas compatibles con la plastificación del material. En este caso, las ecuaciones de equivalencia nos llevan a: Para Esfuerzo Normal:

F

dF 0σ ⋅ =∫ (1)

De aquí, la condición de equivalencia nos lleva a:

( )

( )

( ) ( )

o

u

y Df f0

0 Zf fy

D Z

D dF D .F (9)

Z dF Z .F (10)

D Z 0 (11)

deaquí resulta :

F F (12)

σ σ

σ σ

= ⋅ =

= ⋅ =

+ =

=

∫∫

En las que F(D) y F(Z) son respectivamente, las áreas comprimidas y traccionadas e iguales entre sí. Esto equivale a admitir que el eje neutro plástico divide el área total de la sección en partes iguales. (Cabe recordar, como diferencia conceptual, que en el comportamiento elástico, el eje neutro elástico divide la sección en áreas cuyos momentos estáticos, respecto al mismo, son iguales). Para el Momento Flexor:

( )( )

o

u

o

u

D Z

n n

y

fy

0 y

f y 0

F Ff

f P

M y dF

y dF y dF (13)

S S o sea

M Z (14)

σ

σ

σ

σ

= ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅

= +

= ⋅

∫

∫ ∫

En la que ZP es Módulo Plástico de la sección, igual a la suma de los momentos estáticos de las áreas comprimidas y traccionadas respecto del eje neutro plástico de la sección. Por otra parte, estableciendo otra condición de equilibrio, tenemos:

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( )

( )

0

D

D

D

Z

D Z

y

D f0

FD f n

Ff n

D Df

Fn

D D

Fn

Z Z

M D z Z z

D z y dF

D z S teniendoencuentala(9)

Sz Simplicando

F

Sz deigual manera (15)

F

Sz (16)

F

σ

σ

σσ

= ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ = ⋅

⋅=⋅

=

=

∫

En las que zD y zZ son respectivamente las distancias de los baricentros de los diagramas de compresión y tracción al eje neutro plástico de la sección. El brazo plástico zP interno de la sección, valdrá:

( ) ( )D Z

P D Z

F FD Zn n

P

P PP P

z z z deaquí,teniendo

encuenta(15)y(16)

S S Fz F F

F 22

F : Areatotal delasección

Z 2 Zz obien z

F F2

= +

+= = =

⋅= =