EESCUELAA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y …...CARTA CESI ÓN DE DERECHOS En la Ciudad de...

IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL

IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA DE REDES NEURONALES ARTIFICIALES PARA EL

ANÁLISIS DE GRIETAS EN PLACAS

T E S I S Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E

M A E S T R O E N C I E N C I A S EN INGENIERÍA MECÁNICA

PPRREESSEENNTTAA::

IINNGG.. GGEERRAARRDDOO HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ

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DDRR.. GGUUIILLLLEERRMMOO UURRRRIIOOLLAAGGOOIITTIIAA SSOOSSAA

MÉXICO, D.F. 2009.

EESSCCUUEELLAA SSUUPPEERRIIOORR DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA YY EELLÉÉCCTTRRIICCAA

SSEECCCCIIÓÓNN DDEE EESSTTUUDDIIOOSS DDEE PPOOSSGGRRAADDOO EE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN UUNNIIDDAADD ZZAACCAATTEENNCCOO

CARTA CESIÓN DE DERECHOS

En la Ciudad de México D.F. el día 25 del mes Junio del año 2009, el (la) que suscribe Ing. Gerardo

Hernández Hernández alumno (a) del Programa de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

opción Diseño con número de registro A070218, adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e

Investigación de la ESIME unidad Zacatenco, manifiesta que es autor (a) intelectual del presente

trabajo de Tesis bajo la dirección de los Doctores Luis Héctor Hernández Gómez y Guillermo

Urriolagoitia Sosa y cede los derechos del trabajo intitulado Implementación Numérica de Redes

Neuronales Artificiales para el Análisis de Grietas en Placas, al Instituto Politécnico Nacional para

su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin

el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente

dirección [email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el

agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Ing. Gerardo Hernández Hernández Nombre y firma

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

Agradecimientos.

A dios, por darme aliento en los momentos más difíciles, cuando he enfrentado depresión o desánimo, ya que me ha dado la fuerza, inteligencia y entusiasmo, para ser tenaz y perseverante, y así, ver los problemas como el ingrediente que le da diversión, emoción, y adrenalina a mi vida. También le agradezco por los momentos felices que he tenido oportunidad de vivir junto con los seres que quiero.

A mis padres, quienes me han apoyado incansablemente, procurando lo necesario para lograr mis objetivos personales y procurar mi salud. Por tener la paciencia para criarme con cariño y dedicación y por enseñarme que aun los sueños más locos se tornan realidad, con fe, entusiasmo por lo que verdaderamente me gusta y trabajo arduo. También les agradezco por criarme, dejarme ser rebelde, observador y jugar en la tierra, ya que es lo que me ha permitido a lo largo de mi vida tomar mis propias decisiones y poder notar aun más allá del detalle en las cosas.

A mi hermano, por todo lo que hemos compartido durante la vida, por su apoyo en momentos de presión y por tolerar mis constantes cambios de humor, recibiendo de él cariño y aceptación en todo momento.

Al Dr. Luis Héctor Hernández Gómez, a quien tengo profunda admiración y respeto, por su comprensión, su tiempo y dedicación para el desarrollo de este trabajo, ya que más allá de ser un tutor académico, lo considero un padre académico, debido a su orientación en aspectos de mi vida personal que me han permitido concluir el actual trabajo de tesis, considerándolo uno de los personajes que más ha influido en mi desarrollo profesional.

Al Dr. Guillermo Urriolagoitia Sosa, de quien he adquirido enseñanza académica, personal y apoyo en cada momento desde que lo he conocido, considerándolo un profesor ejemplar. Le agradezco la motivación que me dió para extender mi curiosidad académica más allá de las aulas de clases y de quien aprendí que la seguridad con la que se hacen las cosas, marca la diferencia.

Al Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón, quien me ha apoyado en cada momento de mi estancia durante la maestría, ya que me ha orientado y procurado mi bienestar académico durante cada momento, siendo para mí, un personaje de gran admiración, cariño y respeto profundo.

Al Dr. Carlos Torres Torres, quien me ha brindado su apoyo y me ha servido de ejemplo de lo que considero un profesionista admirable.

Al Dr. Luis Flores, quien ha participado como miembro de mi comisión revisora, por lo cual le agradezco profundamente.

A la M en C. Alla Kabatskaia, quien me apoyó, instruyó y además me enseñó, que el compromiso con un alumno y con tus objetivos es de 24 horas. Le agradezco sus consejos y su responsabilidad como profesora, en mi formación académica.

Al M. en C. Gabriel Villa y Rabasa, quien con su experiencia profesional su alegría y su calidez humana, me incentivó y motivó durante mi formación profesional, siendo para mí un ejemplo del profesionista al cual aspiro ser.

A los Profesores, Orlando Susarrey y Alcántara Montes, por su contribución hacia mi formación profesional.

A mis compañeros y amigos, Arturo, José Luis, Leonardo, Iván, Guillermo, Edgar, Fabián Leonov, David, Anaí, Esther, Karla, Betty, Cesar, Juan Pablo, Sergio, Carlos, Omar, Christopher, Ariel, Arafat, Héctor, Saúl, Salomón, Samuel, Andrés, Erwin, Valentín, Rodolfo, Yadira, Sergio Viveros, J.J. Arenas, J. Lira y Amara con quienes en algún momento he compartido diversas experiencias, dentro y fuera de las aulas de clases, y han tolerado mis risas explosivas y mi comportamiento loco e infantil.

A Paty, Gina, Lilia, Sally, Nancy Jacqueline, Fernanda, Gaby Irma, Lilis y Celina con quienes he compartido agradables momentos, me han dado ánimos para continuar en los lapsos más difíciles y me han apoyado para la conclusión de mis estudios multidisciplinarios. A Kenia, quien me enseñó, que en ocasiones hay que ser firmes, asertivos, rudos y muy fuertes en la vida, a Jessica y Benjamín, quienes me dieron un ejemplo de esfuerzo y dedicación y a Rosalba, quien es un ejemplo de alegría y sencillez.

A mis profesores del CENLEX Zacatenco y el CELEX Azcapotzalco, ya que complementaron mi formación académica y al Instituto Politécnico Nacional, que es mi alma mater, a la cual, estoy profundamente agradecido por brindarme un espacio en el cual dar rienda suelta a mi infantilismo, curiosidad, creatividad e imaginación.

A todos aquellos que de alguna forma han contribuido directa o indirectamente al desarrollo de este trabajo de tesis. ¡GRACIAS!

Implementación Numérica de Redes Neuronales Artificiales para el análisis de Grietas en Placas

i

Resumen

Este trabajo se centra en la implementación de Redes Neuronales Artificiales (RNA) para evaluar el Factor

de Intensidad de Esfuerzos en placas agrietadas lateralmente, bajo el modo de carga tipo I. La base de

datos requerida se obtiene mediante el cálculo de los Factores de Intensidad de Esfuerzos “K” por el

método analítico y por medio del Método del Elemento Finito (MEF). Se modifican los valores de la

longitud de la grieta, el ancho de espécimen, el espesor, y la carga que se le aplica, cuyos rangos de

variación son de 1mm a 33 mm para el caso del tamaño de la grieta, de 100 a 200mm para el ancho del

espécimen, de 1mm a 100mm para el espesor y de10MPa a 20MPa en el caso de la carga. Los resultados

analíticos se comparan con los numéricos por medio del MEF y posteriormente se procede al

entrenamiento de la red con distintas arquitecturas y algoritmos de entrenamiento, determinando aquella

que proporciona el menor error cuadrático medio y menor tiempo en el cálculo.

Los algoritmos que se implementaron en la red de Retropropagación son: Levenberg-Marquardt,

BFGS Quasi-Newton, Retropropagación Elástica, Gradiente Conjugado, Fletcher-Reeves y la Secante de

un Paso, de los cuales, el menor error cuadrático medio encontrado para el análisis de este caso, fue el

Levenberg-Marquardt, el cual se fundamenta en los métodos numéricos del gradiente descendente y la

interpolación de Gauss-Newton, los cuales, permiten realizar análisis de funciones lineales y no lineales.

Finalmente, se desarrollo una función objetivo que mediante la aplicación de Algoritmos Genéticos,

permite obtener a partir del valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos, las condiciones de inicio de

propagación de una grieta, determinadas por los parámetros a, w, t y P. El error que se toma de base para la

programación del Algoritmo Genético, es el obtenido del entrenamiento previo de la red de

Retropropagación Levenberg-Marquardt.


ii

Abstract. In this work, Artificial Neural Networks analysis is used in the evaluation of the Stress Intensity Factor of

cracked edge plates. They were loaded under mode I conditions. The required database was obtained with

the evaluation of Stress Intensity Factors. This was done with analytical solutions and with the Finite

Element Method.

In this analysis, crack propagation conditions are varied. Crack length from 1mm to 33mm, plate

width from 100mm to 200mm, plate thickness from 1mm to 100mm and applied stress from 10MPa to

20MPa. Once the numerical results are validated, diverse Artificial Neural Networks are trained. Different

architectures and training algorithms are used. Those networks, which produce the lower mean squared

error and required a reduced computing time, were selected.

The algorithms that were used with the Backpropagation Neural Network are: Levenberg-

Marquardt, BFGS Quasi-Newton, Resilient Retropropagación, Conjugated Gradient, Fletcher-Reeves and

One Step Secant. Best results were obtained with the Levenberg-Marquardt algorithm. This based on the

descendent gradient and Gauss-Newton interpolation which are appropriated to solve linear and non-linear

problems.

Finally an objective function was designed to get start crack propagation conditions from Stress

Intensity Factors values by means of Genetic Algorithms. Base error to make the evaluation was taken

from a previous Backpropagation Levenberg-Marquardt algorithm training.


iii

Índice General Resumen.....………………………………………………................................................................... i

Abstract…....………………………………………………………………………………..…........... ii

Índice General…………………………………………………………………………………………iii

Índice de figuras ....……………………………………………….…………………………..……..v

Índice de tablas …..………………………………………………………………….………..……..vii

Nomenclatura …………………………………………………………………………………….... viii

Objetivo…....…………………………………………………………………………………............. ix

Justificación………………………………………………………………………………………….. x

Introducción………………………………………………………………………………………...... xii

Referencias……………………………………………………………………………………………..xiv

Capítulo 1. Conceptos y Características de las Redes Neuronales Artificiales. 1.1. Orígenes de las Redes Neuronales Artificiales 2 1.2. Historia de las Redes Neuronales 4 1.3. Modelo biológico de las Redes Neuronales 7 1.4. Fundamentos de las Redes Neuronales Artificiales 9 1.4.1. Características de una Red Neuronal Artificial 9 1.4.2. Funciones de excitación 13 1.4.3. Aprendizaje 14 1.4.4. Esquema general del funcionamiento de una Red Neuronal Artificiales 15 1.4.5. Arquitectura de una RNA 16 1.5. Ventajas y limitaciones de las Redes Neuronales Artificiales 19 1.6. El Perceptrón 22 1.7. Algoritmos de entrenamiento 22 1.7.1. Algoritmos de entrenamiento comunes 22 1.7.2. El algoritmo de Retropropagación 24 1.8. Aplicaciones Generales de las Redes Neuronales Artificiales en la Mecánica 26 1.9. Algoritmos Genéticos 30 1.10. Planteamiento del problema 31 1.11. Sumario 32 1.12. Referencias 34


iv

Capítulo 2. Conceptos Teóricos de Mecánica de la Fractura.

2.1. La Mecánica de la Fractura 37 2.1.1. Aspectos generales 37 2.1.2 Antecedentes históricos de la Mecánica de la Fractura 38 2.2. Modos de carga y campo de esfuerzos resultante en la punta de la grieta 43 2.3. Teoría de falla de Griffith 45 2.4. Factor de Intensidad de Esfuerzos K 49 2.5. Tenacidad de la Fractura 53 2.6. Evaluación numérica del Factor de Intensidad de Esfuerzos por medio del Método del Elemento Finito 55 2.7. Sumario 57 2.8. Referencias 59 Capítulo 3. Análisis y Descripción de los Casos de Estudio. 3.1. Evaluación analítica del Factor de Intensidad de Esfuerzos en placas agrietadas sujetas al modo de carga I 63 3.2. Análisis numérico del Factor de Intensidad de Esfuerzos por medio del Método

del Elemento Finito 71 3.3. Implementación y metodología de diseño de la Red Neuronal Artificial 83 3.4. Procedimiento de análisis con Redes Neuronales en MATLAB 89 3.5. Sumario 93 3.6. Referencias 93

Capítulo 4. Análisis de Resultados.

4.1. Análisis de Resultados con diferentes algoritmos 95 4.1.1 Entrenamiento de una RNA mediante el uso del algoritmo de Levenberg-Marquardt 96 4.1.2. Entrenamiento de la RNA mediante el uso del algoritmo BFGS Quasi-Newton 98 4.1.3. Entrenamiento de la RNA mediante el uso del algoritmo Resilient Backpropagation

o de Retropropagación Elástica 101 4.1.4. Entrenamiento de la RNA por medio del algoritmo Scaled Conjugate Gradient o de

Gradiente Conjugado 102 4.1.5. Entrenamiento de la RNA mediante el uso del algoritmo de Fletcher-Reeves 105 4.1.6. Entrenamiento de la RNA mediante el algoritmo One Step Secant Algorithm o de Secante

de un Paso 106 4.2. Comparación de los resultados del entrenamiento de los diferentes algoritmos 108 4.3. Comparación del error del entrenamiento de una red Levenberg-Marquardt, contra

el Método del Elemento Finito y el cálculo analítico 110 4.4. Determinación de las condiciones de inicio de propagación de grietas mediante Algoritmos Genéticos 113


v

4.5. Sumario 118 4.6. Referencias 118 Discusiones 119

Conclusiones 126 Recomendaciones para trabajo futuro 128 Anexo 1. Código para el cálculo de los Factores de Intensidad de Esfuerzos por medio del Método del Elemento Finito 130 Anexo 2. Cálculo de K analítico de los Factores de Intensidad de Esfuerzos 132 Anexo 3. Cálculo de K por medio del Método del Elemento Finito 149 Anexo 4. Función objetivo 159 Anexo 5. Iteraciones para el cálculo inverso de los parámetros que definen a KIC, mediante Algoritmos Genéticos 160

Índice de figuras

Figura. 1.1. Neurona biológica 7 Figura. 1.2. Unión sináptica de una neurona biológica 8 Figura. 1.3 Esquema de una Neurona Artificial 11 Figura. 1.4. Funciones de excitación o de transferencia (Hagan, Demuth et al, 1996) 13 Figura. 1.5. Red Unicapa 17 Figura. 1.6. Red Multicapa 18 Figura. 1.7. Representación de un Perceptrón 22 Figura. 2.1. Esquema de los experimentos de Leonardo da Vinci sobre la resistencia de hilos o lianas 39 Figura. 2.2. Trazas de excavaciones en las rocas hechas por los antiguos egipcios 40 Figura. 2.3. Modo de ruptura bajo flexión en una viga. (Galileo, 1638. Pp.133) 41 Figura. 2.4. Barcos: a) Prestige fracturado y b) Flotilla de barcos Liberty 42 Figura. 2.5. Los tres modos básicos de aplicación de cargas: a) Modo I o de apertura tensil, b) Modo II o de deslizamiento, c) Modo III o de desgarre 44 Figura. 2.6. Placa infinita con una discontinuidad elíptica en el centro de dimensiones 2aX2b 45 Figura. 2.7. Energía del sistema en condiciones de tensión uniforme. Datos de Griffith para el vidrio (Griffith, 1921). 48 Figura. 2.8. Condiciones bajo deformación plana (espesor grueso) 54 Figura. 2.9. Condiciones de esfuerzo plano (espesor delgado) 54 Figura. 3.1. Grieta lateral sujeta al modo de carga I en una placa de espesor t 64 Figura. 3.2. Dimensionamiento geberal del espécimen con espesor t 65 Figura. 3.3. Valores de K variando el tamaño de grieta “a” 67 Figura. 3.4. Valores de K variando el ancho del espécimen 68 Figura. 3.5. Valores de K variando el espesor del espécimen 69 Figura. 3.6. Valores de K variando el esfuerzo 70


vi

Figura. 3.7. Tipo de elemento PLANE185 utilizado para el análisis (Tutorial ANSYS) 73 Figura. 3.8. Condiciones de simetría del espécimen 74 Figura. 3.9. Cálculo de K por medio del MEF para el caso de variación del tamaño de grieta 76 Figura. 3.10. Campo de esfuerzos en una placa con una grieta de 5mm 77 Figura. 3.11. Cálculo de K por medio del MEF variando el ancho del espécimen 78 Figura. 3.12. Campo de esfuerzos en una placa de 120mm de ancho 79 Figura. 3.13. Cálculo de K por medio del MEF variando el espesor 80 Figura. 3.14. Campo de esfuerzos en una placa de 10mm de espesor 81 Figura. 3.15. Cálculo de K por medio del MEF variando el esfuerzo 82 Figura. 3.16. Campo de esfuerzos en una placa con un esfuerzo de 19MPa 83 Figura. 3.17. Configuración de las entradas y salidas de la red 89 Figura. 4.1. Cuadro de entrenamiento de la RNA Levenberg-Marquardt con 2000 épocas 96 Figura. 4.2. Desempeño de la RNA Levenberg-Marquardt con 2000 épocas 97 Figura. 4.3. Estado del entrenamiento de la RNA Levenberg-Marquardt con 2000 épocas 98 Figura. 4.4. Entrenamiento de la Red Neuronal BFGS Quasi-Newton 99 Figura. 4.5. Desempeño de la Red Neuronal BFGS Quasi-Newton 100 Figura. 4.6. Estado del entrenamiento de la Red Neuronal BFGS Quasi-Newton 100 Figura. 4.7. Entrenamiento de la Red Neuronal de Retropropagación Elástica 101 Figura. 4.8. Desempeño la Red Neuronal de Retropropagación Elástica 102 Figura. 4.9. Entrenamiento de la Red Neuronal de Gradiente Conjugado 103 Figura. 4.10. Desempeño de la Red Neuronal de Gradiente Conjugado 103 Figura. 4.11. Estado del entrenamiento de la Red Neuronal de Gradiente Conjugado 104 Figura. 4.12. Entrenamiento de la Red Neuronal de Fletcher-Reeves 105 Figura. 4.13. Desempeño de la Red Neuronal de Fletcher-Reeves 106 Figura. 4.14. Entrenamiento de la Red Neuronal de Secante de un Paso 107 Figura. 4.15. Desempeño de la Red Neuronal de Secante de un Paso 107 Figura. 4.16. Tiempo de cálculo 109 Figura. 4.17. Error cuadrático medio 109 Figura. 4.18. Entrenamiento de la RNA Levenberg-Marquardt datos analíticos aleatorios 111 Figura. 4.19. Validación de la RNA Levenberg-Marquardt 111 Figura. 4.20. Datos de gradiente y validación de la RNA Levenberg-Marquardt 112 Figura. 4.21. Herramienta de optimización de Algoritmos Genéticos 114 Figura. 4.22. Comparación de los valores de los parámetros de origen y los calculados mediante Algoritmos Genéticos 116 Figura. 4.23. Comparación de los valores de los parámetros de origen y los calculados mediante Algoritmos Genéticos 117 Figura. d.1. Cálculo del Factor de Intensidad de Esfuerzos por diversos métodos 121 Figura. d.2. Valor del error promedio calculado para diferentes algoritmos 122 Figura. d.3. Desviación estándar del error de los algoritmos 123 Figura. d.4. Comparación del Factor de Intensidad de Esfuerzos para 10 valores aleatorios 124


vii

Índice de tablas Tabla. 1.1. Los principales aspectos en el desarrollo de las Redes Neuronales Artificiales

la historia de las RNA. (Gori, 2003) 6 Tabla. 2.1. Describe las funciones geométricas para el modo de carga I

aplicado a distintas formas de grieta en placas (Rice, 1972) 52 Tabla. 2.2. Valores de KIC, Espesor y esfuerzo de cedencia para algunos materiales 55 Tabla. 3.1. Rangos de variación de los parámetros a, w, t y P 64 Tabla. 3.2. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación

del tamaño de grieta 76 Tabla. 3.3. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de

la variación del ancho del espécimen 78 Tabla. 3.4. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación del espesor 80 Tabla. 3.5. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación del esfuerzo 82 Tabla. 3.6. Casos a evaluar con los diferentes algoritmos de entrenamiento 88 Tabla. 3.7. Arquitecturas de las redes con relación a los diferentes

algoritmos y parámetros de entrenamiento considerados 92 Tabla. 4.1. Desempeño de los algoritmos implementados en la red de Retropropagación 108 Tabla. 4.2. Condiciones de programación del Algoritmo Genético 115 Tabla. 4.3. Comparación entre los datos de origen y el cálculo inverso

por medio de Algoritmos Genéticos 116 Tabla. 4.4. Comparación entre los datos de origen y el cálculo inverso por medio

de Algoritmos Genéticos. 117 Tabla. d.1. Valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos obtenido por diferentes métodos 122


viii

Nomenclatura

Glosario Xi Entrada de la Red Neuronal Yj Salida de la Red Neuronal Wjn Peso sinápticos σi(t) Estado de la neurona Bpi Activación lineal de la neurona Apn Conjunto de entradas bpn Conjunto de salidas AG Algoritmo Genético RNA Red Neuronal Artificial

σloc Tensión en la punta de la grieta

UM Energía Mecánica US Energía Superficial Ua Energía Elástica Almacenada ν Relación de Poisson E Módulo de Elasticidad ϒs Energía libre superficial por unidad de área K Factor de Intensidad de Esfuerzos KIC Tenacidad de Fractura σ Esfuerzo remoto aplicado en el punto principal de la placa a Longitud de la grieta W Ancho del cuerpo t, B Espesor Α Factor de forma

σ0 Esfuerzo de fluencia LM Levenberg-Marquardt BFG BFGS Quasi- Newton RP Resilient-Backpropagation SCG Scaled Conjugated Gradient CGF Fletcher-Reves OSS One Steep Secant


ix

Objetivo

El objetivo de este trabajo es analizar el comportamiento de la propagación de grietas en materiales,

mediante la implementación de Redes Neuronales Artificiales para el cálculo de los Factores de Intensidad

de Esfuerzos y Algoritmos Genéticos para la determinación de las condiciones de inicio de propagación.

Para este efecto se modifican: las condiciones de carga, las dimensiones del espécimen que se analiza, el

tamaño de grieta inducido y se determinan los parámetros a, w, t y P por medio de un análisis inverso con

Algoritmos Genéticos.

Para poder concretar satisfactoriamente el objetivo general de esta tesis, se plantearon los siguientes

objetivos particulares, los cuales se presentan a continuación:

• Realizar el análisis numérico del comportamiento del inicio de propagación de una grieta en placas

por medio del Método del Elemento Finito (MEF) para la obtención del Factor de Intensidad de

Esfuerzos crítico.

• Conocer los aspectos de Mecánica de la Fractura aplicados al análisis de inicio de propagación de

una grieta, así como los diferentes enfoques teóricos.

• Entender y comprender el funcionamiento de Redes Neuronales Artificiales aplicadas al problema

de Mecánica de la Fractura.

• Comparar los datos de simulaciones numéricas mediante programas de diseño contra los obtenidos

mediante soluciones cerradas.

• Obtener una base de datos para el entrenamiento de Redes Neuronales Artificiales.

• Implementar las Redes Neuronales Artificiales para la determinación de los Factores de Intensidad

de Esfuerzos, mediante la aplicación de diferentes algoritmos y arquitecturas.

• Determinar las condiciones de inicio de propagación de grietas por medio de Algoritmos

Genéticos.


x

Justificación En las Ciencias de la Ingeniería, así como en ciertas disciplinas de la Física, tal es el caso de la Mecánica,

se busca el empleo de diversos modelos teóricos que sirvan de apoyo para representar fenómenos de la

realidad. En esta búsqueda, se han desarrollado distintos modelos que en ocasiones se fundamentan en el

funcionamiento del cuerpo humano. Debido a la complejidad, perfección y buen desempeño que esto ha

mostrado para la realización de distintas tareas en comparación con sistemas estructurados ingenieriles

avanzados, el hecho de tratar de emular sus funciones ha tenido una creciente aceptación recientemente.

Los sistemas expertos, tal como se conocen, son una rama de la inteligencia artificial, de los cuales, se

destacan la Lógica Difusa y el modelo de Redes Neuronales Artificiales (RNA). Este último, se

fundamenta en una analogía del funcionamiento del sistema nervioso de algunas especies vivas tales como

los seres humanos, para la implementación en aplicaciones de Ingeniería.

Las Redes Neuronales Artificiales son un sistema de interconexiones neuronales que forman una

red, la cual, está compuesta de neuronas que proporcionan las entradas de datos. A través de las

interconexiones emiten una salida y esta a su vez, está determinada por tres funciones: una de propagación,

una de activación y una de transferencia. De esta forma, la red adquiere información y proporciona datos

a la salida, teniendo la posibilidad de crecer la red en cantidad de información, por lo que se describe

análogamente a los procesos humanos de aprendizaje. Debido a sus características, las RNA’s, se han

utilizado para intentar predecir el comportamiento de diversos sistemas. Algunos de estos son considerados

no lineales. En este caso, resulta de gran interés por sus implicaciones en diversas ramas de la Ingeniería y

la Industria y para la predicción del inicio de propagación de grietas con relación a distintas variables que

se introducen al modelo.

Por otra parte, la determinación de la integridad estructural de elementos mecánicos es de gran

interés. Si bien es cierto que existen análisis de fractura para determinar las condiciones de inicio de

propagación de grietas, estos se apoyan en análisis numéricos, como el Método del Elemento Finito, que

requiere del consumo de una gran cantidad de recursos de cómputo y tiempo. Se considera que mediante la

utilización de Redes Neuronales aplicadas a fractura, se puede analizar un número reducido de casos y en

función de esto, establecer una gama de soluciones para un amplio rango de casos.


xi

Lo anterior, muestra la importancia de la aplicación de la Inteligencia Artificial a problemas

mecánicos, lo cual implica el análisis de casos complicados y que pueden ser no lineales. Así mismo, se

pueden realizar análisis directos e inversos. Esto tiene como consecuencia el ampliar el espectro de

soluciones que se pueden obtener numéricamente.


xii

Introducción

Existen diversas metodologías para el análisis de las propiedades mecánicas de los materiales, ya sean

mediante métodos destructivos, como no destructivos. Dentro de los no destructivos, podemos considerar

el análisis numérico, que complementa las ecuaciones experimentales, iniciando determinaciones

cuantitativas. Lo anterior es debido a que en ocasiones, se requiere conocer el comportamiento de diversos

materiales, ante condiciones de falla críticas, ya que esto resulta de apoyo en el diseño de elementos

mecánicos, previniendo fallas catastróficas. No siempre es posible realizar el análisis por medio de técnicas

destructivas, ya que esto repercute en tiempo y costo, sin embargo, no todos los métodos numéricos,

resultan eficientes en cuanto a tiempo y precisión en el cálculo. En ocasiones son aplicables solo a

problemas con determinadas condiciones de frontera, por lo cual surge la necesidad de implementar nuevas

metodologías que apoyen a dicho análisis.

En la actualidad, se han desarrollado distintos procedimientos que permiten realizar análisis cada vez más

complicados con mayor grado de exactitud y en menor tiempo. Esto debido a la gran cantidad de

aportaciones científicas y tecnológicas. Algunas técnicas son multidisciplinarias, lo cual, se ve reflejado en

los modelos biológicos que han inspirado a la creación de dichas metodologías. De la misma forma, ha

influido el desarrollo de ordenadores más eficientes y potentes.

La implementación de Redes Neuronales Artificiales, Algoritmos Genéticos o la utilización del Control

Difuso, por mencionar solo algunos, ha cobrado auge a partir de los años ochentas en el mundo entero, por

lo que ha sido aplicado a distintas disciplinas. Si bien, en un principio, las aplicaciones solo habían sido

consideradas para campos específicos de la ingeniería, actualmente se han extendido a varias áreas, de lo

cual, la Mecánica no es una excepción, debido a las ventajas que ofrecen en comparación de otros métodos

convencionales, por lo que se han desarrollado análisis en Mecánica de fluidos, Mecánica de la fractura,

entre otros.

