edp

Metodos Numericos para Ecuaciones Diferenciales

Parciales y Dinamica de Fluidos Computacional

Obidio Rubio Mercedes

de octubre de

Prologo

En la actualidad se esta resolviendo problemas cuyos modelos matematicosson cada vez mas complejos, esta necesidad de resolverlas, lleva consigo labusqueda de implementar alguna metodologa, en este caso los metodosnumericos, resultaron ser los mas utiles, puesto que siempre generanun codigo o programa para ser implementado en un computador. Lacomplejidad del problema exigira muchas veces un computador de altodesempeno, pero cuyos resultados son indudablemente muy impactantes,en la actualidad por que permiten simular los problemas reales sin ten-er que hacer gasto de dinero o tiempo en simulaciones experimentales,generando una area muy amplia, como es la matematica numerica, en-tendiendose que en ella se trata tanto los metodos numericos como elanalisis numerico de estos metodos , los cuales siempre estaran enfoca-dos en analizar el orden de consistencia y la velocidad de convergenciade las soluciones aproxmadas que generan los metodos.

En el presente trabajo se hace una introduccion al metodo de diferen-cas nitas, puesto que es uno de los metodos muy usados, por su simpli-cidad, puesto que puede ser accesado por un principiante con bastanteexito, y por su capacidad de abordar una amplia variedad de problemas,esta presentacion se hace utilizando como modelos basiocs a ecuacionesdiferenciales parciales lineales de primer orden, como la ecuacion de laonda y de segudno orden com la ecuacion del calor y la ecucion de Pois-son.

Teniendo en cuenta que un problema de ecuaciones diferenciales par-ciales, el cual es una abstraccion de los modelos de parametros distribui-dos, para ser formulado siempre necesita de un espacio innito dimen-sional, entonces este problema debe ser aproximado por otro problemaformulado en un espacio nito dimensional.

El proceso principal de esta tarea es la discretizacion de un prob-lema, que consiste en aproximar un problema de ecuaciones diferen-

1

2ciales parciales, por un problema discreto, para ello se usa el procesode discretizacion, el cual se ha sistematizado en los siguientes pasos:Discretizacion del dominio del problema, discretizacion de la variableo incognita del problema y nalmente la discretizacion de la ecuaciondiferencial del problema que consiste en usar un esquema de diferen-cias apropiado que aproxime la ecuacion. Cada vez que se hable dediscretizacion de un problema se hace enfasis en estos tres pasos.

El trabajo esta organizado de la siguiente manera: se presenta unadscusion de los esquemas de diferencias nitas para problemas de ecua-ciones diferenciales de primer orden, cuyo modelo patron es la ecuacionhiperbolica de la onda escalar unidimensional, aqu se introduce los con-ceptos fundamentales del analsis de los esquemas de diferencias nitas,como es el de convergencia, consistencia y estabilidad, luego se utlzanestos conceptos en un estudio detallado para las ecuaciones parabolicas,cuyo modelo es la ecuacion del calor. Utilizamos los problemas elpticaspara hacer una presentacion simple de ellas con enfasis en el tratamientode las condiciones de contorno, nalmente se hace una ligera introducciona temas mas especcos, donde se necesita de mas agudeza en el estudiode la convergencia, tanto en problemas lineales como en problemas nolineales.

Indice General

1 Introduccion 7

1.1 La naturaleza de los metodos numericos . . . . . . . . . 7

1.2 El concepto de discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Formulacion para derivar metodos de discretizacion . . . 8

1.3.1 Formulacion Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Formulacion Variacional . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Formulacion de Pesos Residuales . . . . . . . . . 9

1.3.4 Formulacion de Volumen de Control . . . . . . . . 9

1.3.5 Formulacion Integrales de Contorno y Teora dePotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Metodo de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Discretizacion del Dominio . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Discretizacion de la Variable . . . . . . . . . . . . 12

1.4.3 Discretizacion de la Ecuacion Diferencial . . . . . 13

1.4.4 Operadores de Diferencias . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Precision de Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Ecuaciones Diferenciales Parciales 19

2.1 Ecuacion de la Onda Unidimensional . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Sistemas de Ecuaciones Hiperbolicas . . . . . . . 21

2.1.2 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Esquemas de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . 23


2.2.2 Discretizacion de la Variable . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Discretizacion de la Ecuacion . . . . . . . . . . . 24

2.3 Analisis de Esquemas de Diferencias Finitas . . . . . . . 29

2.3.1 Convergencia y Consistencia . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

4 INDICE GENERAL

2.3.3 El Teorema de Equivalencia de Lax - Richtmyer . 36

2.3.4 La Condicion de Courant-Friedrichs-Lewy . . . . 37

2.4 Analisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Ecuaciones Diferenciales Parabolicas 49

3.1 Problema de Conduccion del Calor . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Analisis de los Esquemas de Diferencias Finitas . . . . . 58

3.2.1 Teorema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.2 El esquema de Euler retrasado . . . . . . . . . . . 59

3.2.3 Consistencia y orden de precision . . . . . . . . . 60

3.2.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.5 Esquema de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . 63

3.2.6 Consistencia del esquema de Crank-Nicolson . . . 64

3.2.7 Estabilidad del esquema de Crank-Nicolson . . . . 66

3.2.8 Esquema de Du Fort-Frankel . . . . . . . . . . . . 67

3.2.9 Consistencia del esquema de Du Fort-Frankel . . 68

3.2.10 Estabilidad del Esquema de Du Fort-Frankel . . . 70

3.3 Implementacion Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Disipacion y Dispersion 81

4.1 Disipacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Velocidad de grupo y propagacion de paquetes de ondas . 85

5 Ecuaciones Elpticas: Condiciones de contorno 87

5.1 Ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.1 Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.2 Caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Tratamiento de las condiciones de contorno . . . . . . . . 93

5.2.1 Metodos de los puntos cticios . . . . . . . . . . . 95

5.2.2 Aproximacion por series de Taylor (sin puntos c-ticios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.3 Fronteras irregulares y curvadas . . . . . . . . . . 97

6 Convergencia: problemas lineales y no lineales 99

6.1 Estabilidad y Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


INDICE GENERAL 5

6.1.2 Discretizacion de la Varialble . . . . . . . . . . . 1006.1.3 Discretizacion de la Ecuacion . . . . . . . . . . . 100

6.2 Consistencia y orden de precision . . . . . . . . . . . . . 1066.3 Problemas no lineales: Ecuacion de Burgers . . . . . . . 108

6.3.1 Esquemas de diferencias nitas . . . . . . . . . . 1086.3.2 Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.3 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.4 Implementacion numerica . . . . . . . . . . . . . 115

6 INDICE GENERAL

Captulo 1

Introduccion

1.1 La naturaleza de los metodos numericos

La solucion numerica de una ecuacion diferencial consiste de un conjuntode numeros a partir de los cuales la distribucion de la variable depen-diente puede ser construida. En este sentido, un metodo numerico essemejante a un experimento de laboratorio, en el cual el conjunto deinstrumentos leidos nos permiten establecer la distribucion de la canti-dad medible en el dominio de investigacion. Tanto el analista numericocomo el experimentador de laboratorio deben quedarse con unicamenteun numero nito de valores numericos como el resultado.

Finalmente podemos decir que un metodo numerico trata como susincognitas basicas los valores de las variables dependientes en un numeronito de localizaciones (llamados los puntos de la malla) en el dominio decalculo. El metodo incluye la tarea de proveer un conjunto de ecuacionesalgebraicas para estas incognitas y prescribir un algoritmo para resolverlas ecuaciones.

1.2 El concepto de discretizacion

Teniendo en cuenta que un problema de ecuaciones diferenciales par-ciales, el cual es una abstraccion de los modelos de parametros distribui-dos, para ser formulado siempre necesita de un espacio innito deme-sional, entonces este problema debe ser aproximado por otro problema,discreto, y ser escrito en un espacio nito dimensional.

Para ello se usa el proceso de discretizacion, que consiste en trasladarun problema innito dimensional a otro nito dmensional, el cual se

7

8 CAPITULO 1. INTRODUCCION

ha sistematizado en los siguientes pasos: Discretizacion del dominio delproblema, discretizacion de la variable o incognita del problema y -nalmente la discretizacion de la ecuacion diferencial del problema queconsiste en usar un esquema de diferencias apropiado que aproxime laecuacion. Cada vez que se hable de discretizacion de un problema sehace enfasis en estos tres pasos.

Las tres etapas de este proceso lo comprenderemos como sigue:

En primer lugar el dominio se subdivide en subdomios o elementossegun una determinada prescripcion, eligiendo un conjunto nito de pun-tos o nodos, que constituyen la malla, esta es la discretizacion del do-minio.

Focalizando la atencion en los valores de los puntos de la malla, el he-cho de remplazar la informacion continua contenida en la solucion exactade la ecuacion diferencial con valores discretos, asi hemos discretizadola variable dependiente . Las ecuaciones algebraicas que involucran losvalores de las variables de en los puntos de la malla elegida se lla-man ecuaciones de discretizacion, las mismas que son derivadas de lasecuaciones diferenciales. La forma de derivar las ecuaciones algebraicasdepende de como la varible dependiente varie en los puntos de la malla,generalmente se especica una variacion de un determinado perl.

1.3 Formulacion para derivar metodos de discretizacion

Para una ecuacionn diferencial dada, los metodos de discretizacion re-queridas pueden ser derivadas en muchas formas, a continuacion men-cionamos algunos de los metodos mas comunes:

1.3.1 Formulacion Serie de Taylor

El procedimiento usual para derivar las ecuaciones de diferencias nitasconsiste en la aproximacion de las derivadas en la ecuacion diferencialvia la serie de Taylor truncada.

1.3.2 Formulacion Variacional

Otro metodo de obtener las ecuaciones de discretizacion estan basadasen el calculo de variciones, donde se verica que, resolver una ecuacion

1.3. FORMULACION PARA DERIVAR METODOS DE DISCRETIZACION 9

diferencial es equivalente a minimizar una funcional. La funcional esminimizada con respecto a los valores en los puntos de la malla de lavariable dependiente, las condiciones resultantes generan las ecuacionesalgebraicas requeridas.

La formulacion variacional es muy comunmente empleada en metodosde elementos nitos. La principal dicultad de esta formulacion es suaplicabilidad ya que no todos las ecuaciones diferenciales de interes soninterpretadas como minimizadoras de una funcional.

1.3.3 Formulacion de Pesos Residuales

Un metodo muy potente de resolver las ecuaicones diferenciales es elmetodo de los pesos residuales, El concepto basico es el siguiente: supo-ner que la solucion aproximada de la ecuacion diferencial ( la variabledependiente) contiene n parametros por determinar, si sustituimos estasolucion en la Ecuacion diferencial obtendremos un residual. La idea eshacer este residual pequeno en algun sentido, generalmente esta ultimatarea se hace multiplicando al residual por una funcion peso W e laintegracion sobre el dominio entero es puesta a cero. Por tanto eligiendonuna sucesion de funciones peso, podremos generar todas las ecuacionesque se requieren para ecaluar los parametros. Muchas de las recientesdesarrollos de las tecnicas de los elementos nitos estan basadas sobreperles por secciones usadas en conjuncion con una clase de pesos resi-duales particulares conocidos como Metodo de Galerkin

1.3.4 Formulacion de Volumen de Control

El domino de calculo es dividido en un numero de volumenes de controlno traslapados de manera que existe un volumen de control encerran-do un punto de la malla, la ecuacion diferencial es integrada sobre elvolumen de control. Perles por secciones expresando la varicion de lavariable dependiente entre los puntos de la malla son usados para las in-tegrales requeridas, el resultado es la ecuacion discretizada conteniendolos valores de la variable para un grupo de puntos de la malla.

