En esta edición

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pág Reflexiones La Huella de Carbono . . . . . . . . . . . . . 2

FISICOM 3

Anécdotas de la Ciencia . . 3

Ciencia de Culto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Tips Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . 4

Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . . . 5

Problemas con Historia

6

La Función Cúbica . . . . . . . . . . . . . . . .6

Resolución de la Ecuación de Tercer

Grado . . . . . . . . 7

El Teorema de De Moivre . . . . . . . . 7

Los Protagonistas del Problema . . . 8

El Método de Ruffini 8

ABAQUIM ¿Qué son los Antioxidantes? . 9

Grandes Inventos 9

Ciencia Entrete ¿Qué es una Línea Recta? 10 Récord Definitivo en 100 Metros

Planos . . . . . . . . . . . . .10

. . . . . . . . . . . . . . . . .10

Un Número Grande . . . . 11

11

Sonriendo en la Sala de Clases 11

Noticias Concurso de Bandas Escolares 12

¡Chile está en DICOM! . . . . . . 12

. . . 12

Predecir que ocurrirá en el futuro, aun-

que sea cercano, no es tarea fácil de

realizar. No nos referimos, en todo caso,

a los adivinos o agoreros, de los cuales

hay por montones, y generalmente con-

siguen incautos a quienes embaucar.

Nos referimos a hacer predicciones

acerca de adelantos tecnológicos que se

descubrirán en el futuro y que permiti-

rán un mejor bienestar de la humanidad.

De estos, también ha habido bastantes,

aunque sólo algunos han sido certeros

en sus vaticinios.

Uno de los más conocidos es el escritor

francés Julio Verne (1828 – 1905),

quien en sus novelas predijo muchos de

los adelantos, que en su época nadie

imaginaba. Entre los más destacados

están: el helicóptero, el submarino,

vehículos interplanetarios y, aunque

parezca extraño, también anticipó la

internet. En su obra París en el siglo XX

hace referencia a una red global de co-

municación a través de un telégrafo

mundial, lo que podría parecerse mucho

a la internet actual.

Más recientemente tenemos a Isaac Asi-

mov (1920 – 1992), escritor de obras de

divulgación científica – él era doctor en

Química – y sobre todo de novelas y

cuentos de ciencia ficción. Durante años

escribió, para una revista, una columna

que denominó Cambio, en que abordaba

diferentes temas acerca del futuro. Se-

gún el propio autor: “ … yo predigo lo

posible, lo concebible, aunque a veces

es sólo un sueño. Espero que la humani-

dad, en su viaje por el tiempo sepa a

qué aspirar y qué debe evitar”. En 1980

recopiló en un libro estas crónicas bajo

el título ¡Cambio! 71 V isiones del Futu-

ro. En él aparecen muchas predicciones

que se han cumplido, pero la más im-

pactante es la descripción casi perfecta

de como funciona actualmente la inter-

net y las redes sociales (*), en los ar-

tículos La Biblioteca Automatizada y

Los Nuevos Maestros.

Claro que la visión de Asimov acerca de

este adelanto tecnológico era mucho

más optimista que lo que ha sido. Según

él, el hecho de tener acceso a casi todo

el saber de la humanidad y de tener el

mundo entero al alcance de la mano,

haría que la educación sufra un cambio

drástico, en que por primera vez el estu-

diar sería una actividad entretenida, qui-

zás el momento más esperado de todo el

día. Los estudiantes se sentirían motiva-

dos a ser más creativos y a elegir qué

aprender de entre las infinitas posibili-

dades que se ofrecen. Lamentablemente,

ni por parte de los educandos ni de los

educadores, se ha cumplido esta predic-

ción, puesto que la utilidad que se le da

a la internet no siempre es la que sería

la deseable.

