EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEA

CON COEFICIENTES CONSTANTES(2)

EDO LINEAL DE ORDEN SUPERIOR NO HOMOGENEACON COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la EDO

𝑦𝑖𝑖 − 𝑦 = 3𝑒𝑥 + 𝑥2+1

Como la solución de una EDO no homogénea es igual a la suma de lassoluciones homogénea y particular

EJERCICIO RESUELTO

Calcular su solución general:

DESARROLLO

Sustituimos en la EDO

Calcularemos primero la solución homogénea, sea:

𝑦𝑖𝑖 − 𝑦 = 0

Como es una EDO homogénea y con coeficientes constantes la solución homogénea es igual a

𝑦𝑘 = 𝑒𝑘𝑥

𝑘2 − 1 𝑒𝑘𝑥 = 0

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𝑦ℎ = 𝑐1𝑒𝑥 +𝑐2𝑒

−𝑥.

Dándonos la ecuación polinómica auxiliar

𝑘2− 1 = 0

Las raíces de la ecuación polinómica son

𝑘 = 1 𝑘 = −1

De donde las funciones 𝑦𝑘 son

𝑦1 = 𝑒𝑥 𝑦2 = 𝑒−𝑥𝑧

La solución homogénea es

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La solución particular 𝑦𝑝

𝑦𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷

Al comparar la solución particular

𝑦ℎ = 𝑐1𝑒𝑥 +𝑐2𝑒

−𝑥.

Vemos que las funciones 𝐴𝑒𝑥 , 𝑐1𝑒𝑥 , no son linealmente independientes

Es igual a la combinación lineal de la función exponencial general 𝐴𝑒𝑥 y de la funcióncuadrática general 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 +D, porque la función 𝑔(𝑥) es igual al producto de unafunción exponencial 𝑒𝑥 y un polinomio 𝑥2 +1

𝑦𝑝 = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷

con la solución homogénea

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𝑦𝑝 = 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷

Las funciones 𝐴𝑥𝑒𝑥 y 𝑐1𝑒𝑥 son ahora linealmente independientes

Debemos independizar la solución particular 𝐴𝑒𝑥, para esto multiplicamos la expresión𝐴𝑒𝑥 por 𝑥, la solución particular𝑦𝑝 ahora es

Como 𝑦𝑝 es una solución particular debemos calcular los valores de las constantes A, B,

C, D, para esto se debe sustituir la solución particular 𝑦𝑝 en la EDO

𝑦𝑖𝑖 − 𝑦 = 3𝑒𝑥 + 𝑥2+1

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𝑦𝑝 = 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷

Para facilitar la sustitución primero calcularemos la segunda derivada de la solución particular 𝑦𝑝

Ahora sustituimos 𝑦𝑝 y su segunda derivada en la EDO

𝑦𝑖𝑖 − 𝑦 = 3𝑒𝑥 + 𝑥2+1

𝑑2𝑦𝑝𝑑𝑥2

= 2𝐴𝑒𝑥 + 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 2𝐵

2𝐴𝑒𝑥 +𝐴𝑥𝑒𝑥 +2𝐵 − 𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 =3𝑒𝑥 + 𝑥2+1

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Entonces la solución particular es igual a:

2𝐴𝑒𝑥 + 2𝐵 − 𝐷 − 𝐵𝑥2 − 𝐶𝑥=3𝑒𝑥 +𝑥2+1

Simplificamos la expresión

Igualamos los términos

2𝐴𝑒𝑥=3𝑒𝑥 entonces el valor de A =3/2𝐵𝑥2=𝑥2 entonces B=1

2𝐵 −D=1 entonces D= 1

𝑦𝑝 =3

2𝑥𝑒𝑥 + 𝑥2 +1

C𝑥 = 0 entonces C=0

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La solución de la EDO

Es igual a:

𝑦𝑖𝑖 − 𝑦 = 3𝑒𝑥 + 𝑥2+1

𝑦𝐺 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 +3

2𝑥𝑒𝑥 + 𝑥2 + 1

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