La ecuacion discretizada obtenida en esta manera expresa el principiode conservacion para para el volumen de control nito tan igual comola ecuacion diferencial lo hace para un volumen innitesimal.


1.3.5 Formulacion Integrales de Contorno y Teora de Poten-cial

Este metodo, el mas moderno, como es natural, esta basado en unateora mucho mas compleja, como es la Teora de Potencial, que consisteen formular las soluciones de ecuaciones dieferenciales como operadoresde integrales de contorno, muchas veces singulares, de modo que la dis-cretizacion ya no es en todo el dominio, sino unicamente en el contornoy la ecuacion se discretiza siguiendo la tecnica de Galerkin y de los ele-mentos nitos, pero con una funcion de prueba, muy especial, comoson el caso de las funciones de Green de los operadores diferenciales,que formalmente, no son otra cosa mas que los operadores inversos delos operadores diferenciales y son expresados como integrales sobre elcontorno del dominio.

En esta primera parte de los metodos numericos para las ecuacionesdiferenciales parciales esta dedicado al estudio de los esquemas de dife-rencias nitas. Nuestra intencion es hacer nuestro ingreso al campo dela Dinamica de Fluidos Computacional(DFC) de una manera accesible,desde luego que no dejamos de mencionar otros metodos que son impor-tantes y que seran tratados en su debido tiempo, tales como los elementosnitos, metodos espectrales elementos de contorno y volumenes nitos.Utilizamos las Ecuciones Diferenciales Parciales(EDP), ya que esta clasede ecuaciones son las que generalmente modelan los fenomenos natu-rales, mecanicos y otros tipos de procesos que ocurren en las ciencias eIngeniera.

Suponemos un conocimiento basico de las ecuaciones diferenciales par-ciales asi como algunos conocimientos del analisis, si se desea probar al-gunos de nuestros teoremas presentados. A n de ser mas ecientes ennuestro aprendizaje es necesario citar algunos libros de consulta como,Weinberger [7], Farlow[1] y Tijonov [6]

Presentamos primeramente las ecuaciones diferenciales parciales detipo hiperbolico, por considerar que dentro de ellas se encuentran ecua-ciones simples, sin embargo modelan fonomenos fsicos concretos.

Despues de esta rapida presentacion comezamos a presentar los con-ceptos basicos de los esquemas de diferencias nitas(EDF). Tambien pre-sentamos los conceptos importantes de convergencia, consistencia y es-tabilidad los cuales son relacionados por el teorema de equivalencia de

1.4. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS 11

Lax-Richtmyer, utilizamos el analisis de Von Neumann para establecerla estabilidad de esquemas, y terminamos con un tratamiento de losesquemas de diferencias nitas para las ecuaciones de tipo parabolico.

1.4 Metodo de Diferencias Finitas

En esta seccion presentamos en forma general, y basica el concepto delmetodo de diferencias nitas (MDF), por simplicidad lo presentamos endimension uno. Para esto , supongamos que tenemos un dominio, el cualsera un intervalo = [a, b] R donde se tiene que resolver una ecuaciondiferencial. A continuacion hacemos el proceso de discretizacion en lastres etapas fundamentales.

1.4.1 Discretizacion del Dominio

Por simplicidad consideremos el dominio como el intervalo = [0, 1].Este dominio es dividido en un numero nito de subdominios o subin-tervalos igualmente espaciados de longitud x, el cual es un numeropositivo. Ahora damos la denicion de malla

Denicion 1.4.1. Sean x un numero positivo, llamado la diferencianita; una malla en el domnio IR es un conjunto de puntos ={xn} , tal que cada xn esta en el interior o en la frontera de unsubdominio y satisface

xn+1 = xn + x

xn1 = xn x

es decir se cumple x = xn xn1

Esto puntos tambien se llaman nodos y el forma de eleccion no esunica, la obtencion de los subdominios junto con la eleccion de los nodosse denomina discretizacion del domnio . En la gura 1.1 se presentaal punto xn de la malla, localizado entre los puntos xn1 y xn+1.


xn xn+1xn1

x

Figura 1.1: malla unidimensional

Una de las elecciones mas comunes para los nodos son aquellos ubi-cados en la frontera del subdominio, es decir, sus coordenadas son de laforma

xn = nx, n = 0, 1, 2, . . . , N

, siendo N el numero de subdominios. Pero tambien se puede elegir enel interior del subdominio, por ejemplo, si elegimos en el centro de cadasubintervalo se tendra

xn =

(n +

1

2

)x, n = 0, 1, 2, . . . , N 1.

1.4.2 Discretizacion de la Variable

Denicion 1.4.2. Una funcion discreta v, es aquella que esta denidaen una malla , tal que a cada punto xn le asocia un numero vn.

Observacion 1.4.1.

1 .- Si tenemos una funcion continua u(t) denida en , se le puedeasociar una funcion discreta, es decir u puede ser discretizada sobre lamalla, deniendo

un = u(xn).

2 .- Cuando la subdivision del dominio no es uniforme, lo cual ocurreen aplicaciones practicas, se tiene una sucesion de diferencias xn =xn+1 xn para cada n.3 .- Para efectos de un analisis general, suponemos que vn = 0 para|n| > N , donde N es sucientmente grande tal que xn / , denotandoen este caso a la funcion discreta por v = {vn} y n Z, es decir:

v = {vn} = ( , v2, v1, v0, v1, v2, )


Denicion 1.4.3. Sean f = {fn}, g = {gn} dos funciones discretasdenidas sobre una malla , el producto interno de f y g se dene por

f, gh=n

hfngn (1.1)

donde h es un factor de escala, generalmente asociado al tamano de lamalla h = maxn{xn+1 xn}.

De la denicion anterior se obtiene la L2-norma o norma euclideana:

f = (f, fh

)1/2=

(i

hf 2i

)1/2. (1.2)

Tambien existen otras normas para funciones discretas, tales como:La norma de la suma

f ==

i

h|fi| (1.3)

La norma del maximo

|f | = maxi

h|fi| (1.4)

1.4.3 Discretizacion de la Ecuacion Diferencial

El metodo de diferencias nitas, tambien llamado metodo taylor, porqueresulta cunado se usa la formulacion serie de Taylor para realizar lasaproximaciones de las derivadas en la ecuacion diferencial por diferenciasnitas.

Antes de determinar la aproximacion de las derivadas, es util revisarel signicado de derivada. Las derivadas representan tasas de cambio,una derivada contiene informacion acerca de la variacion local de unafuncion. Por tanto, una aproximacion en diferencia a una derivada de-beria atender a estos signicados acoplando la informacion en los puntosvecinos de una malla, este acoplamiento se puede realizar con la seriede Taylor de la funcion en una vecindad del punto. Asi la expansion deu(x + x) alrededor del punto x es

u(x + x) = u(x) +du

dxx +

d2u

dx2(x)2

2!+

d3u

dx3(x)3

3!+ . . . (1.5)


utilizando la nomenclatura para la version discreta, esta serie de Taylorpuede ser escrita como

un+1 = un +

(du

dx

)n

x+

(d2u

dx2

)n

(x)2

2!+

(d3u

dx3

)n

(x)3

3!+ . . . (1.6)

De la misma forma, el valor u(xx) puede ser escrito como un1 yexpandido como

un1 = un (du

dx

)n

x+

(d2u

dx2

)n

(x)2

2!(d3u

dx3

)n

(x)3

3!+ . . . (1.7)

Cuando la ecuacion (1.6) se resuelve para la primera derivada , obte-nemos(

du

dx

)n

=un+1 un

x(d2u

dx2

)n

(x)

2!+

(d3u

dx3

)n

(x)2

3!+ . . .

=un+1 un

x+ O(x) (1.8)

donde O(x) denota el termino que contiene la primera y las potenciasmayores de x. Si esta serie es truncada despues del primer termino, loque tenemos es una diferencia nita que aproxima la primera derivadaen el punto n, esto es

(du

dx

)n

un+1 un

x(1.9)

El error (de truncamiento) que resulta de esta aproximacion se diceque es del orden de (x), porque (x) aparece en el primer terminode la serie truncada. Por lo tanto el error de truncacion en la ecuacion(1.9), se dice que es primer orden, y por tanto, la (1.9) misma se dice quees exacta de primer orden. Observamos que la precedente aproximacion,se realiza en el punto n y utiliza el punto n + 1, por lo que se le llamauna aproximacion de diferencia hacia adelante.

De la misma manera, podemos derivar la aproximacion de la dife-rencia hacia atras de la ecuacion (1.7) como


(du

dx

)n

=un un1

x+

(d2u

dx2

)n

(x)

2!(d3u

dx3

)n

(x)2

3!+ . . .

=un un1

x+ O(x)

un un1

x(1.10)

la cual es tambien exacta de primer orden.

Una aproximacion de diferencia mas precisa que la de primer orden,es la obtenida substrayendo la ecuacion (1.7) de la ecuacion (1.6 ) ydu/dx, entonces (

du

dx

)n

=un+1 un1

2x+ +O(x)2

un+1 un1

2x(1.11)

esta aproximaxcion es llamada diferencia central porque esta centradaen el punto n. Las diferencias hacia adelante y hacia atras tambienpueden ser pensadas como diferencias centrales, pero no centradas en elpunto n, sino en los puntos (n + 1/2) y en (n 1/2) respectivamente.

Para obtener una aproximacion de diferencia nita de la segundaderivada, las ecuaciones (1.7) y (1.6 ) son sumadas, y el resultado esresuelta para (d2u/dx2), generando

(d2u

dx2

)n

=un+1 2un + un1

x2+ O(x)2 (1.12)

El primer termino del lado derecho, es usado para una aproximacion dediferencia nita para la segunda derivada, es decir;

(d2u

dx2

)n

un+1 2un + un1

x2, (1.13)

Esta aproximacion de la segunda derivada se llama diferencia centralsegunda, como observamso de (3.4), el error de truncamiento de estaaproximacion es de segundo orden.


1.4.4 Operadores de Diferencias

En base a las diferencias presewntadas anteriormente se denimos al-gunos operadores mas utilizados en lenguaje de los esquemas de diferen-cias nitas, que se pueden aplicar a funciones discretas

1. Operadores de desplazamiento (derecha, izquierda)

S+n = n+1, Sn = n1,

2. Operador de diferencia hacia adelante

D+n =n+1 n

x=

(S+ I)nx

3. Operador de diferencia hacia atras

Dn =n n1

x=

(I S)nx

4. Operador de diferencia central

D0n =n+1 n1

2x=

(S+ S)n2x

Tambien existen otros tipos de operadores de mayor orden, que se puedenconstruir usando los operadores anteriores, tales como:

Operador de diferencia central

20n = DD+n =Dn+1 Dn

x

=n+1 2n + n1

x2

y se cumpleDD+n = D+Dn

1.5 Precision de Aproximaciones

Jhon Von Neumann y H.H. Goldstein han identicado cuatro principalesfuentes de errores que son casi inevitables cuando estamos describiendosistemas fsicos.