(*) Ver entrevista a Isaac Asimov en 1988 en:

http://www.sociologianow.cl/isaac-asimov-la-educacion-del-futuro-entrevista-1988

Nº 55 Año 14

Septiembre 2015

Editorial

S E P T I E M B R E 2 0 1 5

2

Óscar Pilichi Cerón

REFLEXIONES

Aproximadamente un tercio de la energía solar que alcanza la atmósfe-ra terrestre se refleja directamente de nuevo al espacio. Los dos tercios restantes son absorbidos por la super-ficie y, en menor magnitud, por la atmósfera. Para equilibrar la energía entrante absorbida, la Tierra debe, como promedio, irradiar la misma cantidad de energía al espacio. Como la Tierra es mucho más fría que el sol, ésta irradia en longitudes de onda mucho más largas, en comparación con la radiación proveniente del sol, sobre todo en la parte infrarroja del espectro. La atmósfera, con la parti-cipación de las nubes, absorbe gran parte de esta radiación térmi-ca emitida por los suelos y el océano y la vuelve a irradiar a la Tierra. Esto es lo que se denomina efecto invernadero. Este efec-to calienta la superficie del planeta y sin el efecto invernadero natural, la temperatura promedio de la superficie terrestre estaría por debajo del punto de congelamiento del agua. Por tanto, el efecto invernadero natural hace posible la vida tal como la cono-cemos. Sin embargo, las actividades humanas como la quema de combustibles fósiles y la eliminación de bosques, han intensifi-cado el efecto invernadero natural, dando lugar a lo que conoce-

mos como calentamiento global1.

La Huella de Carbono busca calcular la cantidad de gases de efecto invernadero (GEI) cada vez que se realiza una acción de-terminada y que las personas y empresas puedan reducir los ni-veles de contaminación mediante un cálculo estandarizado de las

emisiones durante los procesos productivos2.

T. Wiedmann y J. Minx3 proponen la siguiente definición:

“La huella de carbono es la medida de emisiones de dióxido de carbono totales que se originan directa o indirectamente por una actividad o se acumulan a lo largo del ciclo de la vida de un pro-ducto”.

El consumo de energía es un pará-metro importante en la huella de carbono, esto va de la mano con el tipo de energía que se requiere y la forma de obtener esta energía. Un ejemplo de esto sería el consu-mo de electricidad de una vivien-da que puede provenir de la red eléctrica tradicional, entonces se debe considerar la matriz energé-tica del país y ver cuales fuentes de energía predominan en el sis-tea, por ejemplo carbón, petróleo, gas, etc. Actividades como el traslado de un lugar a otro, el ir de compras

en vehículo motorizado o el consumo de productos o servicios nos pueden dar luces de cómo son las emisiones asociadas a nuestra actividad diaria. Actualmente existen varias plataformas web que nos pueden ayudar a estimar la huella de carbono, sólo debes ingresar algunos datos como por ejemplo cuantas personas viajan en tu vehículo cada día o el consumo de energía eléctrica diario promedio, etc. Se invita al lector a realizar una sencilla estimación y animar a que alguien la realice y conversar sobre los impactos de cada uno, pero aún más importante preguntarse de qué forma podrías disminuir tu huella: http://www.mma.gob.cl/quieromejorarmihuella/ http : //huelladecarbono.minenergia.cl/ Referencias:

1 https : //www.ipcc.ch/publications_and_data/ar4/wg1/es/faq−1

− 3.html 2 http : //www.uach.cl/procarbono/huella_de_carbono.html

3 Wiedmann, T. and Minx, J. (2008). A Definition of Carbon Footprint. In: C. C. Pertsova, Ecological. Economics Re-search Trends: Chapter 1, pp. 1-11, Nova Science Publis-hers, Hauppauge NY, USA.

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Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de

Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad

de Ciencias de la Ingeniería UACh.

Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730

abacom@uach.cl www.uach.cl/abacom

Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M.

Web Master: Edinson Contreras R. Loopy y Gráficos: Sebastián Acevedo A.

Colaboraron en esta edición: Pedro Brito C., Óscar Pilichi C. y Patricio Ruiz-Tagle C.

3

ABACOM Boletín Matemático

Física y Audición

Pedro Brito Castillo

Profesor de Física del Centro de Docencia de CCBB Fac. de Ciencias de la Ingeniería UACh.