En la SEPI-ESIME se han desarrollado trabajos al respecto. (Campos, 2009), realizó un trabajo de tesis

titulado “Análisis inverso computacional enfocado a la localización de defectos en materiales sólidos”,

así también, (Bautista, 2008) desarrolló en la Sección de Estudios de Posgrado del Instituto Politécnico


xiii

Nacional en México una tesis que lleva por nombre, “Implementación Numérica de una Red Neuronal para

el Modelo Constitutivo del Comportamiento de Materiales”. Otro ejemplo es la tesis de (Ponce, 2008)

cuyo título es “Desarrollo de un Sistema Neuro-Difuso para la Solución a la Cinemática Inversa de

Manipuladores Robóticos”, en la cual, se aplican técnicas de Control Difuso y Redes Neuronales

Artificiales. Mediante trabajos de publicación también se ha contribuido al respecto. Tal es el caso de

(Luna et al, 2008) quienes realizaron un trabajo en torno a la localización y clasificación de defectos con

redes neuronales y (Lugo et al, 2009) con un trabajo en torno a la optimización de un mecanismo, a través

del uso de Algoritmos Genéticos.

Lo anterior, constituye un esfuerzo por realizar desarrollos científicos en el área de Mecánica, por lo cual

surgió el interés en la aplicación de dichas técnicas, no destructivas mediante métodos directos

computacionales utilizando Redes Neuronales Artificiales para el análisis de grietas en placas. Si bien, ya

existen análisis por medio del Método del Elemento Finito mediante el apoyo de diversos paquetes

computacionales, en esta tesis se analizan las posibilidades y alcances de aplicar Redes Neuronales

Artificiales a dicho problema que puede presentar un comportamiento no lineal.

A continuación se describe brevemente el contenido de cada capítulo:

Capítulo 1. Se presentan de forma general los orígenes y los conceptos relacionados con Redes Neuronales

artificiales, tales como la descripción de una neurona biológica, su relación con el modelo de RNA`s, así

como también se describe el Algoritmo de Retropropagación empleado en esta tesis, el Perceptrón como

modelo básico, y una breve introducción a las características de los Algoritmos Genéticos. Al final del

capítulo, se describe el planteamiento del problema, en el cual se explica lo que se pretende realizar con

este trabajo de tesis.

Capítulo 2. Se realiza una breve descripción de los antecedentes históricos que dan pie al surgimiento de la

Mecánica de la Fractura, lo cual justifica la importancia de los estudios en este campo de la ingeniería.

Posteriormente se plantean los conceptos de Mecánica de la Fractura relacionados con el problema

planteado en el capítulo 1, tales como el Factor de Intensidad de Esfuerzos y la Tenacidad de Fractura entre

otros.


xiv

Capitulo 3. En este capítulo, se describe el procedimiento que se llevó a cabo para el análisis analítico,

numérico y para la implementación por medio de Redes Neuronales Artificiales para la solución del

problema. SE explican detalladamente los procedimientos de cálculo, así como el desarrollo de la

programación para el diseño de las RNA`s.

Capítulo 4. En este capítulo se plasma el análisis de los resultados, a fin de dar una conclusión y definir los

alcances del actual trabajo. Primero se muestran los resultados para el entrenamiento de cada unos de los

algoritmos propuestos para el análisis y posteriormente se comparan los resultados de estos. Finalmente se

muestran los resultados que conciernen al análisis de los parámetros de inicio de propagación de grietas,

obtenidos a través del cálculo por medio de Algoritmos Genéticos, lo cual complementa el análisis por

medio de Redes Neuronales.

Es importante señalar, que el actual trabajo de tesis, pertenece al proyecto CONACyT con número de

registro 25226 titulado “Determinación de la Integridad de Estructuras Sometidas a Cargas de Diseño

Severas con Enfoque a Sistemas y Componentes Relacionados con la Seguridad de Centrales Nucleares de

Agua en Ebullición” y al proyecto de Investigación financiado por el IPN “Aplicación de Redes

Neuronales en la solución de problemas de Biomecánica” SIP 20080663.

Referencias Campos, L. J. (2009). Análisis Inverso Computacional Enfocado a la Localización de Defectos en

Materiales Sólidos. Tesis de Maestría. México, D.F. SEPI-ESIME IPN.

Bautista, C. G. (2008). Implementación Numérica de una Red Neuronal para el Modelo Constitutivo del

Comportamiento de Materiales. Tesis de Maestría. México, D.F. SEPI-ESIME IPN.

Ponce, R. R. (2008). Desarrollo de un Sistema Neuro-Difuso para la Solución de la Cinemática Inversa de

Manipuladores Robóticos. Tesis de Maestría. México, D.F. SEPI-ESIME IPN.

Lugo, G. E., Merchán, C. E. y Hernández, G. L. (2009). Synthesis Optimization of Planar Mechanism.

Applied Mechanics and Materials, vol. 15, pp. 55-60.


xv

Luna, A. A., Hernández, G. L., Durodola, J. F., Urriolagoitia, C. G. y Urriolagoitia, S. G. (2008). Locating

and Classifying Defects with Artifitial Neural Networks. Applied Mechanics and Materials.Vols. 13-14,

pp. 117-123.

1 Conceptos y

Características de las Redes Neuronales

Artificiales

Capítulo 1 2

Implementación Numérica de Redes Neuronales Artificiales para el Análisis de Grietas en Placas

CAPÍTULO 1 Conceptos y Características de las Redes

Neuronales Artificiales.

1.1. Orígenes de las Redes Neuronales Artificiales.

El estudio mediante Redes Neuronales, ha cobrado importancia a través de los años debido

a su diversa gama de aplicaciones y las ventajas que este paradigma teórico aporta con

relación a otros métodos y técnicas en la resolución de algunos problemas en distintas

disciplinas del conocimiento. El modelo de Redes Neuronales Artificiales (RNA) es

análogo al funcionamiento del sistema nervioso de algunos organismos, asociándose

principalmente al de los seres humanos. Este, al igual que distintos sistemas y modos de

funcionamiento de los organismos vivos, ha servido de ejemplar para la formación de

nuevos conceptos, teorías y paradigmas aplicables a distintas áreas, con la finalidad de

desarrollar nuevas tecnologías. Lo anterior, es debido a la eficacia de los sistemas

biológicos en la resolución de algunas tareas. Este hecho no es fortuito, ya que, los

diversos organismos que conocemos son producto de la evolución de millones de años.

El modelo de Redes Neuronales parte de una corriente filosófica llamada

Conexionismo. A su vez, las RNA surgen de los estudios con relación a la anatomía y

funcionamiento del cerebro y el análisis explicativo de la conducta de los organismos, por

tal motivo, tienen gran parte de sus orígenes dentro de la Psicología Cognitiva y la

Biología. A diferencia de otras perspectivas que intentan explicar la conducta tales como el

Funcionalismo, el Conexionismo contempla el ambiente biológico, por lo cual, se

Capítulo 1 3


introducen desde esta perspectiva de las Redes Neuronales, conceptos biológicos tales

como neurona, sinapsis y axón, entre otros. Campanario (2004) argumenta que este enfoque

es multidisciplinario y que con base al uso de Redes Neuronales, se mantiene relación con

campos tan aparentemente ajenos a la didáctica de las ciencias como son las Matemáticas,

la Inteligencia Artificial, la Epistemología, la Lingüística, la Informática y la

Neurobiología, entre otros.

A través de los años, el hombre ha intentado crear máquinas y procesos que imiten

las funciones del cuerpo humano, así, las primeras explicaciones en torno al

funcionamiento del cerebro fueron dadas por filósofos griegos tales como Platón, y en la

actualidad se equiparan con el modelo de Von Newman. Es de aquí, que se introducen en la

Psicología Cognitiva conceptos como almacenamiento y procesamiento de información

propia de dicho modelo, los cuales, posteriormente son retomados para aplicaciones de

Ingeniería.

Desde el punto de vista de las Ciencias de la Ingeniería, así como de las distintas

disciplinas, el modelo de Redes Neuronales es utilizado para predecir no sólo

comportamientos de organismos biológicos, sino también, de diversos sistemas que abarcan

una gran gama de áreas del conocimiento. Es por ello, que esta perspectiva traída de la

Biología y la Psicología, resulta tan atractiva como modelo teórico; por sus características y

aplicaciones.

El interés en torno a la exploración del funcionamiento del cerebro surge desde

épocas ancestrales, siendo la génesis de las investigaciones en torno a esta área, las

realizadas por los antiguos griegos. Los anteriores estudios por parte de dicha cultura, son

la base para el establecimiento de diversos campos de investigación en torno a disciplinas

neurocientíficas, psicológicas y de la Ingeniería en la actualidad. Diversos modelos de

análisis del cerebro, tales como los conexionistas mediante Redes Neuronales Artificiales,

han permitido el análisis del comportamiento de diversos sistemas, no sólo en torno al

funcionamiento del sistema nervioso de los organismos, sino también aplicando la metáfora

de la computadora, fundamentada en el modelo de Von Newman. Se extrapola esto al

análisis del funcionamiento de una gran variedad de sistemas en diversas áreas del

conocimiento que van desde la Economía, las Ciencias de la Ingeniería en distintas áreas y

Capítulo 1 4


la Medicina, entre otras. En el ámbito de la Ingeniería, las RNA`s, surgen como una

propuesta para la resolución de distintos problemas con la intención de desempeñar un sin

fin de tareas que comúnmente realiza el ser humano y requieren de lo que ordinariamente

llamamos inteligencia. Este interés por crear máquinas, aparatos y sistemas capaces de

suplir y facilitar algunos trabajos realizados por el ser humano, se observa fehacientemente

con la invención de la cuña, la palanca, la polea, la rueda y posteriormente la creación de

los motores de vapor, los telares, entre otros más sofisticados en la actualidad. De lo

anterior, se explica el profundo interés en la investigación aplicada en torno a las RNA´s, y

se justifica la importancia de la indagación de sus orígenes.

1.2. Historia de las Redes Neuronales.

Las primeras explicaciones teóricas sobre el cerebro y el pensamiento ya fueron dadas por

algunos antiguos filósofos griegos, como Platón (427-347 a.C.) y Aristóteles (422-384 a.

C.). Las mismas ideas sobre el pensamiento mental también las mantuvo Descartes

(1596-1650). La clase de las llamadas máquinas cibernéticas, a la cual, pertenece la

Computación Neuronal, tiene más historia de lo que generalmente se cree. Herón, el

Alejandrino, construyó un autómata hidráulico sobre el 100 a.C. (Hilera y Martínez, 2000).

Lo anterior, específicamente la creación del autómata, al cual, se hace referencia, resulta

relevante debido a que aquí se observan los primeros intentos por reproducir acciones que

comúnmente realiza el ser humano.

Posteriormente, se sabe de los estudios del cerebro realizados por Alan Turing en

1936, los cuales, conforman las primeras representaciones del funcionamiento del cerebro

con una perspectiva computacional. Sin embargo, son el neurofisiólogo McCulloch y el

matemático Walter Pitts, quienes describen en 1943 los principales fundamentos de lo que

se conoce como Computación Neuronal (op cit). Por otra parte, Donald Hebb en 1949,

escribe “la Organización del Comportamiento” con lo cual, establece una conexión entre

la Fisiología y la Psicología (Hebb, 1949). En el cuarto capítulo de su libro; se da, por

primera vez, una metodología para la modificación de las sinapsis, es decir, una regla de

aprendizaje fisiológica. Además, propone que la conectividad del cerebro cambia

Capítulo 1 5


continuamente conforme un organismo aprende cosas nuevas, creándose asociaciones

neuronales con estos cambios (Soria y Blanco, 2001).

En 1957, Frank Rosenblatt desarrolla lo que se conoce como Perceptrón y se

considera la base más simple de las Redes Neuronales, siendo usado hoy en día para el

reconocimiento de patrones. La característica de este modelo, es que es capaz de reconocer

modelos similares a los cuales ha sido entrenado previamente, sin embargo, es de conocerse

su incapacidad para resolver el problema de la función OR-exclusiva y su limitación en

general para clasificar clases no separables linealmente.

Son bastos los estudios que se reportan en la literatura en torno a las Redes

Neuronales Artificiales, sin embargo, resulta importante destacar el desarrollo del modelo

adeline en 1959 por parte de Bernard Widrow y Marcial Hoff, ya que de aquí se conforma

la primera Red Neuronal aplicada a un problema real, siendo usado de forma comercial por

décadas (Widrow en Hilera y Martínez, 2001).

En el año de 1954, Minsky escribió su tesis doctoral en la Universidad de Princeton

titulada “Teoría de los Sistemas Analógicos-Neurales de Reforzamiento y sus Aplicaciones

al Problema del Modelo Cerebral”. Posteriormente, en 1961, publicó el artículo “Pasos

hacia la Inteligencia Artificial” y más tarde, el libro titulado “Perceptrones” de Misnky y

Papert lo que, generó controversia, ya que, ellos realizaban un crítica en torno al

funcionamiento y la aplicabilidad de los perceptrones. Este hecho limitó de forma drástica

el avance de las investigaciones en el campo de las Redes Neuronales Artificiales (RNA),

desde 1969 hasta 1982. En esta última época con los trabajos de J. Hopfield, se desarrolla la

idea del uso de una función de energía para comprender la dinámica de una Red Neuronal

recurrente con uniones sinápticas simétricas. En su primer trabajo, Hopfield sólo permite

salidas bipolares (0 ó 1), (Soria y Blanco, 2001). No obstante lo anterior, autores como

Kohenen, Anderson y Stephen Grossberg continuaron realizando investigaciones en torno a

las RNA`s en el periodo posterior a la publicación de Minsky y Papert, siendo Grossberg,

quien estableció el principio de la auto-organización aplicado a las Redes Neuronales y de

Capítulo 1 6


esta forma surgió la Teoría de la Resonancia Adaptativa (TRA) o mejor conocida por sus

siglas en ingles ART (Adaptative Resonance Theory).

En años recientes, el impacto de las Redes Neuronales, se ha manifestado en la gran

variedad de aplicaciones debido a su versatilidad y eficacia en la resolución de problemas.

No obstante, la investigación está en auge y se continúa con el desarrollo de nuevos

modelos que permitan mejorar el paradigma neuronal. Actualmente, se realiza

investigación por medio de la implementación de Algoritmos Genéticos, así como el uso de

los modelos de Control Difuso, Algoritmos Evolutivos y Redes Estocásticas, entre otros, en

la resolución de problemas en conjunto con las RNA. En la tabla 1.1, se resumen los

avances en este campo.

I ERA EVENTOS SIGNIFICATIVOS

1943 McCulloch y Pitts, Formalización de la neurona artificial.

1949 D. Hebb y el aprendizaje por auto-organización.

1956 "Proyecto de investigación Darmouth Sommer de IA" (Minsky, McCarty,

1960 Rochester, Shannon).

Widrow: ADALINE.

1962 El perceptrón de Rosenbatt.

1969 Perceptrones. Minsky & Papert.

70's Los asociadores de Anderson, modelos para el aprendizaje sin supervisión de

Kohonen, Estudios de Grossberg.

II ERA 1982 Redes de Hopfield: Memoria asociativa y solución de problemas.

1986 PDP Y difusión de la Retropropagación.

1987 La primera conferencia significativa de la IEEE en San Diego.

1989 Los Chips neurales se introducen en el mercado: Sistemas Neurales Análogos

VLSI (Very Large Scale Integrated) por sus siglas en inglés.

1990 J. Pollack y las Redes Neuronales que elaboran estructuras dadas.

1994 Primera conferencia mundial sobre Inteligencia Computacional (Orlando).

1994 Surgió el proyecto neuroCOLT (Teoría computacional de aprendizaje).

2001 La IEEE aprueba la creación de la "Sociedad de Redes Neuronales".

Tabla 1.1. Los principales aspectos en el desarrollo de las Redes Neuronales Artificiales

(Gori, 2003).

Capítulo 1 7


1.3 Modelo Biológico de las Redes Neuronales.

Las Redes Neuronales Artificiales son análogas a la fisiología neuronal del cuerpo humano,

es decir, se toma como modelo el funcionamiento de parte del Sistema Nervioso Central,

siendo su analogía el emularlo mediante técnicas computacionales y esto a su vez,

permite dar solución a una gran gama de problemas, con las ventajas y limitaciones que

estas implican.

Fig. 1.1. Neurona biológica.

En la figura 1.1, se observan los elementos que componen a una neurona biológica,

tales como el núcleo o cuerpo de la neurona, también llamado soma, y una serie de

terminales que parten de este, vistas como ramificaciones llamadas dendritas. Existe una

conexión entre las dendritas y el teledrón llamada axón. El axón está recubierto por una

vaina de mielina. Esta capa es interrumpida en varios puntos por los nodos de ranvier.

Las entradas exitatorias que llegan a la célula, reducen la diferencia de potencial

que existe entre los dos lados de la membrana celular. La despolarización resultante en el

montículo del axón, altera la permeabilidad de la membrana celular por efecto de los iones

de sodio positivos, que penetran la célula.

Capítulo 1 8


Las fibras nerviosas en si son malas conductoras de energía eléctrica, sin embargo,

la transmisión de potencial de acción a lo largo del axón es el resultado de una serie de

despolarizaciones que tiene lugar en los nodos de ranvier. Cuando uno de los nodos se

despolariza, se desencadena la despolarización del siguiente nodo. El potencial de acción

viaja a lo largo de la fibra en forma discontinua, de un nodo a otro. Una vez que el

potencial de acción ha pasado por un cierto punto, este no puede volver a ser excitado

durante un milisegundo aproximadamente, que es el tiempo que tarda en volver a su

potencial de reposo o estado basal. Este periodo refractario limita la frecuencia de

transmisión de los impulsos nerviosos a unos 1000Hz por segundo (Freeman y Skapura,

1993).

Fig. 1.2. Unión sináptica de una neurona biológica.

La sinapsis es la unión que se establece entre dos neuronas, y mediante una serie de

neurotransmisores, se realiza la conexión entre neuronas. Las sinapsis permiten que la

célula influya en la actividad que realizan otras neuronas. El dogma recibido de la teoría de

Redes Neuronales dice que las sinapsis varían en fuerza. Esto es lo que permite las

detalladas interacciones entre varias neuronas, y son la clave de la naturaleza de los

Capítulo 1 9


cómputos de las Redes Neuronales (Anderson, 2007). Una característica de estas es que se

toman como modelo para aplicaciones tecnológicas por su funcionamiento en paralelo, es

decir, que pueden existir series de neuronas interconectadas unas con otras y trabajando al

mismo tiempo. Esta característica, a pesar de las limitaciones que tienen en tiempo de

transmisión por la frecuencia ya descrita, se compensa por su capacidad de funcionamiento

en paralelo, por lo cual, frente a otras aplicaciones actuales por medio de métodos

numéricos, reducen el tiempo de cálculo.

De acuerdo a (Izarrueta y Saavedra, 2008), del modelo biológico de Redes

Neuronales, se hace hincapié en dos componentes de suma importancia:

1. El impulso que llega a la sinapsis y el que sale de ella, los cuales, no son iguales, y

al tipo de salida, que depende del número de neurotransmisores que se ve

modificado por medio del proceso de aprendizaje, así, se cambia este y la

información almacenada se refuerza o se debilita.

2. Las entradas de todas las dendritas se suman en el soma o cuerpo de la neurona,

ya que, si las entradas sobrepasan un umbral, un impulso se trasmitirá a lo largo del

axón. De lo contrario no se realiza esta operación.

1.4 Fundamentos de las Redes Neuronales Artificiales.

1.4.1. Características de una Red Neuronal Artificial.

Es conveniente comenzar definiendo lo que es una RNA, por lo que Haykin (1999) refiere

que esta es un procesador masivamente distribuido en paralelo, con la capacidad de

almacenar conocimiento experimental y mantenerlo disponible para su uso. Esto se

asemeja al cerebro humano en dos aspectos:

• El conocimiento de la red se adquiere mediante un proceso de aprendizaje.

Capítulo 1 10


• Las conexiones interneuronales, llamadas pesos sinápticos, son usadas para

almacenar información.

Por otra parte, Müller et. al (1995), definen un modelo de Redes Neuronales como

algoritmos para tareas cognitivas, tales como el aprendizaje y la optimización, las cuales,

en un sentido vago, se apoyan en conceptos derivados de la investigación en torno a la

naturaleza del cerebro. De lo anterior, se puede decir que existe una serie de características

de las Redes Neuronales Artificiales, que las colocan en ventaja en algunas aplicaciones

con relación a otros modelos teóricos. Es importante destacar que el modelo neuronal

biológico se toma como base para la creación de Redes Neuronales Artificiales, sin

embargo, no es el propósito reproducirlo de forma exacta, más bien, extraer las

características de mayor relevancia para su aplicación en la resolución de problemas.

Las Redes Neuronales Artificiales son sistemas computacionales dinámicos-no

lineales, que constan de un gran número de elementos interconectados y organizados por

niveles, entre ellos, los nodos o neuronas; capaces de procesar información recabada por

medio de entradas dinámicas externas. En la actualidad, existen varios modelos de RNA’s,

sin embargo, su aplicación se define en función del problema a resolver.

McCulloch y Pitts (1943) dieron a conocer un modelo simple de una neurona, el

cual, resulta el elemento básico del procesamiento de una Red Neuronal Artificial, así

también describieron el funcionamiento de estas por medio de compuertas lógicas.

En la Figura 1.3, Se muestra la analogía de una Red Neuronal Biológica con una

Red Neuronal Artificial, en donde X1, Xi, Xn y Yj son las neuronas y las líneas que unen

a X1,..Xn con Yj son las dendritas.

Capítulo 1 11


Fig. 1.3. Esquema de una Neurona Artificial.

Las neuronas X1, Xi hasta Xn, son señales de entrada, las cuales, envían

información con valores numéricos y a su vez, se encuentran interconectadas con la

neurona Yj, las cuales son representadas por el vector de señales entrada:

(1.1)

Cada señal de entrada Xi, es multiplicada por un valor Wji, conocido como peso

sináptico, el cual, define el grado de importancia o prioridad de la información transmitida

a las dendritas de Yj. El primer subíndice de W, denota hacia donde es dirigida la

información proveniente de la neurona Xi, y a su vez, el segundo subíndice hace referencia

al origen de la información. Los pesos sinápticos Wji pueden ser excitatorios (positivos) o

inhibitorios (negativos) de acuerdo a su valor y son representados por el siguiente vector:

Capítulo 1 12


(1.2)

Al multiplicar las entradas por sus respectivos pesos y tomando en cuenta al igual

que en una neurona biológica, las entradas se suman en el soma o cuerpo de la neurona.

Loa totales de la suma de las neuronas Yj (in) quedan representados de la siguiente forma:

(1.3)

En la cual, el subíndice (in) representa (input) o entrada. Para que la neurona se

active, es necesario que supere un umbral de activación “V” y a su vez, sea excitada

mediante la aplicación de una función de activación, la cual, será aplicada sobre Yj(in).

Este puede ser por ejemplo una señal sigmoidea, escalón, hiperbólica, tangente, entre

muchas otras, por lo que la señal de salida resultante es:

(1.4)

Asimismo, las funciones de activación pueden ser lineales o no lineales, adoptando

de esta forma las neuronas, de acuerdo a su función de activación, el nombre de neuronas

lineales o no lineales, en donde comúnmente, las funciones se representan con un cuadrado

y las neuronas con un círculo. Esta simbología, es aplicada para reconocerlas en diagramas,

tal como se observa en la figura 1.3, que representa esquemáticamente una Red Neuronal

Artificial.

Capítulo 1 13


1.4.2. Funciones de excitación.

Como se mencionó, se requiere de una función de activación para habilitar la Red

Neuronal. Esta puede ser lineal o no lineal y la elección del tipo de función depende del

caso a resolver y del tipo de red. En la figura 1.4, se muestran algunas funciones de

activación comúnmente utilizadas.

Fig. 1.4. Funciones de excitación o de transferencia (Hagan, Demuth et al, 1996).

Capítulo 1 14


1.4.3. Aprendizaje.

Castillo et al (1999) mencionan que una de las principales características de las RNA´s es

su potencial de aprendizaje a partir de unos datos, y de esta forma, una vez que se ha

definido la arquitectura de la red, los pesos de las conexiones son ajustados para codificar

la información obtenida de un conjunto de datos de entrenamiento. De esta forma, los

diferentes métodos de aprendizaje se pueden clasificar en dos categorías dependiendo del

tipo de información disponible (op cit):

• Aprendizaje supervisado, en el cual los patrones de aprendizaje son formados por

parejas de datos {(Ap;Bp), p=1,….n}, esta consta de un vector de entrada Ap y sus

correspondientes salidas Bp. En este tipo de redes, el error se reduce mediante los

datos a la salida calculados por otra red y de esta forma se redefinen los pesos. En

este tipo de aprendizaje, el patrón de salida es un dato conocido, con lo cual, se

verifica constantemente la respuesta a la salida.

• Aprendizaje no supervisado, en este caso, la red debe descubrir por si misma

patrones y categorías, ya que los datos son presentados a la red sin información

externa. Es considerado dentro de las técnicas autorganizativas o automáticas con la

finalidad de descubrir las estructuras de datos. La red debe ser capaz de reajustar sus

pesos, de manera que se encuentre alguna configuración presente o resultado

coherente al problema. Esto mediante una serie de ciclos de entrenamiento llamados

épocas. Algunos ejemplos de este tipo de aprendizaje son:

• Aprendizaje hebbiano, consiste en la modificación de los valores de los pesos de la

red, de acuerdo a algún criterio de correlación entre las actividades de las neuronas.

• Aprendizaje competitivo, en donde las neuronas son conectadas con pesos

inhibitorios o negativos a fin de ganar un mayor valor en la actividad neuronal.

Capítulo 1 15


• Representación de características, usualmente conocido como (Feature Mapping),

el cual, consiste en la ordenación geométrica del peso de los vectores.

Otra característica de los datos de aprendizaje no supervisado, es que puede

contener valores de entrada y salida, sin conocer la correspondencia entre las salidas y los

datos entrantes.

Lo anterior, es la descripción de una Neurona Artificial. Existen muchas

modificaciones al modelo neuronal básico, del cual, se plantea al Perceptrón como base.

Este se describe más adelante. También, es importante señalar que para el modelo neuronal

se requiere de un entrenamiento a través de diversos procesos como el aprendizaje

supervisado, la regla de Hebbs o los procedimientos de aprendizaje, entre otros.

La regla de aprendizaje de Hebbs, consiste en la elección de los pesos sinápticos

Wji. Se elijen en función de un patrón memorizado σi y cada patrón memorizado conforma

una configuración estable.

1.4.4. Esquema general del funcionamiento de una Red Neuronal

Artificial.

De acuerdo a Pistolesi (1999), las Redes Neuronales consisten en un sistema de n neuronas,

cuya información es o no trascendente mediante la prioridad definida por los pesos

sinápticos. La dinámica general consta de las siguientes fases:

Una señal de activación, la cual, actualiza los estados de las neuronas y permite de

esta forma el cálculo. Dado un estado de una neurona i y la entrada de estimulación

de la neurona , el estado siguiente resultante es:

(1.5)

Donde F representa una determinada función de transferencia.

Capítulo 1 16


Una regla de aprendizaje, la cual, modifica los pesos de las conexiones y así

permite llevar a cabo el cálculo. Dado el peso sináptico Wji que se reforzará o inhibirá,

resulta lo siguiente:

(1.6)

1.4.5. Arquitectura de una RNA.

Una Red Neuronal Artificial puede concebirse desde un punto de vista matemático como

un grafo dirigido y ponderado, donde los nodos representan las neuronas y las líneas que las

unen entre sí, son las conexiones sinápticas. Las arquitecturas pueden definirse por el

número de capas:

• Redes monocapas. Son las de configuración más sencilla, ya que están formadas

únicamente por una capa de neuronas que proporcionan las entradas a la red y una

capa de neuronas que generan los datos a la salida. Debido a que la capa de entrada

no realiza ningún cálculo, más bien sólo alimenta a la red con la señales de entrada,

esta capa no se cuenta. Es por ello que el nombre es redes monocapa. Este tipo de

red es conveniente cuando se trabaja con una gran cantidad de datos, ya que surge la

necesidad de agruparlos de acuerdo a sus similitudes de comportamiento. Cada capa

constituye un vector de neuronas, cuyas salidas pueden ser lineales o no lineales.