1.5. PRECISION DE APROXIMACIONES 17

1. Errores de modelacion: Los modelos matematicos de por s songeneralmente disenados con varias hipotesis.

Un sistema que es no lineal y dependiente del tiempo, es talvezrepresentado por una ecuacion diferencial lineal con coecientesconstantes. Un sistema de parametros distribuidos (representadopor una ecuacion diferencial parcial) puede ser aproximado por unmodelo de parametros agrupados(sistema de ecuaciones diferencia-les ordinarias).

2. Errores de medicion: La mayora de las descripciones de fenomenosnaturales requieren de datos medidos, estos datos de por s tienenun error porque dependen de los equipos y otros factores que siem-pre aparecen en la obentcion de ellos.

3. Errores de truncacion: Casi todos las descripciones de problemasde campo involucran un continuo innito. En el contexto del analisisnumerico, solo se puede tratar con un numero nito de terminos deprocesos limitantes los cuales son normalmente descritos por seriesinnitas.

4. Errores de redondeo: Errores introducidos por eliminacion dedgitos; cuando los calculos son realizados, estos pueden ser hechosunicamente en un computador de precision nita. Los errores apare-cen en el tamano limitado de los registros en la unidad de aritmeticadel computador.

De los cuatro errores presentados, los errores de truncacion y redondeocaen en el campo del analista numerico, estos errores son acumulados ytiene que controlarse para no dejarlos crecer. Aqu se observa un hechomuy importante, Cuando los calculos usan una malla mas na, el errorde truncamiento decrece pero el error de redondeo crece debido a que losdatos numericos son mas pequenos y por el numero creciente de calculosefectuados, por tanto hay que saber controlar ambos errores a n de queel error total permanezca en rangos permisibles.

Captulo 2

Ecuaciones Diferenciales Parciales

2.1 Ecuacion de la Onda Unidimensional

Por su simplicidad, el prototipo de todas las ecuaciones diferencialesparciales es la ecuacion hiperbolica de la onda unidimensional,

ut + aux = 0, (2.1)

donde a es una constante, t representa el tiempo, x la variable espacial,u(x, t) es la incognita de la ecuacion.

El problema de valor inicial asociado a esta ecuacion es el siguiente:Dada u en el tiempo inicial, es decir u(x, 0) es igual a una funcion dadau0(x), para todo x R, deseamos determinar el valor u(x, t) para cadat > 0, tal que:

(PV I)

{ut + aux = 0, < x 0u(x, 0) = u0(x), < x 0, la solucion es una replica de la funcioninicial, pero desplazada, a la derecha si a > 0 y a la izquierda sia < 0, hasta una posicion |a|t0.

2. La solucion en (x, t) depende unicamente del valor = x at.19

20 CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

3. Las rectas x at = cte en el plano (x, t) se llaman caractersticasde la ecuacon.

4. El parametro a tiene dimension de distancia dividido por el tiempo,y se llama velocidad de propagacion a lo largo de la caracterstica.

5. Si la condicion inicial es una onda, la solucion expresada en (2.3)dice que en cualquier tiempo la onda inicial se propaga con velocidada sin cambiar de forma.

Observacion 2.1.1. La ecuacion (2.1) tiene sentido si u es diferen-ciable, la solucion (2.3) no necesita de la diferenciabilidad de u0. Deacuerdo a esto, es permisible tener soluciones discontinuas para proble-mas hiperbolicos. Un ejemplo de una solucion discontinua es una ondade Shock(ver Farlow [1]), la cual es una clase de soluciones de ecuacioneshiperbolicas no lienales.

Una generalizacion del problema hiperbolico es el siguiente

(PV I)

{ut + aux + bu = f(x, t), < x 0u(x, 0) = u0(x), < x

2.1. ECUACION DE LA ONDA UNIDIMENSIONAL 21

Usando la inversa del cambio de variable se tiene

u(x, t) = u0(x at)eb + t

0f(x a(t s), s) + as, s)eb(s)ds, (2.7)

Notar que u(x, t) depende solamente de los valores de (x1, t1) tal quexat = x1at1, es decir, la solucion depende unicamente de los valoresde u y f sobre las caractersticas que pasan por (x, t), para 0 t1 t.Este metodo se solucion puede extenderse facilmente a ecuaciones nolineales de la forma

ut + aux = f(x, t, u).

Tambien el metodo de las caractersticas puede ser util para interpretar,aunque no expresar explicitamente la solucion de del problema no lineal,

ut + g(u)ux = 0

Ya que se puede conocer la solucion sobre cada curva particular, pero noen todas al mismo tiempo(ver [1]).

2.1.1 Sistemas de Ecuaciones Hiperbolicas

Ahora damos un ligero vistazo a los sistemas de ecuaciones hiperbolicasde tipo parabolico en una dimension, aunque la incognita u es un vectorn-dimensional.

Denicion 2.1.1. Un sistema de la forma

ut + Aux + Bu = F (x, t),

es hiperbolico si la matrz A es diagonalizable, es decir existe una matrzno singular P tal que PAP1 = D donde D = diag(a1, a2, . . . , an).

Los autovalores de A son las velocidades caractersticas del sistema.Bajo el cambio de variables w = Pu, y poniendo B = 0 en el sistema,tenemos

wt + Dw : x = PF (x, t) = F (x, t),

owit + aiw

ix = f

i(x, t),

las cuales son de la forma (2.4). Podemos decir que si la matriz B =0, el sistema hiperbolico unidimensional se reduce a un conjunto de necuaciones hiperbolicas independientes, si B = 0 el sistema permaneceacoplado.


Ejemplo 2.1.1. El sistema{ut + 2ux + vx = 0vt + ux + 2vx = 0

se puede escribir como(uv

)t

+

(2 11 2

)(uv

)x

= 0.

2.1.2 Condiciones de contorno

Si consideramos las EDPs sobre un intervalo nito en lugar de la rectareal, entonces estamos frente a un problema que necesita imponer algu-nas condiciones correctas en los extremos del intervalo. La mayoria delas aplicaciones de las EDPs estan denidas en dominios con frontera.Las condiciones que relacionan la solucion de la ecuacion diferencial adatos de frontera lo llamamos, condiciones de contorno.

El problema de determinar una solucion a la ecuacion diferencial concondicion inicial y condicion de contorno se llama problema de valorinicial y de contorno.

La discusion de problemas de valores de contorno sirve para ilustrarde nuevo la importancia del concepto de caractersticas, por ejemplo siconsideramos el problema

(PV IC)

ut + aux = 0, 0 < x < 1, t > 0u(x, 0) = u0(x), < x 0, las caractersticas en esta region se propaga de izquierda aderecha segun la gura, examinando las mismas vemos que, es sucienteque se especique, los datos iniciales y en el extremo x = 0, para tener lasolucion en cada tiempo t > 0. Mas aun no es necesario tener datos en elotro extremo x = 1, lo cual convertira al problema en sobre determinado.

Por ejemplo consideremos la condicion inicial u(x, 0) = u0(x) y lacondicion de contorno u(0, t) = g(t), la solucion del problema se puedeescribir en la forma

u(x, t) =

{u0(x at) si x at > 0,g(t a1x) si x at < 0

2.2. ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS 23

0 1 x

t

A lo largo de la caracterstica x at = 0 existira un salto de dis-continuidad en u si u0(0) = g(0). Si a < 0 el rol de las fronteras sonintercambiados.

2.2 Esquemas de Diferencias Finitas

Para comenzar una discusion de esquemas de diferencia nitas conside-ramos el problema a tratar como un problema de valor inicial escalar

(PV I)

{P(x, t, t, x)u = 0, x R, t > 0u(0) = u0.

(2.9)donde P(1, 2, 3, 4) es un polinomio en las variables 1, 2, 3, 4.

Como sabemos la discretizacion lo hacemos en tres pasos

2.2.1 Discretizacion del Dominio

Sabiendo que el dominio del problema es el semiplano superior del enel sistema (x, t), por tanto, la discretizacion del dominio consiste endividirlo en subdominios y denir una malla de puntos en el semiplano(x, t), t > 0. En nuestro caso, por razones practicas, los subdominiosseran rectangulos homogeneos y en el extremo de cada rectangulo sedene un nodo como sigue

Denicion 2.2.1. Sean h,k numeros positivos; una malla es un conjunto


de puntos de la forma (xj, tn) = (jh, nk), donde j, n son numeros enterosarbitrarios con n > 0.

2.2.2 Discretizacion de la Variable

Denicion 2.2.2. Una funcion discreta v, es aquella que esta denidaen una malla, tal que a cada punto (xj, tn) le asocia un valor v

nj .

Observacion 2.2.1.

1 .- Una funcion continua u(x, t) denida en < x < , t > 0,puede ser discretizada sobre la malla, deniendo

unj = u(xj, tn)

2 .- El conjunto de puntos de la malla (xj, tn), con n jo se llama niveln de la malla.

La discretizacion de la variable del problema consiste en utilizar unfuncion discreta vnj que aproxime la variable del problema, es decir a lasolucion exacta u(x, t) en cada punto de la malla (jh, nk)

vnj u(xj, tn) (2.10)En esta misma etapa tambien se discretiza las condciones de cotnornoas com la condicion inicial, por ejemplo en nuestro problema se tiene

v0j = u0(xj)

2.2.3 Discretizacion de la Ecuacion

En esta etapa, los operadores diferenciales son aproximados por ope-radores de diferencias nitas utilizando la serie de taylor, estos opera-dores son combinados adecuadamente formando un esquema de diferen-cias nitas, tal que el problema de valor inicial (PV I) es sustitudo porel problema de valor inicial discreto.

(PV ID)

{Ph,kv

nj = 0, j Z, n Z+

v0j = u0(jh), j Z.(2.11)

Con la utilizacion del operador dscreto de Ph,k el problema de valorinicial continuo denido para < x < +, t > 0, ha sido sustituido


por un problema discreto denido en puntos discretos x = jh, t = nk,j Z, n Z+.

De esta manera el operador Ph,k, no es unico y dependiendo de laforma en que se combinan los operadores de diferencias determina unesquema de diferencias nitas. La manera de conseguir estos esque-mas es aproximando las derivadas por diferencias nitas, es fundamentalen este proceso, la formula de Taylor, esta tecnica tiene una justicacionque vemos a continucion.

