Educaci6n Matemática

Vol. 9 • No. 1 • Abril 1997

s.A.,leCV. ~ Grupo Editorial Iberoamérica ~

ISSN 0187-8298

Educación Matemática

Vol. 9 • No. 1 • Abril 1997

Contenido

Editorial 4 Arúculos • Aplicación del asistente matemático DERIVE a la Ricardo García Ródenas, Ma. Luz López 5

enseñanza-aprendizaje del teorema central del límite y Doroteo Verdstegui Rayo

• Infinito en lo pequeño y desarrollo cognitivo: Rafael Núñez Errázuriz 20 Paradojas y espacios consensuales

• Clasificación funcional y semántica de problemas aditivos Alicia Bruno y Antonio Martinón 33

• El encuentro del matemático principiante Elena Nardi 47 con la abstracción matemática: Una imagen conceptual de los conjuntos generadores en el análisis vectorial

• Los indivisibles de Cavalieri: Una perspectiva plausible Gonzalo Zubieta 61 para el aprendizaje del cálculo de volúmenes

• ¿Dónde voy a hacer la compra? Gelsa Knijnik 70 Educación matemática y otras preguntas

Boletín • Texas Instruments-México TI-Cares 76 Notas de Clase • Actividades para construir el concepto de elipse Araceli Reyes 80 Historia de la • El conocimiento de la naturaleza y la lógica David Hilbert 85 Educación Matemática Sección de Problemas • Antiguos y curiosos problemas matemáticos (Primera parte) Concepción Romo Santos 93

• Solución a los problemas del número anterior 99 Reseñas Reseñas de libros

• Corbalán, F./juegos matemdticos para secundaria Santiago Valiente 104 y bachillerato

• Paulus, J./ El hombre anumérico Santiago Valiente 106 (el analfabetismo matemdtico y sus consecuencias) Reseña de eventos 110

Trabajos de • Procesos de construcción del conocimiento matemático Héctor Alberto García Romero 112 Investigación en el primer año de la preparatoria. Algunas alternativas

para su desarrollo Notas y noticias Eventos por celebrarse 113

Publicaciones 117

Editorial Artículos

Boletín Notas de Clase Historia de la Educación Matemática Sección de Problemas

Reseñas

Trabajos de investigación

Notas y noticias

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Contenido

Aplicación del asistente matemático DERIVE a la enseñanza-aprendizaje del teorema central del límite Infinito en lo pequeño y desarrollo cognitivo: paradojas y espacios consensuales Clasificación funcional y semántica de problemas aditivos El encuentro del matemático principiante con la abstracción matemática: Una imagen conceptual de los conjuntos generadores en el análisis vectorial

Los indivisibles de Cavalieri: Una perspectiva plausible para el aprendizaje del cálculo de volúmenes ¿Dónde voy a hacer la compra? Educación matemática y otras preguntas Texas Instruments-México TI-Cares Actividades para construir el concepto de elipse El conocimiento de la naturaleza y la lógica

Antiguos y curiosos problemas matemáticos (Primera parte) Solución a los problemas del número anterior Reseñas de libros Corbalán, F: J11egos matemáticos para sec1111daria y bachillerato Paulus, J.: El hombre anumérico (el analfabetismo matemático y sus consecuencias)

4 Ricardo García Ródenas, Mª Lu:. L1ípe:. 5 y Doroteo Verústegui Rayo Rafael Nú,ie:. Errá:.urfr. 20

Alicia Bruno y Antonio Marti11IÍ11 33 Elena Nardi 41

Gonzalo Z11bieta 61

Ge/sa Knijnik 70

76 Arace/i Reyes 80 De1rid Hilbert 85

Concepción Romo Santos 93 99

Samiago Valiente 104

• El hombre a1111mérit·o ( el analfabetismo matemcítico y sus consecuencias)

Samiago Valiente 106

110 112

Reseña de eventos • Procesos de construcción del conocimiento matemático

en el primer año de la preparatoria. Algunas alternativas para su desarrollo Eventos por celebrarse Publicaciones

Héctor Alberto García Romem

EDUCACIÓN MATEMÁTICA ~fe ')b-..t) JZ ~ e, Se publica en los meses de abril, agosto y diciembre · ~-4,.""' Ji,1": · ~-; Vol. 9 No. 1 • Abril, 1997 • Tiraje 2000 ejemplares 'I' Q',;¡ "'~&....

. . _SUSCRI_P~IÓN • Co --,,"'-/;{¡.º anual, mclmdos gastos de envio. En Me:uco: S 75.00. Otros pa1ses: USS 30.00 '.IJ'~. l{"cy

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© 1989, © 1997 por Grupo Editorial lberoamérica, S. A. de C. V. Cualquier articulo o parte de él potlrá ser reproducido co11 el previo permiso de

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113 117

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Jorge Martínez S., Universidad CUDEC Querétaro. México Rodolfo Méndez Balderas, Benemérita Escuela Nacio11a/ de Maestros México. D.F. Leonel Morales Aldana, Universidad de San Carlos de Guate111a/a Guatemala, Guatemala Luis Enrique Moreno Armella, Depto. de Matemática Educ(t1irn CINVESTAV México, D.F. Julio Mosquera, CENAMEC Caracas, Venezuela Ma. del Rocío Nava Álvarez, Escuela Normal Superior del Estado de México Toluca, México Sofía Josefina Ontiveros Quiroz, Ce11tro de lnvestigaci<Ín en Ciencias Físico-Matenuíticas Fac. de Medicina. Universidad Autónonw de Querétaro Querétaro, México Fidel Oteiza, Depto. de Matemática y Ciencias de la Computación U11frersid(ld de Santi(lgo de Chile S<1T1tiago de Chile, Chile

Fran~ois Pluvinage, Rectorar de Stmsburg-Service FORM Strasburg, Francia Luis Radford, Unfrersité ú111re11tie1111e École de sc:iences de /' éd11catio11 School of Educatio11 S1ulb111J\ Ca11adtí Luisa Ruiz Higueras, Departame11to de Didcíctica de las Ciencias Facultad de Ciencias de la Educaci<Ín U11iversidad de Jae11 Jae11, Espwia Patrick Scott, University of New Mexico Albuq11erq11e, EUA Isabel Soto, Ce11tro de !11vestigaciá11 y Desarmllo de la Educacián Sallfiago de Chile. Chile Guadalupe T. de Castillo, Universidad de Ptlll((IIUÍ

Pmwmcí, Re111íblica de PClll((IIUÍ

Marco Antonio Valencia Arvizu, Universidad A11tó11oma de Sonorn Hermosi/lo, México Eduardo Zárate Salas, Universidad Pedagógica Nacional México, D.F.

Grupos Colaboradores Comité Interamericano de Educación Matemática (CIAEM) Comité Nacional de Educación Matemática de Chile

Asocüición Nacional de Profesores de Matemáticas de México Colegio de Profesores de Educación Secunda1ia "Moisés Sáenz"

Editorial

Con el presente número iniciamos el noveno año de Educación Matemática, con la satisfacción de contar cada día con más lectores y colaboradores, no sólo de las regiones de habla hispana del mundo, sino también de otros países que no entraban en nuestros proyectos iniciales. En este número, por ejemplo, presentamos trabajos provenientes de colegas de España, Estados Unidos, Reino Unido, Brasil y México. Con ello pretendemos contri­buir al conocimiento crítico de los trabajos de investigación, poniendo al alcance del lector hispanohablante artícu­los originales desarrollados en contextos culturales diversos.

El artículo de García, López y Verástegui Aplicación del asistente matemático DERIVE a la enseñanza­aprendizaje del Teorema Central del Límite presenta un conjunto de instrucciones que pennite a los alumnos conjeturar el Teorema Central del Límite mediante la exploración del comportamiento de la suma de variables aleatorias, haciendo uso del asistente matemático DERIVE.

Núñez Errázuriz, en su artículo Infinito en lo pequeño y desarrollo cognitivo: paradojas y espacios consen­suales, reporta los resultados de un estudio sobre los procesos cognitivos que entran en juego cuando se plantea la subdivisión iterativa a estudiantes entre 8 y 14 años.

Bruno y Martinón presentan una clasificación de problemas aditivos simples fundamentada en la distinción entre su estructura funcional y su forma semántica, mientras que el artículo de Elena Nardi reporta un estudio de las dificultades conceptuales y de razonamiento del matemático principiante en su encuentro con la abstracción matemática.

Zubieta, por su parte, nos presenta una alternativa didáctica, basada en un estudio histórico, para la ense­ñanza del cálculo de volúmenes en el nivel de bachillerato. Y, finalmente, el artículo ¿ Dónde voy a hacer la compra? Educación matemática y otras preguntas de Gelsa Knijnik, nos propone una reflexión sobre el significado de la contextualización del conocimiento matemático, que nos hace pensar en sus riesgos.

Aplicación del asistente matemático DERIVE a la enseñanza-aprendizaje

del teorema central del límite

ARTÍCULOS

~--Resumen------------------------------,

Los sistemas de cálculo simbólico, como el asistente matemático DERIVE, eliminan el trabajo monótono de realizar largos cálculos matemáticos. Estos programas permiten realizar cálculos numéricos y simbólicos. Éstos pueden ser visualizados con amplias capacidades gráficas. Aprove­chando estas características, se presentan un conjunto de instrucciones que permite a los alumnos con­jeturar el Teorema Central del Límite mediante la exploración del comportamiento de la suma de variables aleatorias. Una de las aplicaciones más interesantes del Teorema Central del Límite es el método de simu­lación de Monte Carlo, se utiliza éste para simular el paso de neutrones a través de una placa. con lo que se despierta el interés del alumno por el método, al mostrar su capacidad para resolver pro­blemas reales.

Abstract: The symbolic calculation systems, as the mathematical assistant DERIVE, eliminates the routine drudgery of perfonning long mathematical calculations. These programs can do both symbolic and numeric computations.

These can be visualized with extensive graphics capabilities. Taking advantege of these charac­teristics, a package of functions is presented in order to allow students surmising the Central Limit Theorem (CLT) through the behavioral exploration of the sum of random variables.

One of the most interesting applications of the CLT is the Monte-Cario simulation. This method is used to simulate the crossing neutron through a seet. We intend to arouse the students' interest using this method, showing its capacity for solving real problems.

Ricardo García Ródenas, Ma Luz López García y Doroteo Verástegui Rayo

Universidad de Castilla - La Mancha España

------------------------------------5•

• Pág. 6 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEi •

l. Introducción

Entre los diversos programas capaces de incorporar capacidades de cálculo simbólico y representaciones gráficas (MATHEMATICA, MAPLE, REDUCE, etc.) considera­mos que el más adecuado para el objetivo docente es el DERIVE, debido fundamen­talmente a su facilidad de uso y sus escasos requerimientos de hardware.

Los sistemas de cálculo simbólico permiten realizar, de forma automática, multitud de rutinas manipulativas y de representación gráfica. Se han aprovechado estas prestaciones para elaborar un conjunto de instrucciones, para el asistente matemático DERIVE, que permite la exploración del comportamiento de la suma de variables aleatorias.

Estas instrucciones permitirán al alumno experimentar cómodamente con situaciones variadas, explorando regularidades y pautas de comportamiento que le permitirán anali­zar y conjeturar el Teorema Central del Límite.

Otro objetivo que se consigue con el uso de este tipo de programas es el acercamiento de las matemáticas al mundo de las aplicaciones reales, obteniendo una enseñanza más globalizadora y motivante.

Para este trabajo se ha considerado que una de las aplicaciones más interesantes del Teorema Central del Límite es el método de simulación de Monte Carlo. Un factor importante, que determina el interés del alumno por un método, es la capacidad que tenga éste para resolver problemas reales. Por tanto-es aconsejable buscar ejemplos donde se modelicen situaciones concretas. En este sentido, hemos implementado con DERIVE 3.0 un modelo matemático de simulación del paso de neutrones a través de una placa.

2. Suma de variables aleatorias continuas

Villiers (1993) considera que las funciones didácticas de las demostraciones son:

a) verificación/convicción b) medio de explicación e) medio de sistematización d) como medio de descubrimiento e) como medio de comunicación

Aunque el Teorema Central del Límite (TCL) no se demuestra en la mayoría de los currículums, a excepción del de Licenciado en Matemáticas, está presente en cual­quier curso básico de estadística en Ingeniería, Ciencias Sociales, etc.

Persiguiendo el objetivo de ilustrar como se puede emplear un asistente mate­mático como recurso didáctico en el aula, que permite paliar ciertas deficiencias de la no inclusión de su demostración, en concreto la a) y b ), se analizará el comportamiento de la suma de variables aleatorias desde un enfoque empírico inductivo.

Para ello, se van a calcular las funciones de densidad de probabilidad de la suma de diversos tipos de variables aleatorias (continuas y discretas), independientes e idénti­camente distribuidas. Esta tarea, que puede considerarse en extremo tediosa, se con­vierte en rutinaria empleando un asistente matemático como es DERIVE.

EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l a Abril 1997 • © GEI • Pág. 7 •

Entre las prestaciones de este programa se encuentra la representación gráfica de funciones que permitirá dibujar la f.d.p. de la suma de variables aleatorias para comprobar los signos de «normalidad» que presenta.

La conjetura de un teorema se consigue comprobando numerosos casos concre­tos de su veracidad. En los ejemplos que presentamos a continuación se desarro­llan aplicaciones concretas del Teorema Central del Límite cuyo enunciado es el siguiente:

Teorema. Sea X1, ... ,Xn ... una sucesión de variables aleatorias independientes con E (X;) = µ; y Var (X;) = a;2, i = 1,2, ... Sea X = X1 + . . . + Xn; enton­ces, en ciertas condiciones generales

z = n

n

x-rµ. i=I

1

~ 11:1 V Í

tiene aproximadamente una distribución N(O,l).

2.1 Suma de variables aleatorias uniformes en el intervalo (0, 1)

El primer ejemplo que se va a analizar es la suma de variables aleatorias distribuidas uniformemente en el intervalo (O, 1). Para ello se utiliza el siguiente teorema.

Teorema. Supóngase que X y Y son v. a. continuas e independientes con f.d.p. g y h respectivamente. Sea Z = X + Y y denotamos por s laf.d.p. de Z. Entonces,

s(z) = I_00

g(w) h(z - w)dw -oo

En ausencia de computadores, el alumno debería buscar una fórmula terminal para la f.d.p. de la suma. Sin embargo, el empleo de éstos amplía el conjunto de soluciones del problema, incorporando ciertos algoritmos como soluciones aceptables.

El teorema anterior se puede aplicar repetidamente a la suma de v.a. uniformes en el intervalo (O, l), obteniendo una definición inductiva de la f.d.p. Sin embargo, la dificultad creciente hace que sea costosísimo abordar el problema manualmente.

Para apoyarse en la computadora, el alumno debería obtener una relación que lé permita calcul~r la f.d.p. de probabilidad de la suma de n+ 1 v. a. uniformes en el intervalo (O; 1), ql!e denotamos Sn+l• a partir de la f.d.p. de la suma de n variables aleatorias independientes y uniformemente distribuidas en el intervalo (0,1), que denotamos Sn. Dicha relación es la siguiente, que fácilmente se implementa con, DERIVE.

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Sn-1 (z) = i~I S11U) dt

S1 (z) = {1 si z E [O, 1] O en otro caso

Instrucciones DERIVE

S¡{z): = CHI(O, z, 1)

S(u): = INT(u, z, z-1, z)

ITERATE(S(U), U, S1(z), n)

La primera instrucción, S1(z), define la función de densidad de probabilidad de una uniforme en (O, 1). La función DERIVE S(u) actúa sobre el argumento u, que

es una funció~, y nos devuelve la función i z u(t)dt. Este operador nos permite obte-ner S11+1 a partir de S11 • z-1

El comando ITERATE nos permite iterar n veces la función S(u). Como primer valor para el argumento u se toma la función S1(z). Simplificando1 esta función DERIVE obtenemos la f.d.p. de la suma de n+ 1 v.a. uniformemente distribuidas en (O, 1).

Si el comando ITERATE lo sustitu,imos por ITERATES, al simplificar la expresión obtendríamos la función de densidad de probabilidad de la suma de 1, 2, ... , n+ 1 v. a. uniformes en (0, 1). Otra posibilidad del programa es su capacidad para representar simultáneamente todas las funciones de densidad de probabilidad (ver Fig. 1). Estas representaciones conducen, de forma natural, a conjeturar que la distribución normal aproxima a la verdadera f.d.p. Solamente tras analizar gran variedad de ejemplos se puede observar que esta propiedad es independiente de la distribución de las v.a. que sumamos.

)' 2.5

2

1.5

X

Figura 1

' Ejecutando el comando Simplify (pulsando una s) después de haber seleccionado con los cursores la expresión

EDUCACIÓN MATEMÁTICÁ • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GE! • Pág. 9 •

2.2 Suma de variables aleatorias CHI cuadrado

La propiedad reproductiva de muchas distribuciones simplifican el cálculo de la f.d.p. de la suma de este tipo de variable. Un caso conocido es la suma de x2.

Teorema. Sean X;-X2n¡ i = J, ... ,k. donde X¡ son v.a. independientes. Sea Z = X1 + ... + Xw Entonces Z, tiene una distribución x;,,, donde

m = n 1 + .. . + nk·

Este teorema conduce a que la f.d.p. de Z, S,i(z), tenga la siguiente expresión:

¡ l 7 111'/2-Ie-z/2 siz > O Sn(Z) = 211112 r(m / 2)"'

O en otro caso

Corno existe la capacidad de representar simultáneamente la f.d.p. de una normal con igual media y varianza que la v.a. de la suma de chi cuadrado, se puede comprobar la bondad de la aproximación.

·:., ... Instrucciones DERIVE

"Definición de la fdp de una v.a. CHI CUADRADO

" con m grados de libertad.

FDP _CHI (m, z): = IF (z > O, 1/(2 " (m/2) · r(m/2)) * z " (m/2 - 1) * EXP (-z/2) ,O)

"Definición de la fdp de la suma de n v.a. CHI CUADRADO

"con m grados de libertad.

SUMA_CHI (n, m): = FDP _CHI (n * m, z)

"Definición de la fdp de una v.a N(µ, a)

FDP _NORMAL(µ. a): = 1/(SQRT(2 * ,r) *a)* EXP (-1/2 * ((x-µ)/a) "2

"EJEMPLO

"Sµma de 20 v.a. CHI CUADRADO con 1 grado de libertad .

SUMA_CHI (1,20) ..

"Esa v.a. tiene media 1 y desviación típica 2 -J 2 * 20

FDP _NORMAL (20, ./40)

Los resultados de simplificar y dibujar las dos funciones del ejemplo anterior se muestran en laFig. 2

• Pág. 10 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEI •

y

0.1

0.08

X

-10 10 20 30 40 50 60

Figura 2

2.3 Suma de variables aleatorias exponenciales

Las variables aleatorias exponenciales son otro ejemplo fácil de analizar. La f.d.p. de una variable exponencial de parámetros a viene definida por

{a -ax six > O

f(x) = O e en otro caso

El siguiente teorema nos permite calcular fácilmente la suma de variables aleato­rias con el mismo parámetro.

Teorema. Sea Z = X1 + ... + Xn, donde las X; son variables aleatorias independien­tes e idénticamente distribuidas, cada una de las cuales tienen una distribu­ció,i exponencial con el mismo parámetro a. Se cumple que Z tiene una distribución gamma de parámetros a y n; es decir su f d.p. viene dada por

/

{

_J!_(az)R-1e-az Sn(z) = r(n) .

O en otro caso

si z > O

Instrucciones DERIVE

"Definición de la fdp de la suma de n v.a. exponenciales

"de parámetro a.

SUMA_EXPONEN(n, a):= IF (x >=O, aff(n) * (a* x)" (n-1) * EXP(-a* x), O)

"La siguiente instrucción genera un vector que contiene

"en cada componente la fdp de la suma de 1, 2, 3, 4 v.a.

" exponenciales de parámetro 1.

VECTOR(SUMA_EXPONEN(n, 1), n, 1, 4)

EDUCACIÓN MATEMÁTICA. • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 11 •

Simplificamos la anterior expresión y dibujando las funciones, obtenemos la Fig. 3. Se observa como al ir aumentando el número de variables el resultado se aproxima a un comportamiento "normal".

El análisis visual también permite conjeturar sobre el número mínimo de variables que necesitamos sumar para obtener un comportamiento normal. Esto permite justificar la cifra n > 30 que toman la mayor parte de los libros de estadística. [Ross ( 1987), Meyer (1992)].

y

0.8

.6

X

Figura 3 2 4 6 8 10 12

3. Suma de variables aleatorias discretas

Es posible analizar el caso de variables aleatorias discretas, para concluir que la normal también aproxima b suma de estas variables. Esto está íntimamente relacionado con la aproximación de una distribución discrete mediante una continua.

3.1 Suma delos lanzamientos de un dado

El siguiente teorema será de utilidad para analizar la suma de los puntos obtenidos en sucesivos lanzamientos de un dado.

Teorema. Sean X y Y dos v.a. independientes, cada una de las cuales puede tonzar sólo valores enteros no negativos. Sea p(k) = P(X = k), k = 0,1, ... y q(r) = P(Y = r), r = 0,1, .... Sea Z = X + Y sea w(i) = P(Z = i). Entonces,

;

w (i) = L Pp(k) q(i-k) i = O, 1, ... k=O

• Pág. 12 a EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 a © GEI •

El anterior teorema permite al alumno obtener recursivamente la función de probabi­lidad de la suma <le 11+ 1 lanzamientos de un dado. Sea wn la función de probabilidad de la suma de las caras observadas en II lanzamientos de un dado equilibrado. El teo­rema anterior conduce a que \V11+1 se obtiene:

. 6 1 W11+I U) = I. 6.

k=I

i-1

lv11U-k) = i 2, 1;v,1(k)i = n+l, ... , 6(n+l) k=i-6

\.V¡(i) = i Í = 1, ... , 6

Instrucciones DERIVE

"Funciones auxiliares. Retorna el elemento k de un vector v

v: =

W(v, k): = IF(l < = k < = DIMENSION(v),ELEMENT(v, k),O)

"Vector que contiene las probabilidades de cada cara del dado.

"Se ha supuesto que es un dado equilibrado.

vO: = [ 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6]

SUMA_DISCRETA(vO, n): = ITERATE(VECTOR (1/6 * SUM(W(v, k), k, i-5, i), i, 1, 5 + DIMENSION(v)), v, vO, n-1)

"Función auxiliar que construye una matriz de puntos para

"poder dibujar el histograma de la fp de la suma de las caras

"de n lanzamientos de un dado. El argumento v es el vector

"obtenido al simplificar la función DERIVE SUMA_DISCRETA(VO, n).

HISTOGRAMA(v, n): = VECTOR([[n + i- 1, ELEMENT(v, i)], [n + i-1, O]], i, 1,

DIMENSION(v))

y 0.125

0.1

0.75

X

Figura4 -15 15 30 45 60 75 90 105 120

EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEI • Pág. 13 •

3.2 Suma de variables aleatorias Poisson

La propiedad reproductiva de ciertas v.a. discreta también facilitan el estudio de su suma como es el caso de las v.a. Poisson.

Teorema. Sean X¡, ... ,Xn v.a. independientes. Supóngase que X; tiene una distribución de Poisson con parámetros a;,i = J, ... ,n y sea Z = X1 + ... + XII' Entonces Z tiene una distribución de Poisson de parámetro a = a 1 + ... + an .

Instrucciones DERIVE

"Definición de la fp de una Poisson de parámetro /3. FP _POSISSON(/3, k): = EXP(-/3) * f3 A k/k!

"Al simplificar la siguiente expresión genera una matriz de puntos. Al dibujarlos obtenemos el histograma de la suma de n variables Poisson de parámetros /3 alre­dedor de su media.

HISTOGRAMA_SUMA_POISSON(/3,n): = VECTOR([[i,FP _POISSON(n * /3, i)], [i, O]], i, FLOOR(n * /3) -10, FLOOR(n * /3) + 10))

y

0.2

0.16

N= 10 0.1

X

Figura 5 -10 10 20 30 40 50 60 70

4. Método de simulación Monte Cario

La introducción del computador en las ciencias es un fenómeno reciente. El tratamien­to por computador permite abordar con nuevos planteamientos muchos problemas. Posibilita el estudio de fenómenos mucho más complejos que lo que podía considerar­se anteriormente y está cambiándo la dirección y el acento de muchos campos de la ciencia y, lo más importante, introduce una nueva manera de pensar en las ciencias: Las leyes científicas se contemplan con algoritmos. En palabras de Wolfram, S. (1984)

"Las computadoras ofrecen una nueva manera de describir e investigar los siste­mas científicos y matemáticos. La simulación mediante computadora puede consti­tuir el único sistema de predecir la evolución de im sistema complejo"

P:íg. }4 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 •© GEi •

Es:a tendencia que se produce en la investigación en ciencias se debe reproducir n la enseñanza de las mismas. Son varias las razones para incluir la simulación por :ooputadora en los curriculums matemáticos, en particular del método de Monte :arlo:

a) La computadora extiende el dominio de las ciencias experimentales: Permite experimentar en un universo hipotético.

b) Se puede aplicar a estudiar propiedades de sistemas matemáticos abstractos: La experimentación matemática llevada a cabo mediante computadora puede sugerir, muchas veces, resultados que serán demostrados mediante técnicas convencionales.

e) Los procesos matemáticos susceptibles de describirse mediante un programa no se circunscriben a las operaciones y funciones matemáticas convencionales. La computadora viabiliza la introducción de leyes científicas y matemáticas que son intrínsecamente algorítmicas en sí.

, DERNE tiene una sintaxis muy básica que permite generar números aleatorios y aplicar el método de simulación de Monte Cario. Las ventajas del manejo de este programa son que no han de conocerse lenguajes de programación ( específicos de simulación o de propósitos generales), que su inclusión no requiere un tiempo significativamente mayor y que es adecuado en todos los temas del azar.

4.1 Esquema general de aplicación del método de Monte Cario

Supongamos que tenemos que calcular una magnitud µ. Ideamos una variable aleatoria X tal que E(X) = µ. Sea además Var(X) = cr2.

Consideremos n variables aleatorias independientes X 1, •.• , X11 con la misma distri­bución de X. Si n es suficientemente grande, n > 30, el Teorema Central del Límite nos permite plantear la relación

P(lx - µ' < 3 J,¡) == 0.997

Esta es una relación de suma importancia para el método de Monte Cario que ofre­ce un procedimiento para calcular y a la vez permite estimar el error.

4.2 Cálculo de una integral definida

Como ilustración aplicaremos el método de Monte Cario a un problema de naturaleza

rr'2 no probabilística, como es el de cálculo de Jo sen(x)dx

EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEi • Pág. 15 •

Consideramos (x, y) una v.a. distribuida uniformemente en el rectángulo que tiene por base el segmento [O, n:12] y altura el segmento [O, 1]. Definimos la v.a.

{1 siy < g(x)

z -O en otro caso

E(Z) = P(y < g(x)) = ár~a por debaj~ de g(x) = 1 area del rectangulo 1C I 2

Instrucciones DERIVE

"Definicion de la función seno restringida al intervalo

"[O, n:12]

F(x): = SIN(x) * CHI(O, x, pi/2)

"Matriz de puntos. Al dibujarlos obtenemos el rectángulo

[[O, l], [pi/2, l], [pi/2, O]]

«Esta instrucción nos permite generar aleatoriamente una

"m.a. de la v.a (x, y).

PUNTOS(n): = VECTOR([pi/2 * RANDOM(l), RANDOM(l)], k, l, n)

Las posibilidades gráficas del programa permiten explicar con mayor eficacia el méto­do. Un ejemplo es laFig. 6, que representa una muestra aleatoria de la v.a. (x, y), uniforme­mente distribuida en el rectángulo. La variable aleatoria Z valdrá 1 si el punto queda por debajo de la gráfica y O en otro caso.

y

1.2

' 0.9' • • . .. • •

• ' •

' • • • • . 0.6

• • .. • • • • • • • •

0.3 - • • • -•• • 1 • • • . . .. • . . - -• • • X

0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8

0.3 Figura6

• Pág. 16 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l a Abril 1997 • © GEi •

El programa permite efectuar gran cantidad de cálculos y variar el número de simula­ciones. Generamos una muestra aleatoria de la v.a. Z. Y calculamos la media muestra! mediante la instrucción DERIVE:

SIMUL(n): = AVERAGE(VECTOR(IF(F(pi/2 * RANDOM(l)) > RANDOM(l), 1, 0), k, 1, n))

A continuación, se presentan una serie de resultados que se pueden obtener por el procedimiento presentado:

número de 100 1 000 simulaciones 1l = n =

Estimación

f" sen(x) dx 1.11 1.016

I =

x 0.71 0.647

Estimulación de error

0.136 0.045

4.3 Análisis del paso de neutrones a través de una placa [Sóbol (1983)]

1l = 10000

0.998

0.6358

0.0144

Como hemos dicho, un factor importante, que detennina el interés del alumno por un método, es la capacidad que tenga éste para resolver problemas reales. Esto aconseja buscar ejemplos donde se modelicen situaciones concretas.

Posiblemente sea en la física de partículas donde el método de Monte Cario tenga sus más frecuentes aplicaciones, pues las leyes probabilísticas de la interacción entre una partícula elemental (neutrón, fotón, mesón, etc.) y la materia son conocidas.

Supongamos que una placa, homogénea e infinita, es bombardeada por un flujo de neutrones, siendo el ángulo de incidencia igual a 90º. Al chocar con los átomos de la placa , los neutrones pueden rebotar elásticamente o pueden ser absorbidos. Supon­gamos, para simplificar, que el neutrón conserva, al rebotar, su energía y que cualquier cambio de dirección del neutrón con el choque del átomo es igualmente probable ( esto último sucede en materiales con átomos pesados).

Las distintas suertes que pueden correr el neutrón: (a) atraviesa la placa, (b) es absorbido y (c) el neutrón es rebotado.

La interacción de los neutrones con la materia se caracteriza en esto casos mediante las constantes Oc y os que se denominan "sección de absorción" y "sección de disper­sión". La suma de estas secciones lleva el nombre de "sección completa".

EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • ID GEI • Pág. 17 •

Estas secciones tienen el siguiente significado físico: al chocar el neutrón con un átomo de la materia, la probabilidad de absorción es igual a 'f\.l 8 y la probabilidad de esparcimiento es <\ + 8.

El "recorrido libre de un neutrón", 11. (o sea el recorrido entre choque y choque) tiene una distribución exponencial de parámetro 8. La fórmula para generar v.a. de este tipo a partir de uniformes en (0,1), [Ross(1987)], es •

11. = -!lnx Corno existe un problema de simetría respecto del eje x esta dirección se determina generalmente con sólo indicar el ángulo entre la dirección de la velocidad del neutrón y el eje OX. La condición de que las direcciones sean igualmente probables es, en este caso, equivalente a que el coseno de éste ángulo esté uniformemente distribuido en (-1, 1) que equivale a emplear la fórmula

µ = cos <p = 2x - 1

Esquema de cálculo

Supongamos que el neutrón ha experimentado el k-ésimo rebote en el punto de abscisas xk, correspondiente al interior de la placa y ha comenzado a moverse en la dirección µk. Calculamos la abscisa del punto de colisión siguiente xk+ 1 = xk + 11.kµk y comprobamos la condición de que la placa ha sido atravesada xk+I > h. Si esta condi­ción se cumple, concluimos con el análisis de la trayectoria del neutrón; en caso con­trario, comprobamos la condición de reflexión, xk-I < O, en caso de satisfacerse concluimos también el análisis. Si no se cumple ninguna de las dos condiciones anterio­res, tenemos:

Generamos un número aleatorio x uniforme en (0, 1) y comprobamos la condición de absorción

X< De o

Si se cumple concluimos el análisis, en caso contrario generamos la próxima dirección

µk+I = 2x - 1

y volvemos a repetir el proceso. El programa DERIVE admite funciones definidas recursivamente. Esta propiedad

le da grandes posibilidades al programa. Por ejemplo, García et al. ( 1995) se basan en ella para programar el método simplex. Esta propiedad nos va a permitir ir generando sucesivos rebotes hasta que el neutrón alcance una de sus tres situaciones límites.

Obtención de una solución del problema

Nos planteamos calcular la probabilidad de que un neutrón atraviese una placa con las siguientes características 8 = 5, Be = I, h = 1 cm

• Pág. 18 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9 .. No. 1 • Abril 1997 • © GEI •

Definimos la v. a. z = {1 si el neutrón atraviesa la placa

O en caso contrario

Este procedimiento nos permite generar una muestra aleatoria de tamaño cualquie­ra, distribuida como la variable aleatoria Z. La esperanza matemática de la v.a. Z, que es el valor que queremos estimar, es la probabilidad que un neutrón atraviese la placa. Todo esto se implementa con DERIVE de la siguiente forma: •

Instrucciones DERIVE

"Calcula la abcisa del siguiente punto de colisión suponiendo "que la sección completa vale 8 y se encontraba en la abcisa x

F(x, o): = x - 1/8 * LN(RANDOM(l)) * (2 * RANDOM(l) -1)

"Simula el recorrido a través de una placa de grosor h, de "sección completa 6 y de sección de absorción 6c. La posición "inicial es x.