Debido a que los sonidos a los que se está expuesto diariamente son tan dife-rentes, el oído humano tiene la capaci-dad de responder de diferente manera “decodificando” y discriminando dife-rentes timbres de sonidos y niveles de ruido. En otras palabras, el órgano audi-tivo es capaz de responder y diferenciar diferentes frecuencias e intensidades sonoras. Para una persona otológica-mente normal, el rango de frecuencia audible va, aproximadamente, desde los 16Hz hasta los 20KHz. Toda persona desarrolla una pérdida auditiva con el paso de la edad, llamada presbiacusia, ésta comienza aproxima-damente desde los 20 años de edad haciéndose más evidente a partir de los 50 años. Se manifiesta con una pérdida auditiva de las frecuencias altas inicial-mente y que luego incorpora perdidas en frecuencias medias y medias bajas como lo ilustra la siguiente figura.

Pero la pregunta que podemos plan-tearnos en este contexto es: ¿cuál es la física que actúa en nuestra audición? Para responder esto podemos dividirlo en tres etapas, donde la primera es cuando el sonido se propaga al interior del ducto auditivo u oído externo, gene-rándose resonancias en su interior y puede ser simplificado y estudiado co-mo un tubo cerrado cuya longitud es de 2,5[cm] aproximadamente. Luego, el sonido “hace contacto” en la membrana timpánica, con una superficie de 79[mm2] aproximadamente. El sonido ejerce una pequeña presión de alta am-plitud sobre la membrana, que es trans-mitida a la cadena de huesecillos, situa-dos en el oído medio. En el fondo, la membrana timpánica actúa como un transductor convirtiendo la energía acústica en energía mecánica. Por otro lado, para que la membrana timpánica pueda vibrar debido a las fluctuaciones de presión sonora, está el tubo de Eustaquio, el cual es el encarga-do de igualar la presión del pabellón auditivo con el oído medio. En la segunda etapa, la cadena de hue-secillos convierte esta energía mecánica cuya presión era pequeña pero de gran amplitud, a una vibración disminuyendo la amplitud y aumentando la presión de la ventana vestibular, en unas 22 veces con respecto a la membrana timpánica. Este proceso de vibración al estribo, yunque y martillo genera torques para hacer vibrar la membrana de la ventana oval e incrementar la fuerza final ejerci-

da en 1,3 veces la fuerza incidente sobre la membrana timpánica. En términos de niveles de presión se genera una ampli-ficación de alrededor de 27[dB].

Y por último ese nivel de presión es pro-cesado por la tercera etapa, el oído in-terno, donde la cóclea juega el papel de “discriminador” de frecuencias. Estas ondas propagadas por un medio cuasi-sólido es transmitido a un medio líquido (perilinfa y endolinfa) confinado en la cóclea, cuyos componentes básicos son potasio y sodio. Por lo tanto, estas on-das generan variaciones de presión que son captadas por las células ciliadas en la lámina basilar, captando la presión ejercida sobre éstas y trasmitiéndolas al nervio auditivo. El nervio auditivo con-vierte esta presión en señales eléctricas y las envía al cerebro, información que es procesada en audición y equilibrio.

Figura 2. Oído.

Figura 1. Representación en bandas de octava de los niveles de pérdida

auditiva producto de la edad.

