Análisis de riesgo e incertidumbre

�Eduardo Contreras– Enero 2009

Introducción a riesgo e incertidumbre�Dos Conceptos:

– Riesgo: » Información de naturaleza aleatórea, las

probabilidades de ocurrencia de eventos son conocidas.

– Incertidumbre:» Las probabilidades de ocurrencia de un evento no

son bien cuantificadas.

» Fuente básica de Incertidumbre:� información incompleta inexacta, sesgada, falsa o

contradictoria

Fuentes de Riesgo e Incertidumbre en Inversiones

�Uso de fuentes de información poco confiables

�Dinámica de los mercados

�Errores de interpretación de datos

�Errores en la manipulación de información

Fuentes de Riesgo e Incertidumbre en Inversiones

�Poco conocimiento del mercado– Precios

– Demandas

– Gustos y modas

– Costos de insumos

– Tecnologías

Enfoques para la incorporación del Riesgo�1. Análisis individual de una inversión

– 1.1 Análisis probabilístico

– 1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios

– 1.3 Ajuste simple en la tasa de descuento

– 1.4 Simulación

�2. Análisis de portafolio– 2.1 Diversificación y en modelo CAPM

�3. Análisis de Decisiones Secuenciales y Arboles de Decisión

1. Análisis individual de una Inversión�1.1 Análisis probabilístico de una inversión.

– Una forma de Interpretar el Riesgo» La variabilidad de los flujos de caja, que implica la

variabilidad del VAN� Ahora los flujos de caja son variables Aleatorias

F1F3

F4F2

Fn

F7

F6

F5

....F8

F8

1.1 Análisis probabilístico de una Inversión. σι =Desviación estándar del flujo de caja Fi

» VAR(Fi) = σι 2

µι =Valor esperado del flujo de caja Fi» E( Fi) = µι

�Valor Esperado de la Inversión:» E(VAN) = µ0 + µ1 + µ2 + . . . + µ3

Sea :

(1+r) (1+r)2 (1+r)3

1.1 Análisis probabilístico de una Inversión.�Desviación estándar de una Inversión :

– Caso 1: Flujos de caja independientes

– Caso 2 : Flujos de caja perfectamente correlacionados

� Cov(Fi , Fj) = 1 = Coeficiente de correlación

– Caso 3: Flujos de caja imperfectamente correlacionados

Sea :

σσι ι σσϕϕ

1.1 Análisis probabilístico de una Inversión.

– Podemos obtener el comportamiento probabilístico del rendimiento económico:

$

Probabilidad Distribución de probabilidades del VAN

µµ

σ

1.1 Análisis probabilístico de una Inversión.�¿ Que inversión elegir ?

$

Probabilidad Distribución de probabilidades del VAN

µµΑΑ

σΑ

µµΒΒ

σΒ

A

B

1.1 Análisis probabilístico de una Inversión.

$

Probabilidad Distribución de probabilidades del VAN

µµΑΑ

σΑ

µµΒΒ

σΒ

σΑ σΒ<

µµΑΑ µµΒΒ<

Inversión B es más Riesgosa

Inversión B es más Rentable

1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios�Análisis de Sensibilidad

– Inversión evaluada en una situación base

– Se determinan las variables mas significativas que afectan los indicadores de rentabilidad :

– precios de venta

– precios de insumos

– costos de producción

– costo de capital

– volúmenes de venta

– coeficientes tecnológicos

– inversión

1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios�Análisis de Sensibilidad

– Se busca evaluar la sensibilidad de los indicadores de rentabilidad ante variaciones de las variables significativas más inciertas:

Item

Situación BasePrecio Venta* (1 - x%)Precio Insumos * (1 + y%)Ventas *(1 - z%)Costos Operación * (1 + W%). . . . .

(∆VAN/VAN)/( ∆X/X)

1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios�Análisis de Sensibilidad

– Si el impacto de una variable riesgosa en el VAN es importante, entonces el proyecto es RIESGOSO.

– El nivel de riesgo se determina en la medida que el VAN se hace negativo para valores probables de la variable.