Suponiendo que u es sucientemente regular, la derivada de u conrespecto a x en (x, t), se puede calcular con formulas diferentes, como:

u

x(x, t)

{= lim0

u(x+,t)u(x,t)

= lim0u(x+,t)u(x,t)

2

(2.12)

Si (x, t) es un punto de la malla esta derivada puede ser aproximada enlos puntos de la malla por diferencias nitas de la forma

u

x(jh, nk)

{ u((j+1)h,nk)u(jh,nk)h u((j+1)h,nk)u((j1)h,nk)2h

(2.13)

respectivamente.Consideremos ahora, la ecuacion modelo

ut + aux = 0, (2.14)

Entre los Esquemas mas comunmente utilizados para discretizar estaecuacion, tenemos:

Upwind

vn+1j vnjk

+ avnj+1 vnj

h= 0, a < 0 (2.15)

vn+1j vnjk

+ avnj vnj1

h= 0, a > 0 (2.16)

Leap-Frog,

vn+1j vn1j2k

+ avnj+1 vnj1

2h= 0, (2.17)


Lax-Wendro

vn+1j vnjk

+ avnj+1 vnj1

2h= ka2

vnj+1 2vnj + vnj12h2

, (2.18)

Lax-Friedrichs

vn+1j 12(vnj+1 + vnj1)k

+ avnj+1 vnj1

2h= 0. (2.19)

En el esuqema Upwind , se presnetan dos esuqemas que depende delsigno de a, el primero denotado por (FTFS) de Ingles forward time for-ward spacey el segundo se denota por (FTBS)forward time Backwardspace.

En general el metodo para derivar esquemas de diferencias nitas essimple; sin embargo el analisis de que si un esquema de diferencias nitases una buena aproximacion a la ecuacion diferencial necesita de una tareamatematica, a veces fuerte. Por otro lado, dado una lista de esquemas,es comun preguntarse, cual de ellos son utiles y cuales no? Para darrespuesta a esta pregunta basica, necesita algun tiempo y cuidado, ysu respuesta se logra en varios aspectos. Comenzamos respondiendoen un primer aspecto, el cual sera , determinar cual esquema generasoluciones que aproximen a las soluciones de la ecuacion diferencial. Enotro aspecto es determinar cuales esquemas son mas precisos que otrosy nalmente investigamos la eciencia de los esquemas. Cada uno de losesquemas antes mencionados pueden ser escritos expresando vn+1j comocombinacion lineal de los valores de v en los niveles n y n 1.

Por ejemplo el esquema (FTFS) se puede se escribe como:

vn+1j = (1 + a)vnj avnj+1, con =

k

h.

La cantidad aparecera a menudo en el estudio de los esquemas paraecuaciones hiperbolicas.

Los esquemas permiten calcular la funcion discreta v en el nivel n+1conociendo el valor de la misma en niveles inferiores, aquellos esquemasque solo necesitan un solo nivel inferior, por ejemplo del nivel n se llamanesquemas de un solo paso, entanto que los esquemas que involucran masde un nivel inferior se llaman esuqemas de multiple paso, por ejemplo enla lista de esquemas anteriores, el esquema de Leap-Frog es de multiple


paso, usa el nivel n y el nivel n 1 y todos los otros son esquemas deun solo paso.

Dado los datos iniciales v0j , un esquema de un solo paso puede uti-lizarse sin dfcultades para calcular vnj , para todos los valores positivosde n.

Para los esquemas de multiple paso, como el esquema de Leapfrog noes suciente tener los datos v0j para obtener los demas valores en los otrosniveles, sino que se tiene especicar v en los niveles sucientes a n deque el esquema sea empleado, una forma de resolver esto es por ejemplo,usar un esquema de un solo paso hasta tener los niveles necesarios dondese comience a usar esquema de multiple paso.

Para tener un panorama de los topicos a seguir discutiendo, hagamsoun comentario de las resultados obtenidos con los esquemas propuestosanteriormente, para ello consideremos el (PV I), donde 0 < x 0, teniendo como condicion inicial la funcion 2-periodicaseccionalmente continua

u(x, 0) = f(x) =

0, 0 x < 23 ,1, 23 x 43 ,0, 43 < x 2,

(2.20)

A continuacion se muestra una seccion de pseudocodigo, el cual nospermitira observar el comportamiento del periodo principal de esta fun-cion considerado como una onda, para esto elijamos el esquema de Lax-Friedrichs, los demas tienen similar estructura

Do n = 0, nmaxDo j = 19, 29

vj,n+1 (vj+1,n + vj1,n) /2 (vj+1,n vj1,n) /2End DoEnd Do

Como sabemos la solucion de este problema esta dado por u(x, t) =f(xat) y es constante a lo largo de las caractersticas xat = cte en lagura 2.1, presentamos las soluciones numericas que son aproximacionesde la solucion del problema (2.14)-(2.20), con a = 1, h = 2/240, k =2h/3 en t = 500k y en t = 1000k.


0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1upwind

0 1 2 3 4 5 6 7-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Leap-Frog

0 1 2 3 4 5 6 7-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Lax-Wendroff

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Lax-Friedrich

Figura 2.1: Soluciones numericas con los esquemas, en t = 500k,

2.3. ANALISIS DE ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS 29

La solucion exacta de la ecuacion diferencial esta dada por la linea traza-da y la solucion numerica por el esquema respectivo, esta dado por lalinea contnua en cada caso.

En la gura podemos observar que el esquema de diferencias calculala solucion adecuadamente bien, lejos de las discontinuidades, pero cercade estas no se muestra una buena aproximacion a la solucion.

Todas estas aproximaciones no son capaces de ser consideradas co-mo buenas; porque, el metodo de Leap-frog genera muchas oscilacionescerca de las discontinuidades. El metodo Lax-Wendro tiene sobreoscila-ciones y suboscilaciones cerca de las discontinuidades, pero no se pro-pagan immediantamente. Los Metodos de Lax-Friedrichs y Upwind, notienen oscilaciones ni sobre oscilaciones, sin embargo cerca de las dis-continuidades se separan mucho de la soluacion exacta, podramos decirque sus discontnuidades ocupan regiones mas extensas.

Para tiempos bajos (primeros nivels de t) la solucion tiene un com-portamiento aceptable, pero a medida que t crece la separacion de lasolucion exacta es mas acentuada, especialmente en los esquemas Up-wind y Lax-Fredrichs, porque estos esquemas de diferencias incorporanalgunas propiedades que el problema original no lo tiene, como es el csaode la disipacion numerica, como veremos en la proxima seccion.

2.3 Analisis de Esquemas de Diferencias Finitas

La serie de Taylor es una herramienta fundamental en los metodosnumericos tanto para determinar los operadores de diferencias comopara determinar los operadores de truncamiento de cualquier esquemade diferencias que aproxime una ecuacion diferencial.

Convergencia es un concepto matematico familiar conocido para elcaso de sucesiones de numeros, sin embargo aqu se reere al hecho deque sucesiones de soluciones discretas obtenidas de las ecuaciones dediferencias, cada vez que la malla es renada, se aproximan a la solu-cion exacta de la ecuacion diferencial continua. Por tanto hablaremosde convergencia, como el acercamiento, en algun sentido, de las solu-ciones vnj = v

nj (h, k), cuando k, , h 0. Desde luego que estrictamente

hablando acerca de la convergencia de sucesiones de funciones, se nece-


sita denir el tipo de metrica con la que se puede medir la distanciaentre funciones; sin embargo no necesitamos entrar en mucho detalle,es suciente utilizar los puntos de la malla, por lo que hablaremos deconvergencia puntual o convergencia uniforme y tambien por precisaralgunos conceptos presentaremos esa misma denicion en otro contexto.

El termino consistencia se reere a una aproximacion entre el esquemamismo y la ecuacion diferencial. En un analisis de ecuaciones en difereni-cas, la consistencia junto la establidad garantizan la convergencia, estosera visto mas adelante en el teorema de Lax-Richtmyer.

2.3.1 Convergencia y Consistencia

Presentamos en primer lugar una ecuacion diferencial general, a n deque estos conceptos sean presentados en un contexto teorico y as seanusados para en una amplia clase de aproximaciones de ecuaciones difer-enciales.

Consideremos la EDP lineal de la forma

P (t, x)u = f(x, t) (2.21)

Donde P (1, 2) es un polinomio lineal en 1, 2, por razones de simpli-cidad, consideramos que la ecuacion anterior es de primer orden en laderivada con respecto al tiempo. Ejemplos de este tipo de ecuacionesson:

ut buxx + aux = 0,ut + butx + auxx + cuxxx = sinx.

Supongamos, a n de hacer la teora viable, que una ecuacion o sistemasde ecuaciones, de la forma (2.22), determina una unica solucion si seespecica los datos iniciales u(x, 0).

Para efectos de notacion, consideremos que un Esquema de Diferen-cias Finitas (EDF) tiene la forma

Ph,ku = Bh,kf (2.22)

Denicion 2.3.1. Dada la condicion inicial u0(x), para la cual existeuna solucion u(x, t) de la EDP. Un esquema de diferencias nitas de unsolo paso que aproxima la EDP se dice que es un esquema convergente


sii todas las soluciones vnj , dadas por el esquema de diferencias nitas,tal que v0j converge a u0(x) cuando jh x; se cumple vnj u(x, t)siempre que (jh, nk) (x, t) cuando h, k 0.Observar que:

1. Para el caso de esquemas de multiple paso, la denicion es modi-cada precisando que.

vij, converge a u0(xj) para 0 i J

2. Se debe precisar que la naturaleza de la convergencia de vnj a u(x, t)es en los puntos de la malla, ya que u esta denida continuamenteen el dominio que contiene a la malla, mientras que vnj esta denidasolo en los puntos de la misma.

Probar que un esquema dado sea convergente, en general no es facil siintentamos hacerlo directamente, puesto que en general no se conoce lasolucion de la EDP contnua, sin embargo existen los conceptos tecnicosde consstencia y estabilidad, que son relativamente faciles de chequearque ayudaran a determinar la convergencia sin tener la solucion antesmencionada; a contincuacion veremso la consistencia.

Denicion 2.3.2. Dada una ecuacion diferencial parcial Pu = f y unesquema de diferencias nitas Ph,ku = f ; decimos que el EDF es con-sistente con la EDP, sii para cualquier funcion suave (x, t) se cumple

P Pn,k 0 cuando h, k 0donde la convergencia es puntual, en cada punto de la malla.

Observacion:

1. En algunos esquemas se necesita precisar la forma en que h y ktienden a cero a n de obtener la consistencia.

2. Cuando nos referimos a una funcion suave, se entiende que es unafuncion sucientemente diferenciable.

3. En el esquema de diferencias nitas, el operador de diferencias Ph,k,es el que caracteriza tal esquema, el cual puede estar denido enfuncion de los operadores discretos conocidos.


Presentamos, las deniciones anteriores en un contexto mas general,con el proposito de motivar a un estudio mas matematico de los esquemasde diferencias nitas.

Denicion 2.3.3. Ph,k es consistente con P hasta un tiempo T en unanorma ||.||, sii ||Ph,k P|| = k(h); y (h) 0 cuandok 0(h) es el error de truncamiento local en tiempo nk.

Denicion 2.3.4. Un esquema de diferencias nitas es convergente enla norma ||.||, sii ||unj vnj || 0 cuando h, k 0Es convergente de orden (p,q) en la norma ||.|| sii

||unj vnj || = O(hp) + O(kq)Ejemplo: En el esquema de Lax-Friedrich, para la ecuacion de la

onda,

P =

t+ a

x, o P = t + ax

Ph,k =n+1j 12(nj+1 + nj1)

k+ a

nj+1 nj12h

, nj = (jh, nk),

utilizando la serie de Taylor en el punto (xj, tn)

nj+1

= nj+ hx + 1

2h2xx

+ 16h3xxx + O(h

4)

de estas expresiones tenemos

1

2(nj+1 +

nj1) =

nj +

1

2h2xx + O(h

4)

nj+1 nj12h

= x +1

6h2xxx + O(h

4)

n+1j = nj + kt +

k2

2tt + O(k

3).