NEUTRON(x, h, <5. oc): = IF (O < = x < = h, IF (RANDOM(l) < ocio, O, NEUTRON(F(x, o), h, 8, oc)), IF (x > h, l, -1))

.xO(o): = -1/o * LN (RANDOM(l))

"Genera una m. a. de tamaño n de la suerte seguida por "un neutrón al atravesar una placa de "características h, <5. oc.

SIMULACION(n, h, <5. oc): = VECTOR(NEUTRON(xO(o), h, o, oc), k, 1, n) "Función auxiliar que calcula el porcentaje de 1, O y -1 que "aparecen en el _vector v

CONTADOR(v): = [["Prob.de reflexion = ", DIMENSION(SELECT(k = -1, k, v))/DIMENSION(v)], ["Prob.absorción = ",DIMENSION(SELECT (k = O, k, v))/DIMENSION(v)],["Prob.de atravesar = ", DIMENSION (SELECT(k = 1, k, v))/DIMENSION(v)]]

La v. a. Z tiene una distribución Bemoulli de parámetro p. La varianza de la media muestra! para este tipo de v.a. es

p(l - p) n

que viene dada en función del parámetro desconocido. Podemos acotarla al consi­derar que el valor de p está comprendido entre O y 1.

Max p(l - p) 0.52 = --

pe [O, 1) ll n

...

EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 19 •

El problema se plantea en calcular el número de simulaciones que nos pe1mitan ob­tener un error inferior a 0.05.

Cota de e = 3 {p(1-=p < 3 ~IZ

(0.5)(0.5) < 0.05 n

Resolviendo obtenemos n = 900.

Simplificando la expresión CONTADOR(SIMULACI0N(900, 1, 5, 1)) obtenemos

"Probabilidad de reflexión" = 0.1844 "Probabilidad de absorción" = 0.6033 "Probabilidad de atravesar" = 0.2123 •

Bibliografía

García, R. y Verástegui, D. (1995). Implementación del algoritmo del método simplex con DERIVE. Epsilon, 33, 241-250.

Meyer, P. (1992) Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington. Rich, A. y otros (1993). DERIVE, U ser Manual. Soft Warehouse. Hawai. Ross, S. (1987) Introductioñ to Probability and Statistic for Engineers and Scientistics, John Wiley y Sons.

Nueva York. Sóbol, I.M. (1980) Método de Monte Cario. Mir, Moscú. Villers, M, El papel y /a función de la demostración en matemáticas. Epsilon, 26, 15-30. Wolfram, S. (1984) Programación en ciencias y en matemáticas. Revista Investigación y Ciencia. 98,

124 - 138

Agradecimientos

Este trabajo forma parte del proyecto de Colaboración entre el Departamento de Matemáticas de la Univ. de Castilla La Mancha y el Departamento de Matemáticas del Instituto de Educación Secundaria "Femández de los Ríos", proyecto financiado por Ministerio de Educación y Ciencia. Agradecemos la ayuda prestada al financiar la invest~ación .

ríCULOS

Infinito en lo pequeño y desarrollo cognitivo:

Paradojas y espacios consensuales

~--Resumen-------------------------------.

La noción de infinito ha jugado un papel importante en casi todas las disciplinas del saber humano. A pesar de ello, las diferentes ramas de las ciencias cognitivas han dedicado muy pocos esfuerzos al estudio de este fascinante aspecto de la actividad mental humana. La idea de iteración es un inte­resante punto de partida para estudiar los procesos cognitivos subyacentes a la noción de infinito. En particular, la subdivisión iterativa constituye un área muy rica para abordar la cuestión de cómo la idea de infinito en lo pequeño emerge en nuestras mentes. En este estudio, en el cual parti­ciparon 32 alumnos de 8, 10, 12 y 14 años de edad (de alto y bajo rendimiento escolar), se inves­tigó -desde el punto de vista del desarollo- una versión de la paradoja de Zenón por medios de entrevistas individuales. Los resultados sugieren que entre las edades de 10 y 12 años, comienza a emerger una cierta intuición de las consecuencias que trae consigo el proceso de subdivisión. Esta intuición permanece más tarde muy lábil y muy susceptible de ser influenciada por factores contextuales. Un 66% de los alumnos de 12 y 14 años señalaron que el proceso iterativo pre­sente en el problema se termina. Menos de un 25% consideró (con muchas dudas y cuestiona­mientos) la posibilidad del que tal proceso pudiera continuar indefinidamente. Se discuten algunas consecuencias epistemológicas basadas en el enfoque teórico denominado embodied cognition.

Abstract:Throughout history the concept of infinity has played an important role in almost every branch of human knowledge. Paradoxically, very little effort has been done by the various theo­retical schools in Cognitive Science to study such a fascinating aspect of human mental acti­vity. The idea of iteration is an interesting starting point to study the cognitive processes underlying the notion of infinity. In particular, the study of subdivision offers a rich subject matter to address the question of how does the idea of infinity in the small emerge in our minds. 32 students, aged 8, 10, 12 and 14 (high and low intellectual -academic performers), participated in this study, in which a version of one of Zeno's paradoxes was analyzed by means of indi­vidual interviews. Results suggest that between ages IO and 12, a certain intuition of the entail­ments of subdivision emerges, remaining very labile afterwards such that is very influenced by the context. 66% of the 12- and 14-year-old children said that the process involved in the paradox comes to an end. Less than 25% considered (with deep hesitations) the possibility that the process might continue endlessly. Sorne epistemological consequences are discussed from the perspective of embodied cognition.

Rafael Núñez Errázuriz1

University of California at Berkely Berkely, CA, EUA

redacción de este artículo se benefició del apoyo del Fondo Suizo de Investigaciones Científicas (proyecto número 8210-033279).

•

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Introducción

Desde el origen de las civilizaciones, la idea de infinito ha jugado un importante papel en casi todas las disciplinas del saber humano, fascinando y amedrentando a filósofos, teólogos, científicos y matemáticos. Cargado de aspectos contraintuitivos, el infinito ha sido siempre un concepto muy controvertido y esquivo, y su estudio ha presentado innumerables dificultades y disputas. Un concepto tan peculiar e impor­tante de la actividad mental humana representa una valiosísima fuente de estudio para las ciencias cognitivas por dos razones: primero, debido al importante rol que este concepto ha desempeñado en las diferentes disciplinas del saber humano, y segundo, debido a que es un rico y representativo concepto de una dimensión de la actividad mental humana -el pensamiento abstracto- que no está basada en la experiencia directa. Sin embargo, paradojalmente las distintas escuelas de pensamiento dedi­cadas al estudio empírico del conocimiento han dedicado muy pocos esfuerzos a la investigación de tan fascinante aspecto de la actividad mental humana.

Tanto la historia de la matemática, como algunos estudios en el área del desarro­llo cognitivo del pensamiento matemático, muestran que el infinito en lo pequeño -involucrado en subdivisiones iterativas- ha sido mucho más controvertido y esquivo que el infinito en lo grande (Boyer, 1986; Kline, 1972; Núñez Errázuriz, 1993a). Ellos muestran además que los niños comienzan a entender la idea de infinito en lo peque­ño mucho más tarde que aquella del infinito en lo grande (Langford, 1974; Núñez Errázuriz, 1993b; Piaget e lnhelder, 1948; Taback, 1975). Así, aun cuando niños de 8 años pueden reconocer con facilidad la naturaleza interminable del proceso de conteo, no es sino a la edad de 11-12 años que comienzan a considerar a la subdivisión indefinida como un proceso potencialmente sin fin, y a reconocer esta situación como un problema legítimo (Núñez Errázuriz, 1993a). El presente estudio pretende contribuir al entendimiento de los procesos cognitivos involucrados en el desarrollo de la idea de in­finito en lo pequeño.

El problema

Hace unos 2500 años en Elea, al sur de la actual Italia, un discípulo del filósofo Parménides, conocido como Zenón el Eléata, concibió algunas paradojas presumi­blemente con la intención de probar la inconsistencia de las ideas pitagóricas de multiplicidad y cambio. Además pretendió con estas paradojas dar argumentos en favor de la unidad y permanencia del ser -principios fundamentales de su escuela de pensamiento. Con el paso de los años, han llegado hasta nosotros diferentes ver­siones de estas paradojas, las cuales, sorprendentemente, continuan a intrigar filó­sofos y matemáticos, así como a educadores y a investigadores del pensamiento. Una versión abreviada de una de estas paradojas podría expresarse de la siguiente manera. Imaginemos que nos piden ir de un lugar A a un lugar B pero nos dicen que debemos hacerlo siguiendo una regla que dice: primero avance la mitad del trayecto, en seguida avance la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda, y así sucesivamente. ¿Llegaremos alguna vez al lugar B? Dado que cada paso cubre

• P:íg. 22 • EDUCACIÓN MATEMATICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI •

sólo la mitad del trayecto que queda al realizar el paso anterior, siempre habrá una pequeña distancia por recorrer. Esto sugiere que nunca llegaremos al lugar B. Esto, por supuesto, no es lo que nuestra experiencia nos dice cuando vamos de un lugar a otro. Además, ¿cómo conciliar el hecho de cubrir una distancia finita con un número infi­nito de pasos? Surge entonces la paradoja.

Desde un punto de vista cognitivo, el estudio de paradojas, tales como ésta de Zenon, no sólo constituye un tema interesante para abordar la cuestión de cómo la mente construye la idea de infinito en lo pequeño, sino que además contribuye al escasa­mente estudiado dominio del infinito. Núñez Errázuriz (1993a) ha sugerido que los aspectos paradójicos de los argumentos propuestos por Zenón, en oposición a otras situaciones en las cuales está involucrado el infinito pero que no llevan a considera­ciones paradójicas, podrían ser explicadas parcialmente en términos de una coordi­nación particularmente compleja de atributos iterados indefinidamente. El argumento se basa en observaciones hechas por Langford (1974), Piaget e Inhelder (1948) y Taback (1975) en cuanto a las diferencias entre el infinito en lo pequeño y en lo grande, así como en algunas observaciones hechas por Tall (1980) relativas a las diferencias en­tre aspectos cardinales y de medición del infinito. En el ejemplo anterior si uno sigue la regla del problema, dos atributos han de ser iterados simultáneamente, a saber, el núme­ro de pasos que uno tiene que realizar y la distancia que cada uno de estos pasos cubre. Por un lado, es posible observar que el tipo de iteración es diferente para cada atribu­to, porque el número de pasos aumenta mientras que la distancia cubierta por estos pasos disminuye. Llamemos a estos dos tipos de iteración, divergente y convergente, respectivamente. Por otro lado, la naturaleza del contenido iterado es también dife­rente para ambos atributos: el número de pasos se refiere a la cardinalidad (número de pasos) mientras que la distancia cubierta por estos pasos se refiere a espacio. A dife­rencia de las situaciones en las cuales dos atributos del mismo tipo, o de la misma naturaleza, son iterados indefinidamente en una situación coordinada, la coordina­ción que se observa en la paradoja de Zenón debe incorporar componentes hetero­géneos. Esto es, debe incorporar simultáneamente diferentes tipos de iteraciones (divergente y convergente) y diferentes naturalezas de contenido (cardinalidad y es­pacio), lo que la hace cualitativamente más compleja.

En general, cualquier situación que involucre la subdivisión, que pudiera llevar a la concepción del infinito en lo pequeño2, presenta esta estructura: una coordinación simultánea de un número creciente de pasos (número de iteraciones) y una longitud par­cial decreciente del tamaño de los pasos (en valor absoluto). Desde un punto de vista cognitivo, entonces, resulta de grán interés estudiar cómo esta compleja coordi­nación emerge en la actividad mental y qué formas toma a través de diferentes con­textos conceptuales.

Lo que viene a continuación presenta algunos aspectos cualitativos de una investi­gación que formó parte de un proyecto mas amplio concebido para estudiar aspectos psicocognitivos y del desarrollo subyacentes a la idea de infinito.

2 Obviamente esta no es la única forma que pudiera llevar a concebir el infinito en lo pequeño. En análisis no-estándar, por ejemplo, los infinitesimales son vistos como los recíprocos de números infi­nitamente grandes. Sin embargo, desde un punto de vista del desarrollo, la idea de subdivisión parece ser más básica.

• EDUCACIÓN MATEMi\TICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GE! • Pá<>. 23 .• e

Método

Procedimiento

Se estudiaron dos variables relacionadas con el rendimiento general intelectual y

académico. El primero fue medido con el test de Matrices Progresivas de Raven y el segundo fue medido por las notas escolares obtenidas en matemática y francés 3 (idio­ma oficial en esa escuela y región lingüística). Se escogió el test de Raven por varias razones. Primero, porque siendo un test diseñado para medir un factor de inteligencia general (g de Spearman) goza de un amplio respaldo en cuanto a su utilización tanto en la práctica clinica como en investigación, y presenta la ventaja de poder administrarse colectivamente. Segundo, porque se trata de un instrumento único que puede evaluar sujetos de edades correspondientes a las aquí estudiadas (8 a 14 años. Raven, 1960; Anastasi, 1961). Por último, porque el test de Raven pone de manifiesto el pensamiento inductivo -en gran parte responsable del factor g (Pellegrino y Glaser, 1980; Stemberg, 1977)- lo cual era de particular interés para el proyecto más amplio en el cual ésta investigación está inserta.

El test de Raven se administró en clases durante la jornada escolar. El estudio fue llevado a cabo mediante entrevistas individuales (50 minutos) y fue presentado a los estudiantes como un estudio de psicología (no se mencionó la matemática en ninguna etapa de la investigación). Las entrevistas se llevaron a cabo en una sala de la escuela y fueron registradas en video. La paradoja de Zenón fue uno de los temas tratados du­rante la entrevista.

Sujetos

Fueron entrevistados 32 estudiantes de dos escuelas de la ciudad de Friburgo (Suiza), cuyas edades eran 8, 10, 12 y 14 años. A cada grupo de edad (8 sujetos) se le asignó cuatro sujetos de alto rendimiento académico-intelectual y otros cuatro de bajo rendi­miento académico-intelectual (percentiles 66 a 100 y O a 33 respectivamente, en ambos criterios de rendimiento, seleccionados entre 172 estudiantes de dichas escuelas). La muestra estaba balanceada por sexo.

Materi~

El problema se presentó en forma verbal como una preg~nta abierta y fue: "Imagina que queremos ir desde este lado de la mesa hasta el otro lado. Se nos dice que primero debe­mos avanzar la mitad del trayecto, en seguida continuar con la mitad de lo que queda, luego con la mitad de lo que queda y así súcesivamente. ¿Llegaremos alguna vez al otro

3 Se observó previamente que las notas en francés resultaban ser un buen indicador general del rendiminto escolar. Se estimó que las asignaturas de matemáticas y francés, en conjunto, entregaban un buen perfil del rendimiento escolar general por tratarse además de asignaturas representativas de las áreas "científico" y "humanista". respectivamente. ·

• Pág. 24 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEi •

lado de la mesa?" Algunas veces el sujeto que realizaba la acción fue un pequeño in­secto. Se le permitió a los estudiantes usar diversos materiales como papel, lápices, re­glas, etc. que estaban encima de la mesa.

Resultados

En general, las respuestas de los niños pueden ser clasificadas en tres grandes catego­rías, a saber: aquellas que dicen que se llega al destino, aquellas que dicen que no se llega (ya sea porque el proceso se atasca o porque sólo se aproxima al destino), y aque­llas provenientes de sujetos dubitativos que defendían dos respuestas diferentes, a menudo contradictorias. Sujetos de los cuatro grupos de edades dieron respuestas de las dos primeras categorías, la última categoría se observó solamente en los grupos mayo­res. A continuación se presenta el razonamiento subyacente a estas respuestas. No se observaron diferencias entre los sexos.

Grupo de 8 años de edad

En el grupo de esta edad, se observó una diferencia ente los argumentos dados por los subgrupos de alto y bajo rendimiento intelectual-académico. El primero mostró una actitud más analítica respecto al problema. Los alumnos de bajo rendimiento ten­dieron a considerar la pregunta como algo trivial y respondieron con un simple «llegamos», como si hubiera que realizar la iteración solamente un par de veces para cubrir la distancia.

Basándose en la idea que uno puede atascarse debido a la pequeñez de los pasos, dos niños consideraron la posibilidad que uno podría no llegar, y otro dijo que uno no llega nunca. Estos tres eran alumnos de alto rendimiento. Ellos percibieron vaga­mente que uno podría continuar potencialmente durante algun tiempo realizando pe­queños pasos, pero al final ellos resolvieron esta situación inestable mediánte una alteración de las condiciones del problema. Esto, ya sea alterando las condiciones del setting (una nueva destinación), o las condiciones de la acción (esto es, deteniendo la iteración), o ambos. Un ejemplo del primer caso es el siguiente4:

Grupo de 10 años

En ~ste grupo hubo la misma diferencia entre los alum~os de alto y bajo rendimiento que en el grupo anterior. Los niños de 10 años titubearon más que los de 8 años, y algu­nos de ellos presentaron dos posiciones diferentes simultaneamente, pero al igual que

4 El texto en itálica corresponde a las afirmaciones de los sujetos. Los símbolos + y - indican alto y bajo rendimiento intelectual-académico, respectivamente, de acuerdo con los criterios metodológicos denifidos anteriormente. Se indica también la edad (años, meses). La traducción del francés de estas afirmaciones intenta mostrar expresiones idiomáticas equivalentes en niños de habla hispana.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEI • Pág. 25 •

los mas jóvenes, el conflicto algunas veces fue resuelto mediante la alteración de las condiciones del setting durante las "últimas" iteraciones (nuevo destino).

Ban + (7;9): Si avanzamos siempre la mitad, llegamos muy cerca, pero estamos obligados a vol­ver a avanzar la mitad, siempre la mitad. ¿Entonces? ... (reflexiona) ... Hay siempre una pequeiia mitad. Nos acercamos pero ¿llegamos o no? Nos acercamos pero ... si avanzamos la mitad no queda más que un paso, y si avanzamos la mitad, 110 queda más que una mitad, ... y avanzamos la mitad, y llegamos (no muy convencido). ¿Tienes dudas? ... (piensa y reanaliza la situación con sus dedos al borde de la mesa), ... o quizás nos queda todavía un pedazo antes de la llegada, y decimos que vamos a parar ahí. ¿Cómo es eso? Ponemos la llegada an­tes de donde queremos ir y así estamos segwvs que podemos llegar.

Como fue señalado en el procedimiento otros contenidos fueron también cubiertos du­rante la entrevista, entre ellos se incluyó un problema descrito en otras fuentes (Núñez Errázuriz, 1993b), en el cual se debía transformar figuras geométricas planas siguiendo un proceso iterativo de construcción similar (tipo de iteración y naturaleza del contenido). Vale la pena señalar que algunos alumnos de alto rendimiento manifesta­ron una posición infinitista (aceptación de la iteración sinfin) en la paradoja de Zenón, pero una posición finitista en el problema geométrico, mientras que otros lo hicieron en el sentido contrario. Euo + (10;1), por ejemplo, quien se mostró claramente conven­cido por sus argumentos de la iteración sinfín involucrada en el problema geométrico, ni siquiera titubeó al decir que la iteración en la paradoja termina:

Euo +(10;1): ¿Llegamos al otro lado? Sí, seguro, ... si avanzamos la mitad, la mitad, la mitad, la mitad, la mitad, la mitad, la mitad, la mitad, ... después seguro que llegaremos. Tengo un amigo que dice que no llegamos porque hay siempre una mitad por avanzar (el experimenta­dor le mueiL[a paso a paso, pero a cada paso ejemplificado por el experimentador, Euo res­ponde inmediatamente con el paso siguiente como si este completara así "la otra mitad") ... y una vez más la mitad, y una vez más la mitad, y llegaremos. ¿ Y si hacemos esto solamente en nuestra imaginación? En nuestra imaginación y en la realidad también (llegamos).

Ode, +(9;9), por el contrario, mantuvo una posición finitista en el problema geométri­co pero sugirió la naturaleza sinfin de la iteración de la paradoja:

Ode +(9;9): ¿Llega (una honniga)? ... (Analiza los "últimos" pasos) ... ¿Siempre la mitad? (pregunta al experimentador). Es realmente, ... si está ahí avanza la mitad (sigue los movimien­tos sobre la mesa), se demorará mucho, porque después no hace más que un paso, ... y luego la mitad, y después siempre la mitad, ... no, no llega. Ahí, por ejemplo (muestra el borde de la mesa), está ahí y después avanza la mitad, llega ahí y después ahí, ... no yo pienso que no llega, avanzando siempre una mitad.

Grupos de 12 y 14 años

A diferencia de los grupos de 8 y 1 O años, aquí no se encontraron diferencias entre los argumentos provenientes de sujetos de alto y bajo rendimiento intelectual-académico. Los patrones de respuesta en los grupos de 12 y 14 años fueron muy similares entre sí, por lo tanto serán analizados en conjunto.

Cerca de dos tercios de los niños de 12 y 14 años (de alto y bajo rendimiento en conjunto) dieron respuestas de !as formas "tomará mucho tiempo pero llegaremos" o ,

B Pág. 26 a EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. J • Abril 1997 • © GEI •

"uno llegará porque al final uno no podrá avanzar la mitad, estará muy cerca" (alteran­do así las condiciones de la acción). Entre estos sujetos algunos mostraron profundos titubeos manteniendo posiciones antagónicas- a menudo, oponiendo ideas basadas en consideraciones físicas inmediatas (aunque no necesariamente concretas) e ideas ba­sadas en el hecho que la iteración lleva a aproximarse al destino (no necesariamen­te abstractas):

Mal -(14;8): ¿Llega? ... (reflexiona, suspira) ... No quiero po11enne a medir la mesa pero, pienso que 110 llegamos justo al borde, puede ser que lleg11emos como a 1111 milímet,v. Pien­so que llegaremos, pero que no llegaremos de inmediato, ... si cada vez tenemos que, ... en fin no sé, ... pienso que ella (una hormiga) llegará exactamente al punto, y pienso que no llegará al justo. Tengo dos opiniones. Yo no sé si será "al justo" o si será justo un milíme­tro antes.

Otros cambiaron de opinión cunado la escala del problema fue amplificada:

Frc -(14;7): ¿Llegamos? Por supuesto, ya está casi ahí, ... (ret1exiona), pero es cada vez más y más chico, ... pienso q11e se debe llegar. Y si la distancia es aquella entre Suiza y Suecia. ¡Ah no!, en ese caso 110 . ... siempre queda un poco, ... es cada vez más pequeño, después hay una mitad (verifica con sus dedos al borde de la mesa), y hay que avanzarla, pero usted ya casi no avanza, está muy apretado ... Uf! es difícil. ¿ Y llegamos? No sé. Pienso que en peque­ñas distancias se llega, pero en distancias largas creo que no, ... no estoy seguro, pero creo que no. ¿Y en distancias medianas? ... (reflexiona), ... si, creo que se llega, porque después hay distancias pequeñas.

Aumentar la distancia a una dimensión cualitativamente mucho mayor, pareciera po­ner los "últimos" pasos de la iteración mucho más separados entre sí, dejando espacio para más iteraciones de tal manera que ya no se logra llegar. Este punto de vista consi­dera las distancias medianas como pertenecientes a una familia similar a la de las distan­cias cortas. Ellas comparten las mismas características al final de proceso.

Finalmente, menos del 25% de los sujetos de 12 y 14 años presentaron·argumentos a favor de la idea de que uno sólo se aproximará al destino, sin nunca alcanzarlo y sólo un sujeto estuvo seguro al respecto. En general, estos argumentos se caracterizan por: estar cargados de dudas y titubeos; respetar las condiciones del setting y de la acción y algunas veces por la emergencia explícita de la idea de infinito:

Joé +(14;4): ... (reflexiona) ... Al i11finito no llegaremos nunca, eso sobrepasa la imagi11a­ción, pero si vemos (muestra la mesa) llegaremos, pero en realidad no llegaremos, ... no sé, eso sobrepasa la imaginació11. Si ava11zamos cada vez la mitad del trayecto que te11emos por delante, es difícil que lleguemos, después eso será microscópico, infinitame11te pequeño.

El único sujeto que estuvo seguro acerca de la imposibilidad de alcanzar el destino a pesar del hecho que la iteración continúa sin terminar mostró un enfoque pragmático a través de toda la entrevista. El nunca se comprometió con razonamientos extrema­damente abstractos y especulativos, aunque concibió los objetos del problema como objetos teóricos en los cuales las limitantes físicas no eran relevantes para el análisis:

Stn -(14;1): No, no llegaremos nunca. ¿Aunque estemos siempre avanzando? Sí, porque avanzamos sólo la mitad. Nos acercaremos, estaremos muy muy cerca del borde (de la mesa)

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pero no llegaremos nunca ... Abrá siempre un pequeíio pedazo por recorrer. ¿Incluso si siem­pre nos estamos acercando? Si, incluso.

El sigue las condiciones del problema evitando cualquier consideración especulativa centrándose en el hecho que siempre queda algo,.independientemente de cuantos pasos se realicen. La posición obtenida por cualquiera de las iteraciones nunca es el des­tino final y por lo tanto la iteración continúa sinfin.

Discusión

Entre las variables estudiadas, sólo la edad mostró claras diferencias en los argumentos (excepto para las edades 12 y 14). No se encontraron diferencias por sexo. El rol del rendimiento intelectual-académico parece haber sido significativo solamente para los grupos de 8 y 10 años. Los argumentos dados por los alumnos de alto rendimiento a estas edades fueron más analíticos y tendieron a considerar el problema como tal, mien­tras que aquellos dados por los alumnos de bajo rendimiento tendieron a considerar el problema como algo trivial (era evidente para ellos que se podía alcanzar el destino después de un par de pasos, de tal manera que no eran necesarias consideraciones posteriores). No encontrar grandes diferencias intelectual-académico en los grupos de mayor edad puede ser parcialmenteexplicado por dos factores. Por un lado, debido a que la validez del test de Raven (inteligencia) disminuye a medida que aumenta la edad -dado a un efecto techo- y por otro lado debido a que en los grados más altos el rendimiento académico se vuelve un fenómeno más complejo de tal forma que facto­res no cognitivos, tales como la autoestima o cambios motivacionales durante la pre adolescencia, juegan un rol importante (Bolognini, Plancherel, Núñez Errázuriz, y Bettschart, 1994).

En términos matemáticos la versión de la paradoja de Zenón aquí presentada co­rresponde a una serie de la forma d/2 + d/4 + d/8 + ... (d = distancia). Usando este lenguaje para describir la visión de los niños (el cual, por supuesto, no es el de ellos), podríamos decir que hemos observado enfoques de las siguientes formas:

a) Alteración temprana de las condiciones de la acción

d/2 + d/4 + . .. + d/2k + d/2k = d

En general k toma un valor entre 3 y 5. Las dos útlimas etapas son inadvertidamente consideradas como iguales, lo cual lleva a una llegada exacta a destino. Este enfoque fue obsevado entre los alumnos de 8 y 1 O años de bajo rendimiento. El problema en este caso es trivial.

b) Alteración de las condiciones del setting

d/2 + d/4 + d/8 + .. . + d/2k = e

Repentinamente se trunca la serie considerándose un nuevo destino, que define una p

nueva distancia e = L d/2k , al cual ya se ha llegado (en general e < d). Este enfo- , k=I

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que fue observado en algunos alumnos de 8 y 10 años de alto rendimiento, y parece emer­ger como una solución para reconciliar intuiciones tempranas acerca de iteraciones convergentes de larga duración (subdivisión).

c) Alteración de las condiciones de la acción

d/2 + d/4 + d/8 + . . . + d/2k < d ( donde k es un entero finito grande)

El proceso se atasca debido a la pequeñez de los pasos y no puede continuar. Este en­foque fue observado en los cuatro grupos de edad, pero k tendió a ser más grande en los grupos de 12 y 14 años que en el de 10.

d) Respeto de las condiciones del setting y de la acción

d/2 + d/4 + d/8 + . . . < d

El proceso sólo se aproxima al destino y continúa para siempre. Esto se observó en un sólo sujeto (14 años). Sin embargo, cerca de un 25% de los sujetos de 12 y 14 años también se refirió a él, aunque con profundos titubeos que involucraban también al en­foque c).

Nunca se observó un enfoque de la fo~a d/2 + d/4 + d/8 + ... = d, el cual es -razonando con límites- "matemáticamente correcto".

Para poder concebir la situación paradoja! generada por el problema de Zenón, uno debe ser capaz de distinguir los elementos involucrados y respetar las condiciones del problema (esto es, en cuanto al setting, manteniendo la distancia original que ha de ser cubierta o recorrida, y en cuanto a la acción, continuando la iteración sin fin). Los enfo­ques a), b), y c) se refieren a alteraciones de las condiciones del problema de talma­nera que ellos no generan situaciones paradojales. Nuestra paradoja entonces no es paradoja para los niños. ¿Pero cómo entender la emergencia de lo pardójico? ¿Son racionales las alteraciones observadas? ¿Se trata de estructuras proto-matemáticas? Pensamos que para responder a estas preguntas es necesario hacer algunas reflexiones en torno a la naturaleza de la matemática.

Las visiones tradicionales en filosofía de la matemática (platonismo, constructi­vismo, formalismo) consideran la existencia de objetos matemáticos ( o fórmulas en el caso del formalismo), en varias formas y grados, como independientes de los seres humanos. La matemática es. vista como algo objetivamente estructurado independien­temente de cualquier tipo de entendimiento. Ella tiene un significado universal inde­pendiente de nuestra actividad mental. Pero en cuanto investigador del pensamiento o científico de la cognición -y no en cuanto matemático- es legítimo preguntarse ¿dón­de residen los componentes paradójicos de los problemas como el de Zenón? ¿Y donde residen, por ejemplo, lascgntroversias en torno al infinito que se observan entre matemáticos constructivistas y no-constructivistas? Pensamos que para intentar dar respuesta a estas preguntas es inadecuado asumir desde el principio que lá matemáti­ca "pre-existe" objetiva e independientemente del entendimiento humano. La tarea no es describir y explicar cómo "descubrimos" la matemática, sino que es explicar cómo seres vivos (como nosotros) han podido crear semejante aparato conceptual. Para ello es preciso mirar hacia otras alternativas que parecen ser más prometedoras

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA . • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEI • Pág. 29 •

para abordar la cuestión de la naturaleza del pensamiento matemático donde parado­jas, incertidumbres y controversias son consideradas como parte del proceso mismo de permanente creación de lo que la matemática es.

Una proposición consiste en adoptar una visión a la vez no-objetivista y no-subjeti­vista del conocimiento5, lo cual es fundamentalmente diferente de las posiciones de los enfoques tradicionales6

• Ella consiste en concebir la cognición como un fenómeno intrínsecamente codefinido con el permanente proceso de enacción de significados que manifiestan organismos al existir en sus medios. Este proceso de enacción esta enrai­zado en la experiencia de corporaleidad que estos organismos tienen al existir bioló­gicamente y que adquiere formas semánticas cuando ellas son coordinadas a través del fluir de interacciones realizadas en comunidades de organismos7. Experiencia, signifi­cado, conceptos, cognición, y lenguaje no sólo van de la mano, sino que además se de­finen mutuamente. Al llevar estas ideas al plano de las interacciones de seres vivos superiores (Horno sapiens) se puede observar que la matemática emerge como un len­guaje no-denotativo que coordina coordinaciones de acción, el cual -aunque altamente abstracto- se basa de manera última en los espacios consensuales de experiencias cor­porales (Lakoff y Núñez Errázuriz, en impresión). La matemática así es concebida como dependiente totalmente de los seres humanos; como emergente a través de un lenguaje configurado históricamente a través de la interacción de seres biológicos que evolucionan en sus medios. Ella, por lo tanto, depende de la naturaleza misma de los procesos interrelacionados de conceptos enraizados en la experiencia de corpora­leidad (embodiment), interacciones sociales y lenguaje. En otras palabras: sin seres humanos no hay matemática; distintos seres biológicos implican diferentes "ma­temáticas".

Con estas ideas en mente volvamos a la paradoja de Zenón y al desarrollo cogni­tivo. Por su parte, el espacio consensual depende, entre otros, de la estructura biológica de los sujetos (por ejemplo, en el caso de los niños, de la estructura del sistema ner­vioso en desarrollo) que participan en el permanente proceso de definición de lo que es el espacio consensual. Este punto es esencial en psicología del desarrollo cognitivo porque el mundo conceptual que emerge de la actividad cognitiva de un niño pequeño se basa en un espacio consensual que es fundamentalmente diferente del nuestro (por­que su neurobiología, su lenguaje, su cognición enactada es fundamentalmente di­ferente). Nosotros los adultos damos por descontado que el extenso uso de objetos idealizados en matemática (por ejemplo, puntos como entes sin volumen), así como del rigor necesario para establecer pruebas y crear nuevos objetos8, emergen, de ma-

s Para una discusión mas detallada sobre enfoques alternativos a la tradicional dicotomía objetivismo­subjetivismo en ciencias cognitivas, ver Núñez Errázuriz (1995; en impresión). 6 Como por ejemplo las teorías piagetanas o las teorías cognitivistas basadas en la idea de procesamiento de la información. 7 Una descripción detallada de este enfoque, denominado embodied cog11itio11, sobrepasa los contenidos de este artículo. Se aconseja consultar: Johnson (1987); Maturana y Varela (1987); Lakoff (1987): Varela, Thompson, and Rosch (1991); Edelman (1992); Thelen y Smith (1994); Núñez Errázuriz, (1995). En particular para una discusión elaborada sobre embodied cog11ition en relación con las Matemáticas, ver Lakoff y Núñez Errázuriz (en impresión). s El rigor es consensual La historia del cálculo muestra que el rigor ha tenido distintos significados para los griegos (Eudoxus, Arquímides), los matemáticos del siglo XVII (Leibniz, Newton), siglo XIX (Weierstrass) y siglo XX (Robinson).

l

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nera última, de los espacios consensuales establecidos a través de permanente interac­ción. El respeto de las condiciones del problema de Zenón por parte de los niños no existe en los espacios consensuales que nuestras fisiologías de adulto definen. Lo que ellos enactan a partir de un planteamiento simple9 es un mundo semántico donde hay otras características de idealización y de rigor, tan fundamentales en matemática. En el caso de la paradoja es posible constatar que el respeto de las condiciones del problema ocurre dentro del espacio consensual antes mencionado.