– En este caso, se debe hacer una evaluación costo-beneficio de la pertinencia de comprar certidumbre.

1.2 Análisis de Sensibilidad: ejemplo Victoria - Vilcún

Cultivo (∆VAN/VAN) (∆X/X) Elasticidad Avena forrajeraPoroto 0.20% 10.00% 0.02Lenteja -0.07% 10.00% -0.01Carne 1.04% 10.00% 0.10Leche 3.02% 10.00% 0.30Trigo 0.03% 10.00% 0.00Cebada 0.07% 10.00% 0.01Frambuesa 1.72% 10.00% 0.17Remolacha 0.92% 10.00% 0.09Manzana 1.15% 10.00% 0.12Pera 1.07% 10.00% 0.11Zanahoria 3.13% 10.00% 0.31

Todos 12.30% 10.00% 1.23

Inversión -2.30% 10.00% -0.23

N° años entrada en -19.44% 55.56% -0.35régimen(9 a 14)

1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios

�Análisis de Sensibilidad– Ventajas

» Fácil Aplicación

» Fácil de Entender

– Desventajas» Sólo permite analizar variaciones de un parámetro a

la vez.

» No utiliza información como las distribuciones de probabilidad del parámetro a sensibilizar.

» No entrega distribución de probabilidades de los indicadores de rentabilidad VAN y TIR.

1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios �Análisis de Escenarios

– Esta técnica permite solventar el problema de unidimensionalidad del análisis de sensibilidad, definiendo escenarios para las distintas variables riesgosas que afectan la inversión.

– Cada escenario está determinado por los valores que supuestamente tomarían las variables riesgosas en estos.

– Habitualmente se definen tres escenarios : optimista, medio y pesimista.

1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios �Análisis de Escenarios

– Un ejemplo:» Escenario optimista:

� Precio producto sube un 20 %

� Precio de los insumos se mantienen

� Las ventas crecen en un 10 %

� etc.

– Los escenarios deben ser definidos por la alta gerencia de la empresa.

– Esta es una actividad netamente interfuncional.

1.3 Ajuste simple en la tasa de descuento�Comportamiento del Inversionista :

– A una inversión mas riesgosa se le exige una mayor rentabilidad

– Por lo tanto se espera recibir un premio por asumir riesgo

– Una forma de incorporar el riego es castigar la tasa de descuento :

δ ρ = δ + εδρ δε

= Tasa de descuento que incorpora riesgo= Tasa de descuento libre de riesgo = Premio por asumir el riesgo

1.3 Ajuste simple en la tasa de descuento

δρ = δ + ε

Nivel de Riesgo

NuloBajoMedioAlto

6101418

4500 4500

10.000

4500

δΡ ε

04812

VAN

20281192447

−217

1.3 Ajuste simple en la tasa de descuento�Problemas del Método:

– se fija arbitrariamente.

– No se utiliza información valiosa como la distribución de probabilidades de los flujos futuros.

– El riesgo aumenta a medida que pasa el tiempo, cosa que no siempre es cierto.

ε

1.4 Simulación

�Limitaciones del modelo probabilístico :– Entendimiento de probabilidades

– Dificil formulación matemática» Modelación de las relaciones entre flujos

» Modelación de la relaciones entre variables

» Imposibilidad de llegar a una solución analítica

�Solución : Simulación Computacional

1.4 Simulación

�La simulación permite la evaluación de un gran número de escenarios generados aleatoriamente, de acuerdo a las distribuciones de probabilidades de las variables riesgosas y de las relaciones de interdependencia entre ellas.

�Se obtiene distribuciones de probabilidad de los criterios de evaluación seleccionados.

1.4 Simulación

�Distribuciones de Probabilidad mas usadas :

– Uniforme

– Triangular

– Normal

– Binomial

– “ad hoc”

Si

No

1.4 Simulación

�Procedimiento :

Datos de entrada :- Tasa descuento- Tasa Impositiva- Definición Probabilísticade variables riesgosas

- Relación entre variables

Generador de variables aleatorias.

Modelo deInversión.

Criterios de Evaluación :- VAN- TIR- Pay-Back- ....