Sustituyendo estas expresiones en el esquema tenemos

Ph,k = t + ax +1

2ktt h

2

2kxx +

1

6ah2xxx + O(h

4 +h4

k+ k2)


podemos decir que, el esquema es consistente tan pronto como h2

k 0,cuando h, k 0, y se cumple

Ph,k P = 12ktt h

2

2kxx +

1

6ah2xxx + O(h

4 +h4

k+ k2) 0,

lo cual signica que h2 debe ir mas rapidamente a cero que k.Ejemplo.- En la ecuacion

ut + uk

utilizamos el esquema FTFS

vn+1j vnjk

+vnj+1 vnj

h= 0

que se puede escribir como

vn+1j = vnj

k

h(vnj+1 vnj ) ()

vn+1j = (1 + )vnj vnj+1, =

k

h

Como hicimos en el ejemplo anterior se puede vericar que

Ph,k = t + ax +1

2kxt +

1

2ahxx + O(k

2) + O(h2)

Por lo tantoP Ph,k = 12ktt + 12ahxx + O(k2) + O(h2) 0, si (h, k) 0Por lo que el esquema es consistente.

Es muy natural preguntarse, cuando consistencia es suciente paraque que un esquema sea convergente?. En verdad, consistencia es nece-saria para convergencia mas no suciente, como veremos en el esquemadel ultimo ejemplo, el esquema puede ser consistente pero no conver-gente.

Tomando la condicion inicial

u0(x) =

{1, si 1 < x < 00, en otro lugar

La solucion de la EDP u(x, t) = u0(x t) es un desplazamiento de u0 ala derecha por t.


En particular para t sucientemente grande existen x > 0 para los cualesu(x, t) = 0

Para el esquema de diferencias, los datos se obtienen por la dis-cretizacion de u0(x)

v0j =

{1, si 1 jh 00, en otro valor, en particular j > 0

Segun la ecuacion (), la solucion en (xj, tn) depende solamente del valoren xj y xj+1; en el tiempo anterior, entonces, si

j > 0, n 0, vnj = 0 j > 0, n 0Por tanto vnj no puede converger a u(x, t), ya que para t > 0, x > 0, uno es identicamente cero, mientras que vnj lo es.

2.3.2 Estabilidad

En el ejemplo anterior vimos que para obtener convergencia, los esque-mas deben satisfacer otras condiciones ademas de consistencia, en estaseccion nos referimos al importante concepto de estabilidad el cual es elparalelo de lo que, en l problema analtico es el concepto de problemabien puesto.

Denicion 2.3.5. Un problema de valor inicial (PV 1) se dice que esbien puesto en una norma ||.|| si y solamente s existe solucion, es unicay depende continuamente de los datos iniciales, es decir existe una cons-tan-te C y tal que

||u(x, t)|| Cet||u0(x)|| (a)El concepto de estabilidad esta relacionado con la ultima desigual-

dad. Considerando el conjunto de todas las soluciones en un tiempo t,obtenidos mediante algun esquema a partir de un mismo dato inicial (ent = 0). Este conjunto se obtuvo involucrando todas las relaciones queaparecen entre niveles de tiempo e intervalos de espacio, con ciertas res-tricciones. Entonces si los valores de las soluciones permanecen nitassobre cada restriccion que se considero, de manera que el conjunto detodas las posibles soluciones permanece acotado, se dice que el esquemaes estable, dentro de las restricciones dadas.

Mas precisamente, podemos enunciar la siguiente denicion.


Denicion 2.3.6. Un esquema de diferencias nitas Ph,kvnj = 0 es es-

table si y solamente s existen constantes K y y alguna norma ||.|| talque

||vn|| Ket||v0||, t = nk, K, independientes de h, k (a)

Observacion 2.3.1. : Si el esquema fuera de paso multiple, la denicionanterior podra modicarse en el sentido de que existe un entero J , yconstantes K, tal que

||vn|| KetJ

i=0

||vi||

Una de las normas comunmente usada es la norma euclideana o l2-norma ||.||2. Con esta norma la desigualdad (a) puede escribirse en unamanera mas practica como

h

j=

|vnj |2 Keth

j=|v0j |2 (b)

Para ciertos esquemas simples podemos establecer la estabilidad yen-do directamente a la desigualdad de la forma (a) o (b) sin embargoen general es un poco complicado, por eso es necesario utilizar algunastecnicas como la tecnica de Von Neumann, que veremos mas adelante.

Ejemplo.- Probaremos una condicion suciente de estabilidad, paralos esquemas de paso hacia adelante en tiempo y paso hacia adelante enespacio(FTFS).

El esquema general se debe escribir en la forma siguiente:

vn+1j = vnj + v

nj+1

mostraremos que el esquema es estable si | | + | | 1, sabiendo que


2xy x2 + y2, entonces

j=

vn+1j 2 = j=

vnj + vnj+12

j=

(||2 vnj 2 + 2 || || vnj vnj+1+ ||2 vnj+12)

j=||2 vnj 2 + 2 || || (vnj vnj+1)+ ||2 vnj+12

(||2 + 2 || ||+ ||2

) j=

vnj 2 (||+ ||)2

j=

vnj 2De esta desigualdad tenemos que

j=

vnj 2 (||+ ||)2n j=

v0j 2as el esquema sera estable si | |+ | | 1.

En particular el esquema (FTFS) dado por

vn+1j = (1 + a r) vnj ar vnj+1

sera estable si | 1 + a r |+ | a r| 1. Lo cual signica que, de cada suman-do

ar < 0 y a > 1 1 a 0El numero Cr = r a se llama numero de Courant, el numero de

Courant indica que el esquema anterior es estable si a < 0 y r = tx =kh < 1a la cual genera una dependencia entre k y h a n de mantenerestabilidad.

2.3.3 El Teorema de Equivalencia de Lax - Richtmyer

Teorema 2.3.1. Un esquema de diferencias nitas consistente en unaecuacion diferencial parcial, para la cual el problema de valor inicial esbien puesto, es convergente es estable.


La prueba del teorema la omitimos por el momento(consultar a Strik-werda [5]), sin embargo dibiendose observar la importancia de mismoteorema puesto que nos nos da una forma simple de vericar si un es-quema es convergente, ya que si intentamos vericar la convergencia di-rectamente por la denicion no siempre es posible, sin embargo chequearconsistencia y estabilidad pueden ser mucho mas facil ya que involucrangeneralmente calculos algebraicos solamente. Esto puede ser hecho enun lenguaje de computacion simbolico como Maple, Mathematica.

El Teorema de Lax - Richtmyer es un ejemplo del mejor tipo de teore-mas matem aticos, pues relaciona un concepto importante que es dicilde establecer directamente con otros conceptos que son relativamentefaciles de vericar y establece esta relacion muy adecuadamente.

Notar que si unicamente tuvieramos la mitad del teorema, diciendoque consistencia y estabilidad implican convergencia, entonces podriaocurrir que existan esquemas que siendo inestables sean convergentes.

Pero si tuvieramos unicamente la otra mitad del teorema, diciendo queun esquema consistente y convergente es estable; entonces no podremosarmar que un esquema consistente y estable es convergente.

La importancia del uso del teorema de Lax-Richtmyer no radica tan-to, desde el punto de vista de vericar consistencia y estabilidad, si nomas bien por la relacion precisa establecida entre estos conceptos y elconcepto de convergencia.

2.3.4 La Condicion de Courant-Friedrichs-Lewy

Hemos denido el numero de Courant Cr = ar, donde r =kh .

El comportamiento de este numero es muy importante, porque de eldepende mucho, la estabilidad de esquemas de diferencias nitas; ya queuna condicion sobre este numero da argumentos sobre la propagacion deinformacion.La interpretacion de este numero se puede expresar de la siguiente man-era

Cr =a1r

=velocidad de propagacion en la solucion analtica

velocidad de propagacion en la solucion numerica

En primer lugar veamos que una condicion sobre Cr es una condicionnecesaria para la estabilidad de Esquemas Explcitos.


Esta condicion, llamada condicion de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es

|Cr| 1Denicion 2.3.7. Un esquema de DF explcito es cualquier esquemaque puede escribirse en la forma

vn+1j = Qvnj donde Q es operador de diferencias lineal

en general, cuando el esquema es de multple paso, se puede escribir

vn+1j =n

=0

Qvnj , n

Los esquemas implcitos seran estudiados mas tarde, veamos un primerresultado, el cual contiene los esquemas de un solo paso.

Teorema 2.3.2. Sea vn+1j = vnj1 + v

nj + v

nj+1, un esquema explcito

para la ecuacion hiperbolica con r constante; una condicion necesariapara estabilidad es la condicion (CFL)

|Cr| 1Para sistemas de ecuaciones, donde v es un vector, y , , son matri-ces, debemos tener |air| 1 autovalor ai de la matriz A.

PruebaPara el caso escalar, supongamos |Cr| = |ar| > 1; entonces en el punto

(x, t) = (0, 1) vemos que la solucion de la EDP u(x, t) = u0(x at)depende de los valores de u0(x) en x = +a y x = a (en realidadsolamente de uno de ellos a o a). Pero el esquema EDF tendra vn0dependiendo unicamente de v0j para j n, por la forma del esquemaconh = r1k, tenemos jh r1kn = r1, pues kn = 1Esto dice que vn0depende de x solamente para|x| r1 < |a|.Por tanto vn0 no converge a u(0, 1) cuando

h 0 con hk = 1por tanto

|Cr| 1De manera similar se puede probar que no existe esquemas consistentesexplcitos para EDP hiperbolicos que sean estables para todos los val-ores de r (con r constante cuando h, k 0), presentamos el siguienteteorema; probado primeramente por Courant,Friedrichs y Lewy.

2.4. ANALISIS DE FOURIER 39

Teorema 2.3.3. No existe EDF consistentes, incondicionalmente esta-bles explcitos para sistemas hiperbolicos de EDP.

A continuacion veamos un esquema implcito para la ecuacion de laonda (1), el mismo es consistente y estable para todo valor de r ilustrandoque el teorema anterior no se puede extender a esquemas implcitos.a) Esquema de paso atras en tiempo y paso atras en el espacio (BTBS)

vn+1j vnjk

+ avn+1j vn+1j1

h= 0 (+)

En efecto; la consistencia es facil de ver, veamos la estabilidad:Escribiendo (+) en la forma (con = r)

(1 + a)vn+1j = vnj + av

n+1j1

elevando al cuadrado ambos miembros,utilizando la desgualdad 2xy x2 + y2 tenemos

(1 + a)2|vn+1j |2 |vnj |2 + 2a|vnj ||vn+1j1 |+ (a)2|vn+1j1 |2 (1 + a)|vnj |2 + (a + (a)2)|vn+1j1 |2

Tomando la suma sobre j tenemos

(1 + a)2

j=|vn+1j |2 (1 + a)

j=

|vnj |2 + (a + (a)2)

j=|vn+1j1 |2

como (1 + a)2 a a()2 = 1 + a, obtenemos:

j=|vn+1j |2

j=

|vnj |2.