En la figura 1.5, se muestra un esquema de una Red Neuronal monocapa.

Capítulo 1 17


Fig. 1.5. Red Unicapa.

• Las Redes Neuronales multicapa. Tienen un mayor número de datos de entrada y

de neuronas. Tienen capas ocultas intermedias entre las entradas y las salidas y son

mayormente utilizadas para la resolución de problemas complejos. En este tipo de

redes, las capas ocultas contienen datos lineales o no lineales. Lo anterior se

demuestra mediante la construcción de una red multicapa con capas ocultas lineales,

que sería equivalente a una red unicapa. Esta característica ha sido aprovechada

para el diseño de microcomponentes de silicio paralelos con la tecnología (Very

Capítulo 1 18


Large Scale Integrated) VLSI, por sus siglas en inglés. En la figura 1.6, se muestra

un ejemplo de una red multicapa.

Fig. 1.6. Red Multicapa.

Por su tipo de conexión y su arquitectura se clasifican como:

• Redes no recurrentes, en las cuales la señal se produce únicamente en un sentido.

Estas estructuras no tienen memoria y puesto que solo reciben información

unidireccional, no es posible realimentarlas. Esto hace referencia a un sistema de

control de lazo abierto en el cual no existe señal de retroalimentación.

• Redes neuronales recurrentes, las cuales, tienen lazos de retroalimentación. Lo

anterior, es análogo a un sistema de control de lazo cerrado, en el cual, la señal de

Capítulo 1 19


salida proporciona una retroalimentación al sistema. Los lazos pueden ser entre

neuronas de diferentes capas o entre una misma neurona. Este tipo de configuración

las hace adecuadas para estudios no lineales.

Por su tipo de conexión, su arquitectura se define como:

• Redes Neuronales totalmente conectadas. Cada una de las neuronas de una capa se

encuentran conectadas con las neuronas de la capa siguiente (redes no recurrentes) o

con las de la capa anterior (redes recurrentes).

• Redes parcialmente conectadas. Estas conexiones pueden ser en diferentes

configuraciones, siendo en paralelo o jerárquicas. En estas últimas, se define la

importancia de las neuronas formando redes subordinadas o subredes.

1.5. Ventajas y limitaciones de las Redes Neuronales Artificiales.

Si bien, las Redes Neuronales son una buena alternativa para la solución de muchos

problemas, también tienen sus limitaciones. No obstante lo anterior, se ha buscado la

forma de perfeccionarlas a través de diferentes modelos y adaptaciones. Se observan

actualmente trabajos mediante Redes Neuronales Artificiales en diversos campos,

combinadas con Algoritmos Genéticos o Algoritmos Evolutivos, tales como los descritos

por (Martinez y Goddart, 2001), en donde se usan Redes Neuronales para tareas de

clasificación por medio de un programa evolutivo, y (Parisi y cols, 2006), quienes aplican

Redes Neuronales en conjunto con Algoritmos Genéticos para la predicción de índices

bursátiles, solo por mencionar algunos trabajos.

Dependiendo del tipo de aplicación, se determina la viabilidad de la implementación

de las RNA`s, seleccionando el tipo de red a utilizar y la arquitectura apropiada. De lo

anterior, se destacan a continuación algunas de las ventajas de trabajar con Redes

Neuronales:

Capítulo 1 20


• Alta tolerancia al ruido. Significa que resultan muy flexibles con relación a datos

complejos, y faltantes.

• Capacidad de trabajo en paralelo. Las dota de mayor rapidez en la resolución de

una gran gama de problemas con relación a métodos computacionales

convencionales.

• Tolerancia al error. Permite que por medio de una retroalimentación de la Red

Neuronal, se realicen procedimientos iterativos que actualizan las secuencias y los

pesos de esta, posibilitándola de un aprendizaje en tiempo real. También cabe

destacar que la red puede seguir respondiendo de forma relativamente aceptable,

incluso si existen datos faltantes o si ha sido dañada.

• Adaptabilidad. Debido a que la Red Neuronal tiene la capacidad de modificar y

corregir algunos de sus parámetros tales como sus entradas o autoajustarse en

presencia de ruido, se considera adaptable, sin embargo, es necesario destacar que

esta capacidad no debe ser exagerada, ya que esto crearía un sistema inestable, el

cual respondería a pequeños cambios o perturbaciones con resultados cuyo

porcentaje de error sea muy alto.

• Posibilidad de trabajo en tiempo real. Mediante lo cual, se emulan actividades de

los sistemas biológicos a través de programación o el uso de componentes de

silicio.

Por otra parte, Muñoz (1996) describe algunas de las características por las que las

RNA´s suelen ser útiles:

• No linealidad. Las neuronas generalmente son elementos de procesos no lineales,

quedando esta propiedad de no linealidad distribuida a lo largo de toda la red. Lo

anterior resulta útil para la resolución de problemas no lineales tales como el

reconocimiento de patrones de voz, sin embargo también complica el análisis por

medio de métodos lineales ya establecidos.

Capítulo 1 21


• Respuesta evidencial. La red puede otorgar información sobre la fiabilidad de una

estimación. De esta forma, se pueden rechazar o aceptar valores de entrada

completando el proceso de estimación.

• Tolerancia frente a fallos. La red puede seguir respondiendo en el caso de que

parte de su estructura esté dañada. Esto por el tratamiento distribuido de la

información, y la redundancia implícita de la red.

• Realización en VLSI. Permite construir estructuras altamente complejas mediante

la utilización de tecnología (Very Large Scale Integration), o de integración a gran

escala. Esto se logra por las características de procesamiento en paralelo de una Red

Neuronal, lo cual, permite la resolución de problemas complejos.

Algunas de las desventajas que se refieren al uso de las Redes Neuronales son las

siguientes de acuerdo a Bautista (2008) son:

• Es difícil conocer el contenido de las capas ocultas, por lo cual, la información es

una caja negra para el diseñador. De esta forma no existen algoritmos que describan

el comportamiento de la red.

• La extrapolación de las soluciones que se encuentran fuera del dominio de la red, no

es posible.

• Si el problema a resolver es altamente complejo, el diseñador debe realizar una

delimitación muy precisa del problema, lo cual puede resultar en una gran tarea.

Adicionalmente a lo anterior, cabe destacar que debe delimitarse el problema con

precisión, así como también, el número de épocas o ciclos de entrenamiento, para no

realizar un sobre-entrenamiento y obtener resultados vagos e imprecisos.

Capítulo 1 22


1.6. El Perceptrón.

Hagan y cols. (1996), refieren que Frank Rosemblatt, en 1950, junto con otros

investigadores, desarrollaron una clase de Redes Neuronales llamadas Perceptrones, cuyas

neuronas eran similares a las de McCulloch y Pitts. El aspecto trascendente con el que

contribuyó Rosemblatt fue al introducir la regla de entrenamiento del Perceptrón para los

problemas de reconocimiento de patrones, observando que esta regla siempre converge

hacia los valores de los pesos correctos, la cual aprende de los errores.

El Perceptrón es un modelo neuronal básico. Está determinado principalmente por

tres funciones, las cuales son, activación, propagación y transferencia. Estas regulan la

forma de operación de la red y mediante la función de transferencia se da una

retroalimentación, la cual posibilita el aprendizaje mediante entrenamiento.

Fig. 1.7. Representación de un Perceptrón.

1.7. Algoritmos de entrenamiento.

1.7.1. Algoritmos de entrenamiento comunes.

Los Perceptrones generalmente se organizan en diferentes capas, de esta forma, cada

neurona de una capa es capaz de recibir una entrada de aquellas previas. Como ya se ha

descrito, los Perceptrones son las estructuras más simples y de una sola capa.

Algunos de los algoritmos de aprendizaje más comunes se describen a continuación:

• Aprendizaje hebbiano: los pesos sinápticos son elegidos de forma aleatoria,

utilizando los patrones uno a uno y de esta forma se modifican los pesos de acuerdo

a la correlación entre los valores de entrada y de salida.

Capítulo 1 23


(1.7)

El parámetro “n” representa el índice de aprendizaje que indica el cambio de los

pesos sinápticos.

• Método del descenso de gradiente, en el cual también se eligen los pesos sinápticos

de forma aleatoria. Sin embargo, la finalidad de este método es minimizar la suma

de los cuadrados de los errores por medio de la variación de los pesos. De esta

forma el error se encuentra determinado por la siguiente expresión:

(1.8)

Este algoritmo puede ser optimizado mediante el método de descenso de gradiente

lo cual resulta en:

(1.9)

En donde Bpi, es la activación lineal de la neurona bpi es decir, bpi=f(Bpi). “n”

Representa el índice de aprendizaje.

Si se describe un caso lineal de la forma f(x)=x, la fórmula de aprendizaje anterior

se modifica y se reduce:

(1.10)

Capítulo 1 24


1.7.2 El algoritmo de Retropropagación.

Castillo et al (1999) realizan una descripción de la red de Retropropagación, en donde,

suponiendo conjuntos de entrada {ap1,…apn}, con las salidas correspondientes a estos de

la forma {bp1,….bpn}, donde p=1 como patrones de entrenamiento de un Perceptrón

simple, se tiene la función que describe el error total:

(1.11)

Este algoritmo de Retropropagación se apoya en la idea del descenso del gradiente

por medio del uso de la regla delta:

(1.12)

Donde “n” es el parámetro de aprendizaje relacionado con el índice de pesos

modificables. El algoritmo de Retropropagación de Rumelhart et al (1986) permite dar

solución a la problemática de actualizar iterativamente los pesos, ya que, no resulta igual de

simple que en el caso del Perceptrón.

Primeramente, el patrón “ap”, el cual, conforma el vector de entrada, se propaga

hacia adelante mediante la obtención de los valores de las capas ocultas y las salidas bp. De

Capítulo 1 25


esta forma, los valores obtenidos son utilizados para actualizar los pesos sinápticos Wik y

así propagar hacia atrás los errores anteriores:

(1.13)

Bpi=f(Bpi), es la enésima salida de la red obtenida mediante la Retropropagación

hacia adelante de la entrada (api,…..apn) por lo que se tiene:

(1.14)

Ya que los pesos han sido actualizados, el valor resultante junto con el valor a la

entrada y los de las neuronas de las capas ocultas, se utilizan para modificar los pesos de la

capa oculta:

(1.15)

De los primeros términos, se sustituye en las derivadas parciales resultando lo

siguiente:

Capítulo 1 26


(1.16)

Finalmente, se obtiene una expresión reducida de los pesos actualizados mediante la

Retropropagación:

Donde:

1.8. Aplicaciones Generales de las Redes Neuronales Artificiales

en la Mecánica.

Las aplicaciones de las Redes Neuronales, son muy amplias. Lo anterior, es debido a su

versatilidad y sus características, tales como: el entrenamiento no supervisado y su

procesamiento en paralelo. Esto, las ponen en ventaja con relación a otras herramientas.

De forma general, sus aplicaciones principales pueden destacarse en diferentes

áreas, tales como: la Biología, el ámbito empresarial, Medio Ambiente, Economía,

Finanzas, Manufactura, Medicina, la Milicia, y un sinfín de aplicaciones ingenieriles. Las

de interés para el desarrollo de esta tesis, son aquellas que están relacionadas con el área de

la Ingeniería Mecánica y en específico, con la inspección de materiales.

El análisis de grietas y la detección de defectos es importante para garantizar la

integridad estructural de diversos materiales, los cuales, son utilizados en estructuras de

Capítulo 1 27


plantas en operación. También resulta importante para la determinación de esfuerzos

residuales y para la evaluación del tiempo de vida útil de los elementos que componen

una estructura. Para lo anterior, se ha recurrido a una serie de métodos y técnicas de

evaluación no destructivas (NDE) por sus siglas en inglés, mediante procedimientos

experimentales como rayos X, ondas de ultrasonido, por medio del uso de electroscopios o

análisis mediante la generación de campos magnéticos. En la mayoría de los casos, las

técnicas mencionadas únicamente son útiles para detectar la existencia de grietas o

defectos, por lo cual, las técnicas de evaluación cuantitativa no destructivas (QNDE) por

sus siglas en inglés, son una buena opción para evaluar parámetros asociados tales como

el tamaño de grietas, su forma y su localización. Esto forma una adecuada determinación

de la integridad estructural.

De acuerdo a la forma del tratamiento de los datos del problema, este puede ser

resuelto por medio de un análisis directo o inverso. En el caso de no contar con los

parámetros de defectos tales como el tamaño de grieta y la localización de defectos. Estos

pueden determinarse a partir de la respuesta dinámica de un sólido medido en diferentes

puntos de su superficie. Lo anterior es un análisis inverso del problema. Por otra parte, si

se conocen los parámetros del defecto, la respuesta dinámica de un sólido se puede obtener

a partir de análisis computacionales, por medio de simulaciones mediante métodos

numéricos tales como: el Método del Elemento Finito, entre otros. Esto es lo que se conoce

como un análisis directo del problema.

El análisis inverso, comprende el uso de Redes Neuronales Artificiales, las cuales

pueden ser utilizadas para la localización de defectos, grietas y determinación del tamaño

de grietas. Al respecto, las Redes Neuronales Artificiales han sido aplicadas no solo al

campo de la Ingeniería Mecánica, sino también resultan flexibles para realizar análisis en

otros campos de la ingeniería. Mediante este tipo de análisis y por medio de Redes

Neuronales Artificiales, se ha trabajado en la detección de defectos y determinación de

tamaño de grietas. Lo anterior, tiene como ventajas y desventajas, que esta metodología es

buena para realizar una evaluación cuantitativa. Para este efecto, se requiere un número

determinado de simulaciones computacionales en la aplicación de los procesos de

Capítulo 1 28


identificación y es inevitable en la optimización de métodos convencionales. La

metodología es la siguiente:

1. Se simulan mediante análisis por medio del Método del Elemento Finito,

generándose con esto, una base de datos sintética.

2. Identificar parámetros para la determinación de defectos o detección de grietas.

3. Se entrena y valida la Red Neuronal con pares de datos recabados de la fase

anterior. Este es uno de los puntos de interés de este trabajo de tesis.

En el ámbito mecánico, Okuda, Miyazaki y Yagawa (1995), reportan una serie de

recientes aplicaciones de las Redes Neuronales, principalmente en el ámbito del análisis

cuantitativo no destructivo, las cuales, se mencionan a continuación:

• Detección de defectos por medio de potencial eléctrico. En este método, los

parámetros tales como el tamaño y la localización de la grieta se determinan por

medio de mediciones de valores de potencial eléctrico en diferentes puntos del

espécimen a analizar. Lo anterior, es lo que se conoce como un análisis inverso. Por

el contrario, si se conocen los parámetros de grieta, una distribución del potencial

eléctrico puede ser fácil y el procedimiento para realizar el anterior análisis es el

siguiente:

1. El muestreo de datos de los parámetros de grieta tales como: el tamaño, la

localización y el ángulo de rotación, contra los valores del potencial eléctrico.

Mediante patrones de entrenamiento, se realizan simulaciones para una gran gama

de combinaciones con los parámetros de grieta. Con esto, se desarrollan criterios de

evaluación.

2. Se entrena de una Red Neuronal Artificial de Retropropagación, la cual, se utiliza

en determinado número de patrones.

3. La red entrenada es capaz de identificar parámetros de grieta provenientes de la

medición de los valores del potencial eléctrico.

Capítulo 1 29


• Identificación de defectos con el método ultrasónico. En este análisis se plantea

una placa con un defecto en su superficie. Una onda ultrasónica se propaga sobre

esta, a fin de identificar la ubicación vertical y horizontal de la punta del defecto.

Esto mediante la onda reflejada y se monitorea la respuesta dinámica de los

desplazamientos en 7 puntos. Para el análisis, se usa una Red Neuronal con el

algoritmo Retropropagación del error, por sus siglas en inglés, (EBP) combinado, o

del error combinado, estimando el error del entrenamiento. Se cuenta con el número

de puntos de monitoreo, el número de unidades ocultas y los factores de

aprendizaje. El análisis proporciona menor tiempo y con mayor exactitud por medio

de la implementación de la RNA (Yoshimura y cols, 1993).

• Análisis con el modelo de Redes Neuronales para el comportamiento de

materiales viscoplásticos. Este análisis cobra importancia debido a que en la

industria, algunos materiales estructurales son sometidas a condiciones de carga

severas, como ciclos de carga variable, condiciones de irradiación o a altas

presiones y temperaturas. Las ecuaciones viscoplásticas constitutivas, relacionan

varios parámetros necesarios para determinar el comportamiento de los materiales.

Ya se ha trabajado con respecto a esto mediante el uso de RNA, con la finalidad de

optimizar los múltiples parámetros de las ecuaciones constitutivas viscoplásticas.

(Yoshimura y cols, 1992).

Estos son solo algunos de los muchos ejemplos de las aplicaciones de las Redes

Neuronales Artificiales en Ingeniería Mecánica. Actualmente, en la Sección de Estudios de

Posgrado e Investigación de ESIME-IPN se ha trabajado con la detección de defectos y su

implementación al modelo constitutivo del comportamiento de materiales, así también se ha

modelado mediante la implementación de Control Difuso y Redes Neuronales para la

resolución de problemas en mecánica. También, trabajos con Algoritmos Genéticos se han

realizado. Un ejemplo es el titulado “diseño de mecanismos utilizando Algoritmos

Genéticos con aplicaciones en prótesis para miembro inferior, a cargo de las M. en C.

Esther Lugo González, en donde describe la metodología para su implementación.

Capítulo 1 30


1.9. Algoritmos Genéticos.

Los Algoritmos Genéticos, (AG) son una herramienta de optimización, aplicable a una

gran gama de problemas. Estos se basan en la selección natural de los procesos de

evolución biológica. Debido a esta característica, el AG modifica constantemente la

población de los individuos. En cada paso, se seleccionan los datos de una población al

azar, para ser padres y así formar hijos para la siguiente generación. Hacia las nuevas

generaciones, se propone una gran variedad de soluciones óptimas al caso a resolver. Una

característica importante, es que estos tienen la capacidad de resolver problemas mediante

una función objetivo, discontinua, no diferenciable, estocástica o altamente no lineal.

Los Algoritmos Genéticos funcionan bajo una función objetivo, que describe el

comportamiento del problema y debe programarse previamente. Se usan una gran gama de

reglas en cada paso para la creación de generaciones, las cuales son:

Reglas de selección. Se eligen a los individuos llamados parientes, los cuales

contribuyen a formar la población de la nueva generación.

Reglas de cruce. Sirven para hacer combinaciones entre parientes para formar hijos

de las siguientes generaciones.

Reglas de mutación. Se aplican al azar para crear cambios en los padres para la

formación de hijos.

Algunos criterios que se pueden modificar en la programación de los algoritmos

genéticos son los siguientes:

Tamaño de la población. Especifica cuantos individuos hay en cada generación.

Esta se define mediante vectores de tamaño mayor a 1, a fin de crear subpoblaciones.

La selección de funciones. Se seleccionan parientes para las próximas

generaciones, con base a los valores de las funciones de escalamiento idóneo.

Reproducción. Se determina cuántos hijos se crean en cada generación.

Capítulo 1 31


Los Algoritmos Genéticos se pueden modelar mediante el uso de MATLAB. Con el

comando “gatool”, se despliega la herramienta de optimización de los AG.

1.10. Planteamiento del problema.

Anteriormente, ya se han aplicado análisis de fractura para la determinación de las

condiciones de inicio y propagación de grietas en distintos especímenes con diversas

propiedades mecánicas y geométricas. Algunos de estos métodos, se apoyan en análisis

numéricos que consumen muchos recursos de cómputo y mucho tiempo, al igual que se

considera la exactitud de los resultados que estos métodos proporcionan.

La pregunta es, si existe algún otro método que pueda dar solución a la evaluación

del problema de inicio de propagación de una grieta. Así es que, existe la necesidad de

generar criterios de evaluación y a la vez, se debe tomar en cuenta el carácter no lineal del

problema. Esto es, la relación parabólica entre el Factor de Intensidad de Esfuerzos y el

tamaño de la grieta. En este sentido, se ha establecido, que los análisis por medio de Redes

Neuronales Artificiales y Algoritmos Genéticos son una buena propuesta.

Debido a lo anterior, el actual análisis consiste en la implementación de una Red

neuronal de Retropropagación para el análisis de las condiciones de fractura en placas

metálicas. Esto, mediante la obtención de los Factores de Intensidad de Esfuerzos por

medio de Redes Neuronales, el Método del Elemento Finito y analíticamente, y

posteriormente se determinan de la condiciones de inicio de propagación de grietas, por

medio de Algoritmos Genéticos. Por lo cual, el espécimen a analizar es una placa metálica

con una relación de Poison “υ” de 0.27 y un módulo de elasticidad “E” de “200 GPa,

correspondientes a los aceros, cuyo modo de carga es el tipo I y posee una grieta lateral, tal

como se muestra en la figura 3.2.

Se determinan los Factores de Intensidad de Esfuerzos variando la geometría y la

carga aplicada al espécimen. Primeramente, por el método analítico y luego por medio del

Método del Elemento Finito, mediante el apoyo del paquete computacional ANSYS.

Posteriormente, se genera una base de datos sintética, se desarrolla el análisis con una Red

Capítulo 1 32


Neuronal Artificial de Retropropagación y se verifican los resultados al aplicar seis

distintos algoritmos a este modelo de RNA. Se propone un análisis directo, por lo que se

cuenta con las variables a, w, t, P (tamaño de grieta, ancho del espécimen, espesor y carga)

para la determinación de los Factores de Intensidad de Esfuerzos.

Considerando lo anterior, se modifican las variables descritas, a fin de modificar la

geometría y las condiciones de carga para entrenar la red. Se genera una base de datos con

los valores del cálculo analítico de K, posteriormente se verifican los resultados con el

modelado mediante el MEF del cual, también se forma una base de datos. Los valores de K

obtenidos de este último análisis son ordenados aleatoriamente y son utilizados para el

entrenamiento de la RNA de Retropropagación, con los algoritmos Levenberg-Marquardt,

BFGS Quasi-Newton, Retropropagación Elástica, Gradiente conjugado, Fletcher-Reeves y

la Secante de un Paso. De lo anterior, se identifica el algoritmo que implementado a una red

de Retropropagación, proporcionan los mejores resultados considerando como criterios el

tiempo de cálculo y el menor error cuadrático medio. El algoritmo con mejores resultados

en el entrenamiento, se compara con los resultados de la base de datos analíticos y

numéricos por medio del MEF. Los datos son analizados generando las conclusiones que se

describen en el actual trabajo de tesis.

Finalmente, se propone un análisis inverso para la determinación de las condiciones

de inicio y propagación de grietas, a través de la obtención de los parámetros a, w, t y P, a

partir de los valores del Factor de Intensidad de Esfuerzos, mediante el uso de Algoritmos

Genéticos.

1.11. Sumario.

En este capítulo, se expusieron los conceptos básicos en torno a las Redes Neuronales

Artificiales, haciendo un breve recorrido por la historia, sus orígenes y sus principios

básicos, así como sus aplicaciones en el área de interés de esta tesis. Se desarrolló una

descripción detallada del algoritmo de entrenamiento de Retropropagación, ya que este es

el que se propone para llevar a cabo el análisis de grietas en placas. En la Sección de

Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME-IPN, ya se ha trabajado con el uso

Redes Neuronales Artificiales aplicadas a otros problemas de Ingeniería Mecánica y con

Capítulo 1 33


este análisis, se pretende contribuir con técnicas para el análisis mediante las RNA’s, en

específico se trata el caso de inicio de propagación de grietas en placas agrietadas sujetas al

modo de carga I. Con lo anterior, también se plantean las bases teóricas del algoritmo de

Retropropagación cuyas ecuaciones serán utilizadas para el análisis mediante la

implementación y comparación de los seis distintos algoritmos antes mencionados.

En el siguiente capítulo, se describen brevemente los conceptos básicos en torno a

Mecánica de la Fractura, necesarios para el planteamiento del problema planteado de este

trabajo de tesis.

Capítulo 1 34


1.12. Referencias.

Anderson, A. J. (2007). Redes Neurales. Alfaomega. México

Bautista, C. G. (2008). Implementación numérica de una red neuronal para el modelo

constitutivo del comportamiento de materiales. Tesis de maestría. SEPI-ESIME Zacatenco

México D. F.

Campanario, J. M. (2004). El enfoque conexionista en psicología cognitiva y algunas

aplicaciones sencillas en didáctica de las ciencias. Enseñanza de las ciencias, 22(1), 93-104

Castillo, E., Cobo, A., Gutiérrez, J. (1999). Introducción a las redes funcionales con

aplicaciones. Un nuevo paradigma neuronal. Paraninfo, Madrid España.

Freeman, A. J. y Skapura, M. D. (1993). Redes neuronales. Algoritmos, aplicaciones y

técnicas de propagación. Addison- Wesley/Diaz de Santos. México.

Gori, M. (2003). Introduzione alle Reti Neuronali Artificiali. Mondo digitale. Número 4.

Hagan, M. T., Demuth, H. B. y Beale, M. (1996). "Neural network design", Thomson

Learnig PWS Publishing Company, Pp 4-2.

Haykin, S. (1999). "Neural networks a comprehensive foundation", Prentice Hall, 2da

Edición.

Hebb, D. (1949). The Organization of Behaviour. Ed. Wiley

Hilera, R. J. y Martínez, J. V. (2000). Redes neuronales artificiales. Fundamentos, modelos

y aplicaciones. Ed. Alfaomega. México. Pp. 2-7.

Izarrueta, F. y Saavedra, C. (2008). Redes Neuronales artificiales. Departamento de Física

Universidad Concepción. Concepción Chile. Recuperado el 6 Septiembre del 2008 de

http://dis.unal.edu.co/profesores/lucas/RedNeu/LiRna003.pdf

Martínez, L. A., Goddart, C. J. (2001). Definición de una Red Neuronal para clasificación

por medio de un programa evolutivo. Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica. Vol.

XXII, Num. 1. Pp. 4-11.

http://dis.unal.edu.co/profesores/lucas/RedNeu/LiRna003.pdf

Capítulo 1 35


McCulloch, W. y Pitts W. (1943). A logical Calculus of ideas immanent in nervous

activity. Bulletin of Mathematical Biophysics.

Minsky, M. y Papert, S. Eds. (1969). Perceptrons. Cambridge MA, MIT Press.

Müller, B., Reinhardt, J. y Strickland, M.T. (1995). Physics of neural networks. Neural

Netwoks, an introduction. Second Edition. Springer.

Muñoz, San R. A. (1996). Aplicación de técnicas de redes neuronales artificiales al

diagnóstico de procesos industriales. Tesis doctoral. Universidad Pontificia Comillas.

Madrid.

Okuda, H., Miyazaki, H. y Yagawa, G. (1995). "Model of inelastic response using neural networks." Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. A 62(597): 1284-1290. Parisi, A., Parisi, F. y Diaz, D. (2006). Modelos de algoritmos genéticos y redes neuronales

en la predicción de índices bursátiles Asiáticos. Cuadernos de economía Vol. 43.

Universidad de Chile. Pp. 251-284.

Pistolesi G, (1999). Il ritorno delle reti neuralli Parte I: La física della mente. Gennaio

1999, Byte Italia pp. 57-61

Rumelhart, D. E., G. E. Hinton y J. L. McClelland (1986). "A general framework for

parallel distributed processing." Parallel distributed processing.

Soria, E. y Blanco, A. (2001). Redes Neuronales Artificiales. ACTA. Pp 25-26. Recuperado

el 10 de Julio de 2008 de http://www.acta.es/articulos_mf/19023.pdf

Yoshimura, S., Hishida, H. y Yagawa, G. (1992). “ Parameter optimization of viscoplastic

Constitutive equation using neural network”, VII International congress of experimental

mechanics, 1 pp. 296-301.

Yoshimura, S., Yagawa, G., Oishi, A y Yamada, K. (1993). “Quantitative Defect

identification by means of neural netwok and computacional mechanics”, 3rd Japan

International SAMPE simposium, pp. 2263-2268.

http://www.acta.es/articulos_mf/19023.pdf

2 Conceptos Teóricos de Mecánica de la

Fractura

Capítulo 2 37


CAPÍTULO 2 Conceptos Teóricos de Mecánica de la Fractura.