Desde este punto de vista, las alteraciones inadvertidas de las condiciones del proble­ma de Zenón por parte de los niños (setting y acdón) se realizan en un espacio con­sensual coherente con el permanente proceso de enacción de significados que ellos experimentan, el cual es fundamentalmente diferente del espacio que definimos noso­tros los adultos. Aunque esta situación se da a diario en la interacción entre niños y adultos, ella se pone de manifiesto claramente con esta paradoja. Los sujetos más peque­ños, determinados en su estructura neurobiológica en desarrollo, enactan un espacio consensual claramente diferente del nuestro cuando el significado del tipo de itera­ción convergente está en juego. De hecho, antes de la edad de 12 años existe una abis­mante diferencia ontológica entre el infinito en lo grande (tipo divergente) y el infinito en lo pequeño (tipo convergente). Así, uno de los sujetos de 10 años señaló:

Yak +(10;1): Si ese es el infinito más grande como dices, cuando mencionas el infinito. más pequeño, ¿es eso lo mismo pero en el sentido contrario? Si, pero hay una sola diferen­cia. Que en un momento dado eso se vuelve tanto más pequeño que ni siquiera se puede saber donde está. Entonces ¿cuál es la diferencia entre el infinito más grande y el infinito más pequeño? Que en un momento dado cuando estamos en el infinitamente pequeño eso (el proceso) se detiene, mientras que el infinitamente grande puede continuar hasta ... el infinito.

Podemos constatar que aquí se está en presencia de infinitos sinfin e infinitos que se detienen, ¡siendo ambos infinitos! Nótese que este último contradice nuestra noción misma de "infinito". A los 8 años de edad la idea de sinfin (relacionada con el tipo divergente y con el infinito en lo grande) constituye una coordinación de significados posibles en el espacio consensual que nosotros con estos niños mantenemos. La distin­ción "infinito en lo pequeño" por el contrario (relacionada con iteraciones del tipo convergente), requiere de otros componentes experienciales que no son enactados por los niños pequeños y por lo tanto el espacio consensual adquiere otras formas. Parece ser que entre las edades de 10 y 12 años emerge una cierta intuición de las iteraciones del tipo convergente y de sus consecuencias, permaneciendo muy lábil posteriormente de tal manera que se ve muy influenciada por contextos figurales y conceptuales. Así alumnos de 10 años de alto rendimiento y alumnos de 12 y 14 años dieron diferentes respuestas con diferentes argumentos a situaciones isomorfas en las cuales el contex­to había sido cambiado (por ejemplo, distancia a recorrer). De acuerdo con nuestras observaciones, la subdivisión no pareciera ser dominada a la edad correspondiente a las operaciones formales, al menos no con la claridad y certeza presentadas en la obra temprana de Piaget (1948). De cualquier manera, es imperioso conocer más a fondo las sutilezas que existen en el proceso de cristalización del entendimiento de las itera­ciones del tipo convergente: ¿Cuáles son las bases biológicas responsables de su

9 El problema en sí, tal como es planteado, no contiene términos técnicos incomprensibles.

• EDUCACIÓN MATEMÁTIC:\ B Voi. 9. No. 8 Abril 1997 • © GEI • Pág. 31 •

aparición tardía en el desarrollo, y cuáles son las formas que toma el proceso de cristalización en diferentes contextos conceptuales?

Finalmente vale la pena mencionar que estas observaciones se basaron en adapta­ciones específicas de la paradoja de Zenón y de la coordinación de co~ponentes heterogéneos (diferente tipo y naturaleza). Sería interesante estudiar situaciones si­milares controlando ciertos factores contextuales que pudieran desempeñar un papel en la actividad cognitiva dada la labilidad de las intuiciones de los sujetos respecto al infinito en lo pequeño:

(a) considerando distancias d cualitativamente diferentes (por ejemplo, entre los lados de una mesa, entre dos lugares en un edificio, en una ciudad, en un país, etc.);

(b) considerando valores distintos a 1 y 2 para p y q respectivamente, en la serie 00

L [p(q - p)k-1/qk]d, de tal manera que la iteración no siempre sea realizada k=l

en torno a mitades (por ejemplo, también 1/10 o 3/4); (e) presentando el problema de una manera regresiva (como en la paradoja del

movimiento de Zenón), y no sólo de una manera progresiva como fue estu-diada aquí; 00

(d) centrando la pregunta no solamente en la serie L d / 2" = d ("¿llegamos?") k=I

sino también en el con los pasos?").

lím(d/2k) = O (los elementos de la secuencia: "¿Qué pasa n~-

El estudio del rol desempeñado por estos factores pudiera revelar más acerca de cómo nuestras mentes construyen la idea de subdivisión y de infinito en lo pequeño.

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Clasificación funcional y semántica de problemas aditivos

ARTÍCULOS

~--Resumen-------------------------~

En este trabajo se presenta una clasificación de problemas aditivos simples. El fundamento. de esta clasificación es la distinción entre la estructura funcional y la forma semántica. La estructura fun­cional se refiere al tipo de situaciones numéricas (estados, variaciones y comparaciones) y la forma semántica al modo de expresar dichas situaciones numéricas.

Abstract. In this paper we present a classification of simple additive problems. This classification is based on the distinction between the functional structure and the semantic form. The functional structure refers to the type of numerical situations (states, variations and comparisons) and the seman­tic forro is taken as a way of expressing the numerical situation.

l. Introducción

La resolución de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigación en educación matemática. Esta relevancia está justificada por el importante papel que los problemas aditivos pueden desempeñar en el logro de un aprendizaje numérico lleno de significados. Los distintos autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones. En los trabajos de Nesher y otros (1983), Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panorámica de las distintas clasificaciones que han surgido.

En este trabajo ofrecemos una clasificación de problemas aditivos simples de enun­ciado verbal con números reales, aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con números enteros, a lo sumo racionales, dados los niveles en los que estos proble­mas se trabajan en el aula. Con la expresión "aditivo simple" nos referimos a problemas

Alicia Bruno y Antonio Martinón Universidad de La Laguna,

España

• Pág. 34 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI •

de "suma" o "resta" de dos números. En el estudio de este tipo de problemas los inves­tigadores han tenido en cuenta, entre otros, los aspectos que ahora comentamos bre­vemente. Con el fin de ilustrar las ideas que exponemos consideramos el siguiente ejemplo de situación numérica: "Ernesto debía 2 dólares y le dan 3, luego tiene 1 dólar".

(1) estructura: en la situación numérica del ejemplo se produce una "variación" v = 3 en el número de dólares que tiene Ernesto, pasando de un "estado ini­cial" e(i) = -2 a un "estado final" e(f) = l. La situación puede esquema­tizarse con la fórmula e(i) + v = e(f ).

(2) posición de la incógnita: cabe plantear tres problemas en relación con la si­tuación numérica del ejemplo, según cuáles sean los datos conocidos y la incóg­nita. Así, por ejemplo, un tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v, siendo la incógnita e(f ): "Ernesto debía 2 dólares y le dan 3. ¿Cuántos dóla­res tiene ahora?".

(3) tipos de números: los valores concretos que toman e(i), e(/) y v tienen in­fluencia en la resolución de los correspondientes problemas. La situación des­crita en el ejemplo (e(i) = -2, v = 3, e(f) = 1), es más difícil que la que se corresponde con el ejemplo «Ernesto tenía 2 dólares y le dan 3, luego tiene 5 dólares», en el que es e(i) = 2, v = 3, e(f) = 5.

( 4) contexto: el problema «Ernesto debía 2 dólares y le dan 3. ¿ Cuántos dólares tiene ahora?" es más sencillo que "Ernesto nació el año 2 antes de Cristo y vivió 3 años. ¿Cuándo murió?". Ambos tienen la misma estructura, la misma posición de la incógnita y los mismos números, pero el primero se plantea en el contexto deber-tener, mientras que el segundo se formula en el contexto tiempo, el cual suele presentar más dificultades que el primero.

(5) forma semántica: hay diversas formas, equivalentes desde el punto de vista semántico, para expresar una variación: "le dan 3 dólares a Ernesto", "Ernesto tenía 3 dólares menos por la mañana que por la noche", "Ernesto tiene 3 dó­lares más por la noche que por la mañana".

Nuestra clasificación atiende a los aspectos de la estructura y de la forma semán­tica. No tendremos en cuenta la posición de la incógnita, ni el tipo de números, ni el contexto, aunque como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didáctico. Con el fin de enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atención, todas las situaciones numéricas se refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3. Sin duda, otros contextos exigirían expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto deber-tener, pero tampoco prestaremos atención en este trabajo á esas variantes.

En este artículo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura fun­cional. Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema: variación de variaciones, variación de una comparación, combinación de variaciones, comparación de comparaciones y combinación de comparaciones.

Por otro lado, resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre es!ructura funcional y forma semántica, diferencia que tampoco hemos hallado en fos trabajos de otros autores y que en ocasiones aparecen confundidas.

Finalmente, debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquí exigirá, para su plena utilidad, una investigación didáctica que por m,1estra parte sólo está recientemente iniciada y cuya conclusión no es inmediata. ,

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2. Estados, comparaciones y variaciones

En esta sección precisamos las ideas de estado, comparación y variación, las cuales resultan básicas en la clasificación que proponemos de los problemas aditivos.

2.1 Estados

Los números se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 dólares; la temperatura en Madrid es de 10.3° C, ... ). Resulta conveniente para la clasificación funcional que discutimos en este trabajo "formalizar un poco esta idea. En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto, Madrid, ... ), una magnitud (saldo dinerario, tempera­tura, ... ) y una unidad de medida (1 dólar, 1 ° C, ... ). También está presente el tiempo, aunque a veces sea de manera imprecisa. Hemos de suponer que Ernesto tiene 2 dóla­res, o que la temperatura en Madrid es 10.3° C, en este momento en el que escribimos.

Hablaremos de función estado o simplemente estado, y escribiremos e(t) para referirnos al estado en el momento t. Precisemos algo más el significado de este simbolismo: e es la función estado y está asociada, como ya hemos dicho, a un sujeto, a una magnitud y a una unidad de medida; e(t) es el estado en el instante t. Hay situaciones en las que la función estado se considera constante, independiente del tiempo (la altura de El Teide es de 3,717 metros sobre el nivel del mar).

2.2 Comparaciones

Los números también se usan para comparar estados. La comparación absoluta entre los estados e (t) y d (s ), en este orden, es la diferencia

c,4 (t, s) = d(s) - e(t).

Claramente, las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la diferencia tenga sentido. Ejemplos: Ernesto tiene hoy 2 dólares más de los que Francisco tenía ayer; la temperatura en Madrid es 10.3ºC más que en Londres.

Aunque en este trabajo sólo nos fijaremos en las comparaciones absolutas, que son las que aparecen en los problemas aditivos, mencionemos que la comparación relati­va entre los estados e (t) y d (s ), en este orden, es el cociente

r,4 (t, s) = d(s)le(t).

Ejemplos: Ernesto tiene doble número de dólares que Andrés; la velocidad media del automóvil ha sido 50.4 kilómetros por hpra.

Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas, las cuales denominaremos comparaciones y variaciones.

Llamaremos comparación a la comparación absoluta de dos funciones estado diferentes e y d. Usaremos la siguiente notación para la comparación entre los estados e(t) y d(s):

e = c,4 = c,4 (t, s) = d(s) - e(t).

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Escribiremos sólo e si se sobreentienden las funciones e y d, y ced si el tiempo no tiene un papel relevante, como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que apa­rece una comparación. En general, las comparaciones se refieren a una situación es­tática, incluso en el caso de ser t y s diferentes. Si t = s, entonces hablaremos de comparación simultánea. Ejemplo: Ernesto tiene 2 dólares más que Andrés.

2.3 Variaciones

Llamaremos variación a la comparación absoluta de dos estados de una misma función estado e, en dos momentos diferentes. Escribiremos

v = v, = v(t, s) = v, (t, s) = e(s) - e(t),

según el énfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la función e. Las varia­ciones necesariamente se refieren a una situación dinámica; es decir, transcurre el tiempo. Ejemplo: Ernesto tiene por la noche 2 dólares más que por la mañana.

Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estados y el tiempo carece de importancia, mientras que en las variaciones hay una única función estado y el transcurso del tiempo juega un papel fundamental.

2.4 Otras variaciones y comparaciones

Podemos considerar, y así lo haremos más adelante, variación de comparaciones, comparación de variaciones, ... Ya que las ideas básicas son las ya expuestas, no entramos en más detalles ahora.

3. Formas semánticas equivalentes

Hay diferentes formas de expresar un estado, una comparación y una variación. Nos referimos a formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semántico; es decir, son formas verbales que tienen el mismo significado. Desde luego, no todas tie­nen el mismo uso en el lenguaje ordinario, ya que algunas de ellas son muy artificiales y sólo tienen interés desde una perspectiva teórica, aunque las exponemos aquí para presentar una panorámica completa.

Estas distintas maneras de expresión tienen gran importancia didáctica pues no re­sultan indiferentes a la hora de la resolución de problemas por parte de los alumnos, y pueden utilizarse para justificar la identificación de la suma y de la resta en el aprendi­zaje de los números negativos: (Bruno y Martinón, 1994, 1996).

En los apartados de esta sección analizamos las diferentes maneras de expresar un estado, una variación y una comparación. Los ejemplos con los que ilustrarnos nuestras ideas se sitúan todos en el contexto deber-tener. Todas las cantidades se refieren a dólares; por ejemplo, si decimos "Ernesto tiene 2", se entenderá "Ernesto tiene 2 dólares".

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3.1 Formas de expresar un estado

Hay una única forma básica de expresar un estado. Por ejemplo,

Ernesto tiene 2 , o bien

Ernesto debe 2.

Haciendo uso de los números negativos, los estados pueden expresarse de otra forma diferente, equivalente a la anterior desde el punto de vista semántico. Por ejemplo,

"Ernesto tiene 2" es equivalente a "Ernesto debe -2",

"Ernesto debe 2" es equivalente a "Ernesto tiene -2".

En el lenguaje ordinario, lo natural es expresar un estado con números positivos y no con números negativos. No obstante, este lenguaje doble tiene utilidad didáctica (Bruno y Martinón, 1996).

3.2 Formas de expres¡lr una variación

Consideremos el ejemplo: Ernesto (E) debe 2 por la mañana (estado inicial) y tiene 3 por la noche (estado final). La variación que se produce puede expresarse de diver­sas formas, semánticamente ·equivalentes, que podemos agrupar en dos básicas. Las denominaremos cambio y dif er~ncia.

3.2.1 Cambio

Se trata de decir lo que gana o pierde a lo largo del día, teniendo en cuenta que

"ganar" es equivalente a "aumentar lo que tiene",

"ganar" es equivalente a "disminuir lo que debe",

"perder" es equivalente a "aumentar lo que debe",

"perder" es equivalente a "disminuir lo que tiene".

Cambio simple. Se expresa directamente lo que se gana o pierde:

En el transcurso del día E ganó 5.

Cambio aumento. Se dice lo que aumenta (lo que tiene o lo que debe):

En el transcurso del día E aumentó lo que tiene en 5.

Cambio disminuc~ón: Se dice lo que disminuye (lo que tiene o lo que debe):

En el transcurso del día E disminuyó lo que debe en 5.

• Pág. 38 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEi •

3.2.2 Diferencia

Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mañana.

Düerencia directa. Se emplea la expresión más que:

Por la noche E tiene 5 más que por la mañana,

Por la mañana E debe 5 más que por la noche.

Düerencia directa. Se usa la expresión menos que.

Por la noche E debe 5 menos que por la mañana.

Por la mañana E tiene 5 menos que por la noche.

3.2.3 Lenguaje natural

La expresión natural de una variación depende de la forma en la que se expresen los estados. Por ejemplo, en lugar de decir "E tiene 2 por la mañana y disminuyó lo que debe en 5", parece preferible decir "E tiene 2 por la mañana y aumentó lo que tiene en 5"; en lugar de decir "E debe 2 por la mañana y aumentó lo que tiene en 5", resulta más claro decir "E debe 2 por la mañana y disminuyó lo que debe en 5".

3.2.4 Con números negativos

Si se usan números negativos hay otras tantas formas de expresar la variación "En el transcurso del día E ganó 5":

En el transcurso del día E perdió -5,

En el transcurso del día E aumentó lo que debe en -5,

En el transcurso del día E disminuyó lo que tiene en -5,

Por la noche E debe -5 más que por la mañana,

Por la noche E tiene -5 menos que por la mañana,

Por la mañana E tiene -5 más que por la noche,

Por la mañana E debe -5 menos que por la noche.

Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario.

3.3 Formas de expresar una comparación

Distinguimos básicamente dos formas, semánticamente equivalentes, de expresar una comparación, a las cuales llamaremos düerencia y cambio. Consideremos el siguiente ejemplo: Ernesto (E) debe 2 y Daniel (D) tiene 3.

,.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 39 •

3.3.1 Diferencia

Se expresa cuánto tiene (o debe) uno más que (o menos que) el otro. Diferencia directa. se· utiliza la expresión más que:

D tiene 5 más que E,

E debe 5 más que D.

Diferencia indirecta: Se emplea la expresión menos que:

3.3.2 Cambio

D debe 5 menos que E,

E tiene 5 menos que D.

Se expresa, en forma de cambio, la variación que debe experimentar uno (ganar o perder) para igualar al otro. Según la forma de cambio de expresar esa variación se obtienen diferentes formas de expresar la comparación:

Cambio progresivo:

Si E gana 5, iguala a D,

Si E aumenta lo que tiene en 5, iguala a D,

Si D aumenta lo que debe en 5, iguala a E.

Cambio regresivo:

Si D pierde 5, iguala a E.

Si D dismtnuye lo que tiene en 5, iguala a E.

Si E disminuye lo que debe en 5, iguala a D,

3.3.3 Lenguaje natural

La forma de expresión natural de una comparación depende de la forma en la que se expresen los estados. Por ejemplo, en vez de decir "E debe 2 y D tiene S más que E", es preferible decir "E debe 2 y D debe 5 menos que E".

3.3.4 Con números negativos

Usando números negativos hay ~tras tantas formas de expresar la comparación "D tiene 5 más que E":

D debe -5 más que E,

E tiene -5 más que D,

• Pág. 40 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 •

D tiene -5 menos que E ,

E debe -5 menos que D ,

Si E pierde -5, iguala a D ,

Si D gana -5, iguala a E ,

Si E disminuye lo que tiene en -5, iguala a D,

Si D disminuye lo que debe en -5, iguala a E,

Si E aumenta lo que debe en -5, iguala a D ,

Si D aumenta lo que tiene en -5, iguala a E .

© GEI •

Como ya hemos señalado para los estados y las variaciones, no se usan las expresiones con números negativos en el lenguaje ordinario, aunque sí tienen utilidad en ciertas situaciones didácticas durante el aprendizaje de dichos números.

4. Clasificación funcional y semántica de problemas aditivos

En esta sección analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples, que son aquellos que se corresponden con igualdades aritméticas del tipox + y = z.

Consideraremos 11 clases de problemas, cada una de las cuales se corresponde con una estructura funcional. Los problemas de estado se corresponden con las si­guientes 3 clases:

Combinación de estados: a(t) + b(t) = e(t)

Variación de un estado: e(i) + v = e(/)

Comparación de estados: e + e = d

Los problemas de variaciones son de las siguientes 4 clases:

Combinación de variaciones sucesivas: v (i, m) + v (m,/) = v (i,/)

Combinación de variaciones: v11 (i,/) + v6 (i,/) = v, (i,/)

Comparación de variaciones: v, (i,/) + e = vd (i',f')

Variación de variaciones: v (i,/) + v = v, (i;f')

Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases:

Combinación de comparaciones adyacentes: c,d + c41 = e,, Combinación de comparaciones: c11, + c6,. = e"

Variación de una comparación: c(i) + v = e(/)

Comparación de comparaciones: c,4 + e = c14

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA . • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEi • Pág. 41 •

Según la forma de expresar las variaciones y las comparaciones en un problema, habla­mos de forma semántica. Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semántica obtenernos el tipo funcional-semántico de un problema.

Iniciarnos el estudio con los problemas en los que aparece una única función estado, luego continuarnos con aquellos en los que hay dos, y así sucesivamente.

4.1 Problemas con una función estado

Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una única función estado e. En los ejemplos que ponemos, e(t) significa el saldo (lo que tiene o lo que debe) Ernesto (E), medido en dólares, en el instante t.

4.1.1 Variación de un estado

Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y/ (final), siendo i < f. Asociados a esos instantes se tiene el estado inicial e(i) y el estado final e(j), además de la variación v = e(/) - e(i). En esta clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional

e(i) + v = e(/).

Ejemplo: e(i) : Por la mañana E debía 2.

v: En el transcurso del día E ganó 5.

· e(/): Por la noche E tenía 3.

Estos problemas, expresados en su forma semántica de cambio han sido denomina­dos problemas de cambio (Riley y otros, 1983), unión y separación (Carpenter y Moser, 1982), una transformación que une dos medidas (Vergnaud, 1982) y diná­mico (Nesher, 1982).

4.1.2 Combinación de variaciones sucesivas

Ahora hay tres instantes diferentes: i (inicial), m (medio) y f (final). En esos instantes el estado toma otros tantos valores: inicial e(i), medio e(m) y final e(/). Aparecen así diferentes variaciones: ·-

v(i, m) = e(m) - e(i), v(m,f) = e(f) - e(m),

Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional:

v(i, m) + v(m, /) = v(i, /).

v(i,f) = e(/) - e(i).

Ejemplo: v(i,m): En el transcurso de la mañana E perdió 2.

v(mJ): En el transcurso de la tarde E ganó 5.

v(iJ): En el transcurso del día E ganó 3

• Pág. 42 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 . • Abril 1997 • © GEI •

Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semántica de cambio y la llamó composición de dos transformaciones.

4.1.3 Variación de variaciones

En esta clase de problemas hay cuatro instantes: i < f 7 i' < f'. Podernos entonces considerar las variaciones del estado e:

v(i,f) = e(f) - e(i) -, v(i',f') = e(f') - e(i').

Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo; es decir,/ - i = f' - i'. Por ejemplo, esas variaciones pueden representar las ganan­cias o pérdidas que se producen en un día. Aparece así una nueva función estado v(i,f) que se define en intervalos temporales (i, /). En la expresión de la estructura fun­cional de esta clase de problemas, v representa la variación de la función v(i, /) y no de la función e:

v(i,f) + v = v(i',f')

Ejemplo: v(i,f): Ayer E perdió 2.

v: Hoy E perdió 5 menos que ayer.

v(i~f'): Hoy E ganó 3

Esta estructura funcional tiene una gran similitud con la comparación de variaciones, con la diferencia de que en esta última se consideran dos funciones estados: v,(i,/) + e = vJi',f').

4.2 Dos funciones estado

Las dos funciones serán denotadas por e y d. Supondremos que e(t) e~ el saldo de Ernesto (E) y f(t) el saldo de Daniel (D), en un cierto momento t.

4.2.1 Comparación de estados:

La estructura funcional es:

e + e = d.

Ejemplo: e: E debe 2.

e: Si E gana 5, entonces iguala a D.

d: D tiene 3.

Esta clase de problemas, cuando la comparación se expresa en forma de diferencia, ha sido denominada en la literatura de las siguientes formas: comparación (Riley y

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEI • Pág. 43 •

otros, 1983; Carpenter y Moser, 1982; Nesher, 1982) y una relación estática que une dos medidas (Vergnaud, 1982). Si la comparación se expresa en la forma de cam­bio se han denominado igualación-añadiendo o igualación-quitando (Carpenter y Moser, 1982).

4.2.2 Comparación de variaciones

Consideramos la variación v,(i, f) entre dos instantes i < f y también la variación vii',f') entre los instantes i' <f' de la función estado d, aunque lo habitual es que sea i = i' y f = f'. En esta clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional:

Ejemplo: v,(i,j): En el transcurso del día E perdió 2.

e: D perdió 5 menos que E.

vii~f'): En el transcurso del día D ganó 3.

4.2.3 Variación de una comparación

Al variar con el tiempo los dos estados e y d, también varía la comparación entre ellos:

c(t) = d(t) - e(t)

Entre los dos instantes i < f se produce una variación v de la función comparación c(t). La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente:

e (i) + v = e(/).

Ejemplo: e (i): Ayer D tenía 2 más que E.

v: Hoy E ganó 5 más que D.

c(f ): Hoy E tiene 3 más que D.

Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = i' y f = f': v = c(f) - c(i) = d(j) - e(/) - d(i) + e(i) = vii/) - v,(i,f) = e

4.3 Tres funciones estado

Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado.

4.3.1 Combinación de estados

En ciertas situaciones una función estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que e es el estado total. Por ejemplo, a representa el saldo de Ernesto (E) (lo

1 Pág. 44 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEi •

lUe tiene o debe) en el banco, b el saldo en casa y e el saldo total, suma de a y b. La !Structura funcional de esta clase de problemas es:

a(t) + b(t) = e(t).

Ejemplo: a(t): En el banco E debe 2.

b(t): En casa E tiene 5.

e(t): En total E tiene 3.

Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura: combinación (Ryley y otros, 1983), parte-parte-todo (Carpenter y Moser, 1982), una transformación que une dos medidas (Vergnaud, 1982) y estático (Nesher, 1982).

4.3.2 Combinación de variaciones

Suponemos que a y b son estados parciales del estado total e:

e(t) = a(t) + b(t).

Con el transcurso del tiempo los tres estados varían:

va(~/) = a(f) - (i) vii,!) = b(f) - b(i) v,(i,f) = e(/) - e(i)

De igual forma que en 4.3.1, podemos suponer que a y b representan los saldos de Er­nesto (E) en el banco y en su casa y e es el saldo total. La estructura funcional es:

v a(i,f) + vii,f) = ve(~/)

Ejemplo: v a(i,f): En el transcurso del día E perdió 2 en el banco.

vb(i, /): En el transcurso del día E ganó 5 en su casa.

v,(i,f): En el transcurso del día E ganó 3 en total

4.3.3 Combinación de comparaciones adyacentes

A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (4.3.1 y 4.3.2), ahora las tres funciones estado son "independientes". Por ejemplo, e representa el saldo de Ernesto (E), del de Daniel (D) y g el de Gabriel (G). Podemos considerar las tres comparaciones

c,4 = d - e, c41 = g - d, e,, = g - e.

Decimos que las comparaciones c,4 y c41 son adyacentes y que ceg es la combinación de ambas. La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente:

c,4 + c41 = c,1

Ejemplo: e,¡: D tiene 2 menos que E.

c41: G tiene 5 más que D.

c,1 : G tiene 3 más que E.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 45 •

Estos problemas en su forma de expresión de diferencia han sido denominados composición de dos relaciones estáticas porVergnaud (1982).

4.4 Problemas con cuatro funciones estado

4.4.1 Comparación de comparaciones

Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e, d, g y h. Por ejemplo, represen­tan los saldos de Ernesto (E), Daniel (D), Gabriel (G) y Héctor (H), respectivamente. Si consideramos las comparaciones

Cgh = h - g,

obtenemos la comparación de comparaciones, cuya estructura funcional es la siguiente:

Ejemplo: c,4: D tiene 2 menos que E.

e: Lo que H tiene más que Ges 5 más de lo que E tiene más que D.

Cg6: H tiene 3 más que G.

4.5 Problemas con seis funciones estado

4.5.1 Combinación de comparaciones

Consideramos el estado e que es combinación de los estados parciales a y b: e = a + b. Por ejemplo, e es el saldo total de Ernesto (E), mientras que a y b represen­tan los saldos en el banco y en su casa, respectivamente. Consideramos también el es­tado d = g + h, combinación de los estados parciales g y h: saldo total de Daniel (D), saldos en el banco y en su casa, respectivamente. Las comparaciones de los estados

. -~ parciales y totales son:

c06 = g - a (comparación de saldos en el banco)

cbh = h - b (comparación de saldos en su casa)

c,4 = d - e (comparación de saldos totales)

Entonces resulta que c,4 es combinación de c 06 y cbh• siendo la estructura funcional de esta clase de problemas la siguiente:

Cag + Cbh = c,d ·

Ejemplo: c 06: En el banco, D tiene 2 menos que E.

cbh: En casa, D tiene 5 más que E.

e"': En total, D tiene 3 más que E.

' • Pág. 46 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEi •

Consideraciones finales

Hemos presentado una clasificación general de problemas aditivos verbales que permi­te considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema. Esta clasificación puede ser utilizada con todo tipo de números (positivos y nega­tivos, enteros y no enteros).

No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educa­ción primaria o secundaria, lo cual no sólo sería imposible sino innecesario. Aunque algunos de los problemas que citamos pueden introducirse, no tienen porqué ser trata­dos de forma sistemática. La clasificación que damos y la distinción entre los aspec­tos funcionales y semánticos puede servir de reflexión a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden surgir en los problemas aditivos y los conceptos que están en juego ( estados, comparaciones, variaciones y las relaciones entre ellos).

Por otro lado, la clasificación puede formar parte del soporte teórico en investiga­ciones sobre el tema, ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investi­gación: ¿cuáles son los problemas que presentan mayor dificultad?, ¿influye la forma semántica de expresar las distintas situaciones?, ¿los alumnos comprenden de la mis­ma forma las variaciones expresadas como diferencias, que las comparaciones expre­sadas como diferencias?, por lo tanto, ¿es relevante el tiempo? Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tienen que ver con las representaciones en distintos modelos, como puede ser la recta, de estas situaciones.

En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensión de los alumnos en este tema, la clasificación que presentamos cobrará más o menos utilidad.

Referencias

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de las Matemáticas {pendiente de publicación). Castro, E.; Rico, L. y Gil, F. (1992). Enfoques de investigación en problemas verbales aritméticos

aditivos. Enseñanza de las Ciencias, lO (3), 243-253. Carpenter, T. and Moser, J. (1982). The development o/ Addition and Subtraction Problem-Solving S

kills. En Carpenter, T. Moser, J. y Romberg, T. (ed.). Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective, pp.9-24. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, New Jersey.

Fuson, K. (1992). Research on whole number addition and subtraction. En Grows, D. (de). Handbook o/ Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company, Nueva York..

Nesber P. (1982). Levels of description in the analysis of addtion and subtraction word problems. En Carpenter, T. Moser, J. and Romberg, T. (ed.). Addüion and Subtraction: A Cognitive Perspective, pp. 25-38. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, Nueva Jersey.

Nesher, P.; Greeno, J.G. and Riley, M.S. (1983). Toe development of semantic categories for addition and subtraction. Educati.onal Studies in Mathematics, 13, 373-394.

Riley, M.S.; Greeno, G.J. and Heller, J. l. (1983). Development of children's problem-solving ability in arithmetic. En Ginsburg, H. P. (ed.). The developmenr of mathematical thinking, pp. 153-196. Academic Press, Nueva York.

Vergnaud, G. (1982) A classification of cognitive tasks and operations of though involved in addition and subtraction problems. En Carpenter, T. Moser, J. y Romberg, T. (ed.). Additio11 and Subtraction: A Cognitive Perspective, pp. 35-59. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, Nueva Jersey.

ARTÍCULOS

El encuentro del matemático principiante con la abstracción matemática:

Una imagen conceptual de los conjuntos generadores en el análisis vectorial

~--Resumen------------------------------,

El proyecto de doctorado, en el que se basa este trabajo y que estaba en proceso cuando se escribió el mismo, es un estudio de las dificultades conceptuales y de razonamiento del matemático novel en su encuentro con la abstracción matemática. Para tal fin, 20 pregraduados de matemáticas de primer año an Oxford fueron examinados y se audiograbaron sus pláticas tutoriales semanarias; también fueron entre­vistados dos veces en los primeros dos plazos del año 4lcadémico 1993-1994. Los temas del plan de estudios en Oxford, a los que se refieren las labores tutoriales y las entrevistas, son: Álgebra Lineal, Continuidad y Diferenciabilidad, Topología, Sucesiones y Series, y Grupos, Anillos y Campos. El aná­lisis de datos se dirige al surgimiento de la teoría fundamentada de datos. El contenido del presente trabajo se basa en las entrevistas a 6 de los 20 estudiantes que participan en el estudio. En las partes de las entrevistas que se consideran aquí, los entrevistados analizan los conceptos de las nociones algebraicas de espacio generado (span) y conjuntos generadores (spanning set).