Lo cual muestra que el esquema es estable para cualquier > 0.

2.4 Analisis de Fourier

En esta seccion presentaremos esta herramienta importante, con la cualanalizamos esquemas de diferencias nitas y sus soluciones del problema.

En realidad usamos el Analisis de Fourier para estudiar tanto los es-quemas de diferencias nitas como las Ecuaciones Diferenciales Parciales.


Denicion 2.4.1. Para una funcion u(x) denida en la recta real R, sutransformada de Fourier u(w) se dene por

u(w) =12

eiwxu(x)dx, si la integral existe

Esta transformada de u es una funcion de la variable real w(longitudde onda) y es unicamente denida por u. La funcion u es una repre-sentacion alternativa de la funcion u.

Informacion de ciertas propiedades de u pueden ser deducidas de laspropiedades de u, por ejemplo, la razon en la cual u decae para valoresgrandes de w esta relacionado al numero de derivadas que u tiene.

La formula de inversion de Fourier esta dada por

u(x) =12

eiwxu(w)dw

Esta formula expresa que u es una superposicion de ondas eiwx con difer-entes amplitudes u(w).

Denicion 2.4.2. Sea v una funcion discreta denida en Z; entoncessu Transformada de Fourier se dene por

v() =12

m=

eimvm, [, ], v() = v()

Su formula de inversion de Fourier esta dada por

vm =12

eim v()d

Esta formula de inversion tiene la misma interpretacion que la formulade inversion en R.

Observamos que el Analisis de Fourier en Z es exactamente el estudiode las representaciones de las series de Fourier de funciones denidas enel intervalo [, ].

Si el espacio entre los puntos discretos es h, podemos establecer elanalisis de Fourier en hZ por un cambio de variable

v() =12

m=

eimhvmh, [

h,

h

]


Con su formula de inversion

vm =12

h

heimh v()d (2.23)

Las deniciones anteriores nos garantizan que en la L2-norma se satisface

||u||L2 = ||u||L2 y ||v||2h =

n=|vm|2h =

h

h|v()|2d = ||v||2h

Llamadas formulas de Parseval, usando estas relaciones podemos decirque la transformada de fourier se dene para todas las funciones en L2(R)y en L2(hZ).

En el siguiente ejemplo vemos la utildad practica de la transformadade Fourier en algunas situaciones

Ejemplo

Sea la funcion discreta

vm =

1, si |xm| < 112 , si |xm| = 1 sobre hZ0, si |xm| > 1

Supongamos que h = 1M , donde M es un entero, entonces, xm =mh = mM

v() =h2

12eiMh +

M1m=(M1)

eimh +1

2eiMh

=

h2

[cos +

sen(M 12)hsen12h

]=

h2

[cos +

senMhcos12h cosMhsen12hsen12h

]=

h2

[cos + sencot

h

2 cos

]=

h2

sencot1

2h


La formula de Parseval asegura que el calculo de la siguiente integral es:

h2

2

4

4sen2cot2

1

2hd = ||v||2h = ||v||2h = h[(

1

2)2 +

M1m=(M+1)

1 + (1

2)2]

= h[1

2+ M 1 (M + 1) + 1]

= h[1

2+ 2M 1]

= h[2M 12]

= 2 12h.

Analisis de Von Neumann

Con el uso del analisis de Fourier se puede dar condiciones necesarias ysucientes para la estabilidad de esquemas de diferencias nitas, esto eslo que se llama analisis de Von Neumann.

Recordemos que un esquema de diferencias nitas de un solo pasopuede escribirse en la forma

vn+1j = Qvnj ,

Siendo Q = Q(S+, S), donde S+, S son los operadores de desplaza-miento hacia adelante y hacia atras respectivamente S+v

nj = v

nj+1, Sv

nj =

vnj1Observemos que, tomando la Transformada de Fourier a S+vj tenemos

S+v =

j=vj+1e

ijh =

m=vme

i(m1)h = eih

m=vme

imh = eih v

de la misma forma se obtiene

Sv = eih v

De esto se sigue que si vn+1 = Q(S+, S)vn entonces

vn+1 = Q(eih , eih)vn

Si denotamos por = h, entonces el termino g(, k, h) = Q(eih , eih)se llama factor de amplicacion.


Condicion de Estabilidad de Von NeumannEl factor de amplicacion g(, k, h) se dice que satisface la condicion

de estabilidad de Von Neumann(CVN), si una constante C > 0 (inde-pendiente de , k, h) tal que

|g(, k, h)| 1 + Ck, k es el peso del tiempoesta condicion puede ser vista en el siguiente teorema.

Teorema 2.4.1. Un esquema de diferencias nitas de un paso es estableen la l2 norma satisface la condicion de Von Neumann.

Si g(, k, h) = g() entonces la CVN se puede sustituir por

|g()| 1Este teorema muestra que para determinar la estabilidad de un EDF,

solamente necesitamos considerar el factor de amplicacion g(, k, h)

Demostracion. ) Si la CVN es satisfecha entonces el el EDF es estableSea T > 0 sucientemente grande, y supongamos que existe C > 0

tal que

g(, k, h) 1 + Ck, , 0 < k k0, 0 < h h0.por la denicion del factor de amplicacion se tiene

V n = gV n1 = gnV 0

Luego usando la identidad de Parseval

V n2h = V n2h = hh

|V n()|2d = hh

|g|2n|V 0()|2d

(1 + Ck)2n hh

|V 0()|2d = (1 + Ck)2n V 02h= (1 + Ck)2n V 02h

Como nk T , entonces k T/n, y del hecho que 1 + x ex, x > 0,tenemos

(1 + Ck)2n (1 + Ck)2Tk e2CTEntonces usando los extremos de la desigualdad anterior obtenemos

V n2h (1 + Ck)2n V 02h e2CTV 02h


podemos decir que existe CT = e2CT > 0, asi como para las constantes

h0 > 0, k0 > 0 elegidas en la CVN se cumple

V n2h CTV 02h, h h0, k k0, nk T.

) Para esto utilizamos la contraposicion, es decir si la CVN no essatisfecha entonces el EDF no es estable

En efecto: Supongamos que para cada C > 0, existe c [, ] talque

g(c, k, h) > 1 + Ck, , 0 < k k0, 0 < h h0.Entonces |g| tiene un comportamiento similar al mostrado en la gura(2.2)

c1 2

1 + Ck

|g|

Figura 2.2:

Por la continuidad de g() existe un intervalo [1, 2] que contiene ac y ademas

|g()| 1 + Ck, [1, 2]Elijamos una funcion V 0 en el espacio de longitud de o nda(frecuencias)

que sea nula en el exterior del intervalo [1, 2], por ejemplo

V 0() =

{0, / [1, 2]

h21 , [1, 2]

=

{0, / [1h , 2h ]

h21 , / [1h , 2h ]

Observamos que V 0 = 1.


Entonces utilizando nuevamente la identidad de parseval tenemos

V n2h = V n2h = hh

|V n()|2d

=

hh

|g|2n|V 0()|2d

=

2h 1h

|g|2n|V 0()|2d

(1 + Ck)2n 2h 1h

|V 0()|2d = (1 + Ck)2n

Si elegimos C para el cual existe T > 0 y k con kn T tal que secumpla

2 + 2CT e2CT (1 + kC)2TkPodemos concluir que

V n2h (1 + Ck)2n = (1 + Ck)2Tk

12(1 + Ck)2

Tk 1

2e2CT .1

=1

2e2CTV 02h

Por tanto para cada CT =12e

2CT existe T > 0 tal que 1 + CT CTy se cumple

V n2h CTV 02hque es la no estabilidad del esquema.

EjemploConsideremos el esquema de paso hacia adelante en tiempo y paso

hacia adelante en espacio(forward time-forward space FTFS)

vn+1j vnjk

+ avnj+1 vnj

h= 0, a > 0,

el cual se escribe en la forma

vn+1j = vnj + av

nj avnj+1

= (1 + a)vnj aS+vnj= [(1 + )I aS+]vnj= Q(S+, S)vnj


tomando transformada de Fourier

vn+1 = g(, h, k)vn

g(, h, k) = 1 + a aeih , con a > 0, =cte.|g|2 = (1 + a acos)2 + (a)2sen2

= 1 2(a)2cos 2acos + 2a + 2(a)2= (1 + a)2 2a(1 + a)cos + (a)2= (1 + a)[1 + a 2acos] + (a)2

= (1 + a)[1 + a2sen2

2 acos] + (a)2

= (1 + a)[1 + 2asen2

2 a(cos2

2 sen2

2) + (a)2

= (1 + a)[1 + 2asen2

2 a(1 2sen2

2)] + (a)2

= (1 + a)[1 + 4asen2

2 a] + (a)2

= 1 a22 + 4a(1 + a)sen22+ (a)2

= 1 + 4a(1 + a)sen2

2Observemos que si = 0 |g| > 1, por tanto el esquema es inestable,recordamos que ya hemos visto que este esquema no es convergente.

Observacion 2.4.1. No es necesario escribir las integrales (2.23) paratener la ecuacion para el factor amplicador g. Un procedimiento equiv-alente y simple es remplazar vnj por g

neij en el esquema, para cada valorde j y n.

Ejemplo Ahora utilizando el esquema paso adelante en el tiempo ydiferencia central en el espacio (FTCS)

vn+1j vnjk

+ avnj+1 vnj1

2h= 0

ilustramos este procedimiento.Remplazando vnj por g

neij el esquema anterior se transforma en

gn+1eij gneijk

+ agnei(j+1) gnei(j1)

2h

= gneij(g 1k

+ aei ei

2h

)= 0


luego de simplicar esta ecuacion obtenemos el factor de amplicacion

g = 1 ia sin con = k/h.

Esta tecnica de obtener el factor de amplicacion es obviamente masfacil que el analisis presentado anteriormente.

Si es constante, entonces g es independiente de h y k y

|g()|2 = 1 + a22 sin2 .Desde que |g()| > 1 para diferente de 0 y de , este esquema esinestable.

Se debe tener en cuenta que, el hecho de sustituir vnj por gneij no

quiere decir que la solucion del esquema de diferencas tenga necesari-amente la forma vnj = g

neij, En verdad esta sustitucion es una formacorta de interpretar el metodo de la transformada de Fourier utilizadoal inicio de la seccion, donde se verica que todas las soluciones de losesquemas de un solo paso son dados por la formula

vn+1j = Qvnj

la cual esta lista para obtenr en forma practica el factor de ampli-cacion. Un reordenamiento de los calculos para determinar el factor deamplicacion muestra que los dos procedimientos son equivalentes en laobtencion del factor de amplicacion.

Captulo 3

Ecuaciones DiferencialesParabolicas

3.1 Problema de Conduccion del Calor

En el presente captulo se presenta esquemas de diferencias nitas para laecuacion del calor, se pretende presentar de una manera detallada los as-pectos numericos y computacionales en una clase de esquemas numericospara las ecucaciones difrenciales parciales de tipo parabolico, como es laecuacion del calor.