EL CIENTÍFICO MOMIA

S E P T I E M B R E 2 0 1 5

4

Juan Leiva Vivar

Sean todas y todos bienvenidas(os) a la tercera versión de Ciencia de Culto. Nuevamente nos encontramos entre la ciencia y la cultura, dos universos paralelos, dialécticos, antagonistas y difíciles de mezclar. El cruce avanzó entendiendo los saberes de varias culturas latinas en torno a prácticas culturales que usaron elementos proveniente de lo que conocemos como ciencia. Sin embargo, en esta ocasión despejare-mos algunos conceptos para comprender el desencantamiento del mundo1. Hadas, pociones, varitas, padrinos mágicos, el conejo de pascua, el Caleuche, Harry Potter y otra infinidad de manifestaciones de encanta-mientos conocemos directa o indirectamente. El mundo en las culturas originarias tenían tintes de todo esto y más (aún quedan), incluso plas-mándose la creencia como dominio del hombre, a través de algunas religiones como en la Edad Media. Preguntarnos si existe Dios o dioses (dependiendo del punto de vista del creyente y lo que le permitan sus costumbres) es una duda que ha llevado a distintas generaciones a estudiar desde Teología hasta Física Teórica, todo con el fin de comprobar su existencia. Aunque, por otra parte, a través de la creencia, muchos lo han sentido. ¿Cuál es la co-rrecta forma de comprobar? ¿Desde lo empírico o desde la fe? La ver-dad es que ambas son correctas, e incluso la empírica es un poco más limitante, porque necesita de lógica comprobada y de maneras tangi-bles de medición. Históricamente en Europa ocurre la Revolución Industrial2 y con ello surge la aplicación del conocimiento científico para colaborar en mejo-rar el entorno humano, hacia un nivel cada vez más artificial y deslum-brante. De igual forma, por estos años surge la denominada Ilustra-ción, donde dentro de sus principios se defendía la razón3. Qué mara-villa dirán algunos(as), porque la razón tiene cosas buenas, pero tam-bién cosas malas, porque, ésta es un ejercicio de poder4 que define qué saber es más real que otro. Y esto, damas y caballeros, hizo desa-parecer al Trauco, a Zeus, al hada de los dientes, e incluso lentamente a Dios. Suena algo deprimente y macabro, como si hoy tuviéramos tanta cien-cia encima que no pudiésemos creer en nada, ni en nadie. No obstan-

te, existe un ejemplo de creencia que no se puede doblar, nos referi-mos a la Fe. Y en realidad se puede creer en lo que uno estime conve-niente, pero dicha creencia tiene que cumplir requisitos lógicos en sí misma, esto se llama eficacia simbólica. Si uno cree en algo, ese algo puede existir5. Tampoco es como que la ciencia sea la maligna, tiene muchas ventajas, sólo que a veces cree tener la razón y deja a la creencia fuera de juego. En este sentido, es importante, cada vez más, resguardar nuestro pa-trimonio inmaterial6, para así poner en valor creencias, tradiciones, costumbres que podrían dejar de existir. En estos momentos el mundo ya no está encantado, pero recuerden que cada persona lo puede vol-ver a encantar, sólo deben creer. En el siguiente artículo, analizaremos algunas manifestaciones cultura-les en la Región de Los Ríos y cómo la ciencia puede ser aliada o enemiga. ¿qué elegirán? Pronto las respuestas, hasta ABACOM 56.

1 https://prezi.com/ak45flxechuo/el-desencantamiento-del-mundo/

2 http://www.bvs.sld.cu/revistas/aci/vol4_3_96/aci07396.htm

3 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0314-01/ilustra.htm

4 https://ciudadproyector.files.wordpress.com/2013/11/foucault-michel_el-

poder-una-bestia-magnc3adfica-sobre-el-poder-la-prisic3b3n-y-la-vida.pdf 5 https://www.youtube.com/watch?v=_5-0NcONFYQ

6 http://www.unesco.org/culture/ich/index.php?lg=es&pg=00002

Contacto entre dos Mundos Julio Morales Muñoz

Las sustancias radioactivas emiten rayos, ya sea alfa, beta o gamma, hecho denominado decaimiento radioactivo. Se ha comprobado experimentalmente que este decaimiento es de tipo exponencial, Así la cantidad de sustancia en un instante t está

dada por: donde C0 es la can-

tidad inicial y k > 0 es una constante que depende de la sustancia. Las sustancias radioactivas se caracterizan por su vida media, que es el tiempo en el cual la cantidad de material se reduce a la mitad. El valor de la vida media de diferentes sus-tancias varía bastante, desde 10-9 segundos hasta 109 años. El Carbono – 14 (14C), que es un isótopo inestable del CO2 presente en la atmósfera, tiene una vida media de 5.700 años, por eso

se usa para determinar la edad de especíme-nes arqueológicos. Esto se realiza midiendo la cantidad de 14C que aun conserva el espéci-men desde cuando estaba vivo.

Ejemplo: Se ha determinado que un hueso fósil presen-ta el 20% del 14C que contiene un hueso ac-tual, ¿cuál es aproximadamente su edad?