Distribución de Probabilidades del criterios seleccionados.

Análisis estadístico de la distribución de los criterios de Evaluación.

1.4 Simulación

�Resultado :» Distribución de Probabilidades del VAN

Ejemplo.

Supongamos que la variable aleatoria de un proyecto es la cantidad de clientes en un año. Y que la distribución que sigue esta variable es una uniforme entre 400 y 1.000 [clientes/año].

Consideremos además que el proyecto tiene un horizonte de 3 años donde cada flujo es caracterizado como sigue:

Fo = - 2000 y Fi = 10 * Qi - 6000 con i=1,2,3, donde Qi es la cantidad de clientes en el año i. El costo de oportunidad del dinero es 10%.

El ejemplo se ilustra en las siguientes páginas.

Primero se realizaron 1000 iteraciones aleatorias para el VPN. Calculando además el valor esperado del VPN y su desviación.

En segundo lugar se calculó y se representó gráficamente la distribución de frecuencias del VPN, que, en la medida que crece el número de iteraciones tiende a la verdadera función de distribución de probabilidades del VPN.

Finalmente se graficó la evolución del valor esperado y la desviación Standard del VPN a medida que aumenta el número de iteraciones.

Tabla de Iteraciones Aleatorias del VPN

N° Y1 Q1 F1 Y2 Q2 F2 Y3 Q3 F3 VPN E(VPN) σσσσ(VPN) E(E(VPN)) σσσσ(E(VPN))1 0.5301 718.1 1180.6 0.3020 581.2 -188.0 0.1380 482.8 -1172.1 -1962.7 -1962.7 #¡DIV/0! -1962.7 #¡DIV/0!2 0.3218 593.1 -69.2 0.6530 791.8 1917.8 0.0750 445.0 -1550.1 -1642.5 -1802.6 226.4 -1882.7 113.23 0.6103 766.2 1661.7 0.7805 868.3 2683.3 0.9345 960.7 3607.2 4439.4 278.0 3607.4 -1162.4 1250.14 0.3009 580.5 -194.6 0.3191 591.5 -85.4 0.0694 441.6 -1583.6 -3435.3 -650.3 3481.7 -1034.4 1052.35 0.8573 914.4 3143.9 0.9527 971.6 3716.3 0.9150 949.0 3490.2 6554.7 790.7 4413.0 -669.4 1223.46 0.7235 834.1 2341.2 0.0380 422.8 -1772.3 0.9551 973.1 3730.7 1470.6 904.0 3956.8 -407.1 1268.87 0.4593 675.6 755.7 0.8712 922.7 3227.2 0.2047 522.8 -771.8 779.3 886.2 3612.4 -222.4 1257.28 0.6352 781.1 1811.1 0.3919 635.1 351.2 0.6699 801.9 2019.3 1459.8 957.9 3350.6 -74.8 1236.59 0.0835 450.1 -1499.2 0.0163 409.8 -1902.1 0.4836 690.1 901.4 -4250.6 379.2 3582.9 -24.4 1166.5