2.1. La Mecánica de la Fractura.

2.1.1. Aspectos generales.

El análisis de elementos mecánicos sometidos a distintos esfuerzos y en condiciones de

falla, ha sido trascendente a lo largo de la historia. La problemática que se han reportado

en la literatura abierta, debido a fallas de distintos elementos, ha costado vidas humanas y

pérdidas materiales cuantiosas. Sin embargo, no siempre estas condiciones de falla han sido

una problemática. En épocas ancestrales, el debilitamiento de un material y a su vez la

generación de grietas, servían para la creación de utensilios de corte y de guerra. La

elaboración de estos, consistía en la ruptura a través del impacto con materiales o

superficies más duras que el material a trabajar. Las fallas mecánicas se dan principalmente

a causa de grietas, fisuras o imperfecciones y desde los inicios de la humanidad, así como

en el presente, su estudio ha sido de gran interés. El hombre ha sido capaz de aplicarla con

gran éxito en el desarrollo de sus herramientas de caza o construcción (Timmins, 1994).

El fenómeno de fractura es relativamente común para los seres humanos, ya que lo

observamos constantemente a lo largo de nuestra vida. Lo anterior, al romperse un vidrio,

una hoja o incluso se percibe mediante la ruptura de huesos y articulaciones del ser

humano. Si bien, algunas de las características de fractura de materiales son aplicadas

actualmente en distintos procesos ingenieriles, otro aspecto muy importante, que justifica

Capítulo 2 38


enormemente los esfuerzos de generar distintos métodos de análisis de materiales

sometidos a condiciones de falla, es cuando están implicadas directamente pérdidas

humanas y materiales debidas a la fractura de elementos mecánicos. No en todos los casos,

es posible, por factores económicos o de seguridad, el desarrollar métodos de análisis

experimentales o de campo, para lo cual, han surgido métodos analíticos y numéricos tales

como los análisis por medio del Método del Elemento Finito o métodos directos, que

permiten simular fallas en elementos mecánicos de forma relativamente rápida y eficiente

en comparación con otros, aunque existe la posibilidad de emplear métodos numéricos

inversos, en donde las Redes Neuronales Artificiales (RNA), tienen un alto potencial.

Estas técnicas son utilizadas, ya que, en general, los factores de los cuales depende

el fenómeno de fractura son las dimensiones del defecto, el estado de tensión al cual está

sometido el elemento, las características del material, la geometría del elemento en la

vecindad del defecto y la temperatura, por mencionar los más relevantes. Alternativamente,

los métodos indirectos, como la utilización de RNA`s, son adecuados por cuestión de costo

y tiempo. Un aspecto de interés en Mecánica de la Fractura es el conocer el estudio de la

propagación de grietas y la detección de defectos en materiales, ya que estos son los

orígenes más comunes de la ruptura de materiales. Para estos estudios, una forma es

considerar los elementos o especímenes a analizar como continuos, con base en teorías

elásticas lineales y elastoplásticas, las cuales, permiten un criterio de análisis macroscópico.

2.1.2 Antecedentes históricos de la Mecánica de la Fractura.

Se considera que los primeros estudios en torno a Mecánica de la Fractura, se llevaron a

cabo en el siglo XIX. Sin embargo, el interés por estudiar formalmente estos fenómenos se

remontan hacia épocas anteriores.

Timoshenko, (1983) refiere que los primeros estudios sobre la Mecánica de la

Fractura fueron realizados por Leonardo Da Vinci, con el objetivo de determinar la

resistencia de cuerdas o lianas, enunciando que dicha resistencia dependía de la longitud de

las mismas. Actualmente, se sabe que los estudios con relación a la Mecánica de la Fractura

Capítulo 2 39


pudieran ser más antiguos. Al revisar su trabajo, con base en los conocimientos actuales,

es claro que la resistencia del material no depende de su longitud. Da Vinci llegó a esta

conclusión ya que la cantidad de material sí está en función de su longitud, por lo que al

haber más material, aumenta la probabilidad de que se presente algún defecto en la cuerda y

esto provoque su fractura. (Urriolagoitia-Sosa, 1996).

Fig. 2.1. Esquema de los experimentos de Leonardo da Vinci sobre la resistencia de hilos o lianas.

Ejemplos previos sobre la ruptura de piedras para la creación de estatuas por parte

de los antiguos egipcios, dan cuenta de la observación de los fenómenos de fractura. En la

figura 2.2, se observan las trazas de las excavaciones llevadas a cabo en Egipto a fin de

debilitar las piedras provocando una tensión crítica y a su vez fracturando la piedra.

(Pluvinage, 2009).

El hecho de llevar a cabo la creación de grietas como un procedimiento para

facilitar el corte de las mismas que posteriormente utilizarían para la construcción de

pirámides, esfinges u otro tipo de estructuras o figuras de ornamentación, constituyó uno de

los primeros acercamientos al aprovechamiento de los procesos de fractura en la

manufactura de distintos objetos.

Capítulo 2 40


Fig.2.2.Trazas de excavación en las rocas hechas por los antiguos egipcios.

Lo anterior, denota que las primeras fallas registradas en un material, consideradas

como proceso industrial, fueron en la obtención de materia prima de las canteras, la cual, se

ocupaba para la construcción de casas y templos en algunas civilizaciones, así como el

tallado de piedra para la construcción de estatuas (Urriolagoitia-Sosa, 1996).

Posterior a los estudios de Da Vinci, se reportan en la literatura los de Galileo

Galilei, considerado padre de la Física. En sus análisis con vigas, él observaba diferencias

en cuanto a la aplicación de la carga en lo que ahora conocemos como pruebas de tracción

y de flexión, encontrando que la carga de ruptura, es inversamente proporcional a la

longitud de la trabe y directamente proporcional al cubo del radio de su sección. Esto a

pesar de que no tenía una clara comprensión de los modos de carga. (Colombo y Firrao,

2007).

Capítulo 2 41


Fig.2.3. Modo de ruptura bajo flexión en una viga. (Galileo, 1638. Pp.133)

En 1776 se reporta que Coulomb fue un pionero en la investigación de la fractura de

piedras a compresión y actualmente su criterio es aún utilizado. (Coulomb, 1776 en

Ceriolo y Di tomasso, 1998).

Posteriormente, Griffith (1921), quien es considerado el padre de la Mecánica de la

Fractura, propuso una explicación del fenómeno de agrietamiento. Esta consideraba la

energía requerida para la propagación de la grieta. Él comenzó su análisis con materiales de

comportamiento frágil tales como el vidrio. Manejaba el concepto de propagación e

incremento de la grita, si la energía en el sistema era suficiente para propagarla. Con los

conocimientos en torno al análisis matemático, tanto energético por parte de Griffith y de

análisis de esfuerzos de Inglis, (1913) se crearon las bases para dar un tratamiento formal y

cuantitativo de los fenómenos de fractura frágil en sólidos.

En este momento, el interés por el análisis del fenómeno de fractura cobra gran

importancia y Weibüll (1939), desde un punto de vista estadístico, aplica los conocimientos

en torno a la fractura que ya se reportaban a la fecha. Por otra parte, Pierce (1926) realiza

estudios probabilísticos para evaluar la tensión en fibras. Posterior a esto, el gran impulso

en esta área fue durante la Segunda Guerra Mundial debido a los problemas de fractura en

algunos elementos de barcos y buques de ataque y mercantes. Debido a esto se realiza un

reporte en torno al funcionamiento de los barcos “Liberty”, lo cual, dio lugar al

entendimiento en torno a algunos fenómenos de falla repentinos.

Capítulo 2 42


a) b)

Fig.2.4. Barcos: a) Prestige fracturado y b) Flotilla de barcos Liberty.

Estos barcos eran de origen británico, pero fueron adoptados por los

estadounidenses debido a su diseño económico y su rapidez. Posteriormente, se

modificaron y se adaptaron más al concepto estadounidense.

En 1956, Irwin publicó un artículo en donde mostró una modificación a las

ecuaciones de Griffith, demostrando que la amplitud del esfuerzo podía ser expresada

cuantitativamente en términos escalares, lo que actualmente se conoce como el Factor de

Intensidad de Esfuerzos “K”, explicándose así el inicio de propagación de una grieta en

términos del parámetro mencionado.

Balankin, (2000) refiere que en el periodo de 1955 a 1960 se analiza el problema de

fractura por medio de la utilización de variable compleja para derivar los campos de

esfuerzos bidimensionales en placas de tamaño finito e infinito. Los problemas a estudiar

fueron: una grieta en una placa de ancho finito, (Isida 1956 en Balankin 2000); grietas

radiales originadas en la frontera de un agujero circular, (Bowie 1956 en op. cit.); una

muesca en una placa semi–infinita, (Wigglesworth 1957 en op cit.); y un arreglo de grietas

colineales por (Koiter 1959 en op cit).

Rice (1968), realiza una aproximación energética para el análisis de grietas con base

en la integral “J” desarrollada previamente por Eshelby, (1951) para una singularidad en un

sólido, sin embargo, no pudo aplicarse cabalmente al análisis de grietas.

Capítulo 2 43


Elber, (1970,1971) demostró que las grietas por fatiga pueden permanecer cerradas

aun cuando están sujetas a cargas de tensión cíclicas. Pearson (1975) fue el primero en

registrar e identificar el problema de grieta corta, que afecta en cuestión de diseño a

componentes mecánicos largos. Al principio de la década de los ochenta, Ritchie (1980),

analiza las condiciones de fatiga en materiales y Surech, Zaminski y Ritchie (1981),

estudiaron el comportamiento de propagación de grietas bajo condiciones de fatiga,

categorizando los rasgos básicos de algunos tipos de agrietamientos cerrados.

En 1983, el actualmente Instituto Nacional para la Ciencia y la Tecnología de los

Estados Unidos, estimó los costos por fallas debidas a fracturas en 119 billones de dólares

por año para 1982. Lo cual, contemplaba los daños económicos y en pérdidas humanas

(Roylance, 2001).

A la fecha, existe un gran esfuerzo por seguir analizando el comportamiento de

estructuras agrietadas y con defectos por métodos no convencionales, tales como las Redes

Neuronales Artificiales y también mediante la implementación de técnicas de Control

Difuso, Algoritmos Genéticos, entre otras, tal como se mencionó en el capítulo 1.

2.2. Modos de carga y campo de esfuerzos resultante en la punta

de la grieta.

Es esencial para el análisis y determinación de los parámetros de fractura, el definir el tipo

de carga a la cual es sometida un elemento mecánico. De lo anterior se puede decir que

existen 3 tipos o modos básicos considerados para el análisis, siendo el modo I uno de los

más estudiados, debido a sus implicaciones en cuanto a diseño de elementos mecánicos. En

la figura 2.5, se muestran:

Capítulo 2 44


Figura 2.5. Los tres modos básicos de aplicación de cargas:

a) Modo I o de apertura tensil, b) Modo II o de deslizamiento, c) Modo III o de desgarre.

El modo I o de apertura tensil es de separación. Las cargas son aplicadas de forma

perpendicular a las superficies de la grieta, separándolas entre sí. Por la forma de aplicación

de las cargas, este es un modo crítico, que se presenta en muchos problemas de Ingeniería,

ya que, debido a esta situación, la propagación de la grieta es más fácil con relación a los

otros dos modos. Por lo anterior, el interés en su análisis ha tenido gran atención, así

también, son variados los métodos que se han propuesto a lo largo del tiempo.

El modo II o de deslizamiento, se refiere a la aplicación de una carga de corte,

provocando un desplazamiento en dirección perpendicular al borde de la grieta. La

aplicación de las cargas es paralela y en sentido contrario una de la otra. Es por ello, que es

llamado de deslizamiento, ya que, al aplicar las cargas de forma perpendicular y en sentido

contrario a las superficies, entran en contacto una con la otra, pudiendo provocarse fricción

entre estas.

El modo III o modo de desgarre, es un modo particular, ya que se aplican las cargas

paralelamente al frente de la grieta, pudiendo producirse desplazamiento y cizalladura de

los labios de la fisura. La peculiaridad del modo, se debe a que en el ámbito de la

Ingeniería, se presenta en pocas ocasiones en comparación del modo I.

Capítulo 2 45


2.3. Teoría de falla de Griffith.

En 1920, Griffith realizó estudios en sólidos elásticos analizando la fractura frágil,

empezando con el problema de la rotura de una placa de vidrio y observó que estas

fracturas se debían a pequeñas fisuras superficiales. Estas provocaban la concentración de

tensiones en los extremos de la misma, por lo que actuaban en esos puntos, esfuerzos muy

superiores a los aplicados. Por lo tanto, la fractura del material se producía cuando la

tensión superaba la resistencia del material.

La tensión en la punta de grieta estaba dada por (σloc):

σloc = 2σ(a/ρ)1/2 (2.1)

Donde ρ el radio de curvatura en la punta de la fisura.

Fig 2.6. Placa infinita con una discontinuidad elíptica en el centro de dimensiones 2aX2b.

En la figura 2.6, se observa una placa con una discontinuidad elíptica en su centro

de longitud 2a, la cual, es cargada en sus bordes. La anchura de la placa es superior a 2a y

el estado en la placa es de tensión bidimensional.

Capítulo 2 46


De acuerdo a las leyes de la termodinámica, cuando un sistema pasa de un estado de

no equilibrio a uno de equilibrio, disminuye la energía local, por consiguiente se formará una

fisura, o bien esta crecerá, siempre y cuando en este proceso, la energía se transforma, en el

límite y permanezca constante. Por lo anterior, la configuración crítica mínima para que se

produzca la rotura puede definirse como aquella en que la fisura crece bajo condiciones de

equilibrio.

La energía asociada con la formación de la grieta puede ser dividida en un término

de energía mecánica, UM, y otro de energía superficial, US. En la expresión "energía

mecánica" se incluye el cambio en la energía elástica del sistema y la disminución en la

energía potencial del sistema debido a los desplazamientos de los puntos en que se aplica la

carga. La energía mecánica, por consiguiente, está formada por dos términos:

(2.2)

Ue, es la energía elástica almacenada y UA es la energía del sistema exterior que introduce

la fuerza, la cual, puede expresarse como el valor negativo del trabajo asociado con los

desplazamientos de los puntos de aplicación de la carga. El término US, es la energía que se

consume en la creación de las nuevas superficies de la grieta, por lo tanto:

(2.3)

El equilibrio termodinámico se alcanza igualando los términos de energía mecánica

y de energía superficial en una extensión virtual de la grieta “da”.

Al crear nuevas superficies de grieta, la energía superficial del sistema aumenta, es decir:

Capítulo 2 47


Por el contrario, si imaginamos un crecimiento virtual de la longitud de la grieta, la energía

mecánica disminuye o, sea:

Es decir, el término mecánico favorece la extensión de la grieta mientras que el

superficial se opone.

El momento crítico para el comienzo de la extensión de la grieta se alcanzará cuando

se cumpla la condición de equilibrio, en que la energía total del sistema no cambia en una

extensión virtual de la longitud de la grieta. La condición de equilibrio viene dada por:

En el criterio de Griffith, se considera una grieta bajo tensión uniforme como la que

se observa en la figura 2.7. Para el cálculo de la energía mecánica de este sistema, se puede

utilizar un resultado de la teoría de elasticidad lineal, a saber, que para cualquier cuerpo

bajo carga constante durante la formación de la grieta:

(Carga constante) (2.7)

El término Ue, puede ser calculado a partir de las tensiones y las deformaciones

(2.8)

Donde “E”, es el módulo de elasticidad o de Young. El término de energía

superficial está determinado por la siguiente ecuación:

Capítulo 2 48


Donde ϒs, es la energía libre superficial por unidad de área. La energía total del sistema

por unidad de espesor de la placa es:

(2.10)

En la siguiente figura se observa la variación de la energía mecánica UM(a), la

energía superficial, Us (a), y la energía total U, en función de la longitud de la grieta.

Fig. 2.7. Energía del sistema en condiciones de tensión uniforme. Datos de Griffith para el vidrio.

(Griffith, 1921).

De esta manera, si se aplica la condición de equilibrio dU/da=0, es posible calcular

la condición crítica para la rotura, si la longitud inicial de la grieta es , el espesor es

delgado, en condiciones de esfuerzo plano, entonces, la rotura se da cuando ,

resultando:

(2.11)

Capítulo 2 49


El resultado anterior, es debido a que . La energía liberada por el

sistema se encuentra en su punto de equilibrio máximo, de manera que la configuración es

inestable.

El resultado para el caso de una grieta central que está bajo la deformación plana es

similar:

(2.12)

Donde a0 es la longitud de la grieta en la placa y la relación de Poisson está

determinada por v.

En el caso de una grieta elíptica como la de la figura 2.6, en una placa infinita

sometida a tensión perpendicular a la superficie de la grieta, la ecuación se resuelve de la

siguiente forma:

(2.13)

Puede decirse entonces, que el criterio de Griffith, es una condición necesaria para

los análisis de fractura y es adecuado si la punta de la grieta es un vértice donde se

interceptan las superficies de la grieta, así también, si las fisuras son ideales. Estas

condiciones no siempre se encuentran en los sólidos reales, ya que sus radios de la punta

de la grieta son finitos. (Anglada et al, 2002).

2.4. Factor de Intensidad de Esfuerzos “K”.

En un material isotrópico y linealmente elástico, bajo condiciones de esfuerzo plano o

deformación plana, los campos de esfuerzos y de deformaciones en la punta de la grieta

presentan una singularidad del orden de Tal expresión fue desarrollada por Irwin,

quien demostró que, en la vecindad de la punta de la grieta, el campo de esfuerzos elásticos

puede ser expresado de acuerdo a la siguiente expresión:

Capítulo 2 50


(2.14)

Es decir, el campo de esfuerzos en la punta de la grieta en el Modo I está dado por

las siguientes series:

(2.15)

(2.16)

El Factor de Intensidad de Esfuerzos “K” depende linealmente de la carga aplicada,

es una función de la longitud de la grieta y de otros parámetros geométricos característicos

del cuerpo.

Para los casos anteriores, el factor K está dado por:

(2.17)

En una placa sometida a tensión:

σ= (2.18)

Este factor “K”, entrega una medida del nivel de esfuerzos en la vecindad de la

grieta en una condición de pequeña fluencia para una amplia variedad de geometrías. Su

expresión genérica está dada por la siguiente ecuación equivalente a la anterior, pero con

otra notación.

Esfuerzo plano

Deformación plana

Capítulo 2 51


Este factor es aplicable a los ejemplos del modo I descritos en la tabla 2.1

Siendo:

K = Factor de Intensidad de esfuerzos [MPa m1/2].

σ = Esfuerzo remoto aplicado en el plano principal de la placa [MPa].

a = Largo de la grieta [m].

α = Factor de forma de la placa [adimensional].

W = Ancho del cuerpo [m].

Existe una amplia gama de métodos para determinar los factores K, los cuales se

pueden dividir en Analíticos, Numéricos, Experimentales. (Ortuzar, 1999). Por otra por otra

parte, (Gonzalez, 2004) describe los procedimientos para la determinación de K como los

siguientes: solución analítica, solución por métodos numéricos; Método Elemento Finito,

Integral de Límite, entre otros, métodos experimentales; tales como la flexibilidad, la

fotoelasticidad, la extensometría, entre otros, métodos indirectos; como la propagación de

grietas por fatiga, el método fractográfico, por mencionar algunos. Dentro de este campo

de posibilidades, se consideran las Redes Neuronales Artificiales y distintos métodos tanto

directos como indirectos, mencionados en el capítulo 1. Aspectos importantes a considerar

al elegir el modo de análisis son: la exactitud que proporciona el método para la resolución

del problema, determinada mediante el valor del error cuadrático medio, el tiempo de

cálculo, el consumo de recursos computacionales, en el caso de los análisis numéricos y la

complejidad en la resolución del problema, entre otros. Dependiendo el tipo de análisis

experimental que se pretenda, este puede ser destructivo o no destructivo, teniendo lo

anterior repercusiones, en costo y tiempo.

Puede haber distintas soluciones de acuerdo al modo de carga que presente la

estructura, incluyendo los casos en que estas están combinadas. Estas, están en función de

la geometría de la placa agrietada. Para esto, Anderson (1995) describe los casos y las

soluciones de K. Los casos de análisis más comunes y de mayor interés se enfocan en el

Capítulo 2 52


modo de carga del tipo I. Estos se muestran a continuación en la tabla 2.1, donde la figura 3

describe el caso de análisis de esta tesis. Las soluciones para K están dadas por:

Tabla 2.1. Funciones geométricas para el modo de carga I aplicado a distintas formas de grieta en placas

(Rice, 1972)

Capítulo 2 53


2.5. Tenacidad de la Fractura.

La fractura de los materiales, es debida a la existencia de defectos que al aplicar una

fuerza, producen el agrietamiento. (Callister, 1996) define la Tenacidad de Fractura como

el valor critico del Factor de Intensidad de Esfuerzos al que se propaga una grieta.

Para medir la resistencia de un material a la fractura se determina el Factor de

Intensidad de esfuerzos, descrito en la sección anterior. El valor de K que provoca el

crecimiento de una grieta ante un defecto causando la fractura de un material, es conocido

como el Factor de Intensidad del Esfuerzo Crítico o Tenacidad a la Fractura, y se representa

por KIC. Esto ocurre en un estado de deformación plana.

Numéricamente, este valor está en función del espesor del espécimen, por lo cual, si

éste es analizado bajo condiciones de deformación plana, no se considera una propiedad

mecánica. A esto se llama, Tenacidad a la Fractura en deformación plana o KIC.

Capítulo 2 54


Fig. 2.8. Condiciones bajo deformación plana (Espesor grueso).

Fig. 2.9. Condiciones de esfuerzo plano (Espesor delgado).

Experimentalmente, el procedimiento para la determinación de KIC, es por medio de

una prueba que se realiza bajo la norma ASTM E-399 o la Británica BS7448. Esta consiste

en aplicar una carga, hasta fracturar la probeta, la cual, ha sido sometida a condiciones de

fatiga, a través de la entalla mecánica. El valor de KIC, se determina mediante el registro de

la carga contra el desplazamiento de la abertura de entalla, donde se obtiene el valor de la

carga máxima antes de la falla.

Para establecer condiciones de deformación plana, es necesario que el espécimen

cumpla con las siguientes condiciones:

B> 2.5 (KIC/σ0)2; B en pulgadas (2.19)

w>2B (2.20)

0.45< a/w<0.55; B en cm (2.21)

Capítulo 2 55


A pesar de lo anterior, existen diversas condiciones que pueden incrementar la

tenacidad a la fractura en un material, tales como la composición química, los tratamientos

térmicos aplicados al material, el tamaño de grano, temperatura de rolado, o la influencia de

esfuerzos residuales, entre otros.

La tabla 2.2, muestra los valores ideales para realizar la prueba y con base a esta determinar

KIC, válida para materiales de uso común.

Tabla 2.2. Valores de KIC, espesor y esfuerzo para algunos materiales (González, 2004).

En la tabla 2.2, se observan los valores propuestos para el acero de alta resistencia,

los cuales serán considerados para el análisis propuesto en el capítulo 3.

2.6. Evaluación numérica del Factor de Intensidad de Esfuerzos

por medio del Método del Elemento Finito.

El Método del Elemento Finito (MEF) es una aproximación numérica de los problemas

continuos. En algunos casos, el tratamiento puramente matemático de los problemas

dificulta su análisis en tiempo y en complejidad, por ello, se recurre en ocasiones al uso de

este tipo de métodos. Otra razón es debido a que no todos los problemas tienen solución por

métodos convencionales.

El planteamiento energético, permite establecer la solución a problemas

relacionados con la teoría de la elasticidad. En otras palabras, aplicando el principio de la

Capítulo 2 56


conservación de la energía, entre la energía potencial elástica y el trabajo realizado, se

establecen las ecuaciones de equilibrio que relacionan las cargas aplicadas y las

deformaciones, mediante la matriz de rigidez que involucra a las propiedades mecánicas del

material. Esto lleva al planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, el cual es

relativamente fácil de resolver.

El paquete computacional ANSYS, sigue esta filosofía. Está dotado con las

herramientas necesarias para hacer simulaciones y obtener resultados numéricos.

El MEF discretiza los valores del dominio reduciendo el problema a un número

finito de incógnitas, que son los desplazamientos en los puntos nodales, mediante la

división del dominio en elementos determinados físicamente, expresando al mismo tiempo,

las incógnitas en términos de funciones aproximadas para cada elemento (Domínguez,

,1992).

Las funciones de aproximación son comúnmente llamadas funciones de

interpolación, y están divididas en puntos nodales. Un punto nodal es aquel sobre el cual

pasan los límites para definir la geometría del Elemento Finito. En el campo de las

variables, los valores nodales constituyen una serie de incógnitas, las cuales al ser

resueltas, mediante las funciones de interpolación, definen el ensamble de los elementos.

Generalmente la exactitud, depende del número de nodos que se propongan en el

modelo, por lo cual, entre mayor sea, más exacta es la solución y el error disminuye, sin

embargo, esto tiene un límite. Las funciones de interpolación se eligen de forma que las

variables así como sus derivadas sean continuas.

Algunas de las ventajas del uso del paquete computacional son:

• Se pueden introducir geometrías irregulares, desatacando por ello su flexibilidad.

• Es relativamente sencillo hacer una red de elementos finitos.

Capítulo 2 57


• El programa proporciona información, en caso de error al realizar el modelado,

teniendo la posibilidad de corregirlo.

• Es capaz de considerar las propiedades de más de un material al momento de

análisis.

• Es adecuado para problemas de deformaciones pequeñas.

Algunas de las desventajas del programa son:

• Es necesario un equipo de cómputo robusto para un adecuado tratamiento de los

datos.

• En problemas que requieren un gran número de nodos, es común que el ordenador

requiera de una gran capacidad.

• Se necesita una gran capacidad de memoria en la computadora para un adecuado

funcionamiento.

• Los resultados son solo aproximaciones que, dependiendo del número de nodos,

pueden tener un mayor o menor valor de error.

Para el análisis que se propone en esta tesis, existen una gran variedad de métodos

computacionales que pueden cubrir la necesidad de simulación.

2.7. Sumario.

En este capítulo se describen los principales conceptos de Mecánica de la Fractura que se

utilizan para la realización de esta tesis. Se da un breve panorama histórico y

posteriormente se abordan conceptos tales como el Factor de Intensidad de Esfuerzos, el

planteamiento Energético, la Tenacidad de Fractura y los modos de carga para el análisis

en Mecánica de la Fractura.

Capítulo 2 58


En el siguiente capítulo se plantean una serie de casos de análisis. Los valores numéricos

obtenidos mediante el MEF con la ayuda del programa ANSYS 11.0, dotarán a la red

Neuronal Artificial de Retropropagación, propuesta para esta tesis, de los datos necesarios

para realizar el entrenamiento de la red, lográndose de esta forma la implementación RNA

de Retropropagación a través de 6 distintos tipos de algoritmos.

Capítulo 2 59


2.8. Referencias.

Anderson, T. L. (1995) Fracture Mechanics; Fundamentals and Applications, Edit. CRC Press, Part II, Second Edition.. Anglada, M. J., Alcalá, L., Llanes, M., Mateo A. M. y , M. N. (2002). Fractura de materiales. Barcelona: Edicions UPC. Pp. 53-56 Balankin, A. (2000). Mecánica de la fractura: Pasado, presente y futuro. Quinto Congreso de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Mexico.D.F. Callister, W. D. (1996). Introducción a la ciencia e inenieria de los materiales Vol II. Primera edición. Editorial Reverté. España. Pp. G-13.