Solución:

Como la vida media del 14C es de 5.700 años,

entonces tenemos que:

de donde

Así la fórmula para la cantidad de 14C en un

instante t resulta ser:

Originalmente había C0 y ahora queda el 20%, entonces, si el tiempo transcurrido es de

t años, tenemos que

de donde , es decir

Es decir que: ¡el fósil es de hace aproximada-mente 13.236 años!

Ciencia o Creencia, el Desencantamiento del Mundo

0( ) ktC t C e

0 0

(5.700) / 2

kC e C

ln(0,5) / 5.700 0,0001216k

0

0,0001216( ) tC t C e

0 0

0,0001216/ 5 tC C e

ln(1/ 5) 0,0001216t

ln 5 / 0,0001216 13.236 .t

5

ABACOM Boletín Matemático

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcur

Problema 1: Suma de Números Pares La suma de 19 números pares consecuti-vos es 2.128. ¿Cuál es el mayor de ellos?

Problema 2: ¿Qué hora es? En un reloj análogo (es decir con punte-ros o manecillas), a las 3:00 horas, el minutero y el horario forman un ángulo recto. ¿A qué hora, entre las 3 y las 4, vuelven a formar un ángulo recto?

de 2015

REGLAS DEL JUEGO

Se deben unir los pun-tos con líneas horizon-tales y verticales, con las siguientes condicio-nes:

La cantidad de líneas que rodea un número debe coincidir con el número.

Todas las líneas de-ben crear una trayec-toria cerrada (un loop).

Desde un punto no deben surgir más de dos líneas.

Las casillas que no tienen número dentro de ellas, permiten la cantidad de líneas que sean necesarias.

Sebastián Acevedo Álvarez

Problema 1: Los 1.000 puntos en el círculo Si tenemos un círculo con 1.000 puntos en su interior, entonces es posible trazar una línea recta de modo que queden exactamente 500 puntos a cada lado de ella. ¿Cómo se debe trazar esta recta?

Solución: Primero tracemos todas las rectas determinadas por los puntos dentro del círculo, toma-dos de dos en dos. Luego, desde un punto exterior al círculo, tracemos una recta que no coincida con ninguna de las rectas anteriores. Haciendo centro en este punto, giramos la recta pasando sobre los puntos dentro del círculo. Esta recta irá pasando por cada uno de los 1.000 puntos de uno en uno (si pasase por 2 o más puntos, sería una de las rectas trazadas inicialmente, pero se dijo que ésta es diferente a ellas). Así cuando hayamos pasado por los primeros 500 puntos, y antes del 501, nos detenemos. Esta recta cumple lo pedido.

Problema2: Los Códigos del Candado Paula asegura su bicicleta con una cadena y un candado de código. El número que abre el candado está formado por tres cifras tal que su producto es impar y la suma de estos dígitos es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos códigos así existen?

Solución: Sea (a,b,c) el código que abre el candado. Como el producto de estas tres cifras es im-par, entonces a, b y c deben ser impares, luego sus posibles valores son 1, 3, 5, 7 o 9. Además como la suma debe ser un cuadrado perfecto, los valores posibles para la suma son 4, 9,16 y 25. De estos valores excluimos 4 y 16 ya que todas las cifras son impares. Por lo tanto los posibles códigos son (1, 3, 5) (1, 1, 7) (3, 3, 3) y (9, 9, 7), con todas las permutaciones de estos. Entonces existen en total 3! + (3! / 2!) ∙ 2 + 1 = 13 códigos. Estos son: (1,3,5), (1,5,3), (3,1,5), (3,5,1), (5,1,3), (5,3,1), (1,1,7), (1,7,1), (7,1,1), (3,3,3), ((9,9,7), (9,7,9) y (7,9,9).

Juan Leiva Vivar

6

S E P T I E M B R E 2 0 1 5

Los Babilonios, dos mil años antes de Cristo, ya sabían resolver ecuaciones de se-gundo grado, pero hubo de esperar más de tres mil años hasta que Scipione del Fe-rro obtuviese la solución general de la ecuación de tercer grado y, muy poco des-pués, Ludovico Ferrari hiciera lo propio con la ecuación de cuarto grado; no sin an-tes pasar por múltiples disputas.