Abstract The doctorate project, on which this paper is based and which was going on when this paper was written, is a study of the novice mathematician's conceptual and reasoning difficulties in their encounter with mathematical abstraction. For this purpose 20 Oxford first year mathematics undergraduates were observed and audio-recorded in their weekly tutorial and interviewed twice in the tirst two terms of academic year 1993-1994. The Oxford syllabus topics, on which the tutorial and interview content draws on, are Linear Algebra, Continuity-and-Differentiability, Topology, Sequences-and-Series and Groups-Rings-and Fields. Data analysis aims at the emergence of data grounded theory. The material presented in this paper is based on the interviews with 6 of the 20 students participating in the study. In the parts of the interviews referred to here, the interviewees dis­cuss their conceptions of the algebraic notions of span and spanning set.

El proyecto de doctorado, en el cual se basa este documento, y que continuó durante la escritura del mismo, es un estudio de las dificultades conceptuales y de razonamiento del matemático principiante en su encuentro con la abstracción matemática. Para este propósito, se observaron y registraron en grabaciones de audio en sus tutorías semana­les a 20 estudiantes del primer año de la carrera de Matemáticas en Oxford, además

Elena Nardi Universidad de Oxford

Reino Unido

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e ser entrevistados dos veces en los primeros dos periodos del año académico 1993-4 . . os temas del programa de Oxford, en los cuales el contenido de entrevistas y tutorías e redactan, son Álgebra Lineal, Continuidad y Diferenciabilidad, Topología, Series ' Sucesiones y Grupos, Anillos y Campos. El análisis de datos se orienta hacia el sur­~imiento de la teoría con fundamento en los datos. El material presentado en este docu­nento se basa en las entrevistas con 6 de los 20 estudiantes participantes en el estudio. ~n partes de las entrevistas referidas aquí, los entrevistados presentan sus conceptos fo las nociones algebraicas de espacio generado y conjuntos generadores.

Introducción

Los orígenes teóricos del estudio, sobre los que se basa este documento, consisten en la comprensión de que una reforma educativa referente a la enseñanza de las matemá-ticas no puede tener lugar en ausencia de una noción de los procesos de pensamiento del alumno. Aunado a la complejidad epistemológica idiosincrásica, intrínseca de las matemáticas, aparece la dimensión cognoscitiva de la didáctica como particularmen­te significativa (Balacheff, 1990).

Con respecto al aprendizaje de las matemáticas avanzadas, este estudio parte de la suposición fundamentada en la literatura, relativa al tema, e.g. (Tall, 1991), de que un matemático principiante enfrenta una serie de dificultades cognoscitivas en su con­tacto con la abstracción matemática. Como se mencionó en presentaciones anteriores de partes del estudio (Nardi, 1994 a y b; 1995; 1996), se piensa en la abstracción tan­to desde una perspectiva psicológica, por ejemplo, el conocimiento que el estudiante de matemáticas avanzadas tiene que formarse de manera axiomática y aprender cómo razonar deductivamente; y desde una perspectiva epistemológica, por ejemplo, que la naturaleza de los objetos del aprendizaje matemático avanzado pueden extenderse mas allá de lo físico o lo numérico.

En lo arriba expresado, el aprendizaje no es visto como aislado en un vacío cog­noscitivo, sino dentro de un contexto sociocultural (Vygotsky, 1962). Por lo tanto, en una rama constructivista del pensamiento (Von Glasersfeld, 1987) la cognición del que aprende, mientras sea personal y de interés individual, es también vista enfáticamente como que tiene lugar en un ambiente de aprendizaje. En este caso, el contexto dentro del cual se lleva a cabo el aprendizaje, es el curso de matemáticas de la licenciatura de Oxford. Este estudio busca construir un perfil psicológico de las dificultades de los principiantes en su contacto con la abstracción matemática por medio del estudio de sus manifestaciones de aprendizaje. Se asume aquí que la cognición sólo puede vol­verse visible y accesible a través de las articulaciones orales y escritas del pensa­miento matemático de los alumnos (en este estudio: orales). Como un proceso de pensamiento, la cognición es esotérica e inaccesible. En realidad, esto es un estudio fenomenológico de la cognición de la matemática avanzada (Curtís.y Mays, 1978).

La experiencia de un Estudio Piloto para este estudio (Nardi, 1994) proporcionó evidencia de que las tutorías dadas a los estudiantes de matemáticas de primer año en Oxford pueden ser una fuente esencial de datos estimando las manifestaciones de cog­nición matemática de los principiantes. Una tutoría es una sesión semanal de 30 a 60 minutos, durante la cual, uno o dos estudiantes discuten el contenido de las clases y de una variedad de problemas con un tutor de matemáticas del Instituto de Matemáticas.

a EDUCACIÓN MATEMÁTICA a Vol. 9. No. l a Abril 1997 • © GEI a Pág. 49 a

Por lo tanto, a diferencia de las clases tradicionales, donde el profesor se dirige a una gran audiencia, las tutorías son un foro en el cual los estudiantes pueden discutir sus preocupaciones matemáticas con un matemático profesional.

La observación, la grabación de tutorías y las entrevistas con los estudiantes obser­vados se escogieron como las técnicas cualitativas a través de las cuales se llega a las expresiones de los estudiantes. La observación de las tutorías en Álgebra Lineal, Conti­nuidad y Diferenciabilidad, Topología, Series y Sucesiones y Grupos, Anillos y Cam­pos fueron relativamente no sistemáticas, pero orientadas por los propósitos cognitivos del estudio así como por la investigación en el campo del pensamiento matemático avanzado. La observación duró 14 semanas y aproximadamente 200 horas. Las entrevistas se llevaron a cabo dos veces y fueron básicamente estructuradas alrededor de temas de matemáticas que durante la observación surgieron como particularmente problemáticos para los estudiantes. La apertura de técnicas metodológicas selectas fue consecuencia natural de la decisión de fundamentar la teoría en los datos generados por este estudio (Glaser y Strauss, 1967).

Durante el análisis de los datos, los registros de las tutorías y las entrevistas fue­ron transcritos y tabulados en términos de su contenido matemático y didáctico. El Material de Tutoría fue repetidamente explorado y, vía un proceso gradualmente más selectivo, se extrajo un número de Episodios de aprendizaje crucial como material de su análisis. El resto, llamado material no Episódico se usa como material de soporte que enriquece y contextualiza los Episodios.

Se presenta un análisis adicional en forma de cinco secciones sobre los Funda­mentos de Análisis, Cálculo, Topología, Álgebra Lineal y Álgebra Abstracta. Cada uno de los Episodios de aprendizaje mencionados arriba se presenta y analiza como un texto. El texto aquí es el conglomerado de la grabación, la transcripción, las notas tomadas durante la observación y los documentos contextuales (hojas de problemas, notas de clase, listas de. lectura). El análisis del texto se apoya por el Material No Epi­sódico y las Entrevistas. Las observaciones psicológicas en cada Episodio se reúnen y se presentan juntas al final de cada sección. La síntesis final de las referencias cruzadas de los ternas de abstracciones teóricas del estudio se basan en la teoría intermedia, que tiene lugar durante las cinco secciones de los ternas.

El Material de las Entrevistas consiste en grupos de presentaciones individuales abier­tas con los estudiantes sobre seis temas particularmente problemáticos: acumulación/ puntos aislados/apertura/cerradura, límite, conjuntos generadores, compacidad, con­vergencia de series y sucesiones, y el Primer Teorema de Isomorfismo para Grupos/ conceptos relevantes. El Material de la Entrevista en cada uno de los seis ternas ante­riores constituye una Unidad Analítica. El Texto para cada Unidad consiste en Trans­cripciones de la Entrevista sobre el terna particular y los Manuscritos con la letra de los entrevistados; también he consultandoA mis notas personales fuera de registro toma­das inmediatamente después de las· entrevistas.

La unidad analítica de la entrevista sobre los espacios generados y conjuntos generadores: Evidencia y Análisis

En este documento presento algunos hallazgos del Análisis de la Unidad Analítica de conjuntos generadores. Las entrevistas de las que se deriva este material se ·

Pág. 50 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GE! •

v2ron a cabo en la última semana del primer período de observación. En el análisis utilizaron aspectos de algunas teorías del aprendizaje comúnmente usadas en el dis­rso didáctico sobre el pensamiento matemático avanzado. Por lo tanto, antes de proce­:r con la presentación de algunos resultados, deseo señalar que se utilizó la noción : imagen conceptual y la definición del concepto como fue acuñada por Vinner y :1.ll (1981). También se usó el término imaginativo en el sentido global del conjunto e imágenes mentales que usa un alumno. Esto puede incluir imágenes notacionales, erbales y pictóricas. A continuación se bosqueja el contexto y el fundamento de la '.olección de Datos y el Análisis presentados en este documento.

Los extractos de entrevistas que aquí se presentan corresponden a la octava sema-1a del periodo de "Michaelmas", primer período de la Universidad de Oxford que dura 1 semanas aproximadamente desde principios de Octubre hasta principios de Di­:iembre. Los seis entrevistados son estudiantes de bachillerato del primer año de natemáticas y desde el tiempo en que se realizaron las entrevistas, ellos han sido )bservados junto con otros catorce estudiantes del mismo nivel de matemáticas por seis semanas (de la tercera a la octava del periodo). La presentación acerca de vectores es la última parte de la entrevista. Antes de que a los estudiantes se les hayan solicitado la presentación de varios temas de Topología (puntos de acumulación y conjuntos abiertos) y Cálcnlo (límites). En la tercera parte de la entrevista, se dieron las pala­bras -o, como se.llamará de aquí en adelante, la Cadena de Términos.

generar, ser generado por, conjunto generador, espacio generado.

y se les solicitó que pensaran en voz alta acerca de ellos. Se observa aquí que las pre­guntas de la entrevista fueron seleccionadas con base en la experiencia de la observa­ción durante la cual algunos conceptos surgieron como particularmente problemáticos. En las semanas anteriores a las entrevistas, todos los participantes parecían muy preocupados con el concepto de conjunto generador y espacio generado. Cuando los tutores les preguntaron acerca de las definiciones de espacio generado y conjun­tos generadores dados en las clases de esa semana, ninguno de los estudiantes pudo recordar. ·

Una averiguación en sus notas de clase nos llevó al descubrimiento de que la defi-nición de espacio dado en las clases fue:

Si S es un subconjunto de un espacio vectorial V, entonces el espacio "generado de S es el subespacio más pequeño de V qu'e contiene a S.

Entonces el teorema nos llevaba a que dado un conjunto X, Ses un conjunto gene­rador de X si X está formada por todas las combinaciones lineales de los elementos de S. Un conjunto generador de un espacio vectorial se llama una base cuando es linealmente independiente. El número de elementos en la base se llama la dimensión del espacio vectorial. En la hoja de problemas de Álgebra Lineal de esa semana, a los estudiantes s~_ les entregaron varios conjuntos y se les preguntó si eran espacios vecto­riales o no, asimismo se les proporcionaron subconjuntos de algunos espacios vec­toriales y se les preguntó si eran subespacios o no. También se les solicitó demostrar algunas propiedades teóricas de conjuntos de subespacios y espacios y usarlos en aplicaciones de la teoría de matrices. Se pudo trazar el mismo patrón en la hoja de problemas de Álgebra Lineal de la siguiente semana, considerando las bases y dimen­siones encontradas.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEI • Pág. 51 •

De lo arriba expresado, es claro que la intención del programa, en este tema en particular, es el de ir construyendo con prudente formalismo los conceptos de espacio vectorial, subespacio y espacio. Posteriormente el concepto de base se trata como un tipo especial de conjunto generador que además tiene la propiedad de independencia lineal. Durante las tutorías, el ejemplo utilizado casi exclusivamente fue el del plano de dos dimensiones. El ordenamiento didáctico anterior de los conceptos es típico en el sentido de que encapsula los principios del formalismo que determinan el contenido y la estructura de la mayoría de los cursos de matemáticas de bachillerato. Se presen­taron a continuación algunas evidencias que la cognición del alumno no parece seguir la misma lógica y estructura.

Las tres observaciones mayores, fundamentadas en el Material de las Entrevistas de esta Unidad, alrededor de las cuales giran la presentación de resultados en las sec­ciones subsecuentes son las siguientes:

• Observación 1 (Espacio en R2). Los principiantes en su presentación de espacios generados y conjunto generador recurrieron al uso de un soporte de representa­ción visual, principalmente en R2, resultando en una perplejidad cognitiva incrementada. Conjetura l. En este tema en particular el uso de una representación visual 'ob­via', como lo es el plano, nos lleva a generar un obstáculo para la comprensión. Consideración Didáctica J. ¿Cómo hacer para que la visualización no cause el efecto anterior?

• Observación 2 (Conjunto generador como una base). Ya sea en forma explícita o implícita, la imagen conceptual dominante en los principiantes acerca de un con­junto generador es que representa una base. Conjetura 2. El desarrollo cognitivo del concepto de conjunto generador no sigue el mismo patrón que su desarrollo espistemológico. · Consideración Didáctica 2. ¿Indica la conjetura 2 una dirección para un posible desarrollo didáctico del concepto de conjunto generador?

• Observación 3 (Gram-Jam). La mayoría de los principiantes en algunos puntos confundieron y utilizaron los términos de espacio generado y conjunto generador ya sea intercambiándolos o usando uno en lugar de otro. Esto no necesariamente condujo a una descripción menos exitosa de los conceptos en comparación con los principiantes que nos confundieron los términos. Conjetura 3. La perplejidad semántica es una característica pero no una compo­nente definitiva de la cognición perpleja. Consideración Didáctica 3. ¿Implica la conjetura 3 una posible prescripción del grado de importancia que la didáctica de las matemáticas avanzadas debe atribuir a la semántica del formalismo matemático?

Se observa que en lo anterior, el término conjetura se usa en el sentido de una propo­sición hipotética que requiere someterse a una prueba posterior de tal manera que puede ser falsa, modificarse o confirmarse.

Como se mencionó al principio, a los entrevistados se les proporcionó la Cadena de Términos y luego se les solicitó que pensaran en voz alta acerca de ellos. Se les animó para que describieran los términos en sus propias palabras y, si lo deseaban, escribir y dibujar en un papel y usar ejemplos.

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Subsecuentemente se les solicitó que dieran definiciones de los conceptos. Si el iernpo lo permitía, la presentación se dirigía hacia las propiedades de los espacios ~enerados y conjuntos generadores, bases y dimensiones. Por lo tanto la mayoría de as presentaciones tenía la estructura:

primera reacción a la Cadena de Términos

intento de formalizar la Cadena de Témiinos

( opcional) presentación de propiedades de alguno de los términos de la Cadena En adelante se presentan algunas evidencias características y un análisis con respecto a la Observación/Conjetura/Consideración Didáctica 2. Las evidencias aquí se toman de cada una de las tres partes de la presentación. En la parte A se presenta la Evi­dencia (extraída de los Datos de la Entrevista), posteriormente, (parte B) se discute la Evidencia para ilustrar cómo emerge la Observacion 2. Subsecuentemente (Parte C) se comenta brevemente el fenómeno cognitivo descrito en la Observación 2 y (Parte D) se señala una implicación didáctica del análisis. Finalmente (Parte E) se tocan algunos puntos relacionados con la Observaciones 1 y 3 y se incluyen estos hallazgos para el análisis de esta Unidad en un marco de hallazgos del estudio.

A: Conjunto generador como una base: La evidencia

Aquí se recolectó la evidencia de la primera reacción de los estudiantes a las Cadenas de Términos en donde los estudiantes demostraron la tendencia de explicar los con­juntos generadores en términos de bases.

• Robert tomó algunos segundos observado la Cadena. Sus palabras después de estos momentos de pensamiento silencioso fueron:

'Digamos se ha obtenido un espacio de vectores, digamos un espacio vectorial V. y me dan un conjunto X que pertenece a ese espacio, digamos R2, entonces cualquier miembro de R2 se puede representar como una combinación de esos dos, así ellos generan el espacio R2. Y esto es equivalente a decir que ese R2 es generado por esos dos vectores.'

Incluso proporcionó (1, 2), (4, 3) como dos vectores de ese tipo.

• La primera reacción de Helena fue proporcionar la definición formal de los tér­minos de la Cadena:

'Dado un espacio vectorial Vy un conjunto S de elementos de V, <S> consiste de la combinación lineal de a1S¡ + ... + a,,sn, [dictando] donde a; pertenece a un campo, ya sea en R o en C, y s; son los elementoslde S. Si <S> = V entonces V esta generado por S '.

Acerca de S agregó:

' ... esto puede ser por ejemplo una base'.

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• Andrew tomó unos momentos tratando de clarificar la pregunta del entrevistador: se admiró cuando se le solicitó que 'hablara específicarnente ... espacios y cosas?'. Después sus primeras palabras, mientras miraba a la Cadena, fueron:

'Usted dijo que un espacio es generado por una base'

• De manera similar a la de Andrew, Chris se sorprendió cuando se le solicitó 'que solo hablara acerca' de la Cadena. Entonces, sus palabras, observando la Cade­na, fueron: .

'Si Usted tiene un conjunto, un espacio vectorial, permítame pensar en un ejemplo, digamos toda matriz cuadrada den x n, em, o hagámoslo más simple toda matriz de 3 por 3, em, luego ... el espacio generado por su base .. es un espacio generado por su base siendo ese espacio generado una combinación lineal de cualquiera de los elementos de la base ... así que algo es una base si el espacio generado es el ... si todo elemento en el espacio se puede construir como una combinación lineal de ciertos elementos en el espacio generado. Pero no tiene que ser una base, quiero decir si algo se genera ... si un conjunto genera otro, entonces todo elemento en el conjunto generador es la combinación lineal de los elementos en el conjunto.'

• Jamie, después de una reacción espontánea negativa al mirar la Cadena, escribió:

T:V - > W

V E V,

con lo qué" posteriormente se sonrojó, y sus palabras fueron:

Un espacio generado, está bien ... trataré de explicarlo ... digamos ... Empezaré con 'es generado por' ... usted tiene una transformación T y ésta envía v a w, ... envía ... no sé ... envía v a w. Entonces la definición de conjunto generador es ... es aquella que debe contener el mínimo número de elementos, tal que ... una combinación li­neal de ellos ... digamos solamente V ... es el espacio vectorial... usted puede encon­trar cualquier v que pertenece a una V grande de tal manera em, .. digamos que V es finita ... entonces el... yo pienso que esto significa un conjunto generador. Un conjunto generador ya que habrá diferentes clases ... em ... una combinación lineal de ellos será igual... llamemos los elementos del conjunto generador de a1 hastaª" y poniendo diferentes alfas se puede obtener cualquier número en V ... y por lo tanto el espacio generador, generar significa ... para espaciar V se tiene que encontrar el... un conjunto de elementos o conjunto de, er, ... matrices o lo que sea eso es ... V consiste de ... esto va a ... es un espacio vectorial... y será n-dimensional y lo encon­trará comúnmente en términos de vectores columna tal vez .. .'

Les preguntamos si podían proporcionar definiciones formales de lo que habían dicho, algunos estudiantes reaccionaron como sigue:

• Robert dijo que él no podía proporcionar una definición formal de <S>. Se le re­cordó que el espacio de S, <S>, se define comúnmente como un conjunto de com­binaciones lineales de los elementos de S. Respondió escribiendo:

<S> = {La;v;:a, E F, v1 e V}

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orna la sumatoria desde 1 hasta k y sus palabras mientras escribía fueron:

' ... donde Fes un campo, V es un espacio vectorial n .. .'.

~n los casos en que los estudiantes parecían renuentes a intentar formalizar en sus ,alabras, se les mostraba un dibujo de un plano con varios vectores distribuidos en toda a superficie (el Dibujo). Luego se repitió la solicitud de intentar proporcionar defini­:iones formales de los términos de la Cadena. Aquí están algunas de sus reacciones:

• Andrew reaccionó a los Dibujos con

' ... Como dije, el plano es generado por cualesquiera dos de ellos linealmente independientes. El espacio del este plano ... son cualesquiera dos vectores lineal­mente independientes.'

Así, el plano está generado por dos vectores, agregó el entrevistador,

' ... puesto que el generador de ese plano son cualesquiera dos vectores linealmente independientes.'

continuó Andrew. Cuando se le preguntó sobre el contenido de <{(1,0), (0,1)}> respondió:

'cualquier combinación lineal de éste y éste.'

• La reacción de Margaret sobre el Dibujo fue:

'Básicamente sólo necesitas dos vectores si tienes un plano. Dos vectores que se encuentran en ese plano y cualquier otro vector en ese plano se puede expresar como una combinación lineal de los otros dos si em, ... sir y s se encuentran en el plano, llamado V, entonces cualquier vector que se encuentre en V se puede escri­bir como una combinación lineal de éstos. Por lo tanto, ese es el conjunto genera­dor y V es el espacio generador de S.'

• La reacción de Chris al Dibujo fue

'Así por ejemplo, el espacio generado por S es la combinación lineal de todos los elementos de S. Así, el espacio generado por S es mucho más grande que S. S puede tener, S puede ser sólo (0,1) y (1,0) y entonces el espacio generado por S será todo (a,b). Así, el espacio generado porS es R2 ... así este espacio generado es éste. S es generado por esto. Eso es el espacio generado por S. Eso es el conjunto gene­rador de eso.'

• Jamie escribió unax y unay en el Dibujo y dijo:

'Er, ... digamos que ... y decimos que ... digamos simplemente esa dirección es y y esta dirección es x, entonces una combinación lineal, ... para ser zm conjunto generador, éste debe ser una combinación lineal de cualquier punto en el plano ...

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Así podemos tener (1,0) ... este plano puede generarse por (1,0), (0,1) porque es linealmente independiente ... y no puedo recordar si estos son a1 (1,0) más a

2 (0,1)

y se puede obtener ... cualquier punto en el plano.'

Mientras tanto ella había escrito

<(10)(01)>

a1(0 1) + a2 (1 0) =

trazó unos ejes cartesianos y marcó los puntos (1, 0) y (0, 1) en ellos. Cuando se le exhortó para que utilizara las palabras de la Cadena, ella dijo:

'Em, ... estos dos vectores aquí generan el plano. Ellos son un generador del plano.'

En la presentación de las propiedades por <S>, por primera vez Helena se refiere al plano y Chris se refiere a un paralelo entre el espacio generado y las operaciones sobre los renglones y la forma escalonada de las matrices. Los ejemplos de conjuntos generadores que utilizaron nuevamente resultaron en ser bases.

B. Conjunto generador como una base: un fenómeno cognitivo que emerge de las tendencias de los estudiantes

En la evidencia citada en la Parte A, una tendencia (de un conjunto generador como una base) aparece como dominante en la actitud de los estudiantes hacia el concepto de conjunto generador. Se observa aquí que los extractos presentados en la sección previa son substanciosos en muchas otras perspectivas también. Por ejemplo, estos pue­den analizarse desde la perspectiva de las Observaciones 1 y 3. Aquí, sin embargo, el análisis se centra en el material, desde la perspectiva de la Observación 2. Revisando ahora la actitud de los estudiantes hacia el concepto de conjunto generador como se expresa en los extractos mencionados anteriormente se llega a que:

• Robert empieza hablando acerca de un espacio vectorial general, pero pronto cam­bia a un R2 y da dos vectores, (1 2) y ( 4 3), que 'generan el espacio R2 '. Observo que esos dos vectores sí generan R2

• Incluso, forman una base para R2• Cuando se

le pregunta si puede proporcionar definiciones formales, dice que no, pero cuando el entrevistador proporciona una definición verbal del generado de S, él produce una impecable expresión teórica para <S>.

• La impecable presentación formal de Helena concluyó con una referencia a un conjunto generador S: 'éste puede ser por ejemplo una base'. Hacia el final de la entrevista, mientras se discutían algunas propiedades de <S>, ella proporcionó ejemplos de conjuntos generadores que sucede que todos eran bases.

• Las primeras palabras de Andrew acerca de la Cadena fueron: 'Un espacio es ge­nerado por una base'. Cuando se le mostró posteriormente el Dibujo, reafirmó su postura con ' ... como dije, el plano es generado por cualesquiera dos de aquellos que son linealmente independientes' y 'el generador de ese plano es cualesquiera

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dos vectores linealmente independientes'. Sín embargo, cuando se le preguntó acerca del contenido de < { (1 0), (O 1)} respondió: 'cualquier combinación lineal de éste y éste'.

• De manera similar que Andrew, Margaret reaccionó con el Dibujo como sigue: 'Bá­sicamente se necesitan sólo dos vectores si se tiene un plano. Dos vectores que se encuentran en ese plano y cualquier otro vector en el plano se expresa como una combinación de los otros dos ... Por lo tanto, ese es el conjunto generador y V es el generador de S'.

• Chris se fue inmediatamente a los ejemplos. Primero matrices de n x n después simplemente matrices de 3 x 3, las cuales sin embargo, nunca volvió a utilizar en su monólogo nuevamente. Para Chris un espacio vectorial es 'el generado por su base' y un espacio generado es 'una combinación lineal de cualquiera de los ele­mentos en la base'. Concluyó después que ' ... así, algo es una base si lo que genera es el ... si todo elemento en el espacio puede construirse como una combinación lineal de algunos elementos en el espacio generado'. Sin embargo, mencionó que 'No tiene que ser una base ... si algo genera'. (Se observa que el trabajo de Chris tiene mayor sentido si uno tiene en mente que Chris frecuentemente mezcla los términos espacio generado y conjunto generador.) Al reaccionar respecto a los Di­bujos, Chris explicó que 'por ejemplo, el espacio generado por S es una combina­ción lineal de todos los elementos de S. Así, el espacio generado por S es mucho más grande que S. S puede tener, S puede ser sólo (O, 1) y ( 1, O) y luego el espacio generado por S será todo (a, b). Así, el espacio generado por Ses R2 •• .'. Además, hacia el final de la presentación los ejemplos sobre matrices de Chris fueron todos de conjuntos generadores que sucede que son bases.

• Jamie, probablemente bajo la influencia de los estudiantes involucrados recientemen­te con mapeos lineales entre espacios vectoriales, tomó unos minutos tratando de incorporar mapeos lineales en su monólogo. Sin embargo, nunca regresó al mapeo T que definió al principio. De acuerdo con Jamie 'la definición de conjunto gene­rador es ... que éste puede contener un número mínimo de elementos, tales que ... para cualquier combinación lineal de esos elementos puede encontrar cualquier número en ... espacio vectorial V ... puede encontrar cualquier v que pertenece a una V grande'. Posteriormente Jamie hizo hincapié en que ella estaba hablando acerca de uno entre varios conjuntos generadores que existen. En sus últimos enun­ciados dio la impresión de que estaba hablando teniendo en mente matrices. Reac­cionando al Dibujo trazó 'las direcciones x y y' ' y afirmó 'para ser un conjunto generador, éste debe ser una combinación lineal de cualquier punto en el plano' y que 'ese plano puede ser generado por (1, O), (O, 1) debido a que son linealmente independientes'. Entonces 'que estos dos vectores generan el plano. Ellos son ge­neradores del plano' .

. En los estudiantes mencionados arriba, consci~n1e, sem~co~~m•o inconsciente­mente dieron la impresión de mantener una imagen conceptual·de un conjunto genera­dor que es al mismo tiempo linealmente independiente;· es decír, que son base del espacio vectorial en cuestión. Ninguno de ellos ofreció· ejemplos de un conjunto gene­rador que generaba el espacio vectorial en cuestión pero que no fuera linealmente independiente. Además, la definición dada en las clases de <S> como el subespacio más pequeño de .V que contiene a S pareció suprimirse por los estudiantes por un situa­ción de olvido e inercia. En cambio, la definición de <S> como un conjunto de una

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combinación lineal de los elementos de S prevaleció y dio la impresión de cohabitar armoniosamente con los ejemplos de conjunto generador (bases) que los estudiantes utilizaron comúnmente. Mi impresión durante las entrevistas fue que los estudiantes no se dieron cuenta de la particularidad de los ejemplos que usaron ni de su imagen conceptual respecto a que un conjunto generador tiene inconscientemente mezclado el de una base. Puedo afirmar que esta impresión no tiene que ver con la concepción de los estudiantes de las definiciones de un conjunto generador y una base sino de sus imágenes conceptuales (esto es el conjunto de asociaciones al nombre de un concepto incluyendo representaciones visuales, experiencias e impresiones del concepto -como define Shlomo Vinner). Es interesante observar el conflicto cognitivo que se puede ge­nerar en el caso de que el estudiante confronte una yuxtaposición de conjuntos genera­dores que son bases y conjuntos generadores que no lo son.

C. Conjunto generador como una base: una interpretación del fenómeno

Conceptualmente la noción de conjunto generador es un concepto de soporte a la noción de una base. Utilicé el término de Bruner (1962) 'soporte' extendiendo su noción didáctica para incluir la construcción epistemológica del concepto de base como una particularización del concepto de conjunto generador. En sí mismos los conjuntos generadores no son particularmente interesantes como lo son las bases: buscar una base involucra buscar el mínimo número de vectores linealmente indepen­dientes que generan un espacio vectorial. Esto es claramente muy significativo en los casos en que una infinidad de vectores se pueden expresar en términos de un número finito de ellos. Así, por ejemplo, en el plano, puesto que dos vectores son suficientes para generar una expresión para todo vector, la noción general de conjunto generador es vista por el estudiante como redundante y, en lo que pudo ser visto, como una actitud de minimización sustituida por la más especifica noción de base. Así, si dos vectores pueden generar una expresión para cualquier vector en el plano, la posi­bilidad de hablar acerca de conjuntos generadores utilizando más de dos vectores se descarta por redundante. Uno se admira de cómo la opción de los estudiantes de dos elementos para el plano fue coincidentemente correcta ( ésta no hubiera sido si Robert, por ejemplo, hubiera seleccionado (1 2) y (4 8) en lugar de (4 3) o hubiera existido un relación tácita de independencia lineal).

D. Conjunto generador como una base: una implicación didáctica

Uria base es un conjunto generador que es también linealmente independiente. Sin em­bargo, la noción de base parece ser más inmediatamente entendible, comprensible, asimilada y puestá en uso por los principiantes. Un enfoque didáctico que respeta el orden preferido por los principiantes podría requerir el evitar la perplejidad cognitiva que la mayoría de los principiantes deben enfrentar en su primer encuentro con la no­ción de conjunto generador. Las respuestas al concepto de conjunto generador de los estudiantes que participaron en este estudio constituye alguna evidencia: su primer

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1cuentro con los conjuntos generadores y espacios generados en las clases resultaron n un entendimiento complicado y perplejo. Unas pocas semanas más tarde, en las ntrevistas, se observó que una gran parte de las imágenes conceptuales de los estu­iantes sobre conjuntos generadores es ocupada por las bases. Un reordenamiento di­láctico de los conceptos puede facilitarlos evitando la perplejidad inicial como la .ubsecuente potencial inconformidad de compartir una imagen conceptual no equiva­ente entre los conjuntos generadores y las bases.

E. Algunos hallazgos del material de las entrevistas del análisis de conjunto generador desde la perspectiva de las observaciones 1 y 3. Incluyendo aquellos dentro de todo el marco analítico del estudio

Como se mencionó anteriormente, en este artículo se presentaron algunos resultados del análisis del material de las entrevi~tas de este estudio sobre espacios genera­dos y conjuntos generadores. El análisis de este material ha resultado en la construc­ción de tres principales Observaciones/Hipótesis/Implicaciones Didácticas, una de las cuales, la Observación/Hipótesis/Implicación Didáctica 2, se ha elaborado hasta aquí. La presentación motiva e ilustra el proceso teórico fundamentado en los datos que caracterizan a este estudio: esta es la razón por la que los hallazgos se han pre­sentado gradualmente desde las palabras expresadas por los estudiantes como base de su explicación, hasta la articulación teórica del fenómeno observado en su compor­tamiento, una posible interpretación y una sugerencia didáctica. Este enfoque, resaltado por el propósito de cubrir un amplio rango de temas matemáticos y procesos cognitivos, refleja la estructura del estudio como un todo. Antes de terminar me referiré en forma general a algunos hallazgos de las Observaciones/Conjeturas/ Implicaciones Didácticas 1 y 3 y de cómo los hallazgos del análisis del material de las entrevistas sobre generación de espacios y conjuntos generadores están inmersas en el Proceso de Análisis de Datos del estudio.

Una breve referencia a la Observación/Conjetura/Implicación Didáctica 1. Los principiantes recurrieron preferentemente a utilizar un R2 como contexto de su dis­curso sobre espacios generados y conjuntos generadores. Esto frecuentemente resultó en el uso del plano en donde los vectores se tornan como objetos caracterizados por las propiedades de la Geometría Euclidiana. La imagen conceptual de un vector es una versión modificada en donde surgen la noción de un par ordenado de coordenadas (a, b) y la expresión (a, b) surge. Puntos y vectores del plano se convierten en concep­tos cargados con ambigüedad, como se observa en el siguiente párrafo de las palabras de un estudiante en esas entrevistas. El estudiante está explicando qué es el espacio generado por los vectores (1 O) y (O 1):

'Ah. El espacio generado ... ( 1, O), (0, 1) ... Pienso que son un espacio por sí mis-mos ... porque son sólo dos puntos .. Em, ... así no es necesario encontrar una combinación lineal de er, ... vectores que hagan estos puntos porque ... existe solo uno para cada uno.'