Ceriolo, L. y Di Tomaso, A. (1998). Fracture mechanics of brittle nmaterials. A historical point of view. 2nd Int. Phd. Symposium in CivilEngineering Budapest. Recuperado el 16 de Febrero del 2009 de http://vbt.bme.hu/phdsymp/proceedings/ceriolo.pdf Colombo, L. R. y Firrao, D. (2007). Sulla storia degli studi di frattura in Italia. IGF 13. Recuperado el 15 de febrero del 2009 de http://grupofrattura.it/ors/index.php/fis/article/view/17/14 Coulomb, C. A. (1776). Remarque sur la ruptura du corps. Memoires presentes par divers savans a lácademie. Vol 7. Domínguez, V. M. (1992). Estado del Arte del Análisis Experimental de Esfuerzos como Base para Algunas Aplicaciones del Método del Elemento Finito, H. SEPI – ESIME – IPN, 1992. Elber, W. (1971). The significance of fatigue crack closure. In damage tolerance in aircraft structures, Special technical publication 486, Philadelphia American Society for Testing and Materials. Pp.230-42 Elber, W. (1970). Fatigue Crack closure under cyclic tension. Engineering Fracture Mechanics 2. 37-45. Eshelby, J. D. (1951). On the Force on an ElasticSingularity, Proc. Royal Society. A. Vol.244, Pp. 87-112. Galileo, G. (1638). “Discorsi e dimostrazioni sopra due nuove scienze attenenti alla mecanica& i movimenti locali”, Leida, Elsevirii González, V, JL. (2004). Mecánica de fractura. Limusa, Segunda edición.

http://www.worldcat.org/search?q=au%3AM++J+Anglada&qt=hot_author

http://www.worldcat.org/search?q=au%3AJ+Alcala%CC%81&qt=hot_author

http://www.worldcat.org/search?q=au%3AL++M+Llanes&qt=hot_author

http://www.worldcat.org/search?q=au%3AA++M+Mateo&qt=hot_author

http://www.worldcat.org/search?q=au%3AM+N+Sala%CC%81n&qt=hot_author

http://vbt.bme.hu/phdsymp/proceedings/ceriolo.pdf

http://grupofrattura.it/ors/index.php/fis/article/view/17/14

Capítulo 2 60


Griffith, A. A. (1921). The phenomenon of rupture and flows in solids. Philosophical transactions of the royal society. London. Series A vol. 221, 1185-8. Gonzalez, V. J. (2004). Mecánica de fractura. 2da. Edición. Ed. Limusa. Mexico. pP. 63-78.

Inglis, C. E. (1913). Stress in plate due to presence of cracks and sharps corners. Transaction of the institute of naval architects 55, Pp.219-41. Irwin, G. R. (1957) Analysis of the stress and strain near the end of the crack traversing a plate. Journal of applied mechanics. 24, 361-4. Ortuzar, M. R. (1999). Mecánica de fractura en estructuras navales. Congreso Panamericano de Ingeniería Naval, Transporte Marítimo e Ingeniería Portuaria,“COPINAVAL’99. Cartagena de Indias, Colombia. Recueprado el 16 de febrero del 2009 de http://www.revistamarina.cl/revistas/2000/ortuzar.pdf Pierce, F, T. (1926). Theorems on the strength of long and of composite specimens. J. Textile Industry, Vol. 17. Pp 355-368. Pearson, S. (1975). Initiation of fatigue cracks in comertial aluminium alloys and the subsequent propagation of very short cracks. Engineering fracture mechanics 7,235-5. Pluvinage, G. (2009). Breve histoire de la mecanique de rupture. Laboraoire du fiabilité mécanique. Université de metz ENIM. Recuperado el 15 de febrero del 2009 de http://www.gruppofrattura.it/index.php/cigf/igf15/paper/view/238/172 Rice, J. R. (1972). Some remarks on elastics crack-tip stress fields, International Journal of Solids and Structure, Vol. 8, pp 751-758. Rice, J. R.(1972). Weight function theory for Three-dimensions elastic crack analysis, International Journal of Solids and Structure, Vol. 8, pp 341-348. Rice, J. R. (1968). A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks, J.Appl. Mech., Vol. 35, Pp. 379-386. Ritchie, R. O., Surech S. y Moss C.M. (1980). Near-threshold fatigue crack growth in 2 ¼ Cr 1 Mo pressure vessel in air and hydrogen. Journal of Engineering Materials and Technology 102, 293-318. Roylance, D. (2001). Introduction to Fracture Mechanics. Massachusetts Institute of Technology. Department of Materials Science and Engineering. Recuperado el 14 de marzo de: http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Materials-Science-and-Engineering/3-11Mechanics-of-MaterialsFall1999/Modules/frac.pdf

http://www.revistamarina.cl/revistas/2000/ortuzar.pdf

http://www.gruppofrattura.it/index.php/cigf/igf15/paper/view/238/172

http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Materials-Science-and-Engineering/3-11Mechanics-of-MaterialsFall1999/Modules/frac.pdf

http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Materials-Science-and-Engineering/3-11Mechanics-of-MaterialsFall1999/Modules/frac.pdf

Capítulo 2 61


Surech, S., Zamiski G. F. y Ritchie R. O. (1981). Oxide-induced crack closure and explanation por near-threshold corrosion fatigue crack growth behavior. Metallurgical Transactions. 12A. 1435-43. Timoshenko, S. P.(1983). History of Strength of Materials, Ed. Courier Dover Publications, New York, pp 3. Timmins, P. F., (1994). Fracture Mechanics and Failure Control for Inspectors and Engineers: General Engineering. Ed. ASM International, pp 5. Urriolagoitia-Sosa, G. (1996). Aplicación de la Mecánica de la Fractura al Caso de Estructuras Agrietadas Sometidas a Cargas de Fatiga, Tesis de Maestría, México D.F. SEPI ESIME IPN. Viveros V. S. (2008). Evaluación analítico-numérica de las funciones geométricas-peso y los intensificadores de esfuerzos. Tesis de maestría. SEPI-ESIME-IPN. México D.F. Weibull W. (1939). A statical theory of the strength of materials. Proceeding 151. Stockholm, Royal Swedish Academy of Engineering Sciences.

3 Análisis y Descripción

de los Casos de Estudio

Capítulo 3 63


CAPÍTULO 3 Análisis y Descripción de los Casos de Estudio.

En la presente tesis, se realiza una evaluación numérica del Factor de Intensidad de

Esfuerzos por medio de Redes Neuronales Artificiales. Para llevar a cabo esto, se realiza el

entrenamiento de la RNA con una base de datos del cálculo de “K” en placas agrietadas

sujetas al modo de carga tipo I. El cálculo de los Factores de Intensidad de Esfuerzos se

hace por medio del Método del Elemento Finito, con el apoyo del paquete computacional

ANSYS. Sin embargo, antes de entrenar la red, es necesario validar los datos numéricos,

comparándolos con los resultados analíticos. Lo anterior es una breve descripción de la

metodología del apartado 1.10 del capítulo 1 de esta tesis. A continuación se presentan lo

correspondiente al cálculo analítico, numérico y la implementación numérica de la Red

Neuronal Artificial para los casos antes mencionados.

3.1. Evaluación analítica del Factor de Intensidad de Esfuerzos en

placas agrietadas sujetas al modo de carga I.

El desarrollo analítico se realiza para una placa sujeta al modo I de carga en donde existe

una grieta lateral. El espécimen a analizar es una placa metálica de un material con una

relación de Poisson “ν” de 0.27 y un módulo de elasticidad de “E” de 200 GPa, Este

corresponde al acero estructural (ASTM-A36), de alta resistencia-aleación baja (ASTM-

A709 grado 345, ASTM-A913 grado 450, ASTM-A992 grado 345), y aceros de refuerzo de

resistencia media y alta, (Beer, Johnston y De Wolf, 2001). En los casos anteriores, se

procede en la obtención de los valores del Factor de Intensidad de Esfuerzos K,

modificando los valores de las variables a, w, t y P (Tamaño de grieta, ancho del

Capítulo 3 64


espécimen, espesor y carga respectivamente). En la tabla 3.1, se resumen los rangos de

variación de los parámetros mencionados.

Parámetro Valor mínimo valor máximo a (tamaño de la grieta) 1mm 33mm w (ancho del espécimen) 100mm 200mm t (espesor del espécimen) 1mm 100mm P (esfuerzo) 10MPa 20MPa

Tabla 3.1. Rangos de variación de los parámetros a, w, t y P.

Fig. 3.1. Grieta lateral sujeta al modo de carga I en una placa de espesor t.

Para este análisis, se considera una placa con las características de forma y

dimensiones tal como se muestran en la figura 3.1. Se varían los parámetros descritos, lo

cual, resulta en una base de datos con 380 Factores de Intensidad de Esfuerzos analíticos.

Para la obtención de los valores de K, y debido a que en este análisis resulta importante la

geometría del espécimen, se procede primeramente con el cálculo del factor geométrico

“α”:

Capítulo 3 65


432

38.3071.2155.1023.012.1

+

−

+

−=

wa

wa

wa

waα (3.1)

A partir de dicha ecuación, se calcula el factor geométrico para la grieta lateral en el

modo de carga tipo I. Posteriormente, se aplica la fórmula para el cálculo del factor de

intensidad de esfuerzos, tomando en cuenta el valor de “α” que se determinó

anteriormente. Partiendo de la tabla 2.1, el cálculo del Factor de Intensidad de Esfuerzos

resulta de la siguiente forma:

awtp

wa

wa

wa

waK I π

+

−

+

−=

432

38.3071.2155.1023.012.1 (3.2)

Donde:

wtP

=σ (3.3)

Fig. 3.2. Dimensionamiento general del espécimen con espesor t.

Capítulo 3 66


En la figura 3.2, se muestran las características del espécimen de estudio con una

carga uniforme en los extremos “P”, de espesor “t” y cuyas dimensiones se varían para el

caso de estudio que se plantea.

Para la obtención de la base de datos, los valores de los parámetros son

modificados. Primeramente se asignan diferentes valores para “a”, de acuerdo a la tabla 3.1,

manteniendo constantes los parámetros de las 3 variables restantes (w, t, P). Posteriormente

se varían a “w” manteniendo constantes (a, t, P). Después se repite el mismo procedimiento

para t y P sucesivamente. En el caso de “a”, los valores van desde 0.1cms a 3.3cms, o bien,

expresado en milímetros, de 1mm hasta 33mm. Cabe destacar que aquellos valores del

tamaño de la grieta que tiene caso analizar, son los que generan un resultado de “K” menor

al valor de la Tenacidad de Fractura del material KIC, lo cual, de acuerdo a la tabla 2.2,

sugiere valores en función del material. Para el objeto de este estudio, se toma como

referencia el valor KIC del acero de alta resistencia de 57 mMPa . K coincide con los

datos experimentales de dicha tabla propuestos para la prueba de obtención de la Tenacidad

de Fractura, de acuerdo a la norma ASTM 399.

Para el caso en el que se varía el valor de “w”, los valores están comprendidos entre

100mm y 200mm. Para “t” desde 1mm hasta 100mm y finalmente para el caso de P entre

10 y 20 MPa. De acuerdo a las consideraciones en la sección 2.5, referentes a la Tenacidad

de Fractura, y descritas por (González, 2004) para la obtención del coeficiente KIC, se hace

referencia a que no solo es necesario contar con espesor en el espécimen de estudio para un

análisis en condiciones de deformación plana. La pregunta giraría en torno a saber desde

que valor de espesor se consideraría un análisis en deformación plana, en vez de uno en

esfuerzo plano. Lo anterior se resuelve con las ecuaciones 2. 19, 2.20 y 2.21, dadas por

norma y utilizadas para la determinación de KIC mediante pruebas en condiciones de

deformación plana.

Posteriormente, con los resultados obtenidos del cálculo analítico se forma una base

de datos con 380 diferentes valores de K.

Capítulo 3 67


Fig. 3.3. Valores de K variando el tamaño de grieta “a”.

En la figura 3.3 se muestran los valores analíticos y numéricos del cálculo de K

para el caso de las variaciones del tamaño de grieta “a”. Se observa un aumento en el valor

del Factor de Intensidad de Esfuerzos, cuando la grieta es más larga, lo cual, resulta lógico

en condiciones de Mecánica de la Fractura Lineal Elástica.

Valores de grieta mayores a 82 milímetros, ya no fueron posibles de modelar en

ANSYS, esto debido a que las condiciones del modelado lineal elástico, cambian al

incrementar el tamaño de la grieta, y además se sobrepasa por mucho el valor de la

Tenacidad de Fractura. Solo tiene sentido el realizar cálculos cuyos valores sean menores

a esta, es decir a 33 milímetros, que son los que se corroboran con el valor de KIC de 57

mMPa , para el material propuesto.

0

10

20

30

40

50

60

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33Fact

or d

e In

tens

idad

de

Esfu

erzo

s "K

" (M

Pa√m

)

Tamaño de grieta "a" (mm)

K analítico

K numérico

Capítulo 3 68


Fig. 3.4. Valores de K variando el ancho del espécimen.

En la figura 3.4 se observa la tendencia de los valores para el cálculo de K al

modificar el ancho del espécimen. Con respecto al caso anterior, se observa un decremento

del valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos. Esto debido al incremento paulatino de las

dimensiones por la variación de los valores “w”. Con un ancho igual a 100mm se obtiene

un factor “K” de 20.982805 mMPa y de 10.0352006 mMPa cuando el valor de “w”

es de 200mm, para el cálculo analítico es de 19.84 mMPa y 9.574 mMPa

respectivamente, cuyas condiciones son de a=10mm, t=1mm y P=10MPa. Los valores de

cálculo son inferiores al valor de la Tenacidad de Fractura considerado para este análisis,

por lo que, los datos analíticos se corroboran con los numéricos teniendo un error medio de

0.652, del cálculo numérico con relación al cálculo analítico.

En este caso, se consideró un espesor delgado, por lo cual, el análisis de los datos,

variando el ancho del espécimen se consideran de esfuerzo plano. Si bien, los valores del

Factor de Intensidad de Esfuerzos podrían presentar otra tendencia al variar el ancho “w”,

si se modificara las variables a, t o P, el comportamiento descrito en la figura 3.4 , obedece

a una reducción de la magnitud de K en función del incremento de w.

0

5

10

15

20

25

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

Fact

or d

e In

tens

idad

de

Esfu

erzo

s "K

"(M

Pa√m

)

Ancho del especimen "w"(mm)

K analítico

K numérico

Capítulo 3 69


Fig. 3.5. Valores de K variando el espesor del espécimen.

En la figura 3.5 se observa un decremento del valor del Factor de Intensidad de

Esfuerzos “K” en función del incremento del espesor “t”. Para este caso, cuando es de

1mm, el valor calculado analíticamente de K es de 20.982805 . Cuando “t” tiene

un valor de 100mm, el valor obtenido de K es de 0.20982805 , en el cálculo

analítico. Para estos mismos valores, los resultados numéricos son de 19.844 y

0.199 respectivamente. El error medio para esta serie de datos es de 0.52, lo cual

se refleja en la coincidencia de las curvas analítico-numérico de la figura. El decremento de

K es considerablemente mayor con pequeñas variaciones del espesor, con relación al que se

observa al modificar el ancho de la placa, siendo muy significativo hasta un espesor de

10mm para los valores de a, t, w y P, descritos anteriormente como constantes.

De acuerdo a (Hernández y Espejo, 2002) se ha establecido experimentalmente que

para que se tenga un estado primordialmente de deformación plana, el espesor debe ser tal

como se refiere en la ecuación 2.19:

0

5

10

15

20

25

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99Fact

or d

e In

tens

idad

de

Esfu

erzo

s "K

"(M

Pa√m

)

Espesor "t"(mm)

K analítico

K numérico

Capítulo 3 70


B> 2.5 (KIC/σ0)2 2.19

En donde σ0 es el esfuerzo de fluencia del material, KIC, la Tenacidad de Fractura

del material y B el espesor. En la figura 3.5, se observa claramente el comportamiento de

deformación plana posterior a los 10 mm o un 1 cm como espesor unitario. En la tabla 2.2,

el valor de espesor que se conoce para el acero de alta resistencia es KIC de 57 , el

cual, es de 2.1 mm de espesor. Espesores mayores a este, aseguran condiciones de

deformación plana para este caso.

Fig. 3.6. Valores de K variando el esfuerzo.

En la figura 3.6, es posible apreciar un incremento lineal en el valor del Factor de

Intensidad de Esfuerzos, conforme se aplica un esfuerzo mayor. Este a su vez, fue

calculado con variaciones de 0.1 MPa. El valor inicial de esfuerzo para el cálculo de “K” es

de 10MPa, resultando un Factor de Intensidad de Esfuerzos de 20.982 mMPa . En el

último caso se realizó el cálculo con un valor de 20MPa, por lo cual el valor de K fue de

41.96561 mMPa . Los valores numéricos son de 19.844 mMPa y 41.965 mMPa

respectivamente. El error medio es de 1.438, y al igual que en los casos anteriores, las

demás variables (a, w, t) se mantuvieron constantes.

0

10

20

30

40

50

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101Fa

ctor

de

Inte

nsid

ad d

e Es

fuer

sos

"K"

(MPa

√m)

Esfuerzo"P"(MPa)

K analítico

K numérico

Capítulo 3 71


El análisis de las últimas cuatro gráficas, muestra la relación que existe entre los

parámetros mencionados con el Factor de Intensidad de Esfuerzos. En el caso del tamaño

de la grieta, la gráfica es parabólica como era de esperarse, y en los demás casos hay datos

tanto lineales como no lineales. Esto es importante, porque se muestra el grado de impacto

que tendrán que hacer los análisis con Redes Neuronales. De aquí la importancia de este

análisis.

El procedimiento anterior, en el cual se modifican los valores de una variable a la

vez, nos permite un orden en la formación de la bases de datos, de esta manera es posible

observar las tendencias de los mismos y verificar que los cálculos sean correctos. También

facilita el identificar datos repetidos, que incrementan el tiempo de cálculo de la Red

Neuronal de forma innecesaria. Este procedimiento se repite al obtener los datos mediante

el cálculo numérico, sin embargo, para el entrenamiento de la red, los datos son

normalizados y distribuidos de forma aleatoria.

3.2. Análisis numérico del Factor de Intensidad de Esfuerzos por

medio del Método del Elemento Finito.

En el capítulo anterior, se describieron las características del paquete computacional

ANSYS para el análisis numérico por medio del Método del Elemento Finito. Así mismo,

en esta sección, se describe el procedimiento para realizar el cálculo numérico por medio

del MEF, y de esta forma evaluar su grado de exactitud con respecto al método analítico.

Posteriormente, estos datos se compararan con los obtenidos mediante el entrenamiento de

Redes Neuronales Artificiales.

El Método del Elemento Finito, es una aproximación a un sistema continuo,

mediante conjuntos de elementos discretos, por lo cual, las ecuaciones diferenciales que

definen un medio continuo, se transforman en un conjunto de ecuaciones lineales relativas a

un número de variables finito. En este método, la continuidad se lleva a cabo mediante

una idealización estructural equivalente, compuesta por elementos finitos, que están

conectados a través de nodos. Si las condiciones de equilibrio son aplicables a cualquier

Capítulo 3 72


nodo de dicha estructura, entonces se puede formar un conjunto de ecuaciones algebraicas

en función de desplazamientos nodales, utilizados para determinar elementos internos. La

base de datos numéricos se obtuvo mediante la utilización del paquete computacional

ANSYS, cuyo modelado es por medio del Método del Elemento Finito, describiendo a

continuación el procedimiento que se llevó a cabo, de entre otros programas como

ABAQUS, con el cual también pudo haberse hecho el análisis.

Para la determinación de los valores numéricos, es necesario establecer una serie de

criterios de diseño. Las consideraciones son las que se muestran a continuación:

Tipo de análisis. Se plantea de tipo estructural, en un material lineal, elástico,

isotrópico, homogéneo y continúo, excepto en la grieta. “K” puede ser: estimando

directamente el Factor de Intensidad de Esfuerzos, o a partir del cálculo de la integral J. Sin

embargo, esta segunda opción, consume mayor cantidad de recursos de cómputo,

incrementando el tiempo de cálculo. Debido a lo anterior, la primera opción se considera

como la más viable, utilizando directamente el comando KCALC para la determinación de

los Factores de Intensidad de Esfuerzos y el comando KSCON para definir los puntos de

concentración de elementos en la red, en las puntas de grieta.

Tipos de elementos. Para el análisis de esfuerzos y deformaciones, comúnmente se

selecciona el elemento dependiendo del tipo de análisis, ya sea por deformación plana o

esfuerzo plano, así también se consideran las características generales del modelado. Los

elementos más comunes en el análisis por medio del MEF son los triángulos y los

cuadriláteros, aplicables tanto a deformación como a esfuerzo plano. Los elementos sólidos

como el tetraedro y el hexaedro, son regularmente utilizados para elementos en tres

dimensiones.

Con la finalidad de reducir el consumo de recursos de cómputo y agilizar el

cálculo, se llevó a cabo el análisis con el elemento PLANE183, para lo cual, se consideran

las condiciones de simetría, y es muy útil para el modelado en 2D. Por sus características

puede usarse para análisis de esfuerzo plano, deformación plana, deformación plana

generalizada o en elementos axisimétricos. En el análisis, se realizó el cálculo de “K” a

partir de una geometría plana. No hubo la necesidad de hacer un cálculo con un elemento

Capítulo 3 73


sólido como SOLID185 o SOLID186. Se verificó a partir de un cálculo en 2D con respecto

a los datos analíticos, la efectividad de llevar a cabo el cálculo en la variación de espesores

desde el análisis propuesto, simplificando el problema, reduciendo el consumo de recursos

y el tiempo de cálculo. El elemento anteriormente descrito, se define por 8 nodos o

triangular de 6 nodos, teniendo para cada nodo dos grados de libertad. Esto, hace posible

analizar plasticidad, hyperpalsticidad, viscoelasticidad, viscoplasticidad, elasticidad y

grandes deformaciones; pudiéndose precisar para el análisis en condiciones de presión,

temperatura y grados de libertad en X, Y. También permite definir las propiedades del

material de análisis. Debido a las condiciones del problema, es necesario adicionar un

grado de libertad en Z.

Fig. 3.7. Tipo de elemento PLANE185 utilizado para el análisis (Tutorial ANSYS).

Características del material. Para el caso de estudio que se describe, se define un

material con un módulo de elasticidad E=200GPa y con una relación de Poisson de υ=0.27.

Esto se mantiene constante para 380 casos que se plantean numéricamente. De acuerdo a

las características y el tipo de análisis, se simula mediante el MEF para materiales que

trabajan en la zona elástica.

Condiciones de frontera. Debido a las características geométricas, y de carga, es

posible llevar a cabo el análisis considerando la simetría del espécimen. Esto resulta útil, ya

que permite el ahorro de recursos; basta con definir la mitad del cuerpo y de esta forma el

cálculo se centra en una sección. Existe la posibilidad de llevar a cabo el cálculo a partir de

Capítulo 3 74


un diseño del espécimen completo, sin definir las condiciones de simetría, sin embargo,

esto repercutiría en el tiempo de cálculo que el programa de cómputo toma para

proporcionar los valores de K, así como del consumo de recursos computacionales.

Forma de aplicación de las cargas. En el caso de estudio se considera una carga

distribuida sobre las superficies de los extremos en una placa con una grieta lateral. El

procedimiento se describe a continuación a partir de la figura siguiente:

Fig. 3.8. Condiciones de simetría del espécimen.

Como se describió anteriormente, existen características que se consideran a fin de

aprovechar los recursos de cómputo y disminuir el tiempo de cálculo. Por lo tanto, el

procedimiento es el siguiente:

a. Se define el tipo de análisis, considerando las condiciones de linealidad,

continuidad, isotropía, elasticidad y homogeneidad.

Capítulo 3 75


b. Se selecciona el tipo de elemento con el cual, se llevará a cabo la simulación

numérica.

c. Se definen las características del material (Módulo de elasticidad E y la relación de

Poisson υ).

d. Se diseña la geometría del modelo de análisis de acuerdo con las condiciones de

simetría descritas. Para este caso se definen 5 keypoints, siendo el número dos el

que corresponde a la punta de la grieta.

e. Se crean las líneas que definirán la geometría de la placa.

f. Se establecen las condiciones de simetría del espécimen, tanto geométricas, como

de carga.

g. Se definen las restricciones en la placa, producto de las condiciones de simetría.

h. Se aplica una presión lineal sobre el elemento, equivalente al esfuerzo para el

modelo del caso de estudio.

i. Se determinan las divisiones de la malla en torno a la punta de la grieta,

determinada por el Keypoint 2.

j. Se propone la trayectoria de la grieta.

k. Se ejecuta el comando SOLVE y posteriormente KCALC, procediendo a la

obtención de los valores mediante el cuadro de texto que despliega el programa.

Capítulo 3 76


Fig. 3.9. Cálculo de K por medio del MEF para el caso de variación del tamaño de grieta.

El la Figura 3.9, se muestra el cálculo por medio de ANSYS para un tamaño de

grieta de 5mm. El resultado analítico de K para este valor es de 14.191 mMPa .

Comparado con el obtenido numéricamente de 13.497 mMPa , hay una diferencia entre

datos de 0.221 mMPa .

a (cm)

w (cm)

t (cm)

P (MPa)

K analítico (MPa√m)

K numérico (MPa√m) Error

0.3 10 0.1 10 10.89284599 10.382 0.510845989 0.4 10 0.1 10 12.62656922 12.042 0.584569224 0.5 10 0.1 10 14.19191673 13.479 0.712916735 5 10 0.1 10 112.0630793 113.27 1.206920653

5.1 10 0.1 10 116.9675735 118.6 1.632426503 5.2 10 0.1 10 122.1351814 124.26 2.124818647 6.9 10 0.1 10 267.1760733 317.02 49.8439267 7 10 0.1 10 280.2526068 339.33 59.07739319

7.1 10 0.1 10 293.9867993 363.99 70.00320065

Tabla. 3.2. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación del tamaño de grieta.

En la tabla 3.2, se muestran algunos valores del cálculo de K y el error cuadrático

medio expresado en valor absoluto, variando el tamaño de la grieta y manteniendo

Capítulo 3 77


constantes las demás variables. Se observa que a partir del 5.2 cm en adelante, el error se

incrementa, siendo con un espesor de 6.9, de 49.84 con relación al cálculo analítico.

El valor de la Tenacidad de Fractura KIC considerado es de 57 mMPa , por lo

cual, no tiene sentido realizar el análisis con tamaños de grieta asociados a “K” mayores a

KIC, como anteriormente se mencionó, ya que al incrementar el tamaño de “a” con los

valores w, t y P, el Factor de Intensidad de Esfuerzos aumenta drásticamente, y las

condiciones del análisis cambian. También se observa un incremento gradual del error en

el cálculo numérico con relación al analítico, cuando se modela con valores de grietas

mayores a KIC. Esto es debido a que el análisis se realiza en condiciones de Mecánica de la

Fractura Lineal-Elástica (MFLE), y con el aumento del tamaño de la grieta, el espécimen

tiende a un comportamiento mayormente plástico.

Fig. 3.10. Campo de esfuerzos en una placa con una grieta de 5mm.

Capítulo 3 78


Fig. 3.11. Cálculo de K por medio del MEF variando el ancho del espécimen.

En la figura 3.11, se muestra el valor obtenido mediante el cálculo numérico para

un valor de w=120mm. El resultado obtenido mediante el cálculo analítico es de 17.178

mMPa . La diferencia con relación al numérico es de 0.796 mMPa .

a (cm)

w (cm)

t (cm)

P (MPa)



1 10.3 0.1 10 20.30484017 19.352 0.952840165 1 10.4 0.1 10 20.08875471 19.47 0.618754712 1 10.5 0.1 10 19.87734921 18.946 0.931349208 1 14 0.1 10 14.56294887 13.893 0.669948868 1 14.1 0.1 10 14.45338871 13.789 0.664388712 1 14.2 0.1 10 14.34550239 13.686 0.659502388 1 19.8 0.1 10 10.13964634 9.6739 0.465746338 1 19.9 0.1 10 10.08714893 9.6238 0.463348928 1 20 0.1 10 10.03520056 9.5742 0.461000561

Tabla. 3.3. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación del ancho del espécimen.

En la tabla 3.3, se muestra el error para algunos valores de “K” variando en ancho

del espécimen. El error entre el cálculo analítico y numérico, incrementa en función de la

disminución de “w”, sin embargo no es tan grande como en el caso del análisis con

incrementos en la grieta. En la evaluación numérica, esto puede deberse a la disminución

del valor de “K”, por lo cual, la tendencia en el comportamiento del espécimen es

mayormente elástico, ajustándose a las propiedades del modelado de linealidad, elasticidad,

Capítulo 3 79


homogeneidad y continuidad. También debe considerarse que debido al espesor, el análisis

está dentro de los parámetros de esfuerzo plano.

