EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA

CON COEFICIENTES CONSTANTES

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEACON COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la EDO lineal no homognea de orden superior con coeficientesconstantes dada por la siguiente expresin

+ . . . . . + 2

2

2+ 1

+ 0 = ()

Donde es diferente de cero.

La solucin general de esta ecuacin es igual a

= +

Donde es la solucin de la EDO homognea asociada a la EDO nohomognea, es decir resolvemos la EDO igual a 0

= +

+ . . . . . + 2

2

2+1

+ 0 =0

Y es una solucin particular de la EDO no homognea

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Para calcular la solucin particular usaremos el mtodo de los coeficientesindeterminados

Como la EDO tiene coeficientes constantes la solucin particular dependesolamente de la forma de la funcin (). Por lo tanto para calcular la solucinparticular supondremos que es de la forma ()

Por ejemplo en la EDO no homognea g(x) es un polinomio de segundo gradoIgual a 42+ 5

+ . . . . . + 2

2

2+ 1

+ 0 = 4

2+ 5

Entonces la solucin deber ser igual a + + que es la forma general

De un polinomio de segundo grado

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El mtodo de coeficientes indeterminados tiene limitaciones, solo se puede aplicar enEDO con coeficientes constantes y cuando la funcin es un polinomio, o una funcinexponencial, o una funcin seno , o una funcin coseno o sus combinaciones

+. . . . . . +1 + 0

,

+

no puede ser igual a la razn de estas funciones por ejemplo no Puede serigual a

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Recordemos que las soluciones deben ser linealmente independientes, por lotanto la solucin particular debe ser linealmente independiente de la solucin

homognea , si no son linealmente independientes debemos independizarlas.

Para independizar las funciones de las soluciones homognea y particulardebemos multiplicar por a la funcin de la solucin particular que no eslinealmente independiente.

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= + 5

Por ejemplo, para la EDO

Al comparar con la solucin homognea

= 1 + 2 + 3

como la funcin independiente es igual a 3 la solucin particular debe ser igual a:

= + + 5

Vemos que no son linealmente independientes

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Para independizar las funciones de las soluciones homognea y particularmultiplicamos por a la expresin A + que es el trmino dependientedndonos

2+

= 3+ 2 +5

Expresin que todava no es independiente de la solucin homognea, por esodebemos multiplicar la nueva expresin 2 + por , de esta manera seobtiene la funcin

La cual ya es linealmente independiente

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Corina Villarroel RobalinoDOCENTE