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Ocasionalmente se observó que el uso de imágenes era totalmente inapropiado, pues­to que las características de un contexto en particular se mezclan y se adjuntan a un todo que sus partes son difícilmente distinguibles (Nardi, 1994b).

Más aún, existe algo de evidencia con respecto a la motivación de los estudiantes cuando usaron ejemplos para hablar en forma general acerca de espacios generados o conjuntos generadores: daba la impresión de que no emanaba de una genuina creencia en la vívida representatividad del ejemplo, como una reflexión de sus ideas abstractas sino como un mecanismo que se les obligaba a usar debido a que no eran capaces de formalizar o a que el ejemplo estaba aún fresco para recordar de las clases y no necesariamente correcto. En estas entrevistas hubo solo un alumno que contestó las preguntas con facilidad para ilustrar las ideas y un alto grado de formalismo. Esta estu­diante no utilizó ningún ejemplo ni recurrió a la imaginación visual. La única ocasión en que lo hizo fue hacia el final de la entrevista debido a que no pudo reproducir con facilidad una prueba formal para una de las propiedades de <S>. Se suscitó entonces la pregunta, considerando el uso ocasional de la imaginación inapropiada citada an­teriormente, siendo que esta estudiante había alcanzado un grado de abstracción con­siderable, ¿hizo esto a pesar o debido a que abandonó algunos usos específicos de la imaginación?

Una posible relación entre la Observación/Conjetura/Implicación Didáctica 1 y 2. Considerando la breve referencia a la Observación 1 y la siguiente a la Observación 2 en las Partes A-D, una posible relación comienza a emerger: ¿Los estudiantes se refieren exclusivamente a un R2 , como un contexto ejemplificador de su imagen persistente de los estudiantes del conjunto generador para R2 , como consistir de 'sólo dos vectores', podría ser razonable inferir que esta imagen influye en su imagen de un conjunto generador con la de un espacio vectorial en general.

Una Breve Referencia a la Observación/Conjetura/Implicación Didáctica 3. En estas entrevistas se ha proporcionado cierta evidencia de que existe una confu­sión gramatical en los términos espacio generado y conjunto generador. Esto no necesariamente refleja una confusión conceptual profunda. En algunas ocasiones las descripciones de los conceptos dados por los estudiantes que confundieron los términos, no fueron menos exitosas comparadas con las de aquellos estudiantes que no confundieron los términos. Esto hace aparecer la cuestión de que en realidad la perplejidad semántica no siempre necesariamente refleja una profunda cogni­ción perpleja. Un caso extremo de esto ocurrió en aquellas entrevistas cuando los estudiantes, quienes a lo largo de toda su presentación mantuvieron los términos a veces en su lugar correcto y a veces reemplazando uno por otro. Extrañamente, este estudiante no falló al proporcionar definiciones formales casi perfectamente acep­tables de espacio generado y de conjunto generador sin importar que se refirió a espacios generados como conjunto generador o viceversa.

Incluyendo el análisis del material de las entrevistas de espacios generados y conjuntos generadores en el proceso del análisis de los datos del estudio. Cuando se escribió este artículo, tanto la Entrevista corno el Material Tutorial estaban todavía en un proceso de transformación intensa y el objetivo del análisis se estaba también formando. Dado que, el Material de la Entrevista se enfoca más sobre las metas de los estudiantes que sobre la introducción de un número de conceptos nuevos (aspectos tí­picos de la cognición de los matemáticos principiantes), mientras que el Material Tutorial, y en mayor medida el Material Episódico, se centra en la evolución de la cog­nición de los principiantes en el periodo de observación (cruzamiento de los aspectos ,

..

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temáticos/psicológicos); el análisis de lo anterior ha cambiado los análisis de éste últi­mo. En este sentido, observaciones tales como las elaboradas en este artículo sobre el nuevo concepto introductorio de Espacio Generado y Conjunto Generador se han usado corno las partes que constituyen un micro-discurso de la cognición del matemático principiante, el cual alimenta el macro-discurso de este estudio. Este macro-discurso describe la Construcción y Formalización de Imágenes Conceptuales como un fenó­meno de dos características en el Encuentro de Principiantes con la Abstracción Ma­temática. Desde la perspectiva de este discurso, entonces, los Datos y el Análisis presentados en este artículo ofrecen el sabor de los puntos de arranque del análisis. Publicaciones futuras de partes de este estudio posiblemente se referirán a cómo evolu­cionó el estudio desde el punto en el que estaba al momento de escribir este artículo.

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Reconocimientos:

Agradezco calurosamente a mi supervisor Dr. Bárbara Jaworski por la fructífera discusión de la primera ver­sión de este artículo .

Los indivisibles de Cavalieri: una perspectiva plausible para el

aprendizaje del cálculo de volúmenes

ARTÍCULOS

.----Resumen--------------------------------,

En la enseñanza escolarizada los sólidos aparecen en el nivel básico, incluso las fórmulas correspon­dientes para calcular el volumen y la superficie, en particular, de algunos prismas, de algunas pirámides, del cilindro, del cono y de la esfera. Después de este primer acercamiento, es hasta el curso de Cálculo Integral, en el bachillerato, que los sólidos vuelven aparecer, para calcular sus volúmenes, con la nueva herramienta que proporciona este curso, que de paso sirve para justificar aquellas fórmulas que ocurrían en la primaria. El propósito de este escrito es presentar un acercamiento intermedio entre los dos men­cionados, que corresponde a una etapa anterior a la invención del Cálculo por Newton y Leibniz, así como en la evolución del concepto de integral, ya que este último concepto es el utilizado en el bachille­rato. Por lo tanto, a partir de la concepción de indivisible de Cavalieri y su plausibilidad a través de una pila de tarjetas, se genera un acercamiento que permite aceptar el Principio de Cavalieri, con el cual se encontrarán dichos volúmenes. Finalmente, esta propuesta se ubica en el bachillerato

Abstract During the educational period, solids appear at basic leve! and so do formulae for calculating volumes and surfaces, particulary from sorne prismads, pyramids, from the cylinder, the cone and the sphere. After this first aproximation, the solids don 't appear again until the Integral Calculus subject at high school, which by the way help to justify those formulae that carne about during elementary school. The airo of the present article is to confer an intermediate approach between the two mentioned before that match with the previous stage to the Newton and Leibniz's Calculus invention, as well as the evolution of the integral concept aprofitated while in high school. Therefore, beginning with Cavalieri 's indivisible conception and its plausibily through a bunch of cards, it might be possible to generate an approach which allows us to accept Cavalieri's Principie, where these volumes may be found. Finally, the present proposal might be useful during high school.

Gonzalo Zubieta B. CINVESTAV, México, D.F.

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Introducción

De todas las obras conocidas de Arquímedes, la singular es El método, puesto que en 1 ella nos ilustra la manera en que él obtenía resultados, desconocidos en su época. Cite­

mos un fragmento del prefacio, donde Arquímedes le comunica a Eratóstenes lo siguien­te: " .. .la peculiaridad de un cierto método, por el cual es posible que usted investigue algunos de los problemas en matemáticas por medio de la mecánica. Este procedimien­to es, yo estoy persuadido, no menos útil aún para la prueba de los teoremas mismos; puesto que ciertas cosas son más claras para mí por un método mecánico, aunque ellas debieran ser demostradas por la geometría posteriormente, ya que su investigación por el método dicho no proporciona una demostración. Pero es desde luego más fácil, cuando previamente hemos adquirido por el método algún conocimiento del asunto, para suministrar la prueba, que hallarla sin ningún conocimiento previo." [Great books of the western world, Vol. 11; 1978; págs. 569-570].

Es decir, Arquímedes reconocía como valioso, contar con algún procedimiento heurístico que le permitiera hallar resultados, para posteriormente suministrar la demostración, esto es, validar el resultado, acorde con los criterios y reglas de la mate­mática de su época. Esta posición de Arquímedes acerca de la producción de conoci­miento y su validación, ceñida a los criterios y reglas de la matemática en un momento detenninado es, en relación a la tarea de la epistemología de las ciencias, revisitada por el Empirismo lógico, a principios de este siglo, donde denomina a la "producción de conocimiento" contexto de descubrimiento y a la "validación" de dicho conocimiento, contexto de justificación. Sin embargo, esto contraría uno de los postulados episte­mológicos de Piaget, que parafraseándolo dice: los criterios de justificación no pueden ser independientes de la naturaleza de los "objetos" de los que se habla en una teoría. [Piaget y García; 1989; pág. 9].

Para el aprendizaje, que es nuestro interés, los acercamientos que podamos realizar, • esto es, en el proceso de construcción del conocimiento existe validación, aunque no con

todas las exigencias de los criterios y reglas de la matemática actual, pero tampoco tan • ajena a esta última, ya que en el caso que presentaremos, fue una etapa en su desarrollo .

. Antecedentes

Todos hemos tenido en nuestras manos una pila de tarjetas rectangulares (por ejem-. plo, una baraja), si las ponemos sobre una mesa, de manera que estén una sobre otra coincidiendo, dan el aspecto de formar un prisma rectangular recto. Ahora, si move­mos esta pila y a la vez giramos las tarjetas, cambiamos el aspecto del sólido anterior, formando uno nuevo. Intuitivamente nos convencemos de que los volúmenes de ambos ,sólidos son iguales por estar formados por las mismas tarjetas; en esta transformación no hemos alterado los componentes individuales que forman a ambos sólidos (Fig. 1):

Figura 1

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La palabra indivisible proviene de Demócrito y desde entonces muchos matemá­ticos la han utilizado, entre ellos Arquímedes y Bonaventura Cavalieri (1598-1647). El libro que hizo famoso a Cavalieri entre los matemáticos fue Geometría indivisibilibus continuorwn nova quadam ratione promota, que en lo que sigue lo referiremos como Geometría. Citemos una fuente secundaria [Andersen,1985, págs. 300-301]:

111.1. La primera definición en el libro II de Geometría introduce el concepto de ''todas las líneas" (omnes lineae):

Si a través de tangentes opuestas a una figura plana dada, dos planos paralelos e indefini­damente se producen planos, ya sea perpendiculares o inclinados al plano de la figura dada, y si uno de los planos paralelos es movido hacia el otro, permaneciendo aún paralelo a él, hasta que coincida con él, entonces las líneas únicas las cuales durante el movimiento for­man las intersecciones entre el plano móvil y la figura dada, juntas todas, son llamadas todas las líneas de la figura, tomada una de ellas como regula; esto cuando los planos son perpendiculares a la figura dada. Cuando, sin embargo, los planos son inclinados a la figura las líneas son llamadas todas las líneas de la misma figura dada con respecto a un tránsito oblícuo (obliqui transitus), la regula siendo igualmente una de ellas.

Cavalieri agrega que cuando el plano móvil es perpendicular a la figura dada "to­das las líneas" pueden ser caracterizadas como recti transitus.

El concepto importante en la teoría de Cavalieri acerca de figuras planas es exacta­mente el de "todas las líneas" recti transitus, las cuales el también llama los indivisi­bles de una figura dada (Geometría, p. 114: "indivisibilia. s. omnes lineas figurae").

Vamos a considerar una figura plana como F = ABC en la figura 111.1 y sea la línea BC la regula determinando una dirección en el plano de F. "Todas las lí­neas"pertenecientes a F, tomando BC como regula, constituyen el conjunto de cuerdas en F paralelas a BC. Es útil tener una notación para este conjul'lto y yo elijo el símbo­lo Oil)ac (O de omnes). Si no hay duda acerca de la regula, el símbolo OF(l) será usa­do. Además, yo encuentro conveniente emplear el término colección de líneas de F en lugar de "todas las líneas".

A A

B e B e F 0¡:(I)

Figura 111.1

En forma análoga a la cita anterior, si en lugar de una figura plana tenemos un sólido, podemos considerar un plano, como regula, que a partir de la base del sólido se desplaza, manteniéndose siempre paralelo a la base e intersecta al sólido dado en una infinidad de figuras planas paralelas.

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Es decir, una figura plana la estamos considerando como formada por una infini­dad de segmentos de recta paralelos; análogamente, un sólido lo consideraremos como formado por una infinidad de figuras planas paralelas.

A continuación enunciamos el Principio de Cavalieri para sólidos, que es lo que utilizaremos para todo lo que sigue:

Principio de Cavalieri

Si dos sólidos tienen la misma altura, estando sus bases sobre un mismo plano y si las secciones determinadas por planos paralelos a las bases y a igual distancia de ellas, están siempre en la misma razón, entonces los volúmenes de los dos sólidos están en esa misma razón.

Debido a la discusión anterior, que antecede a la formulación del Principio de Cava-. · lieri, aceptaremos como válido dicho principio, sin proporcionar ninguna demos­

tración acorde a los criterios y reglas de la matemática actual, puesto que nuestro interés es mostrar que con una noción intuitiva con significado para el estudiante es posible que acepte el principio enunciado, como algo más natural, que fundamentar­lo por medio de criterios y reglas que poco le dicen al estudiante de bachillerato.

• Prismas

Suponemos que el estudiante sabe como calcular el volumen del prisma rectangular recto, esto es, área de la base por altura. Si no lo supiera, se le auxilia para que obtenga dicha fórmula.

A continuación, se ilustra como obtener el volumen de un cilindro oblícuo, de base circular y altura dada. Para ello, se construirá un prisma rectangular recto, que tenga su base en el mismo plano en la que está la base del cilindro y además, que su altura sea la del cilindro, porque es otra de las condiciones mencionadas en el principio de Cavalieri (Fig. 2):

-----_T ___ ----H T

h

_1_1

Figura 2 Los datos son:

PRISMA RECTANGULAR RECTO: área de la base = A, altura = H

CILINDRO CIRCULAR OBLÍCUO: área de la base = r, altura = H

VOLUMEN DEL PRISMA = AH

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Ahora, consideramos un plano paralelo al de las bases a una distancia h ( obsérvese en la Fig. 2, en particular en el prisma rectangular, que la figura sombreada es congruente con la figura que es la base del prisma. Análogamente, para el cilindro, la figura som­breada que aparece es congruente a la figura que es la base del cilindro) intersectando a ambos sólidos en las figuras sombreadas correspondientes, teniéndose:

Área sombreada en el prisma = A Área sombreada en el cilindro = r2

Como A/rr:2 = constante, utilizando el Principio de Cavalieri se tiene:

Volumen del prisma = volumen del cilindro

AH volumen del cilindro

de donde, Volumen del cilindro = rr:r2H

=

En forma análoga se calcula el volumen de cualquier otro prisma.

Pirámides

A rcr2

Mientras que para el prisma cada vez que lo intersectamos por un plano paralelo a la base, la intersección es una figura plana congruente a la figura representada por la base, para el caso de las pirámides, cuando el plano que la intersecta es paralelo a la base, dicha intersección es una figura plana semejante a la figura que representa la base de la pirámide. Por lo tanto, un primer resultado que debemos tener presente en esta sección es el siguiente:

Dada una pirámide de base triangular, si la intersectamos por un plano paralelo a la base, la figura resultante es semejante a la base. Aquí el profesor debe ayudar a sus estudiantes para verificar la semejanza, puesto que los triángulos considerados no están en el mismo plano sino que están en planos paralelos, lo que les ocasiona una dificultad adicional. Habiendo resuelto este caso, se pasaría a una pirámide de base poligonal, la cual puede reducirse al caso anterior, previa triangulación del polígono representado por la base.

El otro resultado importante para lo que sigue es: si dos polígonos son semejantes, el cociente de sus áreas es el cuadrado de la razón de semejanza. Es decir, el profesor deberá cerciorarse de que sus estudiantes conocen este resultado, si no es así, tendría que trabajar con ellos para que lo comprendieran. Una dificultad que aparece es la se­mejanza de polígonos, ya que para los triángulos la semejanza se sigue de la congruen­cia de ángulos correspondientes en ambos triángulos, mientras que para polígonos no es así, por ejemplo, un cuadrado y un rectángulo (largo y ancho distintos) tienen ángu­los congruentes, sin embargo, no son semejantes.

Finalmente, veamos que el volumen de una pirámide triangular es un tercio del área de la base por la altura. Para~llo, consideremos la Fig. 3:

.... P:íg. 66 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI •

w z

w z / /A w

p

e A -· e

B B

B

Figura 3

A la izquierda, la pirámide dada P-ABC; a su derecha el prisma triangular ABCZPW, que comparte tres caras de la pirámide dada, en particular, una de ellas la base ABC. Veamos cómo se construye este prisma a partir de la pirámide dada:

En el plano determinado por la cara PBC se traza por P una paralela a BC y por C, una paralela a BP, intersectándose estas rectas en W, es decir, BCWP es un paralelo­gramo que está en el plano BCP. En forma análoga, si consideramos el plano determi­nado por la cara PBA, en el, completarnos el paralelogramo PBAZ, al trazar por P y A, paralelas a las aristas BA y BP, respectivamente. Uniendo los puntos Z y W, por medio de un segmento, completarnos el prisma ABCZPW.

Ahora, en el extremo derecho de la Fig. 3, aparecen las tres pirámides triangu­lares en que se secciona el prisma ABCZPW. Nuestro propósito en lo que sigue es argumentar a favor de que estas tres pirámides tienen el mismo volumen y por lo tanto, el volumen del prisma es tres veces el volumen de una cualesquiera de estas tres pirá­mides, veámoslo:

Las pirámides P-AWZ y P-ACW tienen sus bases congruentes, ya que AW es una diagonal del paralelogramo ACWZ y por lo tanto, los dos triángulos que determina di­cha diagonal sabemos que son congruentes; además ambas pirámides· tienen la misma altura, ya que es la distancia de P al plano determinado por el paralelogramo ACWZ.

También las pirámides A-PWZ y P-ABC tienen sus bases congruentes, debido a que PWZ y ABC son caras opuestas del prisma; además, su altura es la misma porque es la altura del prisma, es decir, la distancia entre caras situadas en planos paralelos.

Ahora, en una pirámide triangular de altura H, si se traza un plano paralelo a la base a una distancia h (h menor que H) intersectando a la pirámide en un triángulo T, semejante al triángulo que representa a la base, resulta (por el segundo comentario, al inicio de esta sección) que:

(área del triángulo T)/(área de la base) = [(H - h)IH]2

lo que nos permite afirmar:

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Si dos pirámides triangulares, colocadas en un mismo plano, tienen bases con­gruentes y la misma altura, al intersectarlas con un plano paralelo a las bases (menor que su altura), resultan los triángulos T y Q, respectivamente, que cumplen:

área del triángulo T = área del triángulo Q

es decir, si aplicamos el principio de Cavalieri a estas dos pirámides, obtenemos:

Volumen de una pirámide Volumen de la otra pirámide

= área del triángulo T = 1 área del triángulo Q

lo que nos muestra que ambas pirámides tienen el mismo volumen. Habíamos encontrado que el prisma construido ABCZPW quedaba seccionado

por las pirámides: P-ABC, A-PWZ y P-ACW. Las dos primeras y las dos últimas tienen bases congruentes y la misma altura, respectivamente, por lo cual, al considerar el resultado anterior, podemos decir que tienen el mismo volumen, de donde obte­nemos lo anunciado:

3(Volumen de P-ABC) = Volumen del prisma

Volumen de P -ABC = !(área del triángulo ABC) (altura)

Una aclaración es pertinente: en la conclusión del principio de Cavalieri se tiene el cociente de los volúmenes de dos sólidos igualado a una constante, por lo que, en nues­tro caso de pirámides, era necesario conocer el volumen de una pirámide particular, para poder calcular el volumen del otro sólido.

Habiendo establecido los resultados básicos de esta sección, ilustraremos cómo calcular el volumen de un cono circular, utilizando el principio de Cavalieri: En este caso los datos son:

H

h 1_

Figura4

PIRÁMIDE TRIANGULAR: área de la base = B, altura = H

CONO CIRCULAR: área de la base = nr2 altura = H

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE TRIANGULAR = (1/3) BH

Ahora, al trazar un plano paralelo a las bases a una distancia h, obtenemos las inter­secciones correspondientes a pirámide y cono, sombreadas en la Fig. 4. Al aplicar el primer enunciado de esta sección, a la pirámide y luego al cono, obtenemos:

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(Área sombreada en la pirámide)/B = [(H - h)IH)F

Área sombreada en la pirámide = B[(H - h)IH]2

(Área sombreada en el cono)/(1rr2) = [(H - h)!Hf

Área sombreada en el cono = nr2 [ (H - h)IH]2 y como

(área sombreada en la pirámide)/(área sombreada en el cono) = const.

siendo esta constante igual a: B/nr2•

Finalmente, por el principio de Cavalieri, tenemos:

Volumen de una pirámide = 1/3 BH B =--Volumen del cono Vol. del cono

es decir: Volumen del cono Como puede apreciarse, la diferencia entre prismas y pirámides al utilizar el Prin­

cipio de Cavalieri, radica en la comparación de los indivisibles, correspondientes a la intersección de un plano paralelo a las bases con los sólidos considerados, que en el primer caso, da lugar a emplear figuras congruentes, mientras que en el segundo, dá lu­gar a considerar figuras semejantes.

Por otro lado, el mencionado Principio se utiliza en situaciones más espectacu­lares, como es la que ilustramos a continuación:

Se trata de calcular el volumen de una esfera. Para ello, consideramos un hemis­ferio, esto es, la tapa superior del cilindro es el círculo máximo del hemisferio y ade­más, el centro del círculo correspondiente a la tapa inferior del cilindro, también es un punto del hemisferio (Fig. 5, izquierda). Si trazamos un plano paralelo a las bases del cilindro, este plano intersecta al cilindro y al hemisferio en dos círculos concén­tricos que determinan un anillo. Si el plano mencionado va de menor a mayor altura, el área del anillo cambia de mayor a menor. En los extremos, esto es, si la altura es cero, el área es la del círculo que corresponde a la base inferior del cilindro, mientras que si la altura es r, es decir, la altura del cilindro, el área del anillo es cero. Esto último su­giere, que el área del anillo se comporta como la sección transversal de un cono recto de base circular, congruente a la base del cilindro y altura, la misma que la del cilindro (Fig. 5, derecha). ,

T

Figura 5

Trazamos un plano paralelo a las bases de cilindro y cono a una distancia h de las bases. Al cilindro lo intersecta en un círculo de radio r y al hemisferio en un círculo

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concéntrico al anterior, de radio r'; al cono lo intersecta en un círculo de radio d. Ade­más, (r')2 = r 2 - (r - h)2 y d = r - h, por lo tanto

Area sombreada del anillo = n:r2 - n(r')2 = n(r - hf

pero esta última expresión también representa al área sombreada en el cono, por lo tanto, el cociente de las áreas sombreadas es 1, de donde, por el Principio de Cavalieri, tenemos:

Coda

[(Volumen del cilindro)-(Volumen del hemisferio)]Nol. del cono = 1

Volumen del hemisferio = nr3 - (1 / 3) nr3, por lo tanto

Volumen de la esfera = (4/3) nr3•

Quisieramos dejar claro que la sugerencia de este escrito es para Profesores que traba­jan en el Bachillerato, en cursos anteriores al de Cálculo, sin embargo, podría utilizarse al inicio de este curso. Nuestro énfasis está puesto en la noción de indivisible, muy adecuadamente representado por una tarjeta de una pila de tarjetas, que es un objeto familiar para el estudiante. A partir de ello, el Principio de Cavalieri adquiere plausibi­lidad para que el estudiante lo acepte, llevándolo a un contexto de congruencia, para el caso de prismas y de semejanza cuando se trata de pirámides. Es decir, en este contexto

• de prismas y pirámides, aparece de modo natural la congruencia y la semejanza, y no como un ten\ta más de un programa. Sería conveniente utilizar material didáctico con­creto, por ejemplo, una cuerda suficientemente larga, para ilustrar la construcción del prisma triangular, esto es, sus aristas, si utilizamos la cuerda, a partir de una pirámi­de dada, así como obtener las tres pirámides que conforman al prisma.

Por otro lado, la introducción es de importancia para el Profesor, ya que con frecuen­cia está más preocupado por los criterios y reglas de la matemática, actual, que por el aprendizaje de sus estudiantes, debido en gran parte a la influencia del Formalismo, que en este nivel de enseñanza poco sentido tiene para el estudiante. Esto es, conside­ramos más trascendente el mostrar la vinculación de la matemática con el entorno que rodea al estudiante, que presentar una matemática sistematizada para que el estu­diante la aprecie, cuando no tiene los elementos para ello.

Finalmente, presentar una etapa en la evolución de un concepto, es no olvidar su componente humana, tan presente en todo su desarrollo. En el caso del indivisible que dio lugar al infinitesimal en una época posterior, en la persona Roverbal [González, P.M.; 1992; pág. 121].

Bibliografía

Andersen, Kirsti; (1985); "Cavalieri's Method of indivisibles"; Germany: Springer-Verlag; Archive for History of exact Sciences, Vol. 31, # 4.

Arquímedes; (1978); "The method''; U.S.A.: ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA, INC. Great Books of the Western World, Vol. 11.

González, Pedro Miguel; (1992); "Las raíces del Cálculo infinitesimal en el siglo XV/f'; Madrid, España: Alianza Universidad.

Piaget, J. y García, R.; (1989); "Psicogénesis e Historia de la Ciencia"; México, D.F.: Siglo XXI Editores.

TÍ CULOS

¿Dónde voy a hacer la compra? Educación matemática

y otras preguntas

.----- Resumen----------------------------,

El presente artículo enfoca algunos aspectos relativos al papel que desempeña la matemática como filtro social. En particular, discute los exámenes escolares, problematizando la cuestión de lo que se denomina la "enseñanza de la matemática relacionada con el mundo real". La autora, a través de un episodio experimentado por ella misma como estudiante, argumenta sobre la necesidad de organizar los problemas de matemáticas teniendo en consideración la complejidad de los contextos

Abstract This paper focuses on sorne questions refering to the role of mathematics as a social filter. Specifü:ally, it discusses the school exarninations, problematizazing the matter "mathematics teaching related'to the real world". The author, through an episode of her own experience as a student, argues about the need for mathematical problems organization, considering the contexts complexity.

El presente artículo inicia con el relato de un episodio que viví cuando aún era una joven estudiante. Este constituyó uno de los momentos de mi vida de alumna en el cual aprendí mucho sobre los temas que hoy, como educadora matemática, han sido objeto de mi reflexión: el papel que la matemática desempeña como filtro social, las pruebas escolares y la resolución de problemas. He aquí el episodio.

Aquel noviembre de 1958 estaba marcado por muchas expectativas, además de las que comúnmente poblaban mi vida de pre-adolescente, vivía yo en la capital del estado que está más al sur del Brasil. En poco tiempo, tendría que presentar el "Examen de Admisión".

Para muchos de los lectores, "examen de admisión" puede significar poco, tal vez nada. Pero en Brasil, para mi generación, éste constituía un momento dramático en

Gelsa Knijnik Universidade do Vale Do Rio dos Sinos

Brasil

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nuestras vidas de estudiantes. Al final del quinto año de escolarización, si uno quería continuar con los estudios universitarios, dada la demanda del sistema escolar, se hacía una selección mediante un examen compuesto por pruebas de matemáticas, portugués, historia, geografía y ciencias.

Cada escuela elaboraba y realizaba su propio examen y se podía decir que había "libre elección", esto claro, "en principio", cada alumno que aprobara el 5° año de la es­cuela primaria, podía hacer el examen en la escuela de su preferencia. Sin embargo, como bien se sabe, este "deseo" estaba constreñido por las condiciones de vida de las personas y aquello de la "libre" elección se ligaba directamente a las condiciones y la posición económica, social y cultural de la familia del estudiante. Así, se "deseaba" lo que se podía desear: la "libre escuela", tan querida en la tradición del pensamiento neoliberal, era "comprometidamente libre".

Lo que entonces se denominaba escuela primaria -los primeros 5 años de estudio- estaba marcada por el fantasma del examen de admisión. Todo, o casi todo, lo que se enseñaba tenía en su horizonte aquel conjunto de pruebas, que era el mismo para los muchos -literalmente millones- de niños brasileños que, si querían, podían continuar estudiando. Recuerdo que habiendo sido siempre una alumna "bien comportada", muy "exitosa" dentro de los patrones previstos para la hija de una profesora, desde el inicio del segundo semestre de aquel año, comencé a recibir clases particulares para "revisar" la materia de matemáticas y "prepararme" para el maratón de noviembre.

Y noviembre llegó. Me recuerdo caminando en dirección del Colegio de Aplicaciones, una escuela de 1 ° y 2° grados (primer grado sería el equivalente a primaria y secundaria, mientras que segundo grado, es la preparatoria) que h~cía poco que había comenzado a funcionar con el objetivo de servir de centro educativo de práctica para la enseñanza de los alumnos que realizaban cursos de licenciatµra en pedagogía en la universidad pública más reconocida del Estado. Las pruebas del Colegio de Aplicaciones, eran las más solicitadas de entre todas las de la Capital en relación con el número de candidaturas vacantes, que hacen recordar los pro­cesos de selección para las carreras de informática, medicina o derecho de las univer­sidades brasileñas de hoy.

La prueba de Matemáticas fue elaborada en el contexto de un mercado sobre ruedas. Un evento cotidiano en aquella época en la vida de las personas de clase media urbana brasileña y que, en un cierto sentido, fue sustituido por la llegada de las gran­des cadenas multinacionales de supermercados. Una de las preguntas, actualizando los valores para nuestros días, era:

Quiero comprar 6 naranjas y 10 manzanas. En el puesto de Don José, cada naranja cuesta 50 centavos y cada manzana, 80 centavos. En el puesto de Don Juan, las naranjas salen en 60 centavos y las manzanas en 70 centavos. ¿Dónde debo a hacer la compra?

Lo que la comisión que planteó el problema esperaba era que la respuesta fuera contestada en términos de los valores obtenidos en las dos siguientes expresiones:

(6 X 0.50) + (10 X 0.80) y (6 X 0.60) + (10 X 0.70),

esto es, 11.00 y 10.60

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En la calle en la que yo vivía, los martes era día de mercado. Muy temprano, favía de noche en el invierno, los vendedores comenzaban a llegar. En aquel día rticular de la semana, siempre me despertaba antes de la hora acostumbrada para ir a escuela y acompañaba a mi madre en las compras. Después de un tiempo, asumí sola a tarea doméstica.

Recuerdo que a la salida de la prueba de matemáticas, en aquel noviembre, los )mentarlos del grupo de alumnos estaban centrados en aquella pregunta, conside­tda difícil. Yo, al contrario, afirmaba que no había hecho ni una sola operación para !solverla. ¡Era bien claro que compraría las naranjas con Don José y las manzanas con >on Juan!

En una prueba concurrida como la de admisión en el Colegio de Aplicaciones, una ,regunta podía ser decisiva para la aprobación o reprobación. Confieso que volví a ;asa preocupada por ]a respuesta que había dado al problema.

Pasados algunos años de este episodio, la profesora que formuló esa pregunta me ;ontó el final de la historia. Cuando la comisión examinadora discutió mi respuesta, aubo una gran polémica en tomo a cómo evaluarla. Después de intensas discusiones, la alternativa fue considerada correcta.

El episodio que acabo de relatar puede ser considerado desde distintos puntos de vista. Comencemos por su escenario: el examen de admisión. Éste ya no existe más, pero el "vestibular" (nombre con el que se conoce ese examen en Brasil) para el ingreso en la universidad brasileña sigue existiendo. Y la matemática sigue cum­pliendo su papel de filtro social, responsable de los altos índices de reprobación del "vestibular". Nosotros, los profesores, seguimos enfocando la enseñanza que damos en preparatoria, en secundaria y aún más lejos, en primaria, para lo que nuestros alumnos van a "necesitar" para aprobar el "vestibular". Y el "vestibular", junto con los libros didácticos que, a su vez están en estrecha concordancia con dicho examen (y faltaría mencionar la "novedad" de los Parámetros Curriculares Nacionales, elaborados por la Secretaría de Educación de Brasil, en 1995), determinan los contenidos que deben ser "enseñados" y aquellos deben ser excluidos (Knijnik, 1996a, 1996b). Y éste no es un fenómeno solamente brasileño. En países como lnglaterra,·los exámenes nacionales también existen, cumpliendo con el mismo propósito.

Presentamos muchos exámenes a lo largo de nuestra vida escolar, aprendemos "cómo" se resuelve un examen, aprendemos "cómo" se estudia para aprobarlo y las estrategias para aprobarlo aún sin haber estudiado. Lo que se aprende en nuestros tiempos de estudiante es matemáticas, portugués, historia, geografía ... y, principal­mente, lo que es ser alumno, lo que es ser profesor, y en fin, cuál es nuestro lugar en el mundo.

Y así como en 1971, el examen de admisión dejó de existir en Brasil -se sustituyó por otras formas de control y exclusión social- también podemos pensar que el "vesti­bular" puede ser sustituido por otras formas de selección. Tal vez, los profesores puedan ocuparse con algo distinto a su gran (pre )ocupación actual, que se resume en la expresión: "¿qué va a contener el vestibular?". Y es preciso observar que esta es una pregunta que sigue siendo actual, por lo menos en Brasil, ahora que está siendo instituido un gran examen nacional unificado al término del ciclo universitario. Y no sólo en Brasil. Los exámenes en las regiones más diferentes del mundo, han sido los grandes definidores de aquello que debe ser incluido y de lo que debe ser excluido del currículum escolar.