Es pertinente mencionar que en la sección 2.5 del capítulo 2 perteneciente a

Mecánica de la Fractura, se mencionan una serie de relaciones matemáticas, que

experimentalmente, se utilizan para determinar, si una probeta reúne las características de

deformación plana. Una de estas, relaciona el ancho del espécimen con el tamaño de la

grieta, (deformación plana).

Fig. 3.12. Campo de esfuerzos en una placa de 120mm de ancho.

En la figura 3.12 se muestra el campo de los esfuerzos en una placa de 120mm de

ancho con un tamaño de grieta de 10mm una carga aplicada de 10MPa y un espesor de

1mm.

Capítulo 3 80


Fig. 3.13. Cálculo de K por medio del MEF variando el espesor.

En la figura 3.13 se muestra el valor de K para un espécimen de 10mm de espesor.

Resultando un Factor de Intensidad de Esfuerzos de 1.993 mMPa . Con relación al

cálculo analítico de 2.098 mMPa , la diferencia entre ambos es de 0.104 mMPa . Esto,

al llevar acabo variaciones del espesor, implica limitar el problema a esfuerzo plano y

deformación plana, en función del espesor “t”.

a (cm)

w (cm)

t (cm)

P (MPa)



1 10 0.1 10 20.98280498 19.844 1.138804975 1 10 0.2 10 10.49140249 9.9977 0.493702488 1 10 0.3 10 6.994268325 6.6652 0.329068325 1 10 4.8 10 0.43714177 0.41657 0.02057177 1 10 4.9 10 0.42822051 0.40807 0.02015051 1 10 5 10 0.4196561 0.39991 0.0197461 1 10 9.8 10 0.214110255 0.20404 0.010070255 1 10 9.9 10 0.211947525 0.20197 0.009977525 1 10 10 10 0.20982805 0.19995 0.00987805

Tabla. 3.4. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación del espesor.

Capítulo 3 81


En la tabla 3.4, se muestra el cálculo del error para algunos valores de “K”, al

modificar el espesor. El tamaño de grieta, ancho del espécimen y la carga se mantienen

constantes. Se observa un incremento en el error, cuando los valores de K son mayores.

Esto debido a las condiciones del análisis numérico.

Fig. 3.14. Campo de esfuerzos en una placa de 10mm de espesor.

Capítulo 3 82


Fig. 3.15. Cálculo de K por medio del MEF variando el esfuerzo.

En la figura 3.15, se observan los resultados obtenidos por medio del cálculo

analítico y con el MEF. En la figura se aprecia el resultado de K=37.873 mMPa .

Comparado con el valor analítico de K=39.8673295 mMPa , la diferencia entre datos es

de 1.9943 mMPa , representando el 4.9%.

a (cm)

w (cm)

t (cm)

P (MPa)



1 10 0.1 10.2 21.40246107 20.395 1.007461075 1 10 0.1 10.3 21.61228912 20.595 1.017289125 1 10 0.1 10.4 21.82211717 20.795 1.027117174 1 10 0.1 14.8 31.05455136 29.593 1.461551364 1 10 0.1 14.9 31.26437941 29.793 1.471379413 1 10 0.1 15 31.47420746 29.993 1.481207463 1 10 0.1 19.8 41.54595385 39.791 1.754953851 1 10 0.1 19.9 41.7557819 39.991 1.764781901 1 10 0.1 20 41.96560995 40.191 1.774609951

Tabla. 3.5. Cálculo del error analítico y numérico, para el caso de la variación del esfuerzo.

En la tabla 3.5, se observan algunos resultados del error, en el caso de la variación

del esfuerzo, manteniendo los valores de a, w y t constantes.

Capítulo 3 83


Fig. 3.16. Campo de esfuerzos en una placa con un esfuerzo de 19MPa.

Al igual que en el cálculo analítico, la base de datos se formó mediante la variación

de los parámetros descritos, manteniendo las demás variables constantes, por las mismas

razones que se describieron para el cálculo analítico. Para el entrenamiento de la RNA, se

utilizan 380 valores de “K”, con sus respectivas entradas, siendo los pares de datos que

conforman la base, ordenados previamente para el entrenamiento de forma aleatoria, lo

cual, se describe en la siguiente sección.

3.3. Implementación y metodología de diseño de la Red Neuronal Artificial.

Para el diseño de la Red Neuronal, existen una serie de parámetros que deben definirse,

tales como el algoritmo de entrenamiento, la determinación de la base de datos, los

Capítulo 3 84


parámetros de entrenamiento, número de épocas, asignación de pesos, modelo de Red

Neuronal, función de transferencia, entre otros. A continuación se describe la metodología:

Determinación de la base de datos de entrenamiento. Para el entrenamiento de la

red, se requiere de una base de datos. Estos se obtuvieron de los cálculos numéricos por

medio del Método del Elemento Finito y fueron validados por medio del cálculo analítico,

tal como se mostró en el apartado anterior. La verificación numérico-analítica resulta

importante, ya que sirve para comprobar los resultados de los cálculos por ambos métodos

y saber que son correctos, además, proporcionan un mayor grado de exactitud al llevar a

cabo el entrenamiento de la RNA, si el tamaño de la base de datos es adecuado.

Selección del algoritmo de entrenamiento. Está en función de las características de

los datos y de los valores que se desean obtener, así mismo del tipo de aplicación de la

RNA. Por lo anterior, se puede decir que el tipo de algoritmo depende del caso de estudio.

Una característica importante al llevar a cabo el entrenamiento, es la obtención del menor

error cuadrático medio posible, motivo por el cual, a los modelos más comunes de RNA se

les han implementado constantemente nuevos algoritmos con la finalidad de reducir el

error de cálculo.

Diseño de la RNA. Para el entrenamiento de la red, es necesario definir sus

características. Aquí se establecen el número de entradas a la Red Neuronal, así como

también el número de salidas. Con relación a la estructura de la red, también es necesario

especificar el número de capas ocultas y neuronas por capa oculta que proporcionen mayor

exactitud en los resultados del entrenamiento de la red y el número de épocas o ciclos de

entrenamiento, así como el error máximo esperado, la función de trasferencia y el tipo de

red, si es supervisada o no supervisada. Existen muchos más parámetros que se pueden

variar al programar una RNA, los cuales inclusive utilizando el mismo modelo o el mismo

algoritmo, proporciona resultados diferentes, en cuanto a error y tiempo de entrenamiento.

En el caso del diseño de las redes que se proponen para este estudio, los parámetros

mencionados anteriormente, son los que se consideran.

Determinación de los datos de validación. En esta fase, es importante especificar la

cantidad de datos que la red ocupará para el entrenamiento, y la cantidad de datos que

Capítulo 3 85


utilizará el programa para validar la Red Neuronal. El proceso de normalización de los

datos resulta importante, y dependiendo su naturaleza, el tipo de entrenamiento, y la

aplicación que se desea dar, En la versión 2008 de MATLAB, al ejecutar el comando

“newff” para la programación de la RNA, la normalización de los datos se realiza de forma

predeterminada por el programa, eficientando el proceso de cálculo.

Parámetros de entrenamiento. Para entrenar la red, existen varios paquetes de

cómputo que permiten llevar a cabo dicha tarea. Algunos dan la oportunidad de programar

la red, sin embargo resulta más complicado y tardado el llevar a cabo este proceso, debido a

las características específicas de cada uno y la aplicación. Algunos programas son

MATHLAB, MATHCAD, entre otros, que permiten desarrollar este proceso mediante

herramientas diseñadas para aplicaciones de Redes Neuronales. Otros programas de libre

adquisición como OCTAVE pueden considerarse para realizar esta tarea, sin embargo,

cada una implica familiarizarse con las herramientas y en ocasiones conseguir o crear las

bibliotecas necesarias para la aplicación. Para el caso del análisis de esta tesis, se seleccionó

MATHLAB 2008a mediante la aplicación de Redes Neuronales Toolbox 6.0.

Análisis de los resultados del entrenamiento de la RNA. El motivo de esta fase es

para evaluar si la red fue capaz de aprender mediante la fase de entrenamiento y a través de

los datos con que esto se llevó a cabo. Así también se verifica el error que arrojó la red

neural y el tiempo de cálculo necesario.

Evaluación del desempeño de la RNA. Esta es una fase de verificación, en la cual,

los datos obtenidos de la red se comparan con los datos descritos en las secciones

anteriores, tanto analíticas, como numéricas. En el caso en que la RNA no presente la

eficiencia deseada, verificable por medio de un bajo porcentaje de error, se procede a

modificar parámetros tales como el algoritmo de entrenamiento o el diseño de la red. En el

actual estudio se evaluó y analizó el comportamiento de la RNA mediante el entrenamiento

de 6 diferentes algoritmos aplicados a la red de Retropropagación.

Capítulo 3 86


Conclusiones y alcances del modelo neuronal. En esta sección se describen las

potencialidades de la red, lo que se puede mejorar, e incluso las deficiencias con las que

esta cuenta, de la misma manera se comparan los datos por medio del Método del Elemento

Finito y del entrenamiento de la RNA.

Para el diseño de la Red Neuronal propuesta, las variables que se establecen como datos de

entrada son a, w t y P, que respectivamente son el tamaño de grieta, el ancho del

espécimen, el espesor y el esfuerzo aplicado a este. La base de datos del entrenamiento fue

obtenida mediante los cálculos por medio del Método del Elemento Finito, con los cuales

se entrenaron 6 Redes Neuronales Artificiales con diferentes algoritmos, cuyos resultados,

se comparan en el capítulo 4 de resultados.

Algunos de los parámetros que se pueden modificar para el entrenamiento de una

Red Neuronal son: las funciones de inicialización de las capas ocultas, las funciones de

aprendizaje, las funciones de entrenamiento, las funciones de trasferencia, las funciones de

peso, así como el modelo de análisis. A continuación se describen las características de los

parámetros de las redes que se programaron:

Datos de entrenamiento. La Red Neuronal se entrenó con 380 datos del cálculo de

“K”, los cuales formaron el conjunto de salidas y 380 datos del conjunto de entradas

correspondientes a las variables a, w, t, P, de los cuales el 70 % forman parte del conjunto

de entrenamiento, el 15% son para el conjunto de validación y el 15% restante son parte del

conjunto de prueba en todos los casos de programación.

Función de transferencia. Para el actual análisis se propone la aplicación de las

funciones tangente hiperbólica sigmoidea debido a que es útil cuando se requiere

velocidad de cálculo en la RNA, Sin embargo, los resultados de esta varían en función del

algoritmo de entrenamiento, número de épocas y datos en la capa ocultas, entre otros, que

se especifican para cada algoritmo de entrenamiento, de acuerdo a varios ensayos a fin de

obtener los mejores resultados. Cabe destacar que en la literatura, no se registra aún una

metodología concreta, con un adecuado grado de validez y confiabilidad que permita

definir la arquitectura de la red para cada problema específico, datos como el número de

capas ocultas, épocas, neuronas, entre otros, deben variarse hasta definir los mejores

Capítulo 3 87


valores de entrenamiento, por lo cual, debido a que es un procedimiento heurístico, para

cada aplicación, la forma de verificación es a través de varios ensayos a prueba y error,

hasta obtener la convergencia.

Número de épocas. Se define para cada algoritmo, el número de épocas para el

entrenamiento de los distintos algoritmos a verificar, cabe destacar, que si la Red Neuronal

converge antes de que se cumpla el número de épocas especificadas, el entrenamiento se

detiene, comprobándose así que la RNA aprende. Si bien es cierto lo anterior, el grado de

error puede variar al utilizar los diferentes algoritmos.

Criterios para determinar el fin de la fase de entrenamiento. Esta termina cuando

se cumple el número de épocas, aún si la red no converge al menor valor de error

especificado, o cuando, por medio de los datos de verificación se comprueba que la red

converge, deteniéndose aún si no se han cumplido el número de épocas especificadas en la

programación.

Valor del mínimo gradiente. Se propone 1.0 e-6 en los casos a evaluar.

Capa oculta. Se programó de acuerdo a las condiciones del algoritmo. En algunos

casos se verificó mediante varios ensayos que el número de neuronas en la capa oculta no

afectaba considerablemente los resultados, sin embargo el tiempo de cálculo se veía

notablemente incrementado.

Con los anteriores datos se plantea entrenar una red de Retropropagación

considerando diferentes algoritmos aplicados a esta red, a fin de identificar el mejor

entrenamiento. Los algoritmos de entrenamiento, así como el código de entrenamiento con

la aplicación del comando “newff”, se muestran en la tabla 3.6, enlistándolos por algoritmo.

Capítulo 3 88


Algoritmo de entrenamiento Código Acrónimo

Levenberg-Marquardt trainlm LM BFGS Quasi-Newton trainbfg BFG Resilient Backpropagation trainrp RP Scaled Conjugate Gradient trainscg SCG Fletcher-reves Conjugate Gradient Traincgf CGF One Step Secant Trainoss OSS

Tabla 3.6.Casos a evaluar con los diferentes algoritmos de entrenamiento.

Los datos se compararán y se elegirá la Red Neuronal que proporcione el menor

error cuadrático medio y el menor tiempo de cálculo para llevar a cabo un entrenamiento

con los datos obtenidos analíticamente y así poder comparar los resultados de la base de

datos obtenida por medio del Método del elemento Finito y los obtenidos con la RNA.

Para el entrenamiento de la red, se utiliza la herramienta de Redes Neuronales

Neural Networks Tool box 6.0 de MATHLAB 2008a. Se propuso primeramente una red

neuronal Backpropagation o de Retropropagación, debido a que en la literatura se ha

reportado su gran eficacia para la resolución de una gran gama de problemas ingenieriles,

así también por su gran capacidad de interpolación.

Capítulo 3 89


Fig. 3.17 Configuración de las entradas y salidas de la red.

En la figura 3.17, se muestran las variables de entrada para la programación de la red,

seguidas de la capa oculta y una neurona a la salida, que proporciona el valor del Factor de

Intensidad de Esfuerzos.

3.4. Procedimiento de análisis con Redes Neuronales en

MATHLAB. Uno de los aspectos básicos, es establecer la arquitectura de la red, la cual, está dada por el

número de neuronas a la entrada, que son definidas por la base de datos con que se cuenta,

el número de neuronas a la salida, que en este caso es una, correspondiente al valor del

Factor de Intensidad de Esfuerzos, número de capas intermedias, para lo cual, la

arquitectura de la red se diseñó con una capa oculta, número de neuronas en la capa oculta,

número de épocas, valor del error, función de activación, que por las características de

rapidez en el entrenamiento en todos los casos fue la sigmoidea y porcentaje de datos de

entrenamiento, prueba y validación. Lo anterior, es que esa función de acuerdo al tutorial

de MATLAB se programa con los valores por defecto del programa por su rapidez en

cálculo.

Capítulo 3 90


Primeramente, se declaran las entradas y salidas de la red. Estos datos se pueden

importar de una base de datos de un documento de Excel a MATLAB. Se cuenta con dos

bases de datos, una con el conjunto de entradas y otra con los valores de las salidas,

correspondientes al Factor de Intensidad de Esfuerzos. A las entradas se les nombra “ent” y

a las salidas “sal”.

El comando que se utiliza para el entrenamiento es newff, declarando la relación

entre entradas y salidas de la siguiente forma:

p=ent';

t=sal';

net=newff(p,t,25);

net.trainParam.min_grad=1e-6;

net.trainParam.max_fail=100;

Con estas condiciones de entrenamiento, MATLAB automáticamente entrena una

RNA con el algoritmo Levenberg-Marquardt, utilizando una función sigmoidea, ya que

son los valores por default del programa.

Para el entrenamiento de la red BFGS Quasi Newton, la programación fue la

siguiente:

net = newff(p,t,3,{},'trainbfg');

net.trainParam.epochs=2000;

En las líneas de programación anteriores se muestran los valores que se modifican,

los cuales son el número de épocas que se define como 2000, y el número de neuronas en

la primera capa oculta que es de 3.

En el caso de la red Resilient Backpropagation o de retropropagación elástica se

tiene lo siguiente:

net = newff(p,t,20,{},'trainrp');

Capítulo 3 91



De lo anterior se observa que el número de épocas es de 2000 y el número de

neuronas en la primera de dos capas es de 20. La segunda se define al igual que en todos

los casos con una neurona por valores de default del programa.

En la programación con el algoritmo Scaled Conjugate Gradient que por su

traducción del inglés es Gradiente Conjugado Escalado, se tienen las siguientes líneas de

comandos, en la cual, se observa una capa oculta con 10 neuronas y un entrenamiento con

2000 épocas:

net = newff(p,t,10,{},'trainscg');


En el caso de la programación del algoritmo Fletcher- Reeves conjúgate Gradient o

gradiente conjugado Flecher-Reeves, se programó de la siguiente forma:

net = newff(p,t,10,{},'traincgf');


De lo cual, se observa que el número de épocas fue de 2000 con 10 neuronas en la

capa oculta. Finalmente la programación de la Secante de un Paso u One Step Secant fue la

siguiente:

net = newff(p,t,20,{},'trainoss');


Siendo una red de 2000 épocas y 20 neuronas en la capa oculta. Posteriormente se

determina el conjunto de datos para el entrenamiento, validación y prueba de la red

neuronal de retroporpagación. Lo anterior de la siguiente forma:

net.divideParam.trainRatio = 70/100; % conjunto de entrenamiento

net.divideParam.valRatio = 15/100; % conjunto de validacion

net.divideParam.testRatio = 15/100; % conjunto de prueba

Capítulo 3 92


Posteriormente se programa el entrenamiento con el comando “train”, haciendo

referencia en la programación a los datos de entrada y de salida en las condiciones descritas

para cada caso:

[net,tr] = train(net,p,t);

y= sim(net,p);

Finalmente, por medio del comando nntraintool, se despliega una ventana, la cual

posterior al entrenamiento, permite desplegar las gráficas correspondientes a este, a fin de

analizar los resultados.

Es importante mencionar que los datos obtenidos mediante una RNA, pueden diferir

entre entrenamientos, incluso manteniendo las mismas condiciones.

Algoritmo

Porcentaje de datos usados Error (x10-6) Épocas Neuronas Entrenamiento Validación Prueba

Levenberg-Marquardt 75% 15% 15% 1 2000 4-25-1 BFGS Quasi-Newton 75% 15% 15% 1 2000 4-3-1 Resilient Backpropagation

75% 15% 15% 1 2000 4-20-1 Scaled Conjugate Gradient 75% 15% 15% 1 2000 4-10-1 Fletcher-Reves Conjugate Gradient 75% 15% 15% 1 2000 4-10-1 One Step Secant 75% 15% 15% 1 2000 4-20-1

Tabla 3.7. Arquitecturas de las redes con relación a los diferentes algoritmos y parámetros de entrenamiento considerados.

La tabla 3.7, muestra la arquitectura de entrenamiento de las Redes Neuronales entrenadas, cuyos resultados se presentan en el capítulo 4.

Capítulo 3 93


3.5. Sumario.

En este capítulo se describieron los casos de estudio analítico, numérico y por medio de

Redes Neuronales Artificiales. Se describió el procedimiento en cada uno de los casos a fin

de entender cómo es que se desarrollaron los cálculos. Esto forma la base del análisis

propuesto.

Es conveniente mencionar, que las Redes Neuronales Artificiales, tienen la

capacidad de trabajar con parámetros lineales como no lineales, y debido a que los datos

que se expusieron, en las figuras 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 son tanto lineales, como no lineales, este

hecho, valida la implementación de las RNA´s a este caso de estudio.

En el capítulo siguiente se analizan y comparan los resultados, a fin de definir los

alcances y limitaciones de la implementación de Redes Neuronales Artificiales.

3.6 Referencias.

Beer, F. P., Johnston, E. R. y Dewolf, J. T. (2001). Mecánica de materiales. Tercera edición. Mc Graw Hill. México. Pp. 747.

González, V. J. (2004). Mecánica de fractura. 2da. Edición. Ed. Limusa. México. pp. 63-78.

Hernández, A. H. y Espejo, M. E. (2002). Mecánica de la fractura y análisis de falla. Ed. Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá) Pp. 17-19.

Tutorial de ayuda ANSYS 11.0.

4 Análisis de Resultados

Capítulo 4 95


CAPÍTULO 4 Análisis de Resultados.

En este capítulo se describen los resultados y la comparación de los alcances de las Redes

Neuronales, para las condiciones y parámetros descritos en el capítulo 3. Así mismo, se

cotejan los datos obtenidos mediante el entrenamiento de la RNA que arrojó menor error y

los obtenidos por medio del el Método del Elemento Finito contra los datos analíticos.

Finalmente se describen los resultados de la determinación de las condiciones de inicio de

propagación de grietas, a través del empleo de Algoritmos Genéticos, dando de esta forma

una propuesta complementaria para el caso descrito en el planteamiento del problema de la

sección 1.10 de este trabajo de tesis.

4.1. Análisis de resultados con diferentes algoritmos.

En esta sección se analizan los resultados obtenidos mediante el entrenamiento de una red

de Retropropagación, con 6 distintos algoritmos de entrenamiento. Los resultados se

comparan y se determina el mejor para entrenar la red, en el caso del cálculo de una grieta

lateral en una placa metálica descrita en el capítulo 3 en la figura 3.2. La tabla 3.6 en dicho

capítulo, muestra los algoritmos que se utilizaron.

Cabe señalar, que las características del equipo de computo utilizado para la

obtención de estos resultados son: Procesador AMD Turion 64 x2 a 1.9 GHz de velocidad,

2GB de memoria RAM, sistema Windows vista a 32 bits con Matlab 2008. Las

características del equipo, se ven reflejadas principalmente en el tiempo de cálculo y en la

precisión de las operaciones.

Capítulo 4 96


4.1.1. Entrenamiento de una RNA mediante el uso del algoritmo de

Levenberg-Marquardt.

Este es uno de los métodos más utilizados por su rapidez de cálculo y eficiencia, por lo

cual, se realizó un entrenamiento con 2000 épocas y 25 neuronas en la capa oculta, en el

cual se observa la condición de convergencia, mucho antes de cumplirse las 2000 épocas.

Una característica muy importante, es la selección de la tasa de aprendizaje de la

red, ya que si “η”, es demasiado grande, el tiempo que tarda la red en llevar a cabo el

entrenamiento es muy corto, sin embargo, puede caerse en la inestabilidad del sistema y

arrojar valores con alto margen de error.

Fig. 4. 1. Cuadro de entrenamiento de la RNA Levenberg-Marquardt con 2000 épocas.

En la figura 4.1. Se muestra de forma gráfica el desempeño del entrenamiento de la

Red Neuronal, mediante la ayuda gráfica de entrenamiento de la red que proporciona el

Capítulo 4 97


programa. Se observa el conjunto de validación, entrenamiento y prueba, así como el error

cuadrático medio por épocas de entrenamiento. El parámetro “performance” equivale al

desempeño de la red, “training”, al entrenamiento, “data division”, al tipo de división,

“epoch”, al número de épocas, “time”, al tiempo que toma la red en realizar el cálculo,

“gradient”, al gradiente y “validation check” al conjunto de datos de validación. Lo anterior

por sus siglas en inglés.

Fig. 4.2. Desempeño de la RNA Levenberg-Marquardt con 2000 épocas.

En las figura 4.1, también se observa el tiempo que tardó la red en llevar a cabo el

cálculo. Este fue de 51 segundos, así también se representa el error cuadrático medio o

“Mean Squared Error”, por sus siglas en inglés. En la figura 4.2, se observa convergencia a

las 226 épocas, así mismo el error cuadrático medio es de 0.0979. Con relación a los demás

algoritmos de entrenamiento, el error es el menor en este caso.

Capítulo 4 98


Fig. 4.3. Estado del entrenamiento de la RNA Levenberg-Marquardt con 2000 épocas.

En la figura 4.3, se ilustra la gráfica correspondiente a los datos de validación, los

cuales, después de las 226 épocas comienzan a divergir, motivo por el cual, el programa

detiene la Red Neuronal, a pesar de estar programada para 2000 épocas, ya que la

convergencia se dio en ese punto.

4.1.2. Entrenamiento de la RNA mediante el uso del Algoritmo BFGS

Quasi-Newton.

En este caso, el entrenamiento fue con 3 neuronas en la capa oculta. Esto debido a que este

algoritmo requiere de un tiempo mayor de cálculo en comparación al caso anterior, y un

parámetro que incrementa aún más el tiempo, es el número de neuronas en las capas

ocultas. Así mismo, el número de épocas para este caso fue de 2000. Aunque este algoritmo

consume menor cantidad de recursos de cómputo, generalmente converge más rápidamente,

no resultando así en este caso de estudio.

Capítulo 4 99


Fig. 4.4. Entrenamiento de la Red Neuronal BFGS Quasi-Newton.

En la figura 4.4, se observa el tipo de entrenamiento, así como el número de

épocas, el tiempo de entrenamiento, y el desempeño y el gradiente de la red. El valor del

gradiente es el que se definió para todos los casos, 1.00e-6, el cual es un criterio para la

convergencia de los datos.

En la Figura 4.5 se observa el entrenamiento de la red, en el cual, la red se detiene

hasta las 2000 épocas, teniendo un error cuadrático medio de 111.8226, el cual, es

demasiado grande para las condiciones de entrenamiento de la red. También se muestra que

la red se detiene hasta el cumplirse el criterio de número de épocas. Por la tendencia de los

datos, se observa que incluso aumentando el número de ciclos, el error se mantendría

constante y el tiempo de cálculo aumentaría, cayendo en una posible condición de sobre

entrenamiento de la red.

Capítulo 4 100


Fig. 4.5. Desempeño de la Red Neuronal BFGS Quasi-Newton.

En la figura 4.6, se observa que el gradiente es de 253.55 a la época 2000,

soportando la divergencia del cálculo de la RNA. Lo anterior la hace una red poco viable

para el análisis, debido al grado de error que se refleja en esta figura.

Fig. 4.6. Estado del entrenamiento de la Red Neuronal BFGS Quasi-Newton.

Capítulo 4 101


4.1.3. Entrenamiento de la RNA mediante el uso del algoritmo Resilient

Backpropagation o de Retropropagación Elástica.

Se entrenó con 2000 épocas, 20 neuronas en la capa oculta y de acuerdo a la tabla 3.6 que

muestra la arquitectura de la red. Este algoritmo trabaja más rápidamente que el anterior,

convergiendo en un menor número de épocas tal como lo muestra la figura 4.7. En la figura

4.8, se nota que el error sigue siendo demasiado grande, con relación al objetivo, sin

embargo el mejor entrenamiento logrado se dió a las 167 épocas con un error cuadrático

medio de 66.087, siendo a las 267 cuando el programa detiene la red. Por el valor del error,

queda muy lejos del objetivo, sin embargo, el entrenamiento de la Red Neuronal es

detenido en esa época, debido a que es el valor de convergencia en donde se obtienen los

mejores resultados para este tipo de red. La figura 4.7, muestra las condiciones de

entrenamiento, así como el tiempo que tardó en realizar los cálculos la RNA.

Fig. 4.7. Entrenamiento de la Red Neuronal de Retropropagación Elástica.

Capítulo 4 102


Fig. 4.8. Desempeño de la Red Neuronal de Retropropagación Elástica.

La figura 4.8, muestra la condición de convergencia a las 167 épocas, con un error

cuadrático medio de 66.087. Se observan diversas fluctuaciones en los valores de prueba de

la red, por lo cual esta se detiene mucho antes de las 200 épocas. Esto da pauta para

considerar poco viable este algoritmo en el entrenamiento de la RNA para el caso de

análisis.

4.1.4. Entrenamiento de la RNA por medio del algoritmo Scaled Conjugated Gradient o de Gradiente Conjugado.

En la figura 4.9, se observa el entrenamiento de la red, la cual se detuvo a las 545 iteraciones y tuvo un tiempo de cálculo de 1,06 minutos.

Capítulo 4 103


Fig.4.9. Entrenamiento de la Red Neuronal de Gradiente Conjugado.

Fig. 4.10. Desempeño de la Red Neuronal de Gradiente Conjugado.