10 0.2643 558.6 -414.0 0.3075 584.5 -154.9 0.2723 563.4 -366.3 -2771.6 64.1 3521.9 -15.6 1100.111 0.3363 601.8 17.6 0.7015 820.9 2209.2 0.9327 959.6 3596.3 2552.8 290.3 3424.4 12.3 1047.812 0.4918 695.1 950.5 0.6940 816.4 2163.9 0.8580 914.8 3147.9 3027.5 518.4 3359.3 54.4 1009.613 0.4403 664.2 642.0 0.7635 858.1 2580.9 0.4457 667.4 674.5 1234.4 573.5 3222.4 94.4 977.314 0.8576 914.5 3145.3 0.2643 558.6 -414.2 0.8541 912.5 3124.8 2876.8 738.0 3156.6 140.3 954.615 0.6489 789.3 1893.4 0.1079 464.7 -1352.5 0.0517 431.0 -1690.0 -2653.2 511.9 3165.3 165.1 924.916 0.5739 744.4 1443.5 0.6944 816.7 2166.5 0.1255 475.3 -1246.8 180.1 491.2 3059.1 185.5 897.217 0.0110 406.6 -1934.0 0.2179 530.7 -692.8 0.9154 949.2 3492.5 -1691.8 362.8 3008.9 195.9 869.818 0.4591 675.5 754.9 0.4720 683.2 832.2 0.0896 453.8 -1462.1 -1708.5 247.7 2959.6 198.8 843.919 0.5894 753.7 1536.6 0.9813 988.8 3887.7 0.4590 675.4 754.2 3193.5 402.8 2954.5 209.5 821.520 0.4244 654.6 546.3 0.1254 475.2 -1247.9 0.2960 577.6 -224.2 -2685.1 248.4 2957.4 211.5 799.621 0.8796 927.8 3277.5 0.6009 760.5 1605.4 0.6124 767.5 1674.6 3583.4 407.2 2973.0 220.8 780.522 0.8940 936.4 3363.8 0.8612 916.7 3167.3 0.2867 572.0 -280.1 3485.2 547.1 2974.7 235.6 764.923 0.4243 654.6 545.6 0.9585 975.1 3750.8 0.2691 561.4 -385.5 1327.2 581.0 2910.8 250.6 750.824 0.8124 887.5 2874.6 0.0802 448.1 -1518.8 0.8870 932.2 3322.1 1876.0 635.0 2859.1 266.7 738.425 0.5368 722.1 1220.8 0.1404 484.2 -1157.7 0.9956 997.3 3973.3 1161.3 656.0 2800.9 282.2 727.126 0.5088 705.3 1052.9 0.3306 598.3 -16.7 0.5740 744.4 1444.2 52.4 632.8 2746.8 295.7 715.727 0.7153 829.2 2291.6 0.9222 953.3 3533.4 0.4575 674.5 745.2 3588.3 742.3 2752.9 312.3 707.028 0.5994 759.6 1596.3 0.7382 842.9 2429.2 0.1055 463.3 -1366.8 457.9 732.1 2702.0 327.3 698.329 0.6039 762.3 1623.4 0.1652 499.1 -1009.0 0.3574 614.4 144.1 -1222.7 664.7 2678.0 338.9 688.6

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...1000 0.5196 711.8 1117.8 0.5799 748.0 1479.6 0.7179 830.7 2307.1 2970.4 877.7 2418.5 691.7 163.1

Distribución de Frecuenciadel VPN

¿Cuál es la probabilidad que el VPN de este proyecto sea negativo?

Debemos sumar las probabilidades de los rangos que incluyen VPNs negativos.

A partir de la tabla, esta probabilidad es 36,5%.

Rango Frecuencia Probabilidad-5999 ~ -5500 2 0,0020-5499 ~ -5000 2 0,0020-4999 ~ -4500 2 0,0020-4499 ~ -4000 11 0,0110-3999 ~ -3500 21 0,0210-3499 ~ -3000 10 0,0100-2999 ~ -2500 34 0,0340-2499 ~ -2000 36 0,0360-1999 ~ -1500 58 0,0580-1499 ~ -1000 54 0,0540-999 ~ -500 64 0,0640

-499 ~ 0 71 0,07101 ~ 500 77 0,0770

501 ~ 1000 84 0,08401001 ~ 1500 73 0,07301501 ~ 2000 73 0,07302001 ~ 2500 75 0,07502501 ~ 3000 51 0,05103001 ~ 3500 56 0,05603501 ~ 4000 36 0,03604001 ~ 4500 35 0,03504501 ~ 5000 26 0,02605001 ~ 5500 23 0,02305501 ~ 6000 10 0,01006001 ~ 6500 7 0,00706501 ~ 7000 6 0,00607001 ~ 7500 3 0,0030