Par ser mas especicos, tomamos el problema modelo de la siguienteforma

(P )

ut =

2uxx, 0 < x < L , t > 0u(0, t) = g1(t), t > 0u(L, t) = g2(t), t > 0u(x, 0) = u0(x), 0 x L

el cual es un problema tpico de valor inicial y de contorno, 2 es elparametro de difusividad termica y representa una proporcion entre laconductividad termica y la capacidad de almacenamiento termico delmaterial donde se realiza el estudio de difusion del calor.

Como observamos, el problema es unidimensional, el cual puede seruna abstraccion matematica de la fsica de la conduccion del calor en unabarra delgada homogenea de seccion transversal constante y aislada porlos costados, cuyos extremos se mantienen a temperaturas conocidasg1(t) y g2(t), e inicialmente se supone que tiene una distribucion detemperatura u0(x) que depende unicamente de la posicion de la seccion

49

50 CAPITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS

transversal x. El hecho de que este problema modelo, tiene solucionanaltica explcita, es un buen modelo para probar la eciencia de losesquemas numericos que se pretenden estudiar.

Entre los esquemas de diferencias nitas que sirven para solucionareste problema tenemos:

Esquemas explicitos; entre de los que se encuentran: El esquema depso adelante en tiempo y diferencia central en el espacio tambienllamado esquema de Euler, el esquema de Du For-Frankel, esquemade Leaprog,etc.

Esquemas implcitos, como el esquema de Euler Retrasado, el es-quema de Crank-Nicolson.

Para el desarrrollo del presente trabajo solamente trataremos conlos esquemas Implcitos; Euler Retrazado y Crank-Nicolson, y elesquema explicito de Du Fort-Frankel, dejando los demas como unejercicio al lector.

Discretizacion del Dominio

Observamos que nuestro dominio es el conjunto R+ =]0, L[(0,)como se muestra en la gura 3.1. Denotemos por h = x la longitudde la particion del dominio ubicado en el eje de las abscisas, y pork = t la longitud de la particion en el eje de las ordenadas. Con estosnumeros dividimos el dominio en subdominios con lados de longitud h yk,como se muestra en la gura 3.2

3.1. PROBLEMA DE CONDUCCION DEL CALOR 51

L0 x

t

valores defrontera

valores de

frontera

valores iniciales

]0, L[R+

Figura 3.1: Dominio del problema

L0 x

t

valores defrontera

valores de

frontera

valores iniciales

(j, n)tn

xj

Figura 3.2: Discretizacion del Dominio

De esta forma denamos los puntos de la malla como (xj, tn), para

j = 0, . . . ,M + 1, n = 0, . . . Nmax;

los puntos en el eje de las abscisas toman la forma xj = jh, mientrasque los puntos en el eje de las ordenadas toman la forma tn = nk


Discretizacion de la variable

Denicion 3.1.1. Cualquier funcion V denida sobre una red o mallase llama funcion discreta, y sus valores se denotan por V nj o (Vj,n)

Observacion 3.1.1. .

1. Si u es una funcion continua en (x, t) ( denida en todo el do-minio), Entonces los valores de u en (xj, tn) seran denotados porunj = u(xj, tn)

2. El conjunto de puntos (xj, tn) para j jo son llamados nivel n de lamalla

3. Muchas veces, para simplicar notaciones, se usa los ndices (j, n)para representar los puntos de la malla (xj, tn).

Discretizacion de la Ecuacion

Denicion 3.1.2. Un esquema de diferencias nitas es una combinacionde operadores discretos que permiten aproximar la ecuacion diferencialparcial por una ecuacion en diferencias nitas.

Los valores de u denidos sobre las fronteras laterales y la fronterainferior son valores conocidos mientras que en los puntos interiores debenser calculados. La aproximacion por diferencias nitas a las derivadas deuna funcion se obtiene utilizando el Teorema de Taylor, segun el analisishecho en la seccion anterior.

La variable espacial x sera aproximada por la diferencia central, esdecir utilizamos la siguiente aproximacion:

uxx(x, t) u(x + h, t) 2u(x, t) + u(x h, t)

h2(3.1)

con error de truncamiento

(x0, t0, h) =h2

12

4

x4u(0, t0).

Generalmente se utilizan estas diferencias porque los valores de u sonconocidos en los extremos del intervalo [0, L]

u(0, t) = g1(t), u(L, t) = g2(t), t > 0


En la variable temporal la situacion es diferente. Solamente son cono-cidos los valores de la funcion en el tiempo t = 0 esto es:

u(x, 0) = u0(x), x [0, L]Por tanto no es posible utilizar diferencias centrales. Para este casousualmente se utiliza la aproximacion de diferencia progresiva.

ut(x, t) u(x, t + h) u(x, t)

k(3.2)

con el error de truncamiento

(x0, t0, k) = k2

2

t2(t0, 0)

Usando la notacion V nj para la aproximacion en (xj, tn) obtenemos

u

t(xj, tn)

V n+1j V njk

(3.3)

y2u

x2(xj, tn)

V nj+1 2V nj + V nj1h2

(3.4)

De las formulas (3.3) y (3.4) obtenemos el esquema de diferencias pro-gresiva para la ecuacion diferencial parcial del problema

V n+1j V njk

= 2V nj+1 2V nj + V nj1

h2(FTCS)

llamado comunmente esquema (FTCS), del Ingles forward time-centralspace, cuyo error de truncamiento es:

j,j =k

2

2

t2u(xj, n) 2h

2

12

4

x4U(j, tn) O(k) + O(h2)

En el esquema (FTCS), la variable discreta V nj , involucra los puntos demalla (xj1, tn), (xj, tn+1), (xj+1, tn), (xj, tn), que aproximan a lasolucion u(x, t) del problema (P ), en el punto (xj, tn). Este esquema sepuede escribir de la siguiente manera

V n+1j = (1 22)V nj + 2(V nj+1 + V

nj1)

(3.5)

donde = kh2


L0 x

t

(j, n)

(j, n + 1)

(j 1, n) (j + 1, n)

tn+1

tn

xjxj1 xj+1

Figura 3.3: Molecula de calculo para FTCS

Observamos que los valores en el nivel n + 1 se obtiene unicamentesabiendo los valores en el nivel n, como se muestra en la gura 3.3, poreso, este esquema pertenece al conjunto de esquemas explcitos.

Tambien podemos obtener otro esquema utilizando diferencia nitaregresiva en el tiempo, es decir haciendo la siguiente aproximacion

u

t(xj, tn+1)

u(xj, tn+1) u(xj, tn)k

con error de truncamiento

j,j =k

2

2

t2u(xj, tn) h

2

12

4

x4u(j, tn) (O(k) + O(h2))

usando la notacion V nj en la aproximacion numerica anterior tenemos

u

t(xj, tn)

V nj V n1jk

(3.6)

manteniendo la diferencia central en el espacio tenemos el esquema numerico(BTCS) (del ingles backward time-central space) para el problema deconduccion del calor, tambien se le conoce como Euler retrasado .

V nj V n1jk

= 2V nj+1 2V nj + V nj1

h2(BTCS)


En el esquema (BTCS), la variable discreta V nj , involucra los puntosde malla (xj1, tn), (xj, tn), (xj+1, tn), (xj, tn1), que aproximan a lasolucion u(x, t) en el punto (xj, tn)

Este esquema se puede escribir de la siguiente manera

(1 22)V nj 2(V nj+1 + V

nj1)= V n1j (3.7)

Observamos que los valores en el nivel n + 1 deben ser calculadossimultaneamente sabiendo un solo valor en el nivel n, como se muestraen la gura 3.4, por eso, este esquema pertenece al conjunto de esquemasimplcitos.

L0 x

t

(j, n 1)

(j, n)(j 1, n) (j + 1, n)tn

tn1

xjxj1 xj+1

Figura 3.4: Molecula de calculo para Euler retrazado o BTCS

A continuacion presentamos los otros esquemas que seran estudiadosen el presente trabajo.

El esquema de Crank-Nicolson se obtiene promediando los esquemasEuler retrasado y Euler progresivo, de la siguiente manera:

Sea el esquema de Euler progresivo en el punto (xj, tn), utilizando elpunto (xj, tn+ 12 ) obtenemos:

Vn+1/2j V nj

k2

= 2V nj+1 2V nj + V nj1

h2(FTCS)

Sea el esquema de Euler retrasado en el punto (xj, tn+1) utilizando el


punto (xj, tn+ 12 )

V n+1j V n+1/2jk2

= 2V n+1j+1 2V n+1j + V n+1j1

h2. (BTCS)

Promediando los dos esquemas anteriores, (FTCS) y (BTCS), ten-emos el esquema de Crank-Nicolson

V n+1j V njk

=1

22

V n+1j+1 2V n+1j + V n+1j1h2

+1

22

V nj+1 2V nj + V nj1h2

(3.8)

El nuevo esquema al ser promediado, se convierte en un esquema dediferencia central en la variable t, si lo observamos como discretizado enel punto (j, n + 1/2). Veremos que este esquema es tambien implcito,consistente, incondicionalmente estable y orden de presicion (2,2).

Observamos que este esquema utiliza seis puntos de malla (xj1, tn),(xj, tn), (xj+1, tn), (xj1, tn+1), (xj, tn+1), (xj+1, tn+1) como se observaen la gura 3.5

n + 1

n

n + 12

j 1 j j + 1

k

k2

(j, n + 12)

h

Figura 3.5: Molecula de calculo para Crank-Nicolson

Usando diferencias centrales en el tiempo para la funcion u(x, t) en elpunto (xj, tn) obtenemos la formula de diferencias nitas

u

t(xj, tn) =

u(xj, tn+1) u(xj, tn1)2k

+ (t1, k)

donde (t1, k) O(k2), despreciando este error de truncamiento obten-emos la aproximacion de diferencias nitas centradas respecto a (xj, tn)

u

t(xj, tn)

u(xj, tn+1) u(xj, tn1)2k


Usando la notacion V nj tenemos el esquema de diferencias nitas deLeapfrog.

V n+1j V n1j2k

= 2V nj+1 2V nj + V nj1

h2, j = 1, ...N 1 , n = 1, ....

(3.9)con error de truncamiento

j,j (O(k2) + O(h2))En el esquema (3.9), podemos sustituir 2V nj por

(V n+1j V n1j

),

obtenemos;

V n+1j V n1j2k

= 2V nj+1

(V n+1j V n1j

)+ V nj1

h2(15)

llamado esquema de Du Fort-Frankel, cuyo error de truncamientoes dado por

(h, k) = O(h2) + O(k2) + O(k2h2)

como vericaremos en el captulo siguiente.

L0 x

t

(j, n 1)

(j, n + 1)(j, n + 1)(j, n + 1)tn+1

tn

xjxj1 xj+1

Figura 3.6: Molecula de calculo para Du Fort-Frankel

Este esquema es en realidad un esquema de cinco puntos aunque enla formula y en la gura 3.6 aparecen explicitamente solo cuatro puntos,pero la discretizacion se hace en el punto denotado por (j, n).