Capítulo 4 104


La figura 4.10 permite visualizar el error y el punto de convergencia, con un valor

de de 5.8509 a las 445 épocas, en donde convergió al mejor valor. Este entrenamiento es

mejor en tiempo y error con respecto al caso del algoritmo anterior, aunque no supera al

algoritmo de Levenverg-Marquardt en tiempo y disminución del error. El entrenamiento

mediante este algoritmo proporciona resultados más cercanos en magnitud, con relación a

otros algoritmos que aquí se presentan, lo cual, es verificable mediante el valor del error

cuadrático medio obtenido.

Fig. 4.11. Estado del entrenamiento de la Red Neuronal de Gradiente Conjugado.

En la figura 4. 11. Se muestra el error cuadrático medio conforme avanzan las

épocas. Es trascendente observar que este incrementa a partir de las época 350 hasta que

incrementa súbitamente, motivo por el cual se detiene el cálculo a las 545 épocas. En la

figura correspondiente a los datos de validación, se observan varias fluctuaciones. Estas son

crecientes hasta que el programa se detiene, después de que la red cumple la condición de

convergencia. Lo anterior significa que después de las 545 épocas se detiene la red porque

no se encontrarán mejores valores que reduzcan el error cuadrático medio.

Capítulo 4 105


4.1.5. Entrenamiento de la RNA mediante el uso del algoritmo de Fletcher-Reeves.

Fig. 4.12. Entrenamiento de la Red Neuronal de Fletcher-Reeves.

En la figura 4.12, se ilustra que la Red Neuronal con el algoritmo Fletcher-Reeves

que se entrenó, con un tiempo de 26 segundos y una convergencia a las 331 épocas, lo cual,

la convierte en una red que cumple este criterio rápidamente, con relación a las demás. Sin

embargo, esta condición de rapidez no garantiza un valor del error cuadrático medio

adecuado para este análisis.

Capítulo 4 106


Fig. 4.13. Desempeño de la Red Neuronal de Fletcher-Reeves.

En las figura 4.13, se muestra el desempeño de la red mediante el algoritmo

Fletcher-Reeves, mostrando una ejecución en tiempo de 26 segundos con un error 18.87 en

su mejor entrenamiento, el cual se alcanzó en la época 367.

4.1.6. Entrenamiento de la RNA mediante el algoritmo One Step Secant Algorithm o de Secante de un Paso.

La figura 4.14 muestra una red que tiene un tiempo de cálculo de 3 minutos 17 segundos,

sin embargo, el error que proporciona es de 0.772. La red se detiene a las 1963 épocas,

cerca del criterio establecido con 2000.

Capítulo 4 107


Fig. 4.14. Entrenamiento de la Red Neuronal de la Secante de un Paso.

Fig. 4.15. Desempeño de la Red Neuronal de la Secante de un Paso.

Capítulo 4 108


En la figura 4.15, se resume el entrenamiento de esta red neuronal se desarrolló en 3

minutos con 17 segundos, con un error de .77271 alcanzado en la época 1763. Este método

resulta más tardado que algunos de los anteriores, sin embargo, en cuanto a disminución del

error es la que muestra mejores resultados después del algoritmo de Levenberg-Marquardt.

El entrenamiento se detiene a las 1963 épocas, ya que la red, de acuerdo a la comparación

entre los datos de entrenamiento y los datos de validación, detecta que no se dará un mejor

entrenamiento.

4.2. Comparación de los resultados del entrenamiento de los

diferentes algoritmos.

Algoritmo Tiempo de cálculo (s)

Error cuadrático medio

Levenberg-Marquardt 51 0.979 BFGS Quasi-Newton 434 s 111.822 Resilient Backpropagation 20 66.087 Scaled Conjugate Gradient 66 s 5.85 Fletcher-Powell Conjugate Gradient 26 s 18.87 One Step Secant 197 s 0.772

Tabla 4.1. Desempeño de los algoritmos implementados en la Red de Retropropagación.

En la tabla 4.1, se nota claramente que el algoritmo más rápido en cuanto a cálculo

fue el de Retropropacgacion Elástico o “Backpropagation Resilient” por sus siglas en

inglés, sin embargo su desempeño con un error cuadrático medio de 66.087 no fue el

óptimo para el caso de estudio. El algoritmo Levenberg-Marquard se aprecia con el menor

error cuadrático medio de 0.979, seguido del algoritmo de la Secante de un Paso con 0.772,

sin embargo, este último fue uno de los más tardados en cuanto a tiempo de cálculo.

Es importante señalar que el tiempo de cálculo y el valor del error cuadrático medio,

son los dos criterios que se toman en cuenta para determinar cuál de los seis algoritmos es

el que proporciona el mejor entrenamiento.

Capítulo 4 109


Fig. 4. 16. Tiempo de cálculo.

Fig. 4.17. Error cuadrático medio.

050

100150200250300350400450500

Tiem

po

Típo de algorítmo

0

20

40

60

80

100

120

Erro

r cua

drát

icoM

edio

Tipo de Algoritmo

Capítulo 4 110


4.3. Comparación del error del entrenamiento de una red Levenberg-Marquardt, contra el Método del Elemento Finito y el cálculo analítico.

Para este análisis se entrenó una red Levenberg-Marquardt, ya que es la que se observó en

la sección anterior que presenta el menor error con relación a las demás algoritmos

probados, seguida por el método de la secante que también mostro un buen desempeño. El

entrenamiento de esta red se realizó con datos ordenados aleatoriamente, esta vez, del

cálculo analítico, los cuales, se compara con los obtenidos mediante el cálculo por medio

del método del elemento finito empleando el paquete computo ANSYS 11.0. Lo anterior se

hace, para evaluar los alcances de la implementación de RNA’s, a la resolución del

problema planteado en la sección 1.10.

Para el entrenamiento de esta red se definió una arquitectura (4-20-1) con 20

neuronas en la capa oculta, 1000 épocas, un valor de error de error de 1.00e-10 y una base

de datos aleatorios, obtenidos mediante el cálculo analítico. En comparación del cálculo

que ya se había hecho previamente mediante la implementación de este algoritmo en la

sección 4.1.2, en donde la base de datos de entrenamiento contenía valores del cálculo

numérico, en este caso, los datos de entrenamiento son los obtenidos analíticamente.

En la figura 4.18, se observa la información del entrenamiento de la red mediante el

algoritmo Fletcher-Reeves, de la cual el tiempo es de 28 segundos, considerándose rápido

con relación a cálculos previos. Cabe mencionar, que aún realizándose un entrenamiento

con la misma base de datos y la misma arquitectura, el tiempo y el valor de error, pueden

variar entre entrenamientos.

Capítulo 4 111


Fig. 4.18. Entrenamiento de la RNA Levenberg-Marquardt datos analíticos aleatorios.

Fig. 4.19. Validación de la RNA Levenberg-Marquardt

Capítulo 4 112


Fig. 4.20. Datos de gradiente y validación de la RNA Levenberg-Marquardt.

En la figura 4.20, se observa un incremento del error cuadrático medio posterior a

la época 400, por lo cual la red neuronal al verificar con los datos de validación, es detenida

a las 526 épocas.

Al comparar los datos de las figuras anteriores, observamos que el error, en el mejor

entrenamiento es de .0030906 a las 526 épocas, con un tiempo de cálculo de 28 segundos.

En comparación de Ansys, el error medio es de 6.6540. Considerando que las redes

neuronales tienen el potencial para trabajar con datos lineales y no lineales, las coloca en

ventaja de otros métodos para este tipo de análisis, aunado al hecho de que por las

características inherentes al diseño de una RNA, es capaz de proporcionar resultados, aun si

hay datos faltantes.

Capítulo 4 113


4.4. Determinación de las condiciones de inicio de propagación de grietas mediante Algoritmos Genéticos.

En esta sección se realiza un análisis inverso, en el cual, a partir de los datos de “K” y el

valor del error cuadrático medio obtenido del entrenamiento con el algoritmo Levenberg-

Marquardt de la sección 4.1.1, se obtienen los mejores valores que el algoritmo propone

para a, w, t y P.

Para lograr lo anterior, se diseñó una función objetivo. Primero se declaran las 4

variables que definen el Factor de Intensidad de Esfuerzos, las cuales son a, w, t y P. Se

proponen como restricciones, los rangos que se pudieran ocupar dichas variables y que se

establecieron en la tabla 3.1. Posteriormente se introduce la condición de optimización con

base al valor del cálculo del error cuadrático medio obtenido de un entrenamiento previo

mediante Redes Neuronales Artificiales, utilizando del algoritmo Levenberg-Marquardt.

Con el error, se optimizó cada valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos, a fin de obtener

los valores más adecuados de los parámetros a, w, t, P, creando un intervalo a través de la

función “Kd”, en el cual, el Algoritmo Genético, busca los mejores valores que cumplan las

condiciones.

El valor “Ke”, corresponde a cada valor obtenido en el entrenamiento con RNA’s,

por medio del Método del Elemento Finito, o analíticamente, con base al cual se desea

realizar el análisis inverso. Finalmente se introduce a la función objetivo, la relación

matemática que calcula el Factor de Intensidad de Esfuerzos. Este procedimiento se repite

para cada valor del cual se desean obtener resultados conservando el mismo valor del error

cuadrático medio.

Los datos de la función objetivo son los siguientes:

[ a w t p ] % variables que se usan en la ecuación

ke=20.9828; %Valor de referencia deseado (dato a modificar)

es=0.65253; %Valor del error para comparación (Dato a modificar)

Capítulo 4 114


kd=[(ke+es) (ke-es)]; % Valores máximo y mínimo de comparación

% Se asignan los posibles valores que tendrán las variables para obtener el valor de factor de intensidad de esfuerzos

a=x(:,1);

w=x(:,2);

t=x(:,3);

p=x(:,4);

k1=(1.12-0.23*(a./w)+10.55*(a./w).^2-21.71*(a./w).^3+30.38*(a./w).^4).*(p./(w.*t)).*sqrt(pi*a) % factor de intensidad de esfuerzos

F=((kd(1)-k1)+(kd(2)-k1))/2 ; Promedio para obtener el valor del error

evalfit=1./F; Evaluación de la función objetivo

Cabe destacar, que los valores de Kd y es, se modifican, a de acuerdo al valor de K

del que se quieren conocer los parámetros, y del valor de error obtenido mediante el

entrenamiento por Redes Neuronales Artificiales.

Figura 4.21. Herramienta de optimización de Algoritmos Genéticos.

Capítulo 4 115


Para llevar a cabo lo anterior, se utilizó la herramienta gráfica de optimización de

Algoritmos Genéticos de MATLAB 2008, en la cual, se definieron los valores de la

población, la mutación, el tipo de cruce, los valores de migración y los criterios de paro.

Estos se muestran en la siguiente tabla:

Condiciones Valores Población vector doble Idoneidad Proporcional Selección Ruleta Reproducción 2 Mutación Uniforme Cruce 2 puntos Migración hacia adelante criterio de paro 200

Tabla 4.2. Condiciones de programación del Algoritmo Genético.

En la tabla 4.2, se resumen algunos de los parámetros básicos que se establecieron

para la programación del Algoritmo Genético que se propone.

Cabe destacar, que al igual que en las Redes Neuronales, los parámetros que

definen los Algoritmos Genéticos, constituyen un proceso heurístico, por lo cual, no hay

una metodología concreta para determinarlos.

De lo anterior y con los datos encontrados, se concluye que este procedimiento es

una buena alternativa con un valor de error reducido, para realizar el análisis inverso de la

solución de las variables que definen a K.

En la tabla siguiente, se muestra la comparación del error del cálculo del Factor de

intensidad de Esfuerzos por cada valor de K de algunos datos aleatorios, entre los datos de

entrenamiento, es decir los calculados por medio del Método del Elemento Finito, los

resultados obtenidos mediante la utilización del algoritmo Levenberg–Marquardt y a través

de la optimización por medio de Algoritmos Genéticos.

Capítulo 4 116


a (cm) w (cm) t (cm) P (MPa) K (MPa√m) Error

datos de origen 0.3 10 0.1 10 10.8928

Algoritmos genéticos 0.2988 10.8108 0.1123 10.8664 10.8928 0.00025

Tabla 4.3. Comparación entre datos de origen y cálculo inverso por medio de Algoritmos Genéticos.

En la tabla 4.3, se muestra una comparación de los datos de los parámetros, a, w, t y

P, obtenidos mediante Algoritmos Genéticos. Se hace énfasis en el hecho de que el error de

cálculo fue de 0.00025, el cual hace valido este procedimiento para la obtención de los

parámetros a partir únicamente del valor de K. Estos valores corresponden al caso, en el

cual se varía el tamaño de la grieta “a”.

Fig. 4.22. Comparación de los valores de los parámetros de origen y los calculados mediante


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a (cm) w (cm) t (cm) P (MPa) K (MPa√m)

Mag

nitu

d de

l Par

ámet

ro

Parámetros

Datos de origen

Algoritmos Genéticos

Capítulo 4 117


a (cm) w (cm) t (cm) P (Mpa) K (MPa√m) Error

Datos de origen 3.3 10 0.1 10 57.090

Algoritmos Genéticos 3.2863 10.9126 0.5318 10.5502 57.090 .000094

Tabla 4.4. Comparación entre datos de origen y cálculo por medio de Algoritmos Genéticos.

En la tabla 4.4, se observan los resultados obtenidos del análisis inverso. Se aprecia

que aunque el programa calcula un error de 0.000094, existe una variación considerable en

el tamaño valor del tamaño de la grieta, con una diferencia de 0.4318. Cabe destacar que al

igual que las RNA’s, los resultados, pueden variar, en este caso, cada vez que se repite el

procedimiento, aún si la base de datos y la configuración es la misma.

Fig. 4.23. Comparación de los valores de los parámetros de origen y los calculados mediante


0

10

20

30

40

50

60

a (cm) w (cm) t (cm) P (MPa) K (MPa√m)

Mag

nitu

d de

l Par

ámet

ro

Parámetros

Datos de origen

Algoritmos Genéticos

Capítulo 4 118


4.5. Sumario.

En este capítulo, se analizaron los resultados pertenecientes a los distintos algoritmos de

entrenamiento implementados en la red de Retropropagación, así también se compararon

los resultados entre estas, encontrando que la red Levenberg-Marquardt, es la que

proporciona los mejores resultados, ya que el error cuadrático medio fue el menor, con un

tiempo de cálculo mucho menor al que se requiere para obtener un solo valor de “K”, por

medio del método del Elemento Finito, a través del programa ANSYS. Con los resultados

de este entrenamiento, se implementó una función objetivo mediante algoritmos genéticos,

con la finalidad de reducir aún más el error que se obtuvo por medio del entrenamiento de

dicho algoritmo.

4.6. Referencias.

Neural Networks User’s Guide, (2008a). Matlab. The mathworks.

119


Discusiones

El estudio en torno a la Mecánica de la Fractura, es importante debido a las implicaciones

en costos y vidas humanas. Es por ello, que se justifica el gran interés por desarrollar

métodos que permitan realizar análisis de alta precisión y de costos reducidos. Algunas

evaluaciones experimentales, tiene la limitación de ser caras, ya que, requieren de la

utilización de cuantiosos recursos. A pesar de ello, en ocasiones son necesarias.

En el área de Mecánica de la Fractura, se han desarrollado análisis experimentales,

analíticos y numéricos. Con relación a estos últimos, la evaluación por medio del Método

del Elemento Finito ha sido una buena alternativa, sin embargo, algunos problemas

resueltos por este, requieren de mucho tiempo para realizar el modelado, así como de una

gran cantidad de recursos de cómputo.

Las Redes Neuronales Artificiales, ya han sido implementadas para la resolución de

una gran cantidad de problemas en diferentes áreas de la Ciencia y la Ingeniería, lo cual, se

reporta en la vasta literatura abierta en torno a sus aplicaciones. Esto, las pone en ventaja

con relación a otras alternativas de solución. Otro aspecto importante es que las Redes

Neuronales, por las características mismas del modelo teórico que las sustenta, tienen la

capacidad de resolver problemas lineales y no lineales, incluso si la base de datos está

incompleta, dañada, o presenta algunas ambigüedades en los datos. A pesar de lo anterior,

hay que destacar que, el proceso mediante Redes Neuronales Artificiales es heurístico, por

lo que se requiere de un gran número de entrenamientos en la red modificando los

parámetros de la arquitectura tales como pesos sinápticos, número de capas ocultas,

modelos y algoritmos de entrenamiento, entre otros. Así mismo, no existe un método

determinado para cada caso y aplicación. Pese a lo anterior, cuando se selecciona

adecuadamente un modelo y un algoritmo adecuado al problema que deseamos resolver,

las Redes Neuronales Artificiales son una gran alternativa, ya que pueden proporcionar

resultados de alta precisión, en poco tiempo, a bajo costo y sin la necesidad de realizar

evaluaciones que impliquen vidas humanas. De aquí se desprende la importancia y se

120


justifica el interés de proponer análisis por medio de este método, aunado a las

características descritas anteriormente.

Para el problema que se plantea en este trabajo de tesis, se formo una base de datos

con diferentes valores del Factor de Intensidad de Esfuerzos. Estos se obtuvieron de

acuerdo a diferentes condiciones de inicio de propagación de grietas determinadas por los

paramentos a, w, t y P y se verificaron analíticamente. Esto es necesario para validar la base

de datos. También se considero un orden en la variación de los parámetros. Lo anterior con

la finalidad de no repetirlos y acumular información innecesaria para el entrenamiento de la

red, lo cual consumiría recursos superfluos.

Ya que el procedimiento es heurístico como se menciono anteriormente, fue

necesario evaluar la implementación con diferentes arquitecturas y algoritmos aplicados a

la Red de Retropropagación. Esta se seleccionó por su grado de aplicabilidad, y ya que por

su simplicidad, es capaz de dar soluciones rápidas y precisas. Si bien, en algunas

aplicaciones pueden tener limitaciones en cuanto a la extrapolación de datos, estas se ven

compensadas con las modificaciones propuestas mediante algunos de los algoritmos que se

probaron en este trabajo de tesis. En los casos en que no se adquiere un entrenamiento

satisfactorio congruente con el error que se establece como objetivo, porque converge muy

rápido o porque muestra divergencia, alejando la solución del dato esperado e

incrementando el error, puede considerarse: modificar la topología, la arquitectura general

de la red, el orden del conjunto de datos de entrenamiento o aumentar el tamaño de la base

de datos, entre otras alternativas.

Debido a lo anterior, fue necesario evaluar los resultados de diferentes algoritmos

de entrenamiento aplicados a la red de Retroporpagación, así como diferentes arquitecturas.

Los criterios que se consideraron para determinar cuáles eran los algoritmos con mejores

resultados fueron principalmente la precisión de cálculo con relación a los datos de

entrenamiento, mediante la obtención del valor del error cuadrático medio y el menor

tiempo de cálculo.

En la figura d.1, se muestra un valor tomado al azar del Factor de Intensidad de

Esfuerzos, calculado, mediante el Método del Elemento Finito, analíticamente y a través de

121


los 6 algoritmos que se validaron. Las condiciones de inicio de propagación de una grieta

de este valor son: un tamaño de grieta de 10mm, un ancho del espécimen de 100mm, un

espesor de 59mm y una carga de 10MPa. El entrenamiento se realizó con los datos

obtenidos mediante el cálculo por medio del MEF, por lo tanto, los algoritmos con mejores

resultados, son aquellos cuyo valor de K tiene menor error con relación a dichos datos. Se

observa en la figura, que el algoritmo BFGS Quasi-Newton así como el Resilient

BAckpropagation o de Retropropagación elastica por su traducción al español, son los que

proporcionan mayor error, ya que el valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos por medio

de esos algoritmos, diverge mucho del valor obtenido por medio del MEF, de cuyo calculo,

se determino la base de datos de entrenamiento.

Fig. d.1. Cálculo del Factor de Intensidad de Esfuerzos por diversos métodos.

En la tabla d.1, se observan los valores de K y se nota que con un valor de 0.3434 y 0.3603,

los algoritmos Levenberg-Marquardt y Sacaled Conjugated Gradient, son los que muestran

menor diferencia con relación al valor de entrenamiento de 0.3389, proporcionado por el

cálculo por medio del MEF.

-2

0

2

4

6

8

10

12

Factor de Intensidad de

Esfuerzos

Valor de KMétodos

MEFAnalíticoBFGS Quasi-Newton Fletcher-ReevesLevenberg-MarquardtOne Step SecantResilient BackpropagationScaled Conjugate Gradient

122


Métodos Valor de K MEF 0.33891

Analítico 0.35564 BFGS Quasi-Newton 5.3371

Fletcher-Reeves -0.7872 Levenberg-Marquardt 0.3434

One Step Secant -0.1192 Resilient Backpropagation 11.8323 Scaled Conjugate Gradient 0.3603

Tabla d.1. Valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos obtenido por diferentes métodos.

Fig. d.2. Valor del error promedio calculado para diferentes algoritmos.

En la figura d.2, se observa el error medio deferentes algoritmos, confirmando que los

algoritmos cuyos resaltados son más exactos son: Levenberg-Marquard, One Step Secant o

de Secante de un Paso y Fletcher–Reeves con un error de 0.0103, 0.0648 y 0.0864

respectivamente.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Algoritmos

Erro

r Pro

med

io

BFGS Quasi-Newton

Fletcher-Reeves

Levenberg-Marquardt

One Step Secant

Resilient Backpropagation

Scaled ConjugatedGradient

123


Fig. d.3. Desviación estándar del error de los algoritmos.

En la figura d.3, se muestran los valores de la desviación estándar, lo cual, refleja que los

algoritmos BFGS Qauasi-Newton y Resilient Backpropagation, son los que muestran

mayor dispersión del error con relación a la media, con una desviación estándar de 20.098 y

11.555 respectivamente. Por el contrario los algoritmos Levenberg-Marquardt y One Step

Secant tienen valores de desviación estándar más bajos con 0.313 para el primero y 1.958

para el segundo. Esto muestra que al haber menor grado de dispersión en el error de los

datos, hay mayor precisión de cálculo del Factor de Intensidad de Esfuerzos, por lo cual, el

algoritmo Levenberg-Marquard, seguido del One Step Secant, son los que generan los

mejores resultados.

0

5

10

15

20

25

1

Algoritmos

Desv

iaci

ón E

stán

dar

BFGS Quasi-Newton

Fletcher-Reeves

Levenberg-Marquardt

One Step Secant

ResilientBackpropagationScaled ConjugatedGradient

124


Fig. d.4. Comparación del Factor de Intensidad de Esfuerzos para 10 valores aleatorios.

Debido al análisis estadístico anterior, se determino que el algoritmo que proporciona

mejores resultados es el Levenberg-Marquardt, por lo cual en la figura d.4, se observa la

comparación de los valores obtenidos mediante el Método del Elemento Finito y dicho

algoritmo. No se observa una marcada divergencia entre ambos datos.

Lo anterior da validez a la aplicación de Redes Neuronales Artificiales como una

alternativa adecuada para la determinación de los Factores de Intensidad de Esfuerzos,

poniéndolo en ventaja de otros métodos convencionales, por la rapidez de cálculo debido a

las configuraciones en paralelo de las Redes Neuronales y a la precisión. Con relación a la

determinación de las condiciones del inicio de propagación de grietas, definidas mediante

los parámetros a, w, t y P, en las figuras 4,22 y 4,23 de la sección de análisis de resultados,

se muestra la comparación entre los datos de origen y los datos determinados por medio de

los Algoritmos Genéticos. Cabe destacar que aunque los resultados obtenidos generaron un

error de 0.000094 y 0.00025, existe mayor variabilidad en las soluciones que estos dan con

relación a las Redes neuronales, sin embargo, el error es considerablemente menor. Esto

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Datos aleatorios

Fact

or d

e In

tens

idad

de

Esfu

erzo

s

Levenberg-MarquardtMEF

125


debido a que las posibilidades de configuración son grandes, lo cual, también genera un

problema al determinar los mejores parámetros al programar el Algoritmo Genético.

En el actual estudio se considero realizar la evaluación con distintos casos de la posición

de la grieta en el espécimen, sin embargo, el análisis contempla la implementación de

Redes Neuronales, por lo cual, al adquirir la base de datos, el procedimiento de

programación sería similar para otras configuraciones de grieta. También se considera

necesario realizar el análisis con datos experimentales para corroborar los resultados

obtenidos en esta tesis, sin embargo, en el actual trabajo por la extensión de contenido solo

se contempla el análisis numérico, analítico, la implementación mediante Redes Neuronales

Artificiales, y la determinación de las condiciones de inicio de propagación de grietas por

medio de Algoritmos Genéticos.

Se concluye que la implementación de redes neuronales para la determinación de los

Factores de intensidad de Esfuerzos por medio del Algoritmo Levenberg-Marquardt, resulta

una buena propuesta, así como los Algoritmos Genéticos para la determinaron de las

condiciones de inicio y propagación de grietas, debido al reducido error que los resultados

obtenidos por medio de estas arrojan.

Con relación al procedimiento por medio de Algoritmos Genéticos, es conveniente

probar más combinaciones entre los parámetros de programación a fin de reducir aún más

el error. Esto podría realizarse prescindiendo de la herramienta “gatool” y mediante

programación directa por Matlab.

126


Conclusiones

En el capítulo 3, se muestra gráficamente la relación que existe entre los parámetros

analizados y el Factor de Intensidad de Esfuerzos. Dichas relaciones son lineales y no

lineales. Es conveniente hacer notar que las Redes Neuronales Artificiales pueden hacer

este tipo de relaciones a partir de un planteamiento físico. Esto es importante, porque

propone una alternativa para estudiar problemas físicos donde la no linealidad es parte del

problema.

La Red Neuronal Artificial implica un adecuado diseño de la arquitectura y puesto

que es un método heurístico requiere probar con distintos valores en la arquitectura y

múltiples ensayos a fin de obtener los mejores resultados.

Cada algoritmo de entrenamiento implementado a una Red Neuronal Artificial,

modifica los resultados en cuanto a tiempo de cálculo y valor del error cuadrático medio,

por lo que es necesario probar con distintos algoritmos a fin de encontrar la solución

óptima.

Se encontró poca modificación en el error cuadrático medio al variar el número de

neuronas en la capa oculta, sin embargo, el tiempo de cálculo se incrementa drásticamente

en algunos de los algoritmos, a pesar de que se implementan por su rapidez de cálculo.

El análisis por medio de redes neuronales por medio del método de Levenberg-

Marquardt, proporcionó los mejores resultados en el entrenamiento de la red para el análisis

de grietas en placas propuesto en esta tesis.

Se requiere de una base de datos experimental, para comparar los resultados

analíticos, experimentales y por medio del Método del Elemento Finito con los obtenidos

mediante las Redes Neuronales Artificiales, entrenado la red con los datos experimentales.

El cálculo de los Factores de Intensidad de Esfuerzos por medio del método del

elemento finito, con la ayuda de ANSYS para formar la base de datos, fue muy grande en

comparación con el tiempo que toma el entrenamiento de una red neuronal.

127


Los Algoritmos Genéticos son útiles para optimizar los datos obtenidos del

entrenamiento de una red neuronal, así también para realizar análisis inversos de alta

precisión. En este trabajo de tesis, se determinaron las condiciones de inicio de propagación

de una grieta, partiendo del valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos y posibles

restricciones de los parámetros que lo definen.

Se concluye que para un óptimo entrenamiento de una Red Neuronal para el análisis

de grietas en placas, es necesario identificar y definir las características más apropiadas de

la arquitectura, a fin de reducir el error cuadrático medio y tiempo de cálculo, de la misma

forma se encontró que, mediante todos los algoritmos de redes probados, el tiempo fue

menor con respecto al análisis por medio del Método de Elemento Finito, sin embargo, no

en todos los casos el error cuadrático medio era adecuado por la divergencia con relación a

los datos de entrenamiento. También se obtuvieron resultados congruentes con los datos de

origen, al realizar el análisis por medio de Algoritmos Genéticos, lo cual complementa este

análisis y lo dota de ser una buena alternativa para la resolución de problemas no lineales.

128


Recomendaciones para trabajo futuro

• Se propone comparar los resultados de este trabajo contra una Red Neuronal

entrenada con datos experimentales, ya que estos, son los que más se apegan a las

condiciones reales, si la metodología experimental propuesta es adecuada y los

instrumentos y procedimientos de medición precisos.