1000 1,0000

Distribución de Frecuencia del VPN

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09-5

999

~ -

5500

-549

9 ~

-50

00

-499

9 ~

-45

00

-449

9 ~

-40

00

-399

9 ~

-35

00

-349

9 ~

-30

00

-299

9 ~

-25

00

-249

9 ~

-20

00

-199

9 ~

-15

00

-149

9 ~

-10

00

-999

~ -

500

-499

~ 0

1 ~

500

501

~ 1

000

1001

~ 1

500

1501

~ 2

000

2001

~ 2

500

2501

~ 3

000

3001

~ 3

500

3501

~ 4

000

4001

~ 4

500

4501

~ 5

000

5001

~ 5

500

5501

~ 6

000

6001

~ 6

500

6501

~ 7

000

7001

~ 7

500

VPN

Fre

cuen

cia

VALOR ESPERADO Y DESVIACIÓN STANDARD DEL VPN

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

N° ITERACIÓN

E(VPN) s(VPN)

�La diversificación de Markowitz se preocupa del grado de covarianza entre las rentabilidades de los activos componentes de un portafolio.

�La idea central es combinar en un portafolio, activos que no estén perfectamente correlacionados, con el propósito de disminuir el riesgo sin sacrificar rentabilidad.

Riesgo y Rentabilidad

Incertidumbre y carteras -Riesgo y Rentabilidad

∗∗∗∗*

* 1

2

4

6

RentabilidadEsperada

Riesgo

Conjunto factible está representado por la curva1-5

Conjunto eficiente está representado por la curva2-5

∗∗∗∗

5

∗∗∗∗ ∗∗∗∗M ∗∗∗∗

Rf

Riesgo y Rentabilidad

σσρ

σσ

jiijji,

ji,ji

ijii

2i

2N

=1i

p2

=

Cov

CovXX + X = ∑∑∑≠

La varianza del portafolio es:

Sea Xi fracción de riqueza invertida en cada alternativa, X i ≈ 1/N, donde N es el número de inversiones

NOTA: σp2 = VAR (rp)

Riesgo y Rentabilidad

Riesgo

Número de Activosen el Portafolio

Riesgo diversificable (no sistemático)

Riesgo no diversificable(sistemático)

Riesgo y Rentabilidad

� Sabemos que la relación más típica entre riesgo y rentabilidad es lineal.

� Esto significa que la rentabilidad de un activo se “explica”en función de la cantidad de riesgo que tiene.

� En términos más formales:

[ ]E R R E R RCov R R

Var Ri f M fi M

M

( ) ( )( , )

( )= + − ⋅

rentabilidadesperada

tasa librede riesgo

premio porriesgo

riesgosistemático

Riesgo y Rentabilidad� La expresión anterior formalmente se deriva de imponer

que la pendiente de la LMC es igual a la derivada de la frontera eficiente en el punto M.

� Cov(Ri,RM)/Var(RM) = βi representa la cantidad de riesgo y se denomina riesgo sistemático.

� Por definición sabemos que βM = 1 = Cov(RM,RM)/Var(RM) = Var(RM)/ Var(RM) = 1.

activo menosvolátil o sensible que el “mercado”

βi > 1

βi < 1

activo másvolátil o sensible que el “mercado”

Riesgo y Rentabilidad

�¿Para qué sirve el modelo?Básicamente, para determinar el costo de capital (empresa, división,proyecto).

VPNFC

rt

tt

N

=+=

∑( )10

Calculado de acuerdo a CAPM

Denominador reflejariesgo sistemático

Numerador reflejariesgo nosistemático

Riesgo y Rentabilidad

� Aplicando el modelo

– Tasa libre de riesgo

» Candidatos: Papeles del Banco Central de Chile (PRC’s van desde 2 a 20 años)

� Rentabilidad esperada de mercado

– Primer problema: Portafolio de mercado

– ¿Cuál es el portafolio de mercado?

� Teóricamente representa el valor de mercado de todos los activos de la economía (debidamente ponderados).

� Candidatos para RM : índices bursátiles (IPSA, IGPA), índices sectoriales, PIB, consumo agregado real.

Riesgo y Rentabilidad

� Estimación de Betas

� El beta de una compañía es típicamente estimado a través de una regresión con datos históricos.

� ML estimó el beta para Hewlett Packard a partir de 60 observaciones de retornos de su acción y S&P500 y obtuvo:

e~r~81.181.0r~ tmtit ++=

β=1.81 significa alto riesgo. Claramente mayor a 1.0.