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Pero regresemos a mi historia. Ella es más que la historia de un examen. Es la historia de una prueba de matemáticas. A finales de los años cincuenta, la fonna en que estaba formulada era algo muy "avanzado": las preguntas estaban contextua­lizadas y se conectaban con situaciones cotidianas. Me planteo entonces la siguiente pregunta: en el problema que relaté, ¿que era lo que estaba siendo específica­mente evaluado? ¿qué era lo que se quería medir?. Ante todo, parece ser que era la habilidad del alumno para realizar operaciones de adición y multiplicación. Había un (pre )supuesto: se compra siempre lo más barato. Lo que no siempre puede ser cierto. Quien tenga experiencia en comprar naranjas y manzanas sabe que entran en juego otras variables cuando es necesario tornar una decisión: por ejemplo, el tamaño de la fruta, su estado de conservación, etc. Entonces, lo que se necesitaba, antes que nada, era que cada alumno identificara, en aquella pregunta, la situación de examen y lo que podía ser requerido en tal situación. No se trataba, entonces, de pensar el problema en su contexto, porque éste era mucho mas complejo, involucraba otras variables. Pensar en la "realidad", en lo que acontece efectivamente en el contexto de una compra de manzanas y naranjas, incluso producía obstáculos para la resolu­ción acertada de la pregunta.

Hasta yo, que identifiqué el presupuesto de "se compra siempre lo mas barato" -tal vez porque ese era mi modo de lidiar con las compras de naranjas y manzanas­no di la respuesta esperada. Para tener éxito en aquella pregunta, lo que se necesitaba era identificar los problemas tradicionales en una prueba de matemáticas: siempre se requiere hacer "operaciones". Las "operaciones" -y aquí es preciso que se diga: operaciones muy particulares- que hacen de un problema, un problema matemático. Pero no solamente "las operaciones": también está la interpretación de su resultado que está determinado por la situación del examen.

Este es también el argumento presentado por Marylin Nickolson (1996), cuando afirma que "los esfuerzos para regresar a los exámenes mas "reales" se han hecho en forma poco insistentes (y frecuentemente irreal) para establecer vínculos con el con­texto". La autora ilustra sus afirmaciones con un ejemplo seleccionado del trabajo de Cooper (Nikolson, 1992) en el que, al analizar las distintas formas de abordaje dadas por los alumnos de 14 años a quienes les fue aplicado un ex.amen, niuestra que las po­sibilidades de llegar a una respuesta equivocada está fuertemente influenciada por el hecho preciso de tomar en cuenta las posibles variables presentadas en la situación, si ésta fuera efectivamente "real".

Corno bien apuntan estos estudios, vernos que es preciso aclarar lo que significa hablar de una enseñanza contextualizada de la matemática, vinculada con "lo real", mostrando la complejidad de una empresa de este tipo.

Mientras tanto, al apuntar tal complejidad, es evidente que mi argumento no tiene por objetivo defender una enseñanza de la matemática aséptica, neutra, donde la tónica sean las cuentas "puras", de modo que no haya "ningún riesgo" de ambigüedad. El punto que se quiere destacar aquí, es que no podemos ser ingenuos y pensar que basta traer estas "cuentas puras" a un contexto, pues estaremos materializando una enseñanza de la matemática menos tradicional que produzca otros efectos sociales distintos a los conectados con la reprobación o el fracaso escolar.

Así como Alicia Ávila (1996) argumentó, para el caso particular de Educación de Jóvenes y Adultos, considero importante colocar la resolución de problemas en el centro del curriculum de las matemáticas en todos los niveles de enseñanza. La cuestión es discutir qué tipo de problemas deben estar presentes en esas pruebas y cómo trabajarlos pedagógicamente.

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Primero, es necesario hacer una excepción. Al mencionar los problemas, evidente­ente no me estoy refiriendo a aquellos en que, siendo meros ejercicios, llamamos mu­tas veces abusando del lenguaje, problemas. Tampoco a aquellos que, tal vez también Jr abuso del lenguaje, llamamos problemas ligados a la vida real. ¿En qué consiste tal )uso del lenguaje? En primer lugar, los problemas de matemáticas que usualmente abajamos en los cursos escolares -como el de la compra de manzanas y naranjas de mi ,carneo de admisión- son presentados a los alumnos de un modo que, poco muy poco, .ene que ver con los problemas de la vida real. Estos -los problemas de la vida real­e caracterizan por su complejidad: involucran lo que llamamos matemáticas, sí; pero ,xisten muchas otras variables en la vida -como por ejemplo, de tipo social, cultural, tfectivo, económico- que están presentes en la vida real y que son absolutamente relevan­.es a la hora en que buscarnos solucionarlos. Son, muchas veces, estas variables las que los profesores consideramos, como si estuvieran sujetas al problema matemático y, al mismo tiempo, son estas variables las que dan colorido al problema matemático, lo lle­nan de vida.

Para comenzar, es cierto que lo mas difícil en los problemas de la vida es encontrar los elementos, los datos que nos den la posibilidad de plant~ar ecuaciones. Esta búsqueda de información es el paso decisivo para iniciar los procesos de solución. Desencadenado el proceso, posiblemente irán siendo necesarias otras informaciones, decisiones que dependerán de las variables, de los datos que vamos a considerar mas importantes que otros, de los que intenoionalmente descartaremos, y de aquellas consecuencias de éstas, nuestras opciones. Así funcionan los problemas en la vida real.

¿ Y en las matemáticas de la escuela? Suponiendo que estarnos haciendo lo mejor para nuestros alumnos, organizamos los datos de los problemas, seleccionamos aquello que, en nuestra opinión, es lo que se debe seleccionar. Así, los problemas esco­lares de matemáticas, son presentados usualmente con todos los datos, y solamente con los datos, que nosotros de antemano, juzgarnos relevantes. Después del listado de tal información, formularnos una pregunta que para ser respondida, requiere la utilización de la información que previamente seleccionarnos, toda ella presente en el texto.

Como muchas veces somos alienígenas en nuestros propios salones de clase, hacemos tal selección de datos tomando en cuenta solamente los aspectos que nosotros consideramos relevantes del problema, dejando de lado otros que, en el contexto en que efectivamente el problema es problema, podrían ser imprescin­dibles. Este es uno de los modos, a través del cual los problemas "de verdad" se trasmutan en problemas ficticios, una parodia de lo cotidiano. Al hacer tantas simplificaciones y reducciones en la complejidad del mundo social, también desde el punto de vista estrictamente numérico, estarnos retirando las oportunidades de aprender de los adultos con quienes trabajamos. Hay que aprender a lidiar con los números y también con el mundo.

Pero regresemos una vez más a mi historia. Regresemos a su final. A partir de la respuesta de una alumna, la comisión examinadora se puso a pensar en su propia práctica de instancia evaluadora. Si el contexto fuera otro -por ejemplo, un examen de respuestas de opción múltiple- esta situación se hubiera convertido en invisible. Si fuera otro grupo de profesores, tal vez mi respuesta hubiera sido considerada como "la alumna tenía flojera de pensar". Lo que me interesa subrayar aquí es que

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nosotros, los profesores, nos educamos también con lo que nos dicen nuestros alum­nos, en tanto que tengamos nuestra sensibilidad aguzada para oírlos y estemos disponi­bles para seguir aprendiendo continuamente de sus mundos, sus problemas "reales" en la vida, y sus modos de entenderlos y de resolverlos.

Fue esta disposición la que me estimuló a contar, en este texto, una historia de mi propio mundo de joven estudiante, una historia muy personal. Al ser yo una profesora de un área "difícil" de la ciencia, en la que, tradicionalmente, hay poco lugar para las dimensiones de lo cultural y lo afectivo. Porque estoy convencida de que en las clases de matemáticas, en el proceso de aprender -o no aprender- los contenidos matemáticos, se aprende una concepción muy particular de lo que se dice que es la matemática, de lo que significa lidiar con la matemática y de lo que es enseñar y aprender matemáticas. La disputa en el campo simbólico es ardua. Este texto pretende ser parte de esta lucha.

Referencias

Ávila, Alicia: Fundamentos y retos para transformar el curriculum de matemáticas en la educación de jóvenes y adultos. Ponencia presentada en el Seminario Internacional "Nuevos desarrollos cuniculares en la educación de jóvenes y adultos". UNESCO/OREALC-CEAAL. Monterrey, México, Enero 22-26 de 1996. Texto digitado.

Cooper, B.: Testing National Curriculum Mathematics: Sorne Critica! Comments on the Treatment of "Real" Context for Mathematics. The Curriculum Joumal. Dec., 1992.

Nickolson, Marylin: "Mathernatics Education asan lntemational Marketplace" Kjeargard, Tore et al (Org.) Numeracy, Race, Gender and Class. Landas: Caspar Forlag, 1996.

Knijnik, Gelsa: Exclusllo e Resistencia: Educa~llo Matemática e Legitimidades Cultural. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996ª. "" Dossié de pareceres sobre os PCNs - Documento 3. Educa~áo e Realidade. Porto Alegre, v. 21, n. l. Jan/jun 1996, 1996b.

)TAS DE CLASE

1

Actividades para construir el concepto de elipse

~--Resumen------------------------------,

Impartir un curso de matemáticas en el nivel medio superior utilizando una metodología constructivista tiene algunas dificultades. Con el propósito de resolver algunas de esas dificultades se recurrió a elabo­rar material didáctico para ser utilizado en un aula de computación. El material abarca el curso de un año de duración. A continuación se presentan, como muestra, dos hojas de trabajo que se utilizaron con el propósito que los alumnos hicieran la construcción de la elipse y explorarán el concepto de excentri­cidad. Las hojas de trabajo se hicieron para trabajar con el programa de computadora Geometer's Sketclzpad .. Abstract Teaching mathematics in High School (for 16-17 years old) is difficult. To sol ve sorne of these diffi.culties constructive methodology was used. The problem was tackled by designing activities with the computer. The computer activities were handled by the student's in a worksheet inthe computer classroom that had to be solved, during a once a week session, in couples with the assistance of the instructor. The rest of the week the students had to work with activities that were complementary to the computer activity and was solved in teams. In this report we show an example of tbe activity for the ellipse using the Geometers's Sketchpad, version LO

Introducción

El problema era impartir un curso de matemáticas a nivel medio superior. La meto­dología general con la que se pretendió trabajar en el aula fue la constructivista; pero una de las mayores dificultades con las que se encontró la profesora fue la falta de interés de los alumnos por aprender la materia. En esta etapa los alumnos son inquietos y muestran más interés en aprender una forma de relacionarse con el medio y los problemas sociales, que por aprender temas abstractos como la geometría. Otro aspecto que tiene relevancia es que hasta ese momento, la metodología de aprendizaje a la que habían estado sujetos, la mayor parte de los alumnos, era la tradicional; en particular en matemáticas esto significa que aprendieron algoritmos sin saber de donde vienen ni para que les sirven, además de haber hecho mayor énfasis en la respuesta

Araceli Reyes Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)

México, D.F.

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correcta que en la comprensión de lo que estaban haciendo. En este contexto se volvió muy complicado presentarles a los alumnos problemas o actividades para que trabajaran responsablemente dentro de la metodología contructivista, y que verdade­ramente se provocara una desequilibración, una reflexión y como consecuencia una asimilación. En general, los alumnos esperaban que el maestro de matemáticas les présentara soluciones a ejercicios, sin importar de donde venían, y los hiciera ejercitar sobre ellos. Pocos alumnos querían descubrir el por qué y para qué de los conceptos.

Como una consecuencia a esta situación compleja, de cambio y motivación se pensó que la mejor manera de abordarlo era utilizando la computadora como una herramienta que permitiera al alumno realizar actividades sobre las que hiciera observaciones y que le permitieran reflexionar para descubrir relaciones y concep­tualizar. Después de algunas experiencias negativas para que los alumnos realizaran actividades en equipo en el aula y abordaran los problemas, se decidió contar con una etapa de transición entre la enseñanza tradicional pasiva a la acción reflexiva, ésta transición consi~tió en proporcionar hojas de trabajo que se resolvían, por parejas, frente a la computadora, en las que se hacían preguntas con la intención de que los alumnos descubrieran algunas relaciones. La secuencia completa de actividades fue visualizar un problema real concreto, la relación con algunos conceptos de trigo­nometría, el dibujo a mano para culminar con el trazo en la computadora. Una ventaja de utilizar la computadora fue que los alumnos se interesaron en aprender a manejar la herramienta (programa más computadora) y que el diseño mismo del programa los obligó a trabajar de manera natural con las nociones básicas de la geometría euclidiana. Otra ventaja que tuvo esto es que la computadora se volvió una herramienta para aquellos con poca habilidad para el dibujo, evitando frustraciones innecesarias, y por otra parte les despertó la imaginación. Después de estas experiencias fue más sencillo llevar a los alumnos a descubrir el concepto dinámico de función y el de lugar geomé­trico.

Se desarrolló material para un curso anual completo de trigonometría y álgebra para cuarto de bachillerato. Durante el primer semestre se tuvieron cinco sesiones de cincuen­ta minutos, a la semana y solamente una de ellas era en el laboratorio de computación. Durante el segundo semestre se trabajaron cuatro horas a la semana, con una sesión en el laboratorio.

El programa Geometer's Sketchpad

El programa que se utilizó en el laboratorio de computación, The Geometer's Sketch¡­pad, trabaja bajo el sistema operativo de Windows. La versión que se utilizó es la 1.0 que solamente requiere de aproximadamente 830 KB en disco y la versión '3.1 de Windows.

El programa es de los que se llaman abiertos en el ambiente de computación en la educación. Esto significa que el profesor puede diseñar sus secuencias didácticas y el alumno puede utilizarlo como laboratorio de exploración. En otras palabras, no tiene tutoriales ni ejerci~ios- que hay que seguir siempre. La herramienta que si tiene es que el profesor puede grabar una construcción para los fines que él requiera, ya sea ' para que el alumno revise un material fijo o para una presentación.

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Básicamente el programa consiste de una hoja en blanco para hacer construc­iones geométricas con los utensilios propios de un geómetra: regla, compás y lápiz . . a regla puede trazar segmentos, rectas o semirectas. Las líneas pueden hacerse de olores, de diferentes gruesos y punteadas. Hay construcciones que se pueden hacer le forma automática si se marcan los elementos adecuados, por ejemplo para trazar ma perpendicular a una recta que pase por un punto, hay que marcar la recta y el mnto y, desde un menú se traza la perpendicular.

U na característica sobresaliente de éste programa es que una vez que se realiza Jna construcción, por ejemplo un punto sobre una recta, esta propiedad se mantiene y se pueden modificar las longitudes de la recta y los ángulos que forma con otra, pero la propiedad de tener ese punto sobre ella nunca lo pierde. Esta característica resulta muy poderosa para ilustrar conceptos que no dependen del tamaño de la figura ni de los ángulos. La parte dinámica de la geometría se vuelve accesible para la mayor parte de los alumnos.

Otro aspecto interesante es que una vez construida una figura se le puede dar animación de una forma por demás sencilla. Se marca el objeto que debe moverse y la línea (recta o circunferencia) sobre la que se va a mover y elegir la opción de animación y automáticamente la figura se anima.

Además de estas características que están relacionadas con la computadora y en particular con el sistema operativo, el programa respeta la nomenclatura tradicional de la geometría euclidiana, a los puntos los denota con letras mayúsculas, a las rectas y asociados con letras minúsculas y a las circunferencias con números. La denomi­nación también puede ser modificada si uno lo requiere.

Actividades

Se desarrollaron actividades, en el aula y en el laboratorio de computación, para construir todas y cada una de las funciones trigonométricas. De la misma forma se trabajaron las identidades usuales y las leyes de los senos y cosenos. Como una aplicación de la ley de los cosenos se dedujo la función que relaciona el ángulo con la longitud del radio vector para obtener la trayectoria de un planeta. La siguiente actividad fue trazar con regla y compás una elipse a partir de circunferencias concéntricas. A continuación se presentan dos hojas de trabajo que se utilizaron en el laboratorio de computación para trazar la elipse y explorar el concepto de excentricidad.

Hojas de trabajo

l. Construcción de la elipse

l. Tracen dos circunferencias con el mismo centro, pero diferente radio. Para la circunferencia mayor tracen un diámetro horizontal.

2. Construyan un punto P sobre la circunferencia mayor.

3. Desde el centro de las circunferencias tracen un segmento de recta m que pase por el centro y el punto P sobre la circunferencia.

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4. Construyan el punto Q de intersección del segmento m y la circunferencia menor.

5. Tracen una recta perpendicular n, punteada, desde P al diámetro horizontal.

Al punto de intersección de la recta n con el diámetro llámenlo S.

6. Tracen una recta perpendicular k, punteada, a la rectan que pase por Q.

7. Tracen la recta perpendicular al diámetro horizontal que pase por Q. Al punto de intersección de ésta perpendicular con el diámetro llámenla T.

8. Construyan el punto de intersección de las rectas k y n y llámenlo R.

9. Señalen el punto R y opriman simultáneamente las teclas CTRL y T.

10. Muevan el punto P. ¿Qué curva trazan?

11. En el triángulo CPS calculen la longitud del lado CS si conocen cos(9) y el radio CP = a de la circunferencia mayor.

12. En el triángulo CQT calculen la longitud del lado QT si conocen el sen(9) y el radio CQ = b de la circunferencia menor.

11. Excentricidad de la elipse. Variación de la elipse al variar a y b.

l. Abran una nueva hoja de trabajo (N ew Sketch}. Tracen un triángulo rectángulo, arriba a la izquierda, como sigue:

a) Un segmento de recta horizontal, este será la longitud b del semieje menor de la elipse. Midan la longitud.

b) Un segmento perpendicular por uno de los extremos del segmento anterior. Este será la distancia e del centro de la elipse al foco. Midan su longitud.

e) Cierren el triángulo con la hipotenusa, esta será la longitud a del semieje mayor. Midan la distancia.

d) Calculen el cociente e=c / a

Escriban la relación entre a, b y e del triángulo rectángulo:

2. Tracen el dibujo de la hoja anterior con circunferencias como las siguientes:

a) Marquen el segmento de longitud a y un punto A cualquiera. Tracen con la opción Construct una circunferencia con la opción Circle by Center and Radius.

b) Ahora marquen el segmento de longitud b y el mismo punto A. Tracen la circunfe­rencia con ese radio y A como centro.

3. Repitan los pasos del (1) al (7) del ejercicio anterior. Tracen una elipse de la siguiente manera: marquen la circunferencia grande y el punto P que mueven. Abran la opción Display, Animate y elijan en la ventana que se abre Animate. Para detener la animación opriman la tecla izquierda del ratón.

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t Sobre el triángulo rectángulo modifiquen las longitudes de los catetos hasta que el valor del cociente e sea casi l.

5. Tracen otra elipse y compárenla con la anterior. ¿Qué observan?

6. Ahora modifiquen el triángulo rectángulo y hagan que se modifique el valor de e, que sea muy pequeño.¿ Cómo se ve ahora la elipse, más alargada o más redonda? ¿Cuál es la relación entre el valor de e y lo alargada o redonda que es la elipse?

Definición

Al cociente e = el a se le llama excentricidad de la elipse.

7. Escriban la conclusión sobre la elipse utilizando la excentricidad.

8. La excentricidad de la órbita de Plutón alrededor del Sol es 0.2481. Tracen su órbita. Investiguen las excentricidades del resto de los planetas.

Bibliograf'ia

Davidson, N. The small-group discovery method in secondary and college level mathematics. Cooperative /eaming in matl1ematics: A handbookfor teachers. Menlo Parle, California: Addison Wesley. 1989.

Dubinsky, E. Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking. Advanced Mathematica/ Thinking. David Tall, editor, Kluwer Acadernic Publishers, Dordrecht. 1991.

El conocimiento de la naturaleza y la lógica

David Hilbert1

HISTORIA DE LA EDUCACIÓN MATEMATICA

Iniciamos en este número una nueva sección de la Revista Educació11 Matemática dedicada a la revisión de la historia de nuestra disciplina. En esta sección incluiremos algunos artículos, tradu­cidos al español, que fueron publicados en los primeros números de L' E11seig11ement Mathé­matique. Esta revista apareció por primera vez en el año de 1899 con el propósito de revisar la "metodología y organización de la enseñanza, filosofía e historia de las matemáticas"; la revista todavía se edita y goza de gran prestigio entre la comunidad matemática. El artículo que hemos elegido para la presentación de la sección es una conferencia de David Hilbert dictada en Konigsberg en septiembre de 1930 y reproducida en el volumen correspondiente a 1931 de L'Enseignement Mathématique (Año 31, pp. 22-33).

L'ENSEIGNEMENT

NIATHÉMATIQUE xiTHODOLOfl.lB 1T OIIG.1.YIUTIO!C •• L'&l'CSIIG:nuu::,.T

PHILOIOPHllt ET NISTOIIB DII )IA.THillATIQU&I

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El Comité Editorial

1 Conferencia dictada en Konigsberg, en septiemb,;e de 1930, en el Congreso de Naturalistas y Médicos Alemanes. Traducido al francés con la autorización del autor por Maurice Muller, Dr. en Letras, de acuerdo con texto publicado por los Naturwissenschaften, enero 18, 1930, pp 959-963; Verlag. Julius Springer, Berlín. La versión en francés apareció en L' Enseignement Mathématique, año 30, 1931, pp 22-33. Revisión de la traducción al ' español de G. Waldegg.

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~l conocimiento de la naturaleza y de la vida es nuestro principal deber. La humanidad .1a consagrado a ello esfuerzos considerables que han sido recompensados con triunfos ::ada vez mayores. Hemos adquirido conocimientos más ricos y más profundos en el transcurso de las últimas décadas que durante los siglos anteriores: deseamos utilizar esta situación, que nos coloca en una posición ventajosa, con el fin de estudiar el problema filosófico, tantas veces discutido, de los papeles que desempeñan el pensa­miento y la experiencia en el conocimiento científico. Estamos autorizados a ello por la naturaleza misma de este problema, que responde a la preocupación legítima de determinar la esencia del conocimiento y el valor de verdad del saber adquirido.

Sin agravio a los filósofos y sabios que nos han precedido, estamos ahora en situación de proporcionar, con mayor certeza que ellos, una solución exacta a este problema por dos razones: la primera, ya mencionada, se refiere a la rapidez con la que nuestra ciencia se desarrolla.

Los descubrimientos más importantes del pasado debidos a Copémico, Kepler y Galileo y a los sabios que se sucedieron entre Newton y Maxwell, se distribuyen en un periodo de alrededor de cuatro siglos. Los tiempos modernos se inician con el descubrimiento de las ondas hertzianas, a las que se deben otros descubrimientos que aparecieron muy rápidamente: Rontgen descubre los rayos que llevan su nombre, Curie, la radioactividad, Planck propone la teoría de los cuanta. Más recientemente se descubren nuevos fenómenos y se destacan conexiones sorprendentes a tal grado, que la abundancia de propuestas es casi desconcertante y alarmante. Se ven aparecer, sucesivamente, la teoría de la radioactividad enunciada por Rutherford, la teoría del cuantum de Einstein, la teoría de los espectros de Bohr, la clasificación de los elementos de Moseley, la teoría einsteniana de la relatividad, la desintegración del nitrógeno de Rutherford, la teoría de la estructura de los elementos de Bohr y la teoría de los isótopos de Aston.

De esta manera, teniendo en cuenta sólo la física, hemos estado presentes en una serie ininterrumpida de descubrimientos sumamente importantes. Las nuevas adquisi­ciones científicas no son menos poderosas que las antiguas y los nuevos descu­brimientos se suceden con un ritmo cada vez más rápido y conciernen a un conjunto más variado de dominios. La teoría y la práctica, el pensamiento y la experiencia, aparecen muy estrechamente relacionados. En ocasiones, la teoría precede a la experiencia y, en oJ¡os casos, la experiencia antecede a la teoría, la una completando, confir­mando e impulsado a la otra. La situación es la misma en la química, la astronomía y la biología.

Tenemos así, sobre los filósofos que nos han precedido, la ventaja de haber presen­ciado un gran número de descubrimientos y de haber aprendido a conocer nuevos as­pectos de la ciencia, al momento mismo de su aparición. Muchos de estos nuevos descubrimientos han conducido a una transformación o a un rechazo de concepciones y de representaciones antiguas fuertemente arraigadas. Para darse cuenta de ello es su­ficiente pensar en el nuevo concepto de tiempo introducido por la teoría de la relativi­dad o en la desintegración de los elementos químicos, en donde se han rechazado concepciones que antes nadie hubiera soñado tocar.

Una segunda circunstancia nos favorece hoy en la búsqueda de una solución al problema filosófico que hemos planteada. soN'o solamente la técnica de la experiencia y el arte de erigir estructuras fisico-matemáticas han logrado llegar a una perfección nunca antes alcanzada, sino también la lógica ha igualmente progresado. Contamos

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hoy con un método general de análisis teórico de las preguntas relacionadas con las ciencias de la naturaleza que, en todo caso, hace más fácil precisar la situación de los problemas y ayuda a preparar una solución. Este método es el método axiomático.

¿De qué naturaleza es esta axiomática a la cual nos referimos tan a menudo? La idea fundamental de la axiomática reside en el hecho de que, en los enormes dominios del saber, algunas proposiciones, llamadas axiomas, son suficientes para servir de base a una reconstrucción puramente lógica de los edificios teóricos. Por otra parte, esta observación no agota el significado del método axiomático: hay ejemplos que precisan mejor su naturaleza. El ejemplo más antiguo y más conocido concierne a la geometría de Euclides; sin embargo, prefiero aclarar la naturaleza del método axiomático con ayuda de un ejemplo notable, tomado de la biología.

La drosofila es una pequeña mosca de gran interés para nosotros: ha sido objeto de los más extensos y cuidadosos experimentos coronados por el triunfo. Esta mosca es habitualmente gris, los ojos rojos sin manchas, las alas largas y redondeadas. Sin em­bargo, existen también drosofilas que tienen otras particularidades típicas: en lugar de ser grises son amarillas, sus ojos son blancos en lugar de rojos, etc. Por lo general, estas cinco características típicas se presentan asociadas, es decir, si una mosca es amarilla, tendrá ojos blancos, manchados, sus alas serán fisuradas y recogidas. Igualmente, si sus alas son largas y redondeadas, serán de color amarillo, etc. Sin embargo, por medio de apareamientos adecuados entre estas moscas caracterizadas por las asociaciones habi­tuales, se obtiene en la descendencia un número pequeño de desviaciones en un porcen­taje preciso y constante. Los números encontrados experimentalmente verifican los axiomas euclidianos de congruencia y los axiomas relativos al concepto geométrico "situado entre"; de esta manera la ley de la herencia parece ser una aplicación de los axiomas de congruencia lineal, es decir, de los teoremas elementales de la geometría de traslación de segmentos. Aplicación a la vez simple, precisa y maravillosa que la fantasía más audaz no hubiera podido imaginar.

Demos todavía un ejemplo más del método axiomático relativo a fenómenos de otro orden.

Nuestras ciencias teóricas nos han acostumbrado al empleo de procesos formales del pensamiento y de métodos abstractos. El método axiomático pertenece a la lógica. La palabra lógica es, para algunos, sinónimo de disciplina engorrosa y difícil; la lógi­ca sin embargo se ha convertido también en algo tan accesible como interesante. Se ha visto, por ejemplo, que en la vida cotidiana se emplean métodos y acciones que exigen gran abundancia de abstracciones y que son comprensibles sólo como aplicaciones inconscientes del método axiomático. Es así en el caso del proceso general de negación y, más particularmente, en la noción de infinito. Debemos darnos cuenta de que la no­ción de infinito no tiene ningún significado que se refiera a la intuición sensible y, en general, no tiene ningún sentido si no se hace un examen más profundo. En efecto, sólo existen, en el Universo, cosas finitas. No existe ninguna velocidad infinita y ninguna fuerza o acción que se propague infinitamente rápido. La acción en sí misma es de natura­leza discreta y cuántica. No hay en la realidad nada continuo que pueda ser dividido hasta el infinito. La luz misma tiene una estructura atómica, al igual que la magnitud mecánica de acción. El Universo, -lo creo con certeza-, es de extensión finita y los astró'- ¡1

nomos podrán decirnos algún día cuántos kilómetros tiene de largo, alto y ancho. De 1

hecho, nuestros cálculos nos conducen frecuentemente a cifras considerablemente gran- 11

des: cuando calculamos la separación, en kilómetros, entre las estrellas o el número de , ]

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jugadas posibles y esencialmente diferentes en un juego de ajedrez; se puede, desde lue­go, decir que lo ilimitado o lo infinito, puesto que es la negación de una condición siempre dominante, es una abstracción monstruosa, que sólo puede realizarse mediante la aplicación consciente o inconsciente del método axiomático. Esta concepción del infinito, que he fundamentado en investigaciones detalladas, resuelve muchos proble­mas, en particular, las antinomias kantianas referentes al espacio y a la divisibilidad ili­mitada pierden sentido y se resuelven las dificultades que introducen.

Regresando a nuestro problema relativo al papel de la naturaleza y del pensa­miento, pondremos en evidencia tres puntos fundamentales. El primero, esta ligado al problema del infinito del cual acabarnos de hablar. Hemos visto que el infinito no se alcanza en ninguna parte: no se da en la naturaleza y no es un fundamento admisible del pensamiento sin una preparación particular. En esto se observa ya un parale­lismo importante entre la naturaleza y el pensamiento, un acuerdo fundamental entre la experiencia y la teoría.

Observamos también otro paralelismo: nuestro pensamiento tiene como punto de vista la unidad y busca la unidad; observamos la unidad substancial de la materia y constatamos en todas partes la unidad de las leyes de la naturaleza. Así, la natu­raleza viene al encuentro de nuestra búsqueda corno si estuviera dispuesta a entre­garnos sus secretos. El estado de dispersión de las masas en el cielo ha permitido el descubrimiento y la verificación de la ley de Newton. Michelson pudo, a pesar de la enorme velocidad de la luz, establecer con certeza la regla de adición de veloci­dades con la Tierra animada por un movimiento de traslación suficientemente rápido. El planeta Mercurio parece tener el privilegio de efectuar su movimiento de perihelio con el fin de verificar la teoría de Einstein, y el rayo luminoso de la estrella fija pasa lo bastante cerca del Sol para que su desviación se haga observable. Otra manifes­tación de la realización y de la encarnación del pensamiento matemático es aún más contundente: la designaremos, en un sentido un poco diferente al sentido leibniziano, mediante el término de armonía preestablecida. Uno de los ejemplos más antiguos que se puedan dar es el que se refiere a las secciones cónicas, estudiadas largo tiempo antes de sospechar que los planetas o los electrones se mueven a lo largo de tales curvas. Pero el ejemplo más admirable de una armonía preestablecida se refie­re a la célebre teoría einsteniana de la relatividad. Las ecuaciones diferenciales de los potenciales de gravitación han sido enunciadas teniendo en cuenta únicamen­te una exigencia general de invariabilidad ligada al principio de máxima simplicidad; sin embargo, esta construcción hubiese sido imposible sin las investigaciones pro­fundas y arduas de Riernann que la precedieron por mucho tiempo. Con frecuencia, las especulaciones que ocupaban el centro de las preocupaciones de los matemáticos, han sido, al mismo tiempo, las grandes necesidades de la física. He desarrollado la teoría de variables en número infinito e inclusive he utilizado las denominaciones del análisis espectral, sin poder presentir que ello encontraría un día su realidad en la física.

Sólo podemos comprender este acuerdo entre la naturaleza y el pensamiento, entre la experiencia y la teoría, considerando el elemento formal y el mecanismo al que está ligado, tanto del lado de la naturaleza corno del lado de la inteligencia; el proceso matemático de la eliminación revela, aparentemente, los puntos de reposo y las etapas a las que, tanto los cuerpos en el mundo de las realidades, como los pensamientos en el mundo de las ideas, se detienen y se ofrecen al control y a la comparación.

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Sin embargo, esta armonía preestablecida no agota aún el conjunto de relaciones entre la naturaleza y el pensamiento y no devela enteramente el sentido oculto de la pre­gunta que hemos formulado. Representemos el conjunto del saber físico y astronómico; notamos que un punto de vista de la ciencia actual domina, por mucho, las posiciones y los designios pasados de la ciencia: la ciencia actual ya no sólo enseña a determinar por anticipación, en el sentido de la mecánica clásica, los movimientos y los fenóme­nos futuros a partir de los datos actuales, sino que muestra también que precisamente los estados materiales contemporáneos y reales, terrestres y cósmicos no son ni acciden­tales ni arbitrarios, sino que dependen de las leyes físicas.