• Se sugiere el entrenamiento mediante la implementación de ANFIS, a fin de

comparar los resultados obtenidos en este trabajo mediante la implementación de

Redes Neuronales Artificiales y Algoritmos genéticos

• Se propone realizar el análisis de grieta por medio del Método del Elemento Finito

comparando los resultados obtenidos mediante el empleo de distintos paquetes

computacionales, así como la implementación de la RNA por medio de otros

programas como MATHCAD u OCTAVE, ya que al ser este ultimo de libre

distribución, sería una buena alternativa.

• Se propone la modificación de alguno de los algoritmos de entrenamiento, en

especial el Levenberg-Marquardt, el cual presenta resultados óptimos, variando el

método de interpolación.

• Se propone realizar un análisis de acuerdo a la actual metodología, con diversos

casos de grieta, formas del espécimen, material con diversas propiedades mecánicas

y modos de carga.

• Se propone evaluar los efectos de la variación de la temperatura en placas metálicas

agrietadas sobre el valor del factor de intensidad de esfuerzos mediante la

implementación de Redes Neuronales Artificiales.

• Se propone la implementación de Redes Neuronales Artificiales para analizar los

efectos de de la variación del Factor de Intensidad de Esfuerzos en función de la

aplicación de cargas cíclicas.

• Se propone realizar un análisis inverso para la determinación del tamaño de la

grieta, mediante la optimización por descomposición de datos por series de Fourier

implementado a algún algoritmo de Redes Neuronales Artificiales.

129


• Se propone evaluar los efectos de la densidad de defectos cercanos a la vecindad de

una grieta, sobre el valor del Factor de Intensidad de Esfuerzos, por medio de la

Implementación de Redes Neuronales Artificiales y Algoritmos Genéticos.

• Realizar una optimización de los parámetros que definen la arquitectura de una Red

Neuronal Artificial por medio de Algoritmos Genéticos.

Anexos

130


Anexos

Anexo1

Código para el cálculo de los Factores de Intensidad de Esfuerzos por medio del

Método del Elemento Finito.

Las siguientes líneas de comandos, describen la programación para la determinación del Factor de

Intensidad de Esfuerzos por medio del Método del Elemento Finito, por medio del programa de

computo Ansys 11.0.

/FILNAME, Grieta lateral Modo I a=1.5,0

!*DEFINICION DE LA GEOMETRIA A, H, W, P, T, E, NU

a=5.5

h=20

w=h/2

P=10

t=1/10

E=200e3

nu=0.27

!* TIPO DE ELEMENTO Y KEYPOINTS

/PREP7

ET,1,PLANE183

KEYOPT,1,1,0

KEYOPT,1,3,3

KEYOPT,1,6,0

KEYOPT,1,10,0

R,1,t,

!* PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL PRXY, EX

KEYOPT,1,3,2

131


KEYOPT,1,5,0

KEYOPT,1,6,0

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,0.27

!* PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA

K,1,,

K,2,a,

K,3,w,

K,4,w,h/2

K,5,,h/2

!* CREACION DE LINEAS ENTRE KEYPOINTS

L,1,2

L,2,3

L,3,4

L,4,5

L,5,1

!* DEFINICION DE LAS DIVISIONES.

LESIZE,3, , ,51, , , , ,1

LESIZE,4, , ,51, , , , ,1

LESIZE,5, , ,63,.2, , , ,1

LESIZE,1, , ,25,4, , , ,1

LESIZE,2, , ,34,.2, , , ,1

KSCON,2,a/16,1,16, ,

!* PROPIEDADES DE SIMETRIASIMETRIA

Al,all

DL,2,1,SYMM

132


SFL,4,PRES,-(P/(w*t)),

AMESH,1

!* SOLUCION DEL PROBLEMA

/SOLU

solve

FINISH

!* DEFINICION DEL SENTIDO PARA EL CALCULO KI

/POST1

PATH,K1,3,28,20, DEFINICION DE LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA

PPATH,1,2,

PPATH,2,48,

PPATH,3,1,

PATH,STAT

!* CALCULO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS KI

KCALC,0,1,0,0

Anexo 2.

Cálculo de K analítico de los Factores de Intensidad de Esfuerzos.

En las siguientes tablas, se plasman los resultados del cálculo analítico del Factor de

Intensidad de Esfuerzos, en donde “a” es el tamaño de la grieta, “W” es el ancho del

espécimen, “P” es la carga aplicada y “K” es el Factor de Intensidad de Esfuerzos.

a (mm) W (cm) t (cm) P(MPa) K1 (MPa√m)

1 12.3 0.1 10 16.7258418

1 12.2 0.1 10 16.8738265

1 12.1 0.1 10 17.0245243

1 12 0.1 10 17.178012

133



1 11.9 0.1 10 17.3343686

1 11.8 0.1 10 17.4936767

1 10 0.1 10 20.982805

1 10.1 0.1 10 20.7516949

1 10.2 0.1 10 20.5257647

1 10.3 0.1 10 20.3048402

1 10.4 0.1 10 20.0887547

1 11 0.1 10 18.8854143

1 11.1 0.1 10 18.6991088

1 11.2 0.1 10 18.5165436

1 11.4 0.1 10 18.1621868

1 11.3 0.1 10 18.3376058

1 10.9 0.1 10 19.0755779

1 10.8 0.1 10 19.2697223

1 10.7 0.1 10 19.4679756

1 19.1 0.1 10 10.5232703

1 18.8 0.1 10 10.696866

1 18.7 0.1 10 10.7560327

1 14.7 0.1 10 13.8298676

1 14.1 0.1 10 14.4533887

1 14 0.1 10 14.5629489

1 13.9 0.1 10 14.6742227

1 13.8 0.1 10 14.7872513

134



1 13.7 0.1 10 14.9020772

1 13.6 0.1 10 15.0187442

1 13.5 0.1 10 15.1372977

1 13.4 0.1 10 15.2577844

1 13.3 0.1 10 15.3802527

1 13.2 0.1 10 15.5047527

1 13.1 0.1 10 15.6313361

1 19 0.1 10 10.5804958

1 18.9 0.1 10 10.6383574

1 14.6 0.1 10 13.9299408

1 14.5 0.1 10 14.0315062

1 10.6 0.1 10 19.6704714

1 11.5 0.1 10 17.9901826

1 12.8 0.1 10 16.0241314

1 12.7 0.1 10 16.1596028

1 11.7 0.1 10 17.6560219

1 11.6 0.1 10 17.821493

1 12.6 0.1 10 16.2974446

1 12.5 0.1 10 16.4377206

1 12.4 0.1 10 16.5804969

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135



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136



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137



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138



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139



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140



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141



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142



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143



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144



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145



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146



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147



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148



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1 10 0.1 11.9 24.9695379

1 10 0.1 11.8 24.7597099

1 10 0.1 11.7 24.5498818

1 10 0.1 11.3 23.7105696

1 10 0.1 10.3 21.6122891

1 10 0.1 10.2 21.4024611

1 10 0.1 17.4 36.5100807

1 10 0.1 17.3 36.3002526

1 10 0.1 10.1 21.192633

1 10 0.1 17.1 35.8805965

1 10 0.1 17.2 36.0904246

1 10 0.1 18 37.769049

1 10 0.1 17.9 37.5592209

1 10 0.1 17.6 36.9297368

1 10 0.1 17.5 36.7199087

1 10 0.1 17.8 37.3493929

1 10 0.1 17.7 37.1395648

1 10 0.1 18.1 37.978877

149



1 10 0.1 18.2 38.1887051

1 10 0.1 18.3 38.3985331

1 10 0.1 19.4 40.7066417

1 10 0.1 18.7 39.2378453

1 10 0.1 18.4 38.6083612

1 10 0.1 18.5 38.8181892

1 10 0.1 18.6 39.0280173

1 10 0.1 19.3 40.4968136

Anexo 3.

Cálculo de K por medio del Método del Elemento Finito.

En las siguientes tablas, se muestran los resultados del cálculo del Factor de Intensidad de

Esfuerzos, mediante el método numérico, con el apoyo del paquete computacional Ansys

11.0. Los parámetros que se muestran son: “a” que es el tamaño de la grieta, “W”, el ancho

del espécimen, “t” es el espesor, “P” es la carga y “K” es el Factor de Intensidad de

Esfuerzos.


4.8 10 0.1 10 103.49 4.7 10 0.1 10 99.197 4.6 10 0.1 10 94.971 4.5 10 0.1 10 90.662 4.4 10 0.1 10 86.843 4.3 10 0.1 10 83.219 4.2 10 0.1 10 79.775 4.1 10 0.1 10 76.5 4 10 0.1 10 73.382

3.9 10 0.1 10 70.411 7.5 10 0.1 10 494.02 7.4 10 0.1 10 455.81

150



7.3 10 0.1 10 421.78 7.2 10 0.1 10 391.33 3.8 10 0.1 10 67.577 3.7 10 0.1 10 64.872 3.6 10 0.1 10 62.288 1.9 10 0.1 10 31.104 2.3 10 0.1 10 36.846 2.4 10 0.1 10 38.398 2.5 10 0.1 10 39.997 2.6 10 0.1 10 41.655 2.7 10 0.1 10 43.373 2.8 10 0.1 10 45.156 2.9 10 0.1 10 47.006 3 10 0.1 10 48.93

3.1 10 0.1 10 50.931 3.2 10 0.1 10 53.015 3.5 10 0.1 10 59.817 3.4 10 0.1 10 57.452 3.3 10 0.1 10 55.187 2.2 10 0.1 10 35.346 2.1 10 0.1 10 33.891 2 10 0.1 10 32.479

7.6 10 0.1 10 537.12 7 10 0.1 10 339.33

7.1 10 0.1 10 363.99 7.7 10 0.1 10 578.44 7.8 10 0.1 10 633 7.9 10 0.1 10 695.55 8 10 0.1 10 767.75

8.1 10 0.1 10 851.67 8.2 10 0.1 10 950.01 6.9 10 0.1 10 317.02 6.8 10 0.1 10 296.77 6 10 0.1 10 185.12

6.1 10 0.1 10 195.4 6.2 10 0.1 10 206.5 6.3 10 0.1 10 218.49 6.4 10 0.1 10 231.49 6.5 10 0.1 10 245.6

151



6.6 10 0.1 10 260.97 6.7 10 0.1 10 278.32 5.9 10 0.1 10 175.57 0.1 10 0.1 10 5.8544 0.2 10 0.1 10 8.4462 0.3 10 0.1 10 10.382 0.4 10 0.1 10 12.042 0.5 10 0.1 10 13.54 0.6 10 0.1 10 14.932 0.7 10 0.1 10 16.254 1.4 10 0.1 10 24.685 1.5 10 0.1 10 25.921 1.6 10 0.1 10 27.177 1.7 10 0.1 10 28.457 1.8 10 0.1 10 29.765 5.3 10 0.1 10 130.25 5.4 10 0.1 10 136.52 5.5 10 0.1 10 143.54 5.6 10 0.1 10 150.66 5.7 10 0.1 10 158.39 5.8 10 0.1 10 166.68 0.8 10 0.1 10 17.528 1.1 10 0.1 10 21.05 1.2 10 0.1 10 22.255 1.3 10 0.1 10 23.465 0.9 10 0.1 10 18.771 1 10 0.1 10 19.844

5.2 10 0.1 10 124.26 5.1 10 0.1 10 118.6 5 10 0.1 10 113.27

4.9 10 0.1 10 108.24 1 12.3 0.1 10 15.952 1 12.4 0.1 10 15.814 1 12.5 0.1 10 15.678 1 11.1 0.1 10 17.828 1 15.6 0.1 10 12.395 1 15.5 0.1 10 12.479 1 15.4 0.1 10 12.564 1 11.7 0.1 10 16.836

152



1 11.3 0.1 10 17.484 1 11.6 0.1 10 16.994 1 11.4 0.1 10 17.317 1 11.5 0.1 10 17.154 1 11.2 0.1 10 17.654 1 11.8 0.1 10 16.682 1 11.9 0.1 10 16.531 1 12 0.1 10 16.382 1 12.8 0.1 10 15.284 1 12.9 0.1 10 15.158 1 13 0.1 10 15.033 1 12.1 0.1 10 16.236 1 12.2 0.1 10 16.093 1 12.6 0.1 10 15.544 1 12.7 0.1 10 15.413 1 13.1 0.1 10 14.91 1 13.2 0.1 10 14.79 1 13.3 0.1 10 14.671 1 15.3 0.1 10 12.651 1 11 0.1 10 18.005 1 10.9 0.1 10 18.185 1 15.8 0.1 10 12.231 1 10.8 0.1 10 18.369 1 15.7 0.1 10 12.312 1 10.7 0.1 10 18.558 1 10.6 0.1 10 18.75 1 15.9 0.1 10 12.15 1 16 0.1 10 12.071 1 16.1 0.1 10 11.992 1 14.1 0.1 10 13.789 1 14.2 0.1 10 13.686 1 15.2 0.1 10 12.738 1 16.2 0.1 10 11.915 1 16.3 0.1 10 11.838 1 14.3 0.1 10 13.585 1 14.4 0.1 10 13.485 1 14.5 0.1 10 13.387 1 14.6 0.1 10 13.29 1 14.7 0.1 10 13.195

153



1 14.8 0.1 10 13.101 1 14.9 0.1 10 13.008 1 15 0.1 10 12.917 1 15.1 0.1 10 12.827 1 14 0.1 10 13.893 1 13.5 0.1 10 14.44 1 10.3 0.1 10 19.352 1 13.4 0.1 10 14.555 1 10.5 0.1 10 18.946 1 13.6 0.1 10 14.327 1 13.7 0.1 10 14.216 1 13.9 0.1 10 13.999 1 13.8 0.1 10 14.107 1 10.4 0.1 10 19.47 1 10.2 0.1 10 19.562 1 20 0.1 10 9.5742 1 19.9 0.1 10 9.6238 1 19.8 0.1 10 9.6739 1 19.7 0.1 10 9.7246 1 19.6 0.1 10 9.7758 1 18.3 0.1 10 10.495 1 10.1 0.1 10 19.776 1 10 0.1 10 19.844 1 18.4 0.1 10 10.436 1 19.3 0.1 10 9.9327 1 18.5 0.1 10 10.377 1 19.4 0.1 10 9.8798 1 18.6 0.1 10 10.32 1 19.5 0.1 10 9.8275 1 18.7 0.1 10 10.262 1 18.8 0.1 10 10.206 1 18.9 0.1 10 10.15 1 19 0.1 10 10.095 1 19.2 0.1 10 9.9862 1 19.1 0.1 10 10.04 1 18.2 0.1 10 10.555 1 16.6 0.1 10 11.615 1 16.7 0.1 10 11.542 1 16.8 0.1 10 11.471

154



1 16.9 0.1 10 11.4 1 18 0.1 10 10.676 1 18.1 0.1 10 10.615 1 17 0.1 10 11.33 1 17.1 0.1 10 11.261 1 17.6 0.1 10 10.929 1 17.2 0.1 10 11.193 1 17.5 0.1 10 10.993 1 17.4 0.1 10 11.059 1 17.3 0.1 10 11.126 1 17.7 0.1 10 10.864 1 17.8 0.1 10 10.801 1 17.9 0.1 10 10.738 1 16.5 0.1 10 11.688 1 16.4 0.1 10 11.763 1 10 4.1 10 0.48769 1 10 4 10 0.49989 1 10 3.9 10 0.5127 1 10 1.9 10 1.0524 1 10 2 10 0.99977 1 10 2.1 10 0.95217 1 10 3.6 10 0.55543 1 10 3.7 10 0.54042 1 10 3.8 10 0.5262 1 10 2.2 10 0.90889 1 10 2.3 10 0.86937 1 10 2.7 10 0.74057 1 10 2.6 10 0.76906 1 10 2.5 10 0.79982 1 10 2.4 10 0.83314 1 10 0.5 10 3.9991 1 10 0.4 10 4.9989 1 10 0.3 10 6.6652 1 10 0.2 10 9.9977 1 10 0.1 10 19.844 1 10 0.6 10 3.3326 1 10 9.5 10 0.21048 1 10 9.6 10 0.20829 1 10 9.7 10 0.20614

155



1 10 9.4 10 0.21272 1 10 9.3 10 0.21501 1 10 9.2 10 0.21734 1 10 9.1 10 0.21973 1 10 0.8 10 2.4994 1 10 0.7 10 2.8565 1 10 9 10 0.22217 1 10 3.1 10 0.64502 1 10 8.3 10 0.24091 1 10 8.4 10 0.23804 1 10 8.5 10 0.23524 1 10 3.2 10 0.62486 1 10 7.8 10 0.25635 1 10 7.9 10 0.25311 1 10 8 10 0.24994 1 10 8.6 10 0.23251 1 10 8.7 10 0.22983 1 10 3.3 10 0.60592 1 10 3.4 10 0.5881 1 10 3.5 10 0.5713 1 10 8.1 10 0.24686 1 10 7.7 10 0.25968 1 10 4.2 10 0.47608 1 10 8.2 10 0.24385 1 10 8.8 10 0.22722 1 10 8.9 10 0.22467 1 10 3 10 0.66652 1 10 2.9 10 0.6895 1 10 2.8 10 0.71412 1 10 1.8 10 1.1109 1 10 10 10 0.19995 1 10 9.9 10 0.20197 1 10 9.8 10 0.20404 1 10 7.6 10 0.2631 1 10 7.5 10 0.26661 1 10 7.4 10 0.27021 1 10 6.7 10 0.29844 1 10 6.8 10 0.29405 1 10 6.9 10 0.28979

156



1 10 7 10 0.28565 1 10 7.1 10 0.28163 1 10 7.2 10 0.27771 1 10 7.3 10 0.27391 1 10 6.6 10 0.30296 1 10 1.2 10 1.6663 1 10 1.3 10 1.5381 1 10 6.5 10 0.30762 1 10 1.4 10 1.4282 1 10 1.5 10 1.333 1 10 6.4 10 0.31243 1 10 6.3 10 0.31739 1 10 6.2 10 0.32251 1 10 6.1 10 0.32779 1 10 1.7 10 1.1762 1 10 1.6 10 1.2497 1 10 6 10 0.33326 1 10 5.9 10 0.33891 1 10 5.6 10 0.35706 1 10 5.5 10 0.36355 1 10 5.4 10 0.37029 1 10 5.3 10 0.37727 1 10 4.7 10 0.42544 1 10 4.6 10 0.43468 1 10 1.1 10 1.8178 1 10 0.9 10 2.2217 1 10 1 10 1.9933 1 10 4.8 10 0.41657 1 10 4.9 10 0.40807 1 10 5 10 0.39991 1 10 5.2 10 0.38453 1 10 5.7 10 0.3508 1 10 5.8 10 0.34475 1 10 5.1 10 0.39207 1 10 4.5 10 0.44434 1 10 4.4 10 0.45444 1 10 4.3 10 0.46501 1 10 0.1 12.9 25.794 1 10 0.1 13 25.994

157



1 10 0.1 13.1 26.194 1 10 0.1 13.6 27.194 1 10 0.1 13.5 26.994 1 10 0.1 13.4 26.794 1 10 0.1 13.3 26.594 1 10 0.1 13.2 26.394 1 10 0.1 13.7 27.394 1 10 0.1 14.2 28.394 1 10 0.1 14.1 28.194 1 10 0.1 14 27.994 1 10 0.1 20 39.991 1 10 0.1 19.9 39.791 1 10 0.1 19.8 39.591 1 10 0.1 14.3 28.594 1 10 0.1 13.9 27.794 1 10 0.1 13.8 27.594 1 10 0.1 19.7 39.391 1 10 0.1 19.6 39.191 1 10 0.1 14.5 28.993 1 10 0.1 19.1 38.191 1 10 0.1 19 37.991 1 10 0.1 18.9 37.791 1 10 0.1 19.2 38.391 1 10 0.1 19.3 38.591 1 10 0.1 12.8 25.594 1 10 0.1 14.4 28.793 1 10 0.1 19.4 38.791 1 10 0.1 19.5 38.991 1 10 0.1 12.7 25.394 1 10 0.1 10.5 20.995 1 10 0.1 10.6 21.195 1 10 0.1 10.7 21.395 1 10 0.1 12.3 24.594 1 10 0.1 11.7 23.395 1 10 0.1 11.6 23.195 1 10 0.1 10.8 21.595 1 10 0.1 12.4 24.794 1 10 0.1 12.5 24.994 1 10 0.1 12.6 25.194

158



1 10 0.1 11.8 23.595 1 10 0.1 11.9 23.795 1 10 0.1 12 23.995 1 10 0.1 12.1 24.195 1 10 0.1 12.2 24.394 1 10 0.1 10.9 21.795 1 10 0.1 11 21.995 1 10 0.1 11.1 22.195 1 10 0.1 11.2 22.395 1 10 0.1 16.2 32.393 1 10 0.1 16.1 32.193 1 10 0.1 11.3 22.595 1 10 0.1 11.5 22.995 1 10 0.1 11.4 22.795 1 10 0.1 10.4 20.795 1 10 0.1 10.3 20.595 1 10 0.1 10.2 20.395 1 10 0.1 10.1 20.195 1 10 0.1 10 19.844 1 10 0.1 17.8 35.592 1 10 0.1 17.9 35.992 1 10 0.1 18 35.992 1 10 0.1 18.2 36.392 1 10 0.1 18.8 37.591 1 10 0.1 18.7 37.392 1 10 0.1 18.6 37.192 1 10 0.1 18.5 36.992 1 10 0.1 15.8 31.593 1 10 0.1 15.9 31.793 1 10 0.1 16 31.993 1 10 0.1 16.6 32.192 1 10 0.1 18.3 36.592 1 10 0.1 18.4 36.792 1 10 0.1 15.7 31.393 1 10 0.1 17.3 34.592 1 10 0.1 16.7 33.392 1 10 0.1 15.6 31.193 1 10 0.1 15.5 30.993 1 10 0.1 15.4 30.793

159



1 10 0.1 15.3 30.593 1 10 0.1 16.5 32.993 1 10 0.1 16.4 32.793 1 10 0.1 16.3 32.593 1 10 0.1 17.2 34.392 1 10 0.1 17.1 34.192 1 10 0.1 16.8 33.592 1 10 0.1 17 33.992 1 10 0.1 16.9 33.792 1 10 0.1 15.2 30.393 1 10 0.1 15.1 30.193 1 10 0.1 17.4 34.792 1 10 0.1 17.5 34.992 1 10 0.1 17.6 35.192 1 10 0.1 15 29.993 1 10 0.1 14.9 29.793 1 10 0.1 18.1 35.192 1 10 0.1 17.7 35.392 1 10 0.1 14.8 29.593 1 10 0.1 14.7 29.393 1 10 0.1 14.6 29.193

Anexo 4

Función objetivo.

Se muestra a continuación, el código de la función objetivo que se diseñó, a fin de

implementar un Algoritmo Genético para la obtención de los parámetros de inicio de

propagación de una grieta.

function [evalfit,F]=funcionobjetivo(x,kd) %% [ a w t p ] % variables ke=10.8928; es=0.0979; kd=[(ke+es) (ke-es)]; %kd=[16.7258 ];% Mejor valor de K para comparar, condiciones inicales % a=x(:,1); w=x(:,2); t=x(:,3);

160


p=x(:,4); %alfa=1.12-0.23*(a/w)^2+10.55*(a/w)^3+30.38*(a/w)^4; %factor geometrico para la grieta %s=p./(w.*t); k1=(1.12-0.23*(a./w)+10.55*(a./w).^2-21.71*(a./w).^3+30.38*(a./w).^4).*(p./(w.*t)).*sqrt(pi*a); % factor de intensidad de esfuerzos F=((kd(1)-k1)+(kd(2)-k1))/2 ; evalfit=1./F;

Anexo 5.

Iteraciones para el cálculo inverso de los parámetros que definen a KIC, mediante


En las siguientes tablas, se muestran los valores de las iteraciones que general el cálculo por

medio de Algoritmos Genéticos para lo obtención de los parámetros a, w, t y P, donde se

observa la disminución del error conforme aumenta el número de ciclos de cálculo. Estos

datos son los relativos al cálculo de dichas condiciones para el valor de KIC, o de Tenacidad

de Fractura.

Iteración Error a (Tamaño de grieta)

w (Ancho)

t (Espesor)

P (Esfuerzo) Tiempo

2 0.25871844 3.46911757 10.3608765 0.60380934 10.0033505 0.128781 3 0.25871844 3.46911757 10.3608765 0.60380934 10.0033505 0.135163 4 0.02775601 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.150743 5 0.027756 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.169243 6 0.027756 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.180098 7 0.027756 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.183563 8 0.027756 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.187838 9 0.027756 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.190523

10 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.193236 11 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.196952 12 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.199618 13 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.207105 14 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.210414 15 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.213023

161



w (Ancho)

t (Espesor)

P (Esfuerzo) Tiempo

16 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.216239 17 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.218654 18 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.221325 19 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.226454 20 0.02775281 3.28237681 10.9126593 0.53185055 10.5344686 0.229525 21 0.02769344 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.232395 22 0.02769344 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.23653 23 0.02769344 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.240084 24 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.242644 25 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.245113 26 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.248979 27 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.262246 28 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.266437 29 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.269585 30 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.272276 31 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.275188 32 0.02769342 3.28237585 10.9126593 0.53184712 10.5344686 0.279417 33 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.282103 34 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.28459 35 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.28818 36 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.290983 37 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.293857 38 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.296607 39 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.300591 40 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.303365 41 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.306155 42 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.30955 43 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.312955 44 0.02374944 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.315557 45 0.0237494 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.321263 46 0.0237494 3.28237585 10.9126593 0.53163083 10.5344686 0.34075 47 0.0133777 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.343541 48 0.0133777 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.352456 49 0.0133777 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.355399 50 0.01337769 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.357969 51 0.01337769 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.361434 52 0.01337766 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.363982 53 0.01337766 3.28237585 10.9126593 0.53185055 10.5500936 0.366695 54 0.00936497 3.28237591 10.9126593 0.53163083 10.5500936 0.369408

162



w (Ancho)

t (Espesor)

P (Esfuerzo) Tiempo

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163



w (Ancho)

t (Espesor)

P (Esfuerzo) Tiempo

94 2.1625E-05 3.28631262 10.9126746 0.53185055 10.5502156 0.530386 95 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.533372 96 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.543667 97 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.551575 98 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.554326 99 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.557051

100 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.560518 101 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.564641 102 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.568003 103 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.571159 104 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.574665 105 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.577514 106 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.580478 107 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.583173 108 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.58616 109 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.589374 110 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.59205 111 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.595021 112 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.606972 113 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.610293 114 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.612982 115 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.615667 116 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.618945 117 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.621567 118 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.624252 119 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.627099 120 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.631705 121 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.635517 122 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.639325 123 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.642782 124 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.656403 125 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.659298 126 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.662539 127 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.66598 128 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.668901 129 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.671875 130 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.67456 131 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.677065 132 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.680209

164



w (Ancho)

t (Espesor)

P (Esfuerzo) Tiempo

133 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.68377 134 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.68694 135 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.689818 136 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.692569 137 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.697562 138 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.700673 139 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.704309 140 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.706957 141 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.711318 142 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.714613 143 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.719116 144 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.721823 145 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.724492 146 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.727297 147 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.73293 148 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.736783 149 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.74011 150 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.743559 151 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.747039 152 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.752371 153 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.762935 154 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.766591 155 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.769323 156 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.772321 157 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.780972 158 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.783762 159 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.787181 160 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.802021 161 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.81265 162 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.815735 163 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.818432 164 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.831742 165 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.853111 166 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.857514 167 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.862657 168 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.866004 169 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.868483 170 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.871906 171 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.885215

165



w (Ancho)

t (Espesor)

P (Esfuerzo) Tiempo

172 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.891798 173 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.894505 174 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.897079 175 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.899502 176 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.903005 177 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.920292 178 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.927514 179 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.930086 180 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.93359 181 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.946984 182 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.949967 183 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.952905 184 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.967839 185 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.970387 186 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.975707 187 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.978962 188 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.981974 189 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.98563 190 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 0.988875 191 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.00041 192 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.003028 193 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.005978 194 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.010931 195 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.013518 196 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.016282 197 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.019167 198 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.023056 199 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.026036 200 9.4205E-07 3.28631214 10.9126593 0.53185055 10.5502156 1.028826

EESCUELAA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y …...CARTA CESI ÓN DE DERECHOS En la Ciudad de...

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