Ejercicios de geometra. Recta y plano. 2 Bachillerato

1. Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta 1 2 3

x y z , pasa por

P= (3, 0,-4) y es perpendicular al plano 2 3 5 0x y z . (Sol.: 11x-7y+z-29=0)

2. Dadas las rectas 2 1 1 1 3

: ; :3 2 1 2 2 3

x y z x y zr s

, determina la

ecuacin del plano que contiene a r y es paralelo a s. (Sol.: 4x-7y-2z+13=0)

3. Halla a y b para que las rectas siguientes sean paralelas:

332

12:

bzyx

zayxr ; zyxs 624:

(Sol. 1: a=1, b=-2; Sol. 2: a=3, b=-1)

4. Halla los valores del parmetro k para que los tres planos

: 1

: 1

: 2

x y kz

kx y z

x y z k

tengan una recta en comn. Halla tambin el vector de direccin de esa recta.

(Sol.: k=1; ur

=(0,1,-1))

5. Determina el parmetro k para que la recta definida por las ecuaciones

: 3 1 0

: 2 6 2 6 0

x ky k

x y z

est situada en el plano : 1 0x y z

(No hay solucin; para k=6, plano y recta son paralelos; para k 6 son secantes)

6. Dados el plano : x y mz n y la recta 2

:1 1 2

x y zr

a) Calcula m y n para que y r sean secantes. b) Calcula m y n para que y r sean paralelos. c) Calcula m y n para que contenga a r.

(Sol.: a) m 0, para todo n ; b) m=0; n 2; c) m=0; n=2)

7. Sean u y v Tales que 3u , 5v y 4vu . Calcula:

a) vuu 23 b) vuvu 3232 c) vuvu 3234 d) 23 vu (Sol: a) 35; b) -189; c) -129; d) 130)

8. Sean dos vectores perpendiculares u y v tales que 2u y 3

2v . Calcula el

valor de x en los siguientes casos:

a) 2

1 vuvxu b)

9

82 vux

c) 0232 vuvux c) 1693 vuxvxu

(Sol: a) 81/8; b) 3/1x ; c) x=1/3; d) 1x ) 9. Halla el permetro, superficie y los ngulos del tringulo cuyos vrtices son

A (2, 0, 1) B (2, 0, 2) y C (3,1,0).

(Sol: 631 P ; 2

2A ; 27'35;47'19;26'125 )

10. Halla la proyeccin de la recta

tz

ty

tx

r

1

21 sobre el plano

0123 zyx

(Sol: 12

1

27

3

17

2

zyx)

11. Halla la ecuacin del plano perpendicular a 0142 zyx y a

0123 zyx y que pasa por el punto P (1, 1, 1)

(Sol: 022:)1,2,3()4,1,2()1,1,1(),,(: zyxzyx )

12. Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta x=y=z; y es perpendicular al plano XY.

(Sol: 0: yx )

13. Dada la recta

022

0623:

zyx

zyxr

a) Halla ecuacin del plano que contiene a esa recta y al origen de coordenadas.

b) Halla la ecuacin del plano que contiene a r y es paralelo al plano 016: zy

c) Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano YZ.

(Sol: a) 01014: zy ; b) No tiene solucin pues la recta corta al plano ;

c) 057: zy )

14. Escribe la ecuacin de la recta que se apoya en r y s y pasa por (0, 0, 0), siendo

tz

ty

tx

r

41

31

21

: 2

3

3

2

4

1:

zyxs

(Sol:

0111013

02:'

zyx

zyxr )