Los mejores testimonios nos los ofrecen el modelo atómico de Bohr, la estructura del sistema de las estrellas y la historia del desarrollo de la vida orgánica. Nuestros métodos deberán, desde ahora, conducir realmente a un sistema de leyes naturales que se ajusten a la realidad tomada en su conjunto: una deducción de nociones bastaría para agotar el saber de la física. Es en este sentido que Hegel hubiera tenido razón al afirmar que podía deducir los datos físicos de un conjunto lógico de nociones. El punto de vista hegeliano es, sin embargo, inadmisible puesto que ¿cuál es el origen de las leyes de la naturaleza? ¿cómo llegamos a descubrirlas? ¿y quién nos dice que ellas se ajustan a la realidad? Debemos tomar en cuenta la experiencia: reconocemos, y en esto nos oponemos a Hegel, que únicamente la vía experimental nos lleva a las leyes naturales y que fuera de la experiencia el conocimiento de dichas· leyes es imposible. Sin embargo, es exacto que el conjunto de las nociones físicas está subordinado a puntos de vista especulativos; pero en un último análisis, sólo la experiencia decidirá el valor de las leyes descubiertas y del conjunto lógico de los conceptos que ellas ponen en juego. Algunas veces, las ideas encuentran su origen en el pensamiento puro, es el caso de la teoría atómi...:a de Demócrito, ya que la existencia de los átomos no fue reconocida sino hasta dos mil años más tarde por la física experimental. En otras ocasiones, la experiencia se adelanta a la especulación y fuerza al pensamiento. Es así como debemos al experimento de Michelson y al impulso que éste logró, el habernos desembarazado del prejuicio del tiempo absoluto y haber finalmente hecho posible la aceptación de la teoría general de la relatividad.

Aquél que, no obstante, quiera negar el origen experimental de las leyes de la natu­raleza debe afirmar que existe, fuera de la experiencia y de la deducción, una tercera fuente de conocimientos. De hecho, han habido filósofos -Kant es el representante clá­sico de este punto de vista- que afirman que, fuera de la lógica y de la experiencia, existen conocimientos a priori que tienen que ver con la realidad. Con gusto acepto que algunos puntos de vista a priori son necesarios para la construcción de los conjuntos teóricos y que están en la base de todos los conocimientos. Creo que los conocimien­tos matemáticos están también, en un último análisis, fundados sobre tales visiones intuitivas2, que cierto residuo3 intuitivo a priori es un fundamento necesario para la teo­ría: de números. Esta manera de ver las cosas deja intacta la intención fundamental más general de la teoría kantiana del conocimiento, que es el determinar el residuo intuiti­vo a priori y examinar las condiciones que hacen posible todo conocimiento nocional y toda experiencia. Pienso que ha sido así en lo esencial de mis investigaciones sobre los

2 En alemán: anschaulich. N.T. F. . . 3 Se ha traducido aquí Einstellung como residuo (manera de ver fundamental o de base) N.T. F.

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principios de las matemáticas. El a priori no es ni más ni menos que una manera fun­damental de ver las cosas, o la expresión de algunas condiciones preliminares indis­pensables del conocimiento y de la experiencia. Pero el límite entre lo que dispone­mos del a priori y la exigencia experimental debe tratarse de manera diferente a como lo hizo Kant, quien sobrestimó el papel y la extensión del a priori.

En los tiempos de Kant se podía pensar que las representaciones de espacio y de tiempo eran aplicables tan general e inmediatamente a la realidad como las representacio­nes relativas al número, al orden y a la magnitud que empleamos cotidianamente en las teorías matemáticas y físicas. De esta manera las disciplinas relativas al espacio y al tiempo, en especial la geometría, tendrían, al igual que la aritmética, derecho de antece­der todo conocimiento de la naturaleza. Pero este punto de vista kantiano fue abando­nado antes del desarrollo de la física contemporánea y, con muy buenas razones, por Riemann y Helmholtz. La geometría no es, en efecto, más que la parte de la física que describe las relaciones de posición entre los cuerpos sólidos, en el mundo de las cosas reales. Sólo la experiencia nos asegura, sin embargo, que hay cuerpos sólidos en movimiento. La proposición que afirma que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos y el axioma de las paralelas, como Gauss lo reconoció, se deben verifi­car o desmentir por medio de la experiencia. Si se hubiese demostrado, por ejemplo, que el conjunto de hechos expresados por los teoremas de congruencia está de acuerdo con la experiencia pero que, por otra parte, la suma de los ángulos de un triángu­lo construido con varillas rígidas es menor que dos rectos, nadie afirmaría que el axio­ma de las paralelas es válido en el espacio de los cuerpos reales.

Se deben tomar precauciones cuando se trata de admitir un residuo a priori; mu­chos de los conocimientos a priori concebidos antes como válidos, se sabe hoy en día que son inexactos. El ejemplo más contundente de esos falsos conocimientos es el rela­tivo a la representación de un presente absoluto. No hay presentes absolutos, a pesar de que estemos acostumbrados desde la infancia a concebirlo, dado que en la vida coti­diana sólo hay distancias acotadas y velocidades moderadas. Si fuese de otra manera, nadie hubiera tenido la idea de introducir la noción de tiempo absoluto. Es así que pensadores tan profundos como Newton y Kant no pusieron en duda jamás el tiempo absoluto. Newton, como sabio atento, formuló esta exigencia de la manera más defini­tiva posible: el tiempo verdadero y absoluto transcurre en sí mismo y conforme a su na­turaleza, uniformemente y sin relación con ninguna otra cosa. Así de buena fe, Newton impidió todo compromiso y todo retorno y Kant no razonó dentro de la filosofía crítica y aceptó, sin ningún otro examen, el punto de vista newtoniano. Einstein fue el primero -en una obra que quedará inscrita entre las más vigorosas del espíritu humano- en liberamos de ese prejuicio; la teoría exagerada del a priori no podría ser puesta en duda de una manera más espectacular que como lo fue por el progreso logrado por Einstein. La hipótesis del tiempo absoluto tenía claramente como consecuencia la regla de la suma de velocidades -regla cuyo valor no se podía sobrestimar, puesto que parecía eviden­te-. Los diferentes experimentos relativos a la óptica, la astronomía y la electricidad nos han convencido de la inexactitud de esta regla; de hecho, existe otra ley más complicada para la composición de las velocidades. Podemos decir ya que los puntos de vista de Gauss y Helmholtz relativos a la naturaleza empírica de la geometría han llegado a ser un resultado cierto de la ciencia. Estos puntos de vista deben servir ahora como punto de apoyo para toda especulación filosófica relativa al espacio y al tiempo. La teoría einsteiniana de la gravitación nos ha aclarado el papel de la geometría: ésta no es más

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que una rama de la física y las verdades geométricas, en principio, no son diferentes de las verdades físicas. La ley de la atracción newtoniana y el teorema de Pitágoras están esencialmente relacionados, en tanto que se encuentran dominados por la misma noción física fundamental de potencial. Además, toda conexión con las teorías de Einstein nos asegura que estas dos leyes tan diferentes y que nos parecen tan alejadas una de otra -la primera, conocida desde la antigüedad y enseñada en todas las escuelas como uno de los teoremas más importantes de la geometría elemental, la segunda, una ley sobre la acción que ejercen las masas entre sí- no son simplemente de la misma clase, sino que son partes de una misma ley general.

El descubrimiento de la equivalencia de base entre los hechos geométricos y los he­chos físicos no hubiese podido ser más persuasivo. Es cierto que, con las construcciones lógicas usuales y las experiencias cotidianas a las que estamos acostumbrados desde la infancia, las proposiciones de la geometría y de la cinemática preceden a las proposi­ciones de la dinámica, pero se olvida que se trata ante todo de la experiencia. De esta manera vemos que la teoría kantiana de los a priori, demasiado antropomórfica, con­tiene todavía escorias de las que se debe librar; sólo queda mencionar que existe un residuo a priori que condiciona igualmente el conocimiento matemático. Es bajo este aspecto esencial, que he caracterizado el residuo4 en diversos estudios5.

El instrumento matemático juega el papel de mediador entre la teoría y la práctica, entre el pensamiento y la observación; construye sólidamente el puente que los une. Por esta razón nuestra cultura entera, y a ello debe su penetración y la conquista de la natu­raleza, encuentra su fundamento en las matemáticas. Galileo decía ya que sólo aquéllos que conocen el lenguaje y los signos por medio de los cuales nos habla la naturaleza, pueden comprenderla; este lenguaje es la matemática, y sus signos son los caracteres matemáticos. Kant pretendía que en cada ciencia natural particular se encontrara tanta ciencia verdadera como en la matemática. De hecho, nosotros no dominamos una teo­ría científica si no hemos descubierto y asimilado enteramente su fundamento matemá­tico. La astronomía y la física actuales no pueden concebirse sin la ayuda de las matemáticas; la parte teórica de estas ciencias se confunde con su parte matemática. Es a esto, y a sus otras aplicaciones, a lo que la ciencia matemática debe su prestigio, es por esto, que el público profano las puede disfrutar;

Sin embargo, los matemáticos se niegan a medir el valor de las matemáticas por sus aplicaciones. Así, para Gauss, el príncipe de los matemáticos, la teoría de números, que no ha encontrado todavía aplicaciones directas, es, en el orden de los valores, la primera

· de las disciplinas matemáticas. Sin embargo, Gauss fue, por excelencia, un matemático cuidadoso de las aplicaciones: es él quien recrea ciencias enteras, como la teoría de erro­res y la geodesia, con el fin de hacer jugar a los matemáticos el papel conductor al que tienen derecho; es él quien, cuando los astrónomos perdieron la posición del planeta Ceres sin poder reencontrarla, imagina una nueva teoría que permitió determinar dicha posición. Gauss, como casi todos los matemáticos, elevó al primer lugar la teoría de números; esto habla de su poder de atracción que la hace la disciplina preferida de los matemáticos, de su riqueza inagotable. Gauss describe la atracción que ejercían sobre él, desde su juventud, las investigaciones en teoría de números, tanto, que jamás pudo

4 En alemán: Finite Einstellung. N.T.F. 5 Véase Ueber das Unendliche, Mathem, Ann. 95; Die Grundlagen der Mathematik, Abh. a. d. mathem. Sem. d. Hamburgischen Universitat, 6.N.A. '

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ibandonarlas. Gauss celebra la gloria incomparable de Fermat, de Euler, de Lagrange y J~ Legendre, porque estos matemáticos abrieron la puerta del santuario y mostraron los muchos tesoros de que está lleno. Y es de esta misma manera que se expresan los matemáticos que han precedido y que han seguido a Gauss, por ejemplo, Lejeune-Dirichlet, Kummer, Hermite, Kronecker y Minkowski. Kronecker compara al matemático que se ocupa de la teoría de números con un glotón que, una vez que prueba su alimento pre­ferido, no puede ya dejarlo.

Poincaré, el matemático más brillante de su generación, también físico y astróno­mo profundo, tenía una opinión semejante. Poincaré criticó un día con una severidad ejemplar a Tolstoi, para quien la teoría de "la ciencia por la ciencia" era absurda. ¿Debemos -decía Tolstoi- dejarnos conducir en la selección de una actividad por el simple deseo de saber? ¿no sería mejor que decidiéramos de acuerdo a la utilidad, es decir, según nuestras necesidades prácticas y morales? Es singular que sea precisamente a Tolstoi a quien, nosotros los matemáticos, nos veamos obligados a condenar como un utilita­rio de alma estrecha y visión realista. Poincaré responde a Tolstoi que, si los hombres se hubieran decidido únicamente según esta opinión, ninguna ciencia hubiera podido nacer. Basta abrir los ojos (decía Poincaré) para ver que las conquistas de la industria que han enriquecido a los hombres, no hubieran visto jamás la luz si sólo hubieran existi­do los hombres prácticos y si no hubieran sido rebasados por esos locos desinteresa­dos que nunca piensan en lo útil. Compartimos todos este sentimiento.

El gran matemático de Konigsberg, Jacobi -cuyo nombre debe ser colocado junto al de Gauss y que todavía nuestros estudiantes pronuncian con respeto- pensaba de la misma manera. Cuando el célebre Fourier dijo un día que el principal objeto de las matemáticas era la explicación de los fenómenos naturales, Jacobi se pronunció contra esta opinión con toda la fogosidad de su temperamento. Un filósofo como Fourier -se lamentaba Jacobi- debería saber que la única finalidad de la ciencia es el honor del espíritu humano y que un problema de aritmética pura tiene tanto valor como un teorema técnicamente utilizable.

Aquel que advierte la verdad del pensamiento iluminado por las palabras de J acobi no cae en un escepticismo infructuoso y retrógrado, ni escucha a quienes, con aire de filósofo y tono de suficiencia, profetizan el crepúsculo de la cultura y caen en el ag­nosticismo. Para el matemático no existe ningún "ignorabimus", ni tampoco, en mi opi­nión, para las ciencias de la naturaleza. El filósofo Comte dijo un día con intención de formular un problema positivamente insoluble que jamás la ciencia llegaría a percibir el secreto de la composición química de los cuerpos celestes. Pocos años después, este problema fue resuelto por el análisis espectral de Kirchhoff y Bunsen, y se puede decir hoy en día que las estrellas lejanas son laboratorios de física y química tan importan­tes corno no hay otros en la Tierra. En mi opinión, si Comte no logró enunciar proble­mas insolubles es porque en realidad no los hay. En lugar de caer en un agnosticismo insensato, debernos aceptar el siguiente precepto: "debemos saber, sabremos".

Antiguos y curiosos problemas matemáticos

(Primera parte)

Introducción

SECCIÓN DE PROBLEMAS

Este trabajo propone una serie de problemas recreativos, enmarcados en la historia de Europa. Dividiremos el artículo en cuatro párrafos con los siguientes títulos:

1) Matemáticas y Derecho en el Imperio Romano

2) Problemas curiosos en la Europa Medieval.

3) Antiguos problemas en la España árabe. . .

4) El Madrid medieva~ y los problemas de los mercaderes de la Medina.

1. Matemáticas y Derecho en ellmperio Romano

Problema

He aquí el caso más antiguo conocido en que los juristas han debido acudir a los matemáticos ... sin que éstos le resolvieran el problema. Un patricio romano testó en favor de su embarazada esposa y de su hijo póstumo en los siguientes términos: Si el hijo por venir fuera varón, la herencia se repartiría entre él y su madre en la propor­ción ( 5/9, 4/9 ), respectivamente. Pero, si era mujer, sólo le corresponderían los 2/5 del total, pasando el resto a la madre.

Fallecido el testc1.dor y llegado el término del embarazo, los hados gastaron a los juristas la broma de que nacieran dos gemelos, varón y mujer. ¿En qué proporciones debe ser repartida la herencia entre ellos y la madre?

Concepción Romo Santos Universidad Complutense de Madrid

España

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t Problemas curiosos en la Europa Medieval

Problema l. Los maridos celosos.

Se atribuye nada menos que a Alcuino (s. VIII), preceptor de Carlomagno, el famoso problema del pastor, el lobo, 1a cabra y la col: ¿Cómo deberán pasar todos un río con una barca en la que caben solamente el pastor y uno de los otros tres, de forma que nunca queden solos el lobo y la cabra (si no, se la come), o la cabra y la col (idem)? La programación de viajes es entretenida, y el punto clave de la misma es un "paso atrás" que hay que hacer en un momento dado regresando el pastor con la cabra para evitar las coincidencias estimulantes de apetito.

Los espíritus de gusto abarrocado se dedicaron desde el primer momento a enredar el problema con mil y una variantes. Quizá la más lograda es la del grupo de matrimonios que deben cruzar el río utilizando una barca con capacidad para dos personas ... pero los maridos son celosos, y ninguno está dispuesto a que en nin­gún momento quede su mujer en compañía de otro hombre si él no está presente.

Resuelva usted el problema para dos y tres parejas, pero no se moleste para cuatro: hace tiempo que se ha demostrado que es insoluble. Pero puede todavía resol­verse en este caso con la introducción de alguna pequeña variante. Pruebe con cada una de estas dos:

a) Suponiendo que hay una isla en medio del río.

b) Suponiendo que en la misma barca caben tres personas.

Si le gusta el tema, puede seguir introduciendo variantes: aumente el número de parejas, suponga que hay varios maridos polígamos, considere que las esposas no pueden remar ... la variedad es infinita, y, que se sepa, ni las computadoras de la última generación han conseguido hallar la solución en el caso más general.

Problema 2 . ... y encima perdieron.

He aquí un célebre problema del profesar Menry Dudenéy en la versión simplificada que le dio Sam Loyd:

"Nomiandos y sajones se aprestaban en Hastings para la decisiva batalla ( 1066). Los hombres del rey sajón Harold se mantenían en formación. compacta de trece cuadra­dos iguales. ¡Desgraciado del normando que intentaba penetrar en cualquiera de ellos, pues de un solo tajo su lanza era astillada y su cota dí! malla hecha jirones! ... Cuando Harold se unió a sus guerreros, éstos formaron con él un único y poderoso cuadrado, lanzándose contra el enemigo entre fieros gritos".

Esta descripción corresponde bastante aproximadamente a la versión dada por los historiadores, si bien Dudeney le dio una precisa fonna matemática en la cual está implícito el número de guerreros de Harold. ¿Cuántos eran éstos?

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3. Antiguos problemas en la España Árabe

Problema l. Agrimensura nazarí

Abelardo Tomadatos estudia una escritura donde se refiere cómo los Reyes Católicos, tras la conquista de Granada, repartieron su vega entre los caballeros que les acompa­ñaron en la lucha. Al margen del pergamino, alguien efectuó una división de la superficie de tierra (medida en fanegas nazaríes) entre el número de caballeros, para determinar el lote que correspondía a cada uno.

Desgraciadamente, la tinta empleada para la división era de peor calidad y todas las cifras resultan ilegibles menos dos. Del cociente no se distingue absolutamente nada. He aquí lo que Tomadatos tiene ante su vista:

. 5 . . . 8 --·-

Como puede verse, la división está hecha a estilo antiguo, es decir, escribiendo para cada cifra del cociente la resta completa. Tomadatos tiene mucho interés en conocer tanto el número de caballeros como el de fanegas nazaríes contenidas en la vega de Granada. ¿Podemos ayudarle?

Problema 2. Un antiquísimo problema.

He aquí uno de los más antiguos y sutiles problemas de razonamiento. En la batalla de Sagrajas (1086), de resultados tan desastrosos para las armas cristianas, fueron capturados por el almorávide Yusuf Ben Tasulín los caballeros Alvar de Sahagún, Balderico de Torquemada y Cunegundo de Uclés. El caudillo árabe, de buen humor por el resultado de la contienda y deseoso de premiar el valor demostrado por los caballeros cristianos, decidió liberar un mínimo de uno de ellos y los tres como máximo, dejando la elección del número y de los agraciados en manos de Alá y del ingenio de los prisioneros.

A tal fin, mostró a éstos tres gorros blancos y dos negros, y encerrándose con ellos en una tienda a oscuras, revolvió los gorros y puso uno en cada cabeza cristiana, tirando los dos sobrantes. Seguidamente, los cristianos fueron sentados en fila, mirando todos en la misma dirección, y se abrieron las puertas de la tienda. Quienes llevaran gorro negro serían ajusticiados y los que lo llevaran blanco liberados.

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Al var, sentado en última posición, veía el color de los gorros de sus compa­fkros. Balderico, delante de él, veía sólo el de Cunegundo. Y éste, dando la espalda a ambos, no veía nada de sus amigos: igual le hubiera valido ser ciego. Ninguno de los tres veía su propio gorro.

Yusuf preguntó a Alvar si conocía el color de su gorro, a lo que el cristiano con­testó negativamente. Lo mismo hizo Balderico, pero Cunegundo, pese a no ver nada de sus compañeros, contestó que sí, y que su gorro era blanco.

Alegando que los cristianos habían cometido trampa, Yusuf repitió la prueba. Para su sorpresa, en ésta ocasión tanto Balderico como Cunegundo declararon conocer · el color de su gorro.

Repetida por tercera vez la prueba, el resultado fue todavía más espectacular: ¡Los tres cristianos manifestaran conocer, sin error, el color de su gorro!. Yusuf, convencido de su agudeza, les concedió vida y libertad pese a que en ninguna ocasión todos los gorros habían sido blancos.

De hecho, es posible probar lógicamente que, si los caballeros razonan de forma correcta, al menos Cunegundo debe saber siempre el color de su garro guiándose sólo por los síes o los noes de sus compañeros. ¿Cómo?

4. El Madrid Medieval y los problemas de los mercaderes de la Medina

En Mayrit, el Madrid medieval, había dos partes claramente diferenciadas: 1) las murallas, que lo fortificaban. Esta parte recibía el nombre de "Alcazaba" y también el de "Almudena"; 2) el resto de la ciudad estaba formado por la "Medina", donde se hallaba la parte comercial. Vamos a imaginar algunos mercaderes de la Medina y trataremos de resolver sus problemas.

Problema l. Abdulá, el vendedor de seda

Abdulá había traído desde el Oriente a Madrid unas preciosas piezas de seda.

Abdulá hizo este trato con su criado Alí:

- Si vendo la seda por 100 dinares, te pagaré 20 en compensación por los servicios que me has prestado. Si la vendiera por 200, Alá sea loado si así fuere, sería aún más generoso y te daría 30 dinares.

Sucedió que Abdulá vendió su preciosa seda por 140 dinares. Entonces habló así a su criado:

- Te prometí que si vendía la seda por 200 dinares te pagaría 30. Esto es, por cada 20 dinares (la décima parte de 200) 3 dinares (decima parte de 30). Como la he vendido por 140 dinares (7 veces 20) te pagaré 21 dinares (7 veces 3).

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Alí no estaba de acuerdo:

- Me prometiste que si vendías la seda por 100 dinares me pagarías 20. Esto es, por cada diez dinares (décima parte de 100) 2 dinares (décima parte de 20). Has hecho la venta por 140 dinares (14 veces 10); luego debes pagarme 28 dinares (14 veces 2).

¿ Cuántos dinares debe pagar Abdulá a Alí?

Problema 2. Mustafá, el vendedor de perlas

Era un comerciante honrado, que disfrutaba con la belleza de su mercancía. En una ocasión compró una colección de ocho magníficas perlas. Eran iguales en tamaño, forma, brillo, color ... menos en el peso. Siete pesaban lo mismo y la restante era un poco más ligera. Mustafá hubiera podido "colarla" y venderla al mismo precio que las demás, pero ya sabemos que era muy honrado.

Para averiguar cuál era la perla ligera, disponía de una sencilla balanza de dos platillos.

a) ¿Podríamos ayudarle a decidir cuál era la perla ligera? ¿Cuántas veces hemos utilizado la balanza para ello?

b) Más difícil: Vamos a ayudarle a detectar la perla ligera usando la balanza sola­mente dos veces.

Problema 3. Abraham, el prestamista

Abraharn era un rico judío que tenía sus negocios instalados en la Medina. Compraba y vendía de todo, prestaba ... En una ocasión prestó 100 dinares a un comerciante con la condición de que por cada mes transcurrido y por cada dinar el comer­ciante debía pagarle un dirham. Era un interés abusivo, pero Abraham no tenía muchos escrúpulos y el comerciante estaba muy apurado de dinero. El comerciante pagó su deuda al cabo de tres meses. ¿Cuántos dirhams debió pagar de intereses? ¿Cuántas monedas entregó en total al cancelar su deuda?

Problema 4. Doña Leoncia la salinera

Madrid poseía las salinas de Espartinas, pero además hubo una mujer y en aquellos tiempos no era muy frecuente la mujer empresaria, dedicada al negocio de la sal. Esa fue Doña Leoncia.

Doña Leoncia era una buena comerciante, pero tenía un defecto: le gustaba mucho el dinero que (honradamente) ganaba con su sal. Guardaba en una caja unos ducados de oro y por la noche los contaba amorosamente. Si los colocaba en mon­tones de tres, le quedaba un ducado sin colocar. Lo mismo le ocurría cuando los

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colocaba en montones de cuatro y en montones de cinco. Cuando los colocaba de siete en siete no sobraba ningún ducado.

a) ¿ Qué ocurría cuando los colocaba de dos en dos? ¿ Y cuando hacía montones de seis?

b) ¿Cuál era el menor número de ducados que podía tener Doña Leoncia? (Había quien decía que tenía 301 ducados).

Bibliografía

Albaiges Olivart, José M. "¿Se atreve ud con ellos? Marcombo. Boixareu Editores. Barcelona-México, 1981.

Boyer, Carl. B. "Historia de la Matemática". Alianza Universidad Textos. Madrid, 1986. Romo C., Bujanda P. "Historia de Madrid a través de las Matemáticas". Servicio de Educación. Ayunta­

miento de Madrid. Madrid, 1981. Steünhaus, H. "One hundred problems in elementary mathematics". Pergamon Press. 1963.

Solución a los problemas del número anterior

Nivel Superior

SOLUCIÓN DE ·PROBLEMAS

En un ordenación numérica en columnas de septenas, tomado un arreglo de 2 x 2 por ejemplo:

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 n

15 16 17 18 19 20 21

--n

ella se puede generalizar por

x x + 1 siendo su suma: x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 4x + 16

x + 1 x + 8 Esto es: S = 4(x + 4)

En forma similar, un arreglo de 3 x 3, tiene por suma:

X X + 1 X+ 2 S = 9(x + 8)

x+1 x+8 x+9

X + 14 X + 15 X + 16

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Y, en arreglos de 4 x 4, la suma es:

X X+ 1 X+ 2 X + 3 S = 16(x + 12)

X + 7 X + 8 X+ 9 X+ 10

X+ 14 X+ 15 X+ 16 x+ 17

X+ 21 X+ 22 X+ 23 X+ 27

Sin violar la regla, se pueden llegar a arreglos de 7 x 7. Las sumas anteriores:

4(x + 4), 9(x + 8) y 16(x + 12), nos hacen ver que en los arreglos

de 5 x 5, 6 x 6 y 7 x 7, se tendr.án las sumas:

25(x + 16, 36(x + 20) y 49(x + 24).

Así que, n2(x + mn) es la generalización de las sumas en las ordenaciones en columnas de septenas, donde n es el lado del cuadrado, x el menor número en el arreglo ( el primer número considerado) y mes número natural con m = 1, 2, 3, ... ,6

Nivel Bachillerato

La espiral referida se construye con la relación x2 + x + 11 con valores de x = O, 1, 2, ... , 16. Para ella, los primeros cálculos dan:

Con x = O: (0)2 + (O) + 17 = 17 .. Con x = 1: (1)2 + (1) + 17 = 19

Con x = 2: (2)2 + (2) + 17 = 23

Con x = 3: (3)2 + (3) + 17 = 29,

siendo todos estos resultados números primos que generan la espiral cuadrada. La espiral referida es:

En eUa, los números que aparecen en la diagonal son resultado de sustituir x = O, l, 2, ... , 16 en la relación x2 + x + 11. El punto de difusión de la espiral es 17.

x2 + X + 11

es una de las varias relaciones presentadas por Leonard Euler (1707-1783) para gene­rar algunos números primos.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 101 •

h57 253 251 247

199 197 193 l9l 187 h41

149 143 139

107 l03 lOl l37 h39

151 73 71 67 97

109 47 43

1263 29 41 181

19

31 17 179

113 23 61 1233

157 79 37

1209 53 59

269 83 89

1211 121 127 ~29

171 163 167 169 173

221 223 227

277 281 283 289

Nivel secundaria

l. Las otras relaciones para formar los números 3, 4, 5, 6, 7, 8 9 y 10, n combinaciones operatorias utilizando exactamente 5 cincos pueden ser:

3 = 5 + 5 7 = 5 + 5 + 5 -5- 5

4 = 5 - (55--5) 8 = 5! 5 + 5 + 5

5 = (5 - 5)5 + 5 9 = 5 + 5 - 2-5

6 =(5x5)+5 10 = ( 5 ; 5) X 5 5

2. Como los arreglos son en sexenas, el número 537 se encuentra en la línea 89 + 1 y en la tercera columna, ya que:

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89 6-Jsyi

57 3

1

® @ @

.. - - - - - - columna 1

V

3

1

sto <--------línea

En esta tercera columna aparecen los números múltiplos impares de 3, así que 537 no es número primo. Desde otro punto de vista, 537 no es primo, ya que la suma de sus dígitos es 5 + 3 + 7 = 15 y 15 es múltiplo de 3.

Este arreglo de números naturales en sexenas es interesante pues es un procedi­miento más que ayuda a analizar si un número natural es o no primo, atendiendo a su ubicación en alguna de sus 6 columnas. Por ejemplo, se observa que, haciendo caso omiso de la primera línea, sólo en las primera y quinta columñas aparecen números primos y aquellos que no lo son, estando en esas columnas, son múltiplos de 5, de 7 o de ambos.

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En general, apoyados en este arreglo en sexenas de números naturales, para saber si un número es primo basta con dividirlo entre 6. Si e es el cociente obtenido, e + 1 nos indica la línea en que está ubicado el número y el residuo r nos indica la columna en la que se haya. Si el residuo es 1 o 5 quiere decir que el número está respectiva­mente en esas columnas y puede ser número primo. Ahora únicamente basta con aplicarle al número propuesto las reglas de divisibilidad por 5 y por 7. Si no cumple ninguna de estas reglas, el número es primo.

Nivel Primaria

El dibujo no representa a un dado legal, porque en éste cada una de sus tres parejas de caras opuestas suma 7 y en la figura las caras con los números (puntos) 6 y 1 que suman 7, son adyacentes y no opuestas.

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~ESEÑAS

Reseñas de libros

Femando Corbalán. Ju egos matemáticos para secundaria y bachillerato Editorial Síntesis, Madrid, 1994.

Es este un libro con fines eminentemente didácticos. Su autor, Fernando Corbalán, admite el compromiso pedagógico de definir el concepto de juego, pero como una situación lúdico-matemática, que es lo que en principio conviene a un docente. La obra está construida en cuatro capítulos en los que va desmenuzando ideas que tienen toda la intención de servir como apoyo al desarrollo de las diversas actividades que el maestro debe propiciar en la clase.

En el capítulo 1 se detiene en aclaraciones y diversos intentos de definir al juego matemático, a partir del concepto simple de juego; se hace una semblanza breve del juego a través de la historia y remata con una clasificación, interesante y utilizable del juego matemático, considerando que " ... más que una categoría en sí mismos, lo que hace a los juegos ser matemáticos, es el uso que se haga de los mismos ... ".

Hace una primera consideración clasificatoria de los juegos matemáticos con juegos de conocimiento como "aquellos que hacen referencia a uno o varios de los tópicos habituales de los programas de matemáticas" y juegos de estrategia como "aquellos en los que se trata de poner en marcha uno o varios procedimientos típicos de resolución de problemas o los modos habituales de pensamiento matemático".

En una ulterior clasificación con fines didácticos, establece a los juegos preins­titucionales, los coinstitucionales y postinstitucionales, en el convenio de aquellos jue­gos que se utilizan previamente a la aprehensión de conocimientos, los que se utilizan en el curso del desarrollo de los conocimientos y los que, utilizados posteriormente al aprendizaje de los conocimientos, sirven para reforzarlos.

Sin embargo, el autor hace ver tres hechos importantes en el uso del juego matemá­tico: el que no es posible esperar resultados espectaculares, que deben utilizarse median­te una previa y cuidadosa planificación y en forma sistemática, y el que es un derecho del alumno el que le sean proporcionados estos recursos de aprendizaje ip.ás que una concesión del profesor.

En el capítulo 2 el autor se refiere a los efectos que trae el uso del juego en cuanto a ventajas y desventajas de tipo didáctico, apoyándose entre otras cosas en una cita del Informe Cockcroft en donde se menciona que << ... sea cual fuere su nivel de conocimientos

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el empleo cuidadosamente planificado de rompecabezas y "juegos" matemáticos puede contribuir a clarificar las ideas del programa y a desarrollar el pensamiento lógico ... >>.

Menciona las expectativas que crean maestro y alumno ante un juego matemático, los fines del juego, cómo introducirse en ellos y el hecho de que pueden y deben usarse para el tratamiento a la diversidad y la atención a la individualidad, cuando son cuidadosamente seleccionados y atinadamente aplicados en un espacio y en un tiempo pedagógico convenientes. El uso del juego matemático ayuda, como es de suponer, a apreciar en toda su plenitud a la matemática, imponiendo un cambio positivo en el aula con su uso e implantación. Los mayores obstáculos en la implan­tación de juegos matemáticos residen en lo difícil que es obtener juegos variados, apropiados y ajustados a los requerimientos educativos, se requiere de una mayor preparación del profesorado que los use sistemáticamente y, por lo mismo, se deben establecer prácticas docentes adecuadas con técnicas de análisis y registro de los resul­tados obtenidos, en especial, para los juegos de estrategia.

El capítulo 3 es un espléndido apartado que reL..; Jna al juego matemático y a la resolución de problemas. El autor recurre al sentido actual de la enseñanza a partir de enseñar a resolver problemas, pues " ... muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos".

Hace una referencia a lo que se puede considerar como buenos problemas, esto es, aquellos que no tienen enunciados tramposos, que son válidos aunque no sean aplicables, que son desafiantes al intelecto, propositivos y se conciben como enunciados atacables y que dan una sensación de agrado en el proceso de resolución. En cuanto al proceso de resolución de problemas, el autor toma como estructura al esquema de Polya (1945) de: a) comprender el problema, b) trazar un plan para resolverlo, c) poner en práctica el plan y d) comprobar los resultados. También hace referencia a la propuesta de Shoenfeld de tres fases: a) análisis, b) exploración y c) comprobación de la solución obtenida y, con referencia a los problemas de estrategias menciona a las de Gómez Chacón y a las de Miguel de Guzmán. En esa somera revisión de la resolución de problemas, nos muestra una recopilación de las estrategias más frecuentes que van a ser utilizadas en el capítulo 4 y remata con ejemplos de juegos, explicando sus reglas y haciendo hincapié en la secuencia didáctica, variaciones del juego, el análisis de la estrategia de "cómo ganar" o "cómo no perder", a veces llegando a establecer una generalización y, la demostración o validez del juego o de sus reglas de composición.