3.2 Analisis de los Esquemas de Diferencias Finitas

3.2.1 Teorema de Lax

El teorema de Lax que enunciamos aqu es una variacion del teoremade Lax-Ritchmeyer presentado en el captulo anterior, muy util, en elanalisis de esquemas de diferencias nitas, puesto que, por medio de ely para una amplia clase de ecuaciones diferenciales, nos da la respuestade la convergencia del esquema, utilizando unicamente los conceptostecnicos de consistencia y estabilidad.

Teorema 3.2.1. Sea un esquema de diferencias nitas lineal, estable yconsistente con orden de precision (p, q). Entonces el es convergente deorden (p, q)

Demostracion. Un esquema lineal, de un solo paso, con coecientes con-stantes se puede escribir en la siguiente forma:

V n+1j = QVnj , n 0 (3.10)

donde Q = Qh,k. De acuerdo a esto se tiene

V n = QV n1 = Q(QV n2)= . . . Qn1(QV 0) = QnV 0

donde Qn es el operador de diferencias nitas Q aplicado n veces.

Desde que el esquema es estable. Para todo T > 0, Existe CT > 0 talque

V n2h CTV 02hUsando (3.10), tenemos que

QV n12h CTV 02h QnV 02h CTV 02hSea u(x, t) una solucion de la ecuacion Pu = 0. Como el esquema esconsistente con orden de precision (p, q) se cumple, con Ph,ku = (Iu

n+1Qun)

Ph,ku = Ph,ku Pu = O(hp) + O(kq)es decir un = Qn1u + O(hp) + O(kq).

3.2. ANALISIS DE LOS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS 59

Sea W n = unV n el error en el n-esimo paso, con W 0 = u0V 0 = 0,entonces, se cumple

W n = QW n1 + O(hp) + O(kq)= Q2W n2 + Q(O(hp) + O(kq)) + O(hp) + O(kq)= . . .

= QnW 0 +n1j=0

Qj(O(hp) + O(kq))

=n1j=0

Qj(O(hp) + O(kq))

De esto se obtiene,

W n n1j=0

Qj(O(hp) + O(kq))

n1j=0

CTj(O(hp) + O(kq)), Tj tj = jk

= O(hp) + O(kq)

Por tanto el metodo es convergente de orden (p, q).

A continuacion pasamos a analizar cada uno de los esquemas prop-uestos, cabe resaltar que para cada uno de los esquemas, estudiaremosla consistencia, orden de precision, estabilidad y convergencia

3.2.2 El esquema de Euler retrasado

V nj V n1jk

= 2V nj+1 2V nj + V nj1

h2(3.11)

Como vemos, este esquema esta dentro del grupo de los esquemas im-plcitos. Probaremos que es consistente con orden de presicion (1,2) eincondicionalmente estable.

Denotemos por = kh2 y = 2. El esquema (3.11) se puedeescribir en la forma

V n1j = (1+2)Vnj (V nj+1+V nj1), j = 0, 1, 2, ..., N, n = 0, 1, ..., kmax

(3.12)


Si discretizamos las condiciones de contorno (Dirichlet) y condicionesiniciales del problema (P), tenemos:

Condiciones de Contorno

{V n0 = u(x0, tn) = u(0, tn) = T1(tn)V nN = U(xN , tn) = u(L, tn) = T2(tn)

n = 0, 1, .., kmax

Condiciones InicialesV 0i = u(xj, t0) = u(xj, 0) = u0(xj), j = 0, 1, ..., N

Obteniendo el problema de diferencias nitas:

(PD1)

V nj V n1j

k = 2V

nj+12V nj +V nj1

h2 , j = 1, . . . , N 1 n = 1, . . . , kmaxV n0 = T1(tn)V nN = T2(tn) , n = 0, 1, .., kmaxV 0j = u0(xj), j = 1, 2, ..., N 1

3.2.3 Consistencia y orden de precision

Veriquemos la consistencia del esquema de Euler retrazado, para elloutilizamos la serie de Taylor. En efecto: Observemos que el operadordiferencial continuo esta dado por:

P =

t 2

2

x2,

el mismo que aplicado a una funcion suave se tiene

P = t 2xx.En tanto que el operador discreto Pk,h, aplicado a una variable discretaes el siguiente

Ph,kVnj =

V nj V n1jk

2Vnj+1 2V nj + V nj1

h2(3.13)

Utilicemos una funcion suave y desarrollemos por Taylor en el punto(xj, tn), las expresiones

n1j = (xj, tn k), nj+1 = (xj + h, tn) y

nj1 = (xj h, tn)


(xj, tn k) = (xj, tn) kt(xj, tn) + O(k2),en la notacion de ndices, tenemos

n1j = n1j kt + O(k2), (3.14)

Luego la serie de Taylor de (xj h, tn) en (xj, tn), es

(xj h, tn) = (xj, tn) 11!hx(xj, tn) +

1

2!h2xx(xj, tn)

1

3!h3xxx(xj, tn) + O(h

4)

En notacion indicial

nj1 = nj hx +

1

2!h2xx 1

3!h3xxx + O(h

4) (3.15)

De manera similar con (xj + h, tn) en (xj, tn), obtenemos:

nj+1 = nj + hx +

1

2!h2xx +

1

3!h3xxx + O(h

4) (3.16)

las derivadas t, x,xx, xxx son evaluadas en el punto (xj, tn) = (jh, nk).

Sustituyendo las series (3.14),(3.15),(3.16) en el operador discretizadoPh,k

nj dado en (3.13), obtenemos:

Ph,k =1

k

[nj nj + kt + O(k2)

]

2

h2

[nj + hx +

1

2!h2xx +

1

3!h3xxx + O(h

4) 2nj]

2

h2

[nj hx +

1

2!h2xx 1

3!h3xxx + O(h

4)

]la cual se puede escrbir como:

Ph,k =1

k

(kt + O(k

2)) 2

h2(h2xx + O(h

4) + O(h4))

Simplicando, y teniendo en cuenta la notacion del operador diferencialP y el hecho que O(h2) + O(h2) = O(h2), tenemos

Ph,k = t 2xx + O(k) + O(h2)= P + O(k) + O(h2)


De donde tenemos la forma

P Ph,k = O(k) + O(h2) (3.17)Observando que

P Ph,k 0, cuando h, k 0Decimos que el esquema de diferencias nitas Euler retrasado es con-sistente con la ecuacion diferencial parcial ut =

2uxx del problema (P ).De la ecuacion (3.17) vemos que el orden de precision es (1, 2), 1 en

el tiempo y 2 en el espacio.

3.2.4 Estabilidad

Para analizar la estabilidad del esquema de Euler retrasado, utilizamosel criterio de Von Neumann.

Tomando el esquema en la forma expresada en (3.12)

V n+1j+1 + (1 + 2)V n+1j V n+1j1 = V njsustituyendo V nj por g

neij, tenemos

gn+1ei(j1) + (1 + 2)gn+1ei gn+1ei(j+1) = gneij

dividiendo por gn tenemos:

geijei + (1 + 2)geij geijei = eij

multiplicando por eij

gei + (1 + 2)g gei = 1De esta forma tenemos el factor de amplicacion de la forma

g =1

1 [ei 2 + ei]=

1

1 [e

i2 e i2

]2=

1

1 [2i]2 sen2 2=

1

1 + 4sen2 2.


Observemos que |g| = g 0, por otro lado tenemos

0 sen22 1 entonces 1 1 + 4sen2

2 1 + 4

De esto se tiene la desigualdad

0 0 entonces se tiene

1 2 0 (3.48)

luego el factor de amplicacion es complejo

g = 2 cos ib1 + 2

entonces el cuadrado del modulo es

| g |2= (2 cos )2 + 42Sen2 1(1 + 2)2

de donde

| g |2= 42 1

(1 + 2)2=

(2 + 1)(2 1)(1 + 2)2

=2 1(1 + 2)

< 1

en la ultima desigualdad utilizamos (3.48). Concluimos tambienque bajo la restriccion (3.47), el esquema es estable.

Por tanto esquema de Du Fort-Frankel es estable sin restricciones, ypor el teorema de Lax, el esquema es convergente, con la unica condicionexigida por la consistencia, donde observamos que k vaya mas rapido acero que el valor de h.

3.3 Implementacion Numerica

Este captulo estara dedicado a la implementacion numerica de los es-quemas de diferencias nitas para el problema de conduccion del calorunidimensional analizados en el captulo anterior. Haciendo un estu-dio comparativo de los esquemas, resolviendo el mismo problema bajocondiciones similares y de la dependencia de los parametros.

3.3. IMPLEMENTACION NUMERICA 73

Para ello utilizamos el problema siguiente el que fue planteado en elcaptulo 1, es decir trabajaremos con el problema

(P )

ut =

2uxx, 0 < x < L , t > 0u(0, t) = g1(t), t > 0u(L, t) = g2(t), t > 0u(x, 0) = u0(x), 0 x L

Donde la condicion de compatibilidad entre la condicion inicial y lacondicion de frontera esta dada por

u0(0) = u(0, 0) = g1(0),

u0(L) = u(L, 0) = g2(0),

Sea L = 1 y sea h = 1/N el espacio entre puntos de la malla. Comoen algunos casos la estabilidad depende de la dependencia de h y k (elespacio entre los puntos temporales) la implementacion se realizara paraalgunos valores del parametro = 2k/h2

Eligiendo uno de los esquemas de diferencias, el problema anteriorpuede escribirse en forma discretizada como

(PD)

Ph,kVnj = 0,

{j = 1, 2, . . . , N 1n = 1, 2, . . . Kmax

V n0 = u(0, tn) = g1(tn), n = 0, 1, . . .

V nN = u(L, tn) = g2(tn), n = 0, 2, . . .

V 0j = u(xj, 0) = u0(xj), j = 0, 1 . . . , N

Comenzaremos implementando el esquema implcito de Euler re-trazado, para ello, lo escribimos en la forma (3.12)

V n+1j1 + (1 + 2)V n+1j V n+1j+1 = V nj (3.49)

Escribiendo (3.49) para j = 1, . . . N 1 aparece un sistema de N 1


ecuaciones con N + 1 incognitas

V n+10 + (1 + 2)V n+11 V n+12 = V n1V n+11 + (1 + 2)V n+12 V n+13 = V n2

...V n+1i1 + (1 + 2)V n+1i V n+1i+1 = V ni

...V n+1N2 + (1 + 2)V n+1N1 V n+1N = V nN1

Observamos que en este sistema de ecuaciones, los valores V n+10en la ecuacion j = 1 y V n+1N en la ecuacion j = N 1 son conocidas,por lo que deberian pasar al lado derecho de la ecuacion. Esto hace queel sistema resultante sea cerrado, es decir solo tiene N 1 incognitas, elcual puede ser escrito, para cada n, en forma matricial como

AUn+1 = bn (3.50)

Donde A es una matriz tridiagonal de orden (N 1) (N 1)

A =

1 + 2 0 . . . 0 0 1 + 2 . . . 0 0

...

...0 0 1 + 2 0 0 1 + 2

mientras que Un+1 y bn son vectores de orden (N 1) 1

Un+1 =

V n+11V n+12

...V n+1i

...V n+1N2V n+1N1

y bn =

V n1 + Vn+10

V n2...

V ni...

V nN2V nN1 + V

n+1N

Para resolver el sistema (3.50),

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