El capítulo 4 está totalmente dedicado a la presentación de juegos matemáticos que pueden ser utilizados en la Escuela Secundaria y en el Bachillerato, en los que se consideran a los juegos numéricos, los geométricos y los de probabilidad. Destacan los juegos de fichas: ajedrez, dominó, juego de barcos y 3 en raya; los patrones: tangramas; los de cartas: barajas; los de dados: dominó; los de palabras: crucigramas; los de tablero: ajedrez, parchís, damas.

Muy importante en este apai1ado es el uso que se da al juego, bajo el concepto de que todo buen juego debe estar construido sobre dos ideas centrales: debe tener pocas reglas y durar poco tiempo.

Pág. 106 a EDUCACIÓN MATEMÁTICA a Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEi •

! detiene a descubrir ciertos juegos que clasifica como:

Juegos de procedimiento conocido, entre los que considera: a) juegos sociales o de mesa, b) procedimientos de juegos habituales y c) jueg_os de aplicaciones múltiples .

. Juegos de conocimiento, entre los que se mencionan: a) juegos numéricos, b) juegos algebraicos, c) juegos con calculadoras, d) juegos geométricos y e) juegos de probabilidad.

¡_ Juegos de estrategia, entre los que clasifica como: a) juegos de estrategia numéricos y b) juegos de estrategia geométricos.

1esulta importante destacar que se hace un agradable análisis de los juegos 1

Jrocurando describirlos, establecer las reglas que los rigen, mencionar las variantes posibles al juego, si las hay, los objetivos que se persiguen al aplicar el juego y observaciones generales que hacen referencia a las estrategias para resolverlos, los conceptos matemáticos que son utilizados y/o las pretensiones pedagógicas.

De entre toda la colección de juegos propuestos y analizados resultan de especial interés aquellos de carácter geométrico que llevan al desarrollo de la imaginación espacial y trasladar ideas del plano al espacio geométrico y el uso de las simetrías como estrategia de resolución o de análisis de la resolución.

Finaliza el libro con un breve análisis de los currículos de la Secundaria y del Bachillerato donde el interés se centra en el uso del juego, aunque se aclara que los contenidos corresponden a los mapas curriculares españoles.

Raros son los libros y este es uno de ellos que, proponiendo juegos matemáticos -y los hay en abundancia- hablen de su valor didáctico, sus condiciones, clasifi­cación y apoyo al desempeño del currículo y como el autor además empalma el concepto de juego con el de juego matemático y con el de resolución de problemas, la obra resulta ser muy adecuada a los enfoques y requisitos de la actual enseñanza de la matemática y en apoyo a la enseñanza problémica.

John Allen Paulus, El hombre anumérico ( el analfabetismo matemático y sus consecuencias) Tusquets Editores, Barcelona, España, 1990.

Santiago Valiente B.

El volumen que ahora nos ocupa es un libro sumamente citado en el campo de la educación matemática. Baste como muestra de ello que aparece en la bibliografía oficial de documentos y textos que presentan los nuevos enfoques en la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria y en la formación y actualización de~ docentes de este nivel.

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El autor ha escrito la obra con la intención de mostrar cierta incapacidad del hombre común, a veces también la del especialista, para interpretar matemátirr.mente fenómenos que a diario ocurren en su entorno. Esta incapacidad se da, inclusive, en usuarios de la matemática.

Dice el autor: "El anumerismo, o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, pueden ser perfectamente instruidos ... ". En esta parte introductoria va desarrollando algunas de las ideas que irán campeando, a lo largo del libro, apoyán­dolas en estupendos ejemplos y en experiencias personales del autor. "Como el libro se ocupa principalmente de varias insuficiencias -la falta de perspectiva numé­rica, la apreciación exagerada de coincidencias que no tienen otro significado, la aceptación crédula de la seudociencia, la incapacidad de reconocer los convenios sociales, etc.-, en gran medida tienen un tono más bien demoledor ... ". Con esta tónica se van mostrando ejemplos precisos acerca de las falsas creencias sobre sucesos que pueden ser claramente explicadas con la herremienta matemática, muchas de las veces, con la herramienta elemental. "Una de las aseveraciones en la que se insiste en el libro es que las personas anuméricas tienen una marcada tendencia a personalizar: su imagen de la realidad está deformada por sus propias experiencias, o por la atención que los medios de comunicación de masas presta a los individuos y a las situaciones dramáticas ... ".

Ante la necesidad de romper con muchas ideas erróneas que se han ido levantando acerca de las posibilidades de la matemática y las limitaciones que la gente se autoim­pone ante la necesidad de ser un buen interpretador de las ocurrencias diarias, el autor se establece un propósito muy claro: " ... Al escribirlo (el libro), mi objetivo ha sido interesar a las personas que, aunque cultas, son anuméricas, o por lo menos aquellas que, sintiendo temor ante las matemáticas, no experimenten un pánico paralizante ... "

El libro cuenta con una surtida variedad de ejemplos donde el personaje común, el hombre de la calle, muestra su anumerismo. Pero más interesantes son los ejemplos donde los personajes son estudiantes o especialistas vinculados con la matemática, aunque no necesariamente matemáticos.

En el capítulo l, Ejercicios y Principios, se nos muestra lo fácil que resulta el uso y manejo de la notación científica en relación con el manejo del sistema numérico común de notación decimal posicional, con base en diversas experiencias relatadas en la introducción, con esta notación simplificatoria, mostrando las ventajas de ésta, tanto para números de gran magnitud como de modesta escala, con variados ejemplos en los que hace cálculos y comparaciones entre magnitudes. La regla del producto, también es utilizada por el autor para el cálculo de grandes números y en el cálculo de probabilidades. Claro está, con ejemplos presentados en forma simple, amena y natural, que en tono de relato campea a lo largo de toda la obra.

El capítulo 2, Probabilidad y Coincidencia, es abordado por el autor haciendo el análisis de la tendencia general de la gente a "sobreestimar la frecuencia de las coincidencias. Generalmente dan mucha importancia a todo tipo de correspondencia y, en cambio, dan muy poca a evidencias estadísticas menos relumbrantes, pero ab­solutamente concluyentes". Para esto el autor se apoya en muy diversos ejemplos y en la ley de los grand~s números, el concepto de eventos independientes y en la ley del producto Y~ como dice: "La moraleja vuelve a ser que mientras es probable que

1 Pág. 108 • EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI •

)curra algún hecho improbable, lo es mucho menos que se dé un caso concreto ... ", en

1ue queda aludida la diferencia entre acontecimientos genéricos y concretos; esto ~s. cuando no queda establecido indubitablernente el acontecimiento que se desea predecir, el acontecimiento genérico se puede dar de muchas formas distintas.

Utilizando corno apoyo "el principio de casillero", Paulus aborda ejemplos de difusión de fundamentos probabilísticos corno el hecho de que, para tener la certeza de que al menos dos personas hayan nacido el mismo día, habremos de tener juntas a 367 personas. Muy ilustrativo es el ejemplo de cómo hacer timos usando la predicción reiterada correcta de sucesos a ocurrir, tornando una muestra no muy grande, a fin de quedarse con un reducido número de sujetos para los que se habrá quedado corno un especialista suficientemente informado, basado esto en el hecho de la tendencia de la gente a olvidar los fracasos y concentrarse en los aciertos, pues son más espectaculares al hombre común los valores extremos y las coincidencias, no considerando que dan información más relevante los valores medios que aquellos que son esperados.

Es común que el autor vaya presentándonos moralejas sobre los errores que se cometen al apreciar algún fenómeno de corte probabilístico o estadístico, en donde la intuición puede ser engañosa, en especial en probabilidades aparentemente desproporcionadas. El capítulo remata hablando sobre lo predecible de los suce­sos raros.

En el capítulo 3, La Seudociencia, Paulus arremete contra las llamadas seudo­ciencias, argumentando sobre algunas falacias en la argumentación de algunos de sus postulados y haciendo ver cómo entran en conflicto con el sentido lógico y el sentido común y las interpretaciones simplonas que se les otorga, pues en ellas no se da un mecanismo sensorial al cual se pueda recurrir. Por ello es que se debe ir al 'método estadístico': realizar un número suficiente de ensayos y ver si el número de respuestas correctas es lo bastante grande para descartar al azar como explicación. Nos hace ver que la frecuencia con la que se dan las casualidades o acontecimientos improbables no necesitan ser explicados y sí se tendría que dar explicación en el caso de que no se den. Apoya sus cuestionamientos en asuntos relativos al Psicoanálisis, la Parapsicología, los sueños proféticos, la Astrología y opiniones acerca de la vida extraterrestre. Nuevamente evidencia en este apartado la tendencia de la gente a tomar en consideración las coincidencias más que las regularidades estadísticas. Establece que el mejor antídoto contra las seudociencias es la verdadera ciencia: ''Al fin y al cabo no es lo estrafalario de las conclusiones lo que hace que una determinada doctrina sea seudociencia: las conjeturas afortunadas, los descubrimientos fortuitos, las hipótesis atrevidas e incluso cierta credulidad inicial, también tienen su papel en la ciencia ... ". Después de discutir varios ejemplos donde usa de la probabilidad condicional, el capítulo remata haciendo interesantes referencias a la numerología y al uso de la lógica defectuosa como expresión singular de anumerismo. Por ejemplo: " ... No hay demasiada gente que piense que como la aspirina cura el dolor de cabeza, la falta de aspirina en la sangre produce dolor de cabeza", referida a la implicaciór. X -> Y y Y -> X. Es decir, el hecho de que no se pueda demostrar concluyentemente una afirmación, no es prueba de que la afirmación sea correcta.

a EDUCACIÓN MATEMÁTICA a Vol. 9. No. 1 a Abril 1997 a © GEI a 109 Pág. a

. E! capít~l~ 4, ¿A qué se debe el Anumeri~mo?, el autor lo inicia relatando expe­nencias cotidianas donde aparece una pobre mterpretación, aplicación y manipuleo de las operaciones aritméticas, los porcentajes y conversiones de éstos a fracciones entre otras varias cosas más, argumentando que gran parte del anumerismo entr; la gente es la falta del manejo adecuado de los problemas aritméticos, poco sobre redondeos, las estimaciones y el cálculo mental.

Para John Allen Paulus es de gran importancia el uso de juegos, acertijos, proble­mas lúdicos y cosas similares para luchar contra el analfabetismo numérico: "Si la formación matemática comunicara esta faceta lúdica del tema, ya sea formalmente, a los niveles de enseñanza, primario, medio o universitario, o formalmente en libros de divulgación, no creo que este anumerismo estuviera tan extendido como lo está". Se puede apreciar -según el autor- una clara diferencia entre una mala educación matemática y el analfabetismo matemático. En suma, factores del anumerismo son, entre otros muchos, pero éstos como los más relevantes, la tendencia a personalizar y el recurrir a las coincidencias.

El autor es prolijo en relatos de diversos casos en que se presenta el anumerismo. Uno de ellos, es la angustia matemática, esto es, el pavor que cierta gente tiene a enfren­tarse con problemas matemáticos y, para superar esta situación propone pasos y fases para enfrentarse a la resolución de problemas, en cierta medida muy cercanos a los propuestos por George Polya. El apartado es rico en referencias a las falsas opiniones que se tienen sobre la matemática considerada por algunos como un asunto carente de imaginación, como cosa mecánica por otros, y para muchos otros más como algo dado de antemano, o referido a aspectos fríos e impersonales, propia de los técnicos y vinculada a gente con dotes especiales, de carácter rutinario, con habilidades para el cálculo y ·que es poco práctica, que no va a los temas importantes y poco apreciativa de la naturaleza.

En el último capítulo, el capítulo 5, Estadística, Compromiso y Sociedad, incur­siona "en los efectos sociales nocivos del anumerismo". La parte final es de evidente valor de opinión del autor hacia los defectos que viene comentando en el libro y nos remata con: "En un mundo cada vez más complejo, lleno de coincidencias sin sentido, lo que hace falta en muchas situaciones no son más hechos verídicos -ya hay demasidos- sino un mejor dominio de los hechos conocidos, y para ello un curso sobre Probabilidad es de un valor incalculable. Los test estadísticos y los intervalos de confianza, la diferencia entre causa y correlación, la probabilidad condicional, la independencia y la regla del producto, el arte de hacer estimaciones y el diseño de experimentos, los conceptos de valor esperado y de distribución de probabilidad, así como los ejemplos y contraejemplos más comunes de todo lo anterior, deberían ser más conocidos y divulgados. La Probabilidad, como la Lógica, ya no es algo exclu­sivo de los matemáticos. Impregna nuestra vida". Un final rotundo nos la da este libro, emimnentemente crítico, irónico y, a veces, sarcástico, pero lleno de proposicio­nes, cuando establece que: "Cualquier libro está motivado, por lo menos en parte, por la indignación, y éste no es una excepción. Me angustia y aflige una sociedad, la mía, que depende tanto de la matemática y la ciencia y que, sin embargo, parece tan indiferente al anumerismo y al analfabetismo científico de tantísimos de sus ciuda­danos ... ( ... ) ... Pero más que la indignación, la motivación principal del libro fue, sobre todo, el deseo de fomentar el sentido de la proporción numérica y la aprecia­ción de la naturaleza irreductiblemente probabilística de nuestra vida".

Santiago Valiente B.

:SEÑAS

Reseñas de eventos

La Enseñanza de las Matemáticas en el XXIX Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana

En los últimos treinta años, en diversas partes del mundo, sobre todo el desarrollado, se ha reconocido que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas son fuente de proble-mas que bien podrían constituir un área de conocimiento con relativa autonomía. En México así ha ocurrido y existen diversas instituciones educativas dedicadas a formar es-pecialistas, a nivel de maestrías y doctorados, enfocadas a tratar este tipo de problemas.

El resultado de este trabajo ha sido múltiple: investigación básica, propuestas edu­cativas, programas de formación de profesores y, sobre todo, la creación de espacios dedicados a la divulgación de los logros alcanzados. Un ejemplo en la última dirección lo constituye esta misma revista que aparece gracias al empeño de la Dra. Elfriede Wenzelburger y que tiene como objetivo fundamental difundir el trabajo de educa­dores matemáticos hispanoamericanos.

Otro ejemplo de espacio dedicado a divulgar aportes en la educación matemática son las reuniones organizadas por distintas instituciones educativas en nuestro país. Estas reuniones congregan a profesores interesados en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Una de ellas, importante por su prestigio y presencia en la comunidad matemática mexicana, que le dedica un espacio a la enseñanza de las matemáticas es el Congreso de la Sociedad Matemática que se lleva a cabo anualmente. A partir su XXV Congreso, celebrado en la Ciudad de Jalapa, México, en 1992, la Sociedad Matemática Mexicana asigna claramente un espacio a los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

Del congreso de Jalapa a la fecha la participación de educadores matemá­ticos ha sido constante como se percibió en el último realizado en 1996 en la Ciudad de San Luis Potosí. En este Congreso se presentaron 27 conferencias en el rubro de enseñanza de las matemáticas. Estas conferencias contaron con un considerable público formado principalmente por docentes de matemáticas. Las pláticas se dividieron en tres secciones de acuerdo al nivel educativo a que se enfoca: básico, medio y superior. Por otro lado, entre los contenidos abordados en dichas conferencias se encuentran: problemas generales en la enseñanza de las matemáticas en nuestro país, la tecnología en la enseñanza, recursos didácticos, metodología de enseñanza para

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 111 •

ternas específicos, etc. En el mismo evento se impartieron cursos orientados a la forma­ción y actualización docentes, así como conferencias de divulgación y sesiones espe­ciales, algunas de las cuales estuvieron dedicadas a cuestiones educativas.

En la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas radica una de .las fuentes principales de problemas que enfrenta la educación en México, por tal razón no deja de ser loable que la Sociedad Matemática dirija su atención, no sólo a la producción de conocimientos matemáticos, sino también a su enseñanza y aprendizaje.

Mtra. Asela Cartón Monroy UACP y P. UNAM

tABAJOS DE

~STIGACIÓN

Trabajos de investigación

Procesos de construcción del conocimiento matemático en el primer añO' de la preparatoria. Algunas alternativas para su desarrollo

Tesis de Doctorado en Pedagogía presentada por Hector Alberto García Romero en la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. Director de Tesis: Miguel Ángel Campos Hernández (2/octubre/1996 ).

Se parte de la consideración de las Matemáticas como el estudio de las estructuras y la aplicación lógica de la razón humana, así como también la articulación de un cuerpo de conocimientos e información. Se discuten los problemas asociados a la inefica­cia de los métodos de enseñanza tradicionales y deficiencias en el aprendizaje escolar. Se presenta una evaluación del estado actual de conocimientos en dominios de la di­dáctica del álgebra.

El marco teórico seleccionado incorpora modelos del aprendizaje cognitivo y del procesamiento humano de la información. A partir de un análisis estructural del apren­dizaje se discute la forma en que ciertos procesos cognitivos se presentan durante el desarrollo de algunos productos notables y su respectiva factorización algebraica. Dicho análisis se realizó con el propósito de cualificar el nivel de demanda cognitiva de la tarea y por ende, su complejidad. De este modo, el estudio lógico y psicológico quedó establecido. Éste último resultó del descubrimiento de ciertos procesos cogni­tivos presentes al momento de ejecutar la tarea. Separadamente, se diseñó una serie de tareas que fueron experimentadas con dos poblaciones diferentes de alumnos de bachillerato. Los instrumentos de análisis presentan la información proporcionada por los alumnos considerando tanto el conocimiento declarativo como el procedural. Se rastrearon los caminos seguidos por los alumnos detectando estrategias, secuencias de acciones, obstáculos cognitivos y tiempos de ejecución. De este modo, se hace la dife­rencia entre alumnos expertos, medios y novatos.

Se explica el acceso al conocimiento mediante la ejecución de subprocesos y encadenamientos nucleares; la evolución conceptual, por medio de equilibraciones y adaptaciones a nuevas situaciones. Finalmente, se proponen estrategias didácticas para la generación de zonas de desarrollo próximo para el enriquecimiento instrumental de habilidades y procesos cognitivos basados en la estructura global del conocimiento y el flujo dinámico de la información.

NOTAS Y NOTICIAS

Eventos por celebrarse

Congresos

l. El programa de Maestría en Educación Matemática de la UNAM invita a participar en el VI Simposio Internacional en Educación Matemática "Elfriede Wenzenburger". El simposio se llevará a cabo del 13 al 15 de octubre de 1997 en la Ciudad de México. En dicho evento habrá mesas redondas, conferencias, talleres, carteles y exhibi­ciones, venta y exhibición de libros, software y materiales didácticos. Se invita a asistir a este evento y a enviar propuestas de participación como conferencista o conductor de talleres. Dichas propuestas deben enviarse escritas en español o inglés y su extensión debe de ser de 8 páginas para los reportes de investigación, 1 O pági­nas para los talleres y 4 páginas para los posters. Los trabajos serán sometidos a arbitraje y se publicarán con las memorias del congreso. Se pide original y dos copias además del disco en Word para Windows. El costo de inscripción, que in­cluye las memorias y la comida de clausura es de $200.00 ( 40 dólares). La fecha límite para enviar propuestas de trabajo es el 21 de mayo de 1997. Para mayores informes se puede contactar al Comité Organizador en las oficinas de la Maestría en Educación Matemática:

Universidad Nacional Autónoma de México Oficinas Administrativas 2, ler. piso Av. Universidad 3000 04510 México, D.F. Tel. (525) 622-23-42 ó (525) 622-23-86 Fax (525) 616-22-97 e-mail: jrecio@servidor.unam.mx

2. La conferencia XXI del PME (Psychology of Mathematics Education) tendrá lugar en Lathi, Finlandia, del 14 al 17 de 1997 con tema ''Tecnología, Educación Matemática y Cambio". La fecha límite para enviar reportes de investigación es el 15 de enero de 1997.

3. La Reunión Centroamericana y del Caribe de Investigación en Matemática Edu­cativa se convierte a partir de este año en la Reunión Latinoamericana de Mate­mática Educativa.

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El comité organizador anuncia la XI Reunión que se llevará a cabo en Morelia, Michoacán, México, del 14 al 18 de julio de 1997 en la Universidad de San Nicolás de Hidalgo.

Para mayor información contactar a: Dr. Ricardo Cantoral Depto. de Matemática Educativa Nicolás San Juan 1421 03100 México, D.F. rcantor@envaxl.red.cinvestav.mx

4. La 8a. Conferencia Internacional sobre la Enseñanza de la Modelación Matemática y sus Aplicaciones tendrá como sede la ciudad de Brisbane, Australia y se llevará a cabo del 1 al 5 de agosto de 1997.

La información se obtiene con: George Brooner Griffith University Nalthan 4111 QLD Australia Abrooker@edn.gu.edu.au

5. Del 18 al 21 de octubre de 1997 se llevará a cabo el congreso del PME norteame­ricano en Bloomington, Illinois. Las propuestas deben enviarse antes del 27 de enero de 1997.

Para mayor información contactar a: Jane Swafford Department of Mathematics Campus Box 4520 Illinois State University Normal le 61709-4520 USA swafford@math.ilstu.edu Tel. 1-309-438-7797 Fax 1-309-438-5866

6. La Conferencia Internacional sobre Enseñanza de la Estadística tendrá lugar del 23 al 28 de junio de 1998 en la Universidad Tecnológica de Nanyang en Singapur.

Si desea mayor información puede obtenerla contactándose a: http://www.nie.ac.sg:80001/-wwwmath/icots.html

7. La Asociación Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT) anuncia la celebración del III Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. El congre­so se celebrará en la Universidad Central de Venezuela, Caracas, del 26 al 31 de julio de 1998. El Comité Organizador local está conformado por las Juntas Direc­tivas Nacionales y Regionales de laASOVEMAT.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. l • Abril 1997 • © GEI • Pág. 115 •

Para mayor información contactar a:

Prof. Cipriano Cruz 879/463-7915/460 Universidad Central de Venezuela, 3143 Ciudad Universitaria, Los Chaguáramos. Caracas, VENEZUELA Teléfono: 605-30-89 Fax: 693-06-29 Correo electrónico: cruz@sagi.ucv.edu.ve

8. La sociedad Peruana de Educación Matemática anuncia la celebración del I CONEM. El Congreso tendrá corno sede la Pontificia Universidad Católica, del 3 al 7 de Febrero de 1997. Las actividades programadas incluyen: conferencias, talleres, comunicaciones, grupos de trabajo, cursos.

Para mayor información contactar a: Martha Villavicencio Teléfonos: 444-5879/463-7915/460-3143 Fax: 445-1641

9. La décima reunión anual internacional sobre Tecnología en Matemática Univer­sitarias (Technology in Collegiate Mathernatics) tendrá lugar del 6 al. 9 de no­viembre de 1997 en la ciudad de Chicago, Estados Unidos.

Interesados escribir a Joanne Foser Addison Wesley Longrnan 1 JacobWay Reading, Ma, 01867, USA Tel. (617) 944-37-00 ext. 2394 Fax (617) 944-89-64 correo electrónico joannef@aw.coi::n También se puede encontrar más información en la red: http://www.aw.com/he

10. El Grupo de Educación Matemática de la Universidad de la Serena y la Sociedad Chilena de Educación Matemática. Invitan al Seminario Internacional sobre Formación de Profesores de Matemática. Este evento tendrá lugar del 23 al 25 de julio en la Serena, Chile y se inserta en el marco de las IX Jornadas Nacionales de Educación Matemática (Chile).

Para mayores informes, dirigirse a: Dr. Raimundo Olfos Ayarza Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Universidad de La Serena Benavente 980. La Serena Chile

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Tel. 56-51-204102 Fax: 56-51-226662 E-Mail: rolfos@elqui.cic.userena.cl

11. El Congreso Internacional de Matemáticas ICM-98 cuenta con los auspicios de la Intemational Mathematical U nion (IMU) y se celebrará en Berlín, Alemania, del 18 al 27 de Agosto de 1998.

El Comité Organizador de este congreso está formado por: Presidente: M. Grostschel, Berlín Vicepresidente: M. Aigner, Berlín Presidente Honorario: F. Hirzebruch, Bonn Tesorero: J. Sprekels, Berlín Secretario General: J. Winkler, Berlín

El Comité Internacional de Programa está presidido por Phil. J. Griffiths, Princeton, Estados Unidos.

El programa del congreso incluirá secciones sobre Enseñanza y Populariza­ción de la Matemática, e Historia de la Matemática.

Más informes sobre este congreso pueden obtenerse a través del WWW: http://eliz.zib-berlin.de/icm98

; .. 12. El Departamento de Enseñanza de las Matemáticas y de las Ciencias del Sultán

Hassamal Bolkiah Institute of Education anuncia el Seminario Internacional sobre Innovaciones Curriculares en la Enseñanza de las Ciencias y las Matemáticas. El Seminario tendrá lugar del 2 al 5 de junio en la Universidad Brunei Darussalam que está $ituada a 12 km. de Bandar Seri Begawan en la Isla de Borneo. El comité del Programa invita a presentar artículos o a conducir talleres.

El seminario será en inglés y costará $11 O dólares. Se deben enviar resúme­nes de no más de 200 palabras de las propuestas por correo electrónico, preferen­temente en Word o Word Perfect incluyendo título, autor, institución, dirección postal y electrónica, teléfono y fax, antes del 21 de febrero de 1997, al secretario del séminario: martyn@ubd.edu.bn

También pueden enviarse por servicio postal a: .:.~~'. ~•minar Secretary ·:,; ·· Dpt of Science and Mathematics Education

Sultán Hassanal Bolkiah Institute of Education Universiti Brunei Darussalam Bandar Seri Begawan 2028 Negara brunei Darussalam Tel. 6732 249001 X 550 Fax 6732 249134

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Directorio de autores

Ricardo García Ródenas, Mª Luz López García y Doroteo Verástegui Rayo Universidad de Castilla-La Mancha. Departamento de Matemáticas. Escuela Universitaria Politécnica de Almadén. Plaza Manuel Meca, l. 13400-Almadén, Ciudad Real, España.

Rafael Núftez Errázuriz University of California at Berkeley. Institute of Cognitive Studies. Berkeley, CA 94720. Estados Unidos de Norteamérica.

Alicia Bruno y Antonio Martinón Universidad de La Laguna. Departamento de Análisis Matemático. 38271 La Laguna, Tenerife, España.

Elena Nardi University of Oxford. Department of Educational Studies. 15, Norham Gardens, Oxford OX2 6PY. Reino Unido.

Gonzalo Zubieta CCNVESTAV. Departamento de Matemática Educativa Dakota 379, Col. Nápoles. C. P. 03810, México, D.F., México.

Gelsa Knijnik Universidade do Vale do Rios dos Sinos. Centro de Ciencias Humanas. Programa de Mestrado em Educa~ílo. Av. Unisinos, 950. 93022-000. Silo Leopoldo, Brasil.

Araceli Reyes Instituto Tecnológico Autónomo de México. Río Hondo l. Col. Tizapán, San Ángel. C. P. 01000 México, D.F. México.

Concepción Romo Santos Universidad Complutense. Facultad de Ciencias Matemáticas. 28040, Madrid, España.

• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 9. No. 1 • Abril 1997 • © GEi • Pág. 119 •

Política Editorial

La Revista Educación Matemática es una publicación cuatrimestral dedicada a difundir estudios sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en los distintos niveles escolares y dentro de un espectro amplio de corrientes, acercamientos, metodologías y escuelas de pensamiento. Considera para su publicación materiales originales, escritos en español, que den cuenta de resultados de investigación, expe~ ciencias y ensayos documentados sobre la educación matemática realizados, preferen­temente, en los países o comunidades hispanohablantes. Más específicamente, la Revista Educación Matemática está interesada en publicar Artículos cuyo contenido sea:

• Reportes de investigación • Análisis de experiencias didácticas • Aplicación didáctica de los resultados de la investigación • Metodologías de investigación • Metodologías de la enseñanza de las matemáticas • Estudios fundamentados sobre el uso de medios computacionales y otras tecnologías

para la enseñanza de las matemáticas • Análisis crítico de materiales y recursos didácticos • Estudios fundamentados sobre nuevas presentaciones o acercamientos de enseñanza

a temas específicos

Son también bienvenidos los artículos de matemáticas, física, historia, filosofía, epistemología, lingüística, psicología y otras disciplinas afines, siempre y cuando su contenido se relacione de manera significativa y explícita con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, ofreciendo a los lectores nuevas perspectivas de apreciación de las problemáticas de este campo.

La Revista Educación Matemática recibe también contribuciones en las siguientes secciones fijas:

• Problemas y soluciones Problemas interesantes dirigidos a profesores o alumnos de matemáticas, así como soluciones ingeniosas y comentarios a problemas aparecidos en la Revista o en otras publicaciones.

• Natas de clase Propuestas originales de presentación de un tema, acercamientos novedosos que hayan sido probados en clase, lecciones, prácticas, ejercicios y, en general, cualquier producto de la experiencia que el profesor considere valioso compartir con sus colegas, siempre y cuando tengan el soporte bibliográfico correspondiente.

• Reseñas De libros y otras publicaciones a) Ensayos bibliográficos sobre materiales de interés para la comunidad de

educadores de las matemáticas.

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b) Descripciones breves y analíticas de libros y materiales relacionados con la matemática y su ensefianza.

e) Notas sobre novedades editoriales.

De trabajos de investigación Descripción breve de investigaciones concluidas, resúmenes de tesis de posgrado, proyectos en marcha o con resultados parciales.

De eventos Notas sobre eventos académicos de interés para la comunidad, realizados en cualquier parte del mundo.

• Notas y noticias Programas de actividades futuras y otras notas de interés para la comunidad.

• Foro del lector Cartas dirigidas al Comité Editorial que sean de interés para la comunidad, comentarios a artículos publicados, sugerencias y criticas de los lectores.

Para algunos temas especiales que requieran mayor espacio, el Comité Editorial considerará la publicación de números monográficos.

En casos excepcionales, el Comité Editorial considerará para su publicación la traducción al espafiol de artículos originales cuya calidad así lo amerite.

• EDUCACIÓNMATEMÁTICA. Vol.9.No.l • Abrill997. © GEI. Pág. 121 •

Guía para el autor

Los artículos enviados a la Revista Educación Matemática deben ser trabajos originales que no hayan sido publicados anteriormente.

I,..os manuscritos deberán ser enviados en original y tres copias, con un resumen de diez líneas y las notas y referencias correspondientes, mecanografiados a doble espacio, por un solo lado de la hoja y con márgenes amplios. El nombre, institución y domicilio completo del autor (incluyendo código postal, teléfono, fax y dirección electrónica) deberán aparecer claramente escritos sólo en el original. Las copias deben contener el título del trabajo pero ninguna referencia al autor, para facilitar el proceso de revisión anónima. Las páginas del manuscrito deben estar numeradas de manera consecutiva; se sugiere, en la medida de lo posible, evitar las notas a pie de página y sustituirlas por notas al final del artículo. Por favor, no envíe disquete en esta etapa.

Cuando el artículo haya sido aceptado para su publicación, el autor deberá enviar la versión definitiva completa (incluyendo un resumen en español y, de ser posible, en inglés o francés de un máximo de diez líneas), en impresión y disquete; en caso de discrepancia entre la impresión y el disquete, se tomará como base la versión impresa. Es responsabilidad del autor el contenido y la mecanograffa del artículo.

Sólo será posible procesar manuscritos capturados en computadoras IBM-compati­bles, con sistema MSDOS (versión 3.2 o más), y procesadores Word para DOS, Word para Windows o WordPerfect. Las figuras, gráficas e ilustraciones que así lo ameriten, deberán enviarse en hojas separadas; trazadas con tinta negra.

El autor recibirá gratuitamente cinco ejemplares del número de la revista que contenga su artículo. Cualquier publicación posterior del material requerirá la autori­zación por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica.

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Guía para los árbitros

.'odos los manuscritos se someten a un proceso de revisión por pares, anónimo en las los direcciones: el árbitro no recibe el nombre del autor y el autor no conoce los nombres le los revisores. Cada artículo es enviado a tres revisores cuya especialidad y trayectoria Jrofesional garantice la calidad de los trabajos aceptados. Los comentarios y observa­;iones de los revisores se transcriben y envían al autor a fin de que éste los tome en ::uenta para nuevas versiones. Se espera de los árbitros una revisión detallada y constructiva que ayude al autor a mejorar su manuscrito.

Para la revisión, los árbitros deberán tomar en cuenta los siguientes criterios generales:

• Que el tema sea de interés para investigadores en educación matemática y para profesores de matemáticas ·

• Que el contenido sea original • Que el argumento matemático no tenga errores • Que las tesis estén adecuadamente fundamentadas y documentadas • . Que las ideas estén correctamente organizadas • Que las metodologías de investigación estén claramente descritas • Que las referencias bibliográficas sean actuales • Que la redacción sea clara • Que no haya aparecido en otras revistas

Las evaluaciones de los revisores tienen las siguientes opciones:

• Aceptar • Alentar revisión y nueva presentación • Sugerir revisión a fondo • Rechazar