–

–

– quien más tarde sería su yerno y sucesor de la cátedra en la Uni-versidad de Bolonia –

–

–

–

––

Problemas con Historia

Una ecuación de tercer grado tiene la forma: x3 + ax2 + bx + c = 0 (si el coeficiente de x3 no es 1, se puede dividir la ecuación por

este número). Al hacer el cambio de variable: La ecuación se transforma en: Por tanto, basta resolver la ecuación de la forma: x3 + px + q = 0. Hallar las raíces (soluciones) de esta ecuación equivale a hallar los puntos donde la función: f(x) = x3 + px + q (función cúbica) intercepta al eje X . Es fácil ver que para valores positivos grandes de x, los valores de f(x) son positivos y que para valores negativos grandes, estos resultan negativos, así debe existir al menos un valor de x en que f(x) = 0, es decir esta ecuación tiene al menos una raíz. La derivada de f(x) es f ’(x) = 3x2 + p.

Si p > 0: f ’(x) > 0 para todo x, es decir f es una función crecien-te y así su gráfico intersecta al eje X en un solo punto. Así, en este caso la ecuación tiene una sola raíz real y dos complejas.

Si p = 0: la ecuación se reduce a x3 = –q.

– Si q = 0: la ecuación tiene una raíz real triple, que es el 0.

– Si q ≠ 0: tiene una raíz real y dos raíces complejas.

Si p < 0: escribamos p = –3w2, w > 0. Así f ’(x) = 3x2 –3w2 que se anula para x = w y x = –w.

Además f ’’(x) = 6x , entonces f ’’(w) > 0 y f ’’(–w) < 0, luego la función f tiene un mínimo en x = w y un máximo en x = –w.

Así el gráfico de f tiene 3 formas posibles:

Estos 3 casos corresponden respectivamente a: (1) f(w)∙f(–w) > 0 (2) f(w)∙f(–w) = 0 (3) f(w)∙f(–w) < 0

Tenemos: f(w)∙f(–w) = (q – 2w3) (q + 2w3) = q2 – 4w6

Así el signo de la expresión , llamada discriminante,

determina la naturaleza de las raíces. Así para p < 0 y q cualquiera, se tiene que:

– Si D > 0: hay una raíz real y dos complejas.

– Si D = 0: hay dos raíces reales (una de ellas repetida).

– Si D < 0: hay tres raíces reales distintas.

La Función Cúbica y Algo de Cálculo

q pq + p = +

2 32 34

= 427 4 27

q pD = +

2 3

4 27

–a

x = y3

– –a 2a ab

y + b y + + c =2 3

3 03 27 3

7

ABACOM Boletín Matemático

Ya se vio que resolver una ecuación de tercer grado cualquiera se reduce a resolver una ecua-ción del tipo: x3 + px + q = 0. Para resolver esta ecuación hagamos: x = u + v, obteniendo la ecuación: u3 + v3 +(3uv + p)(u + v) + q =0.

Por tanto si hallamos u y v que cumplan: ó

se tendrá que x = u + v es una raíz de la ecuación x3 + px + q = 0. El problema de hallar dos números, u3 y v3, cuya suma y producto son conocidos es de fácil solución: u3 y v3 son las raíces de la ecuación cuadrática:

Usando la conocida fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos: de donde

y así es una solución de la ecuación x3 + px + q = 0.

Una vez hallada una solución, x1 de la ecuación, es fácil hallar las otras dos. Para ello se factori-za el polinomio x3 + px + q por x – x1 , obteniéndose un factor cuadrático. Así las otras dos raí-ces se encuentran resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta. El método descrito se conoce como “Método de Cardano”. Ejemplos:

1. x3 + 3x2 – 3x – 45 = 0.

En este caso tenemos que: a = 3, b = – 3, c = – 45 Con el cambio de variable x = y – a/3 , es decir x = y – 1 resulta: y3 – 6y – 40 = 0 (*). O sea p = –6, q = –40. Así la ecuación a resolver es: z2 – 40z + 8 = 0 . Las raíces de esta ecuación cuadrática son:

Y así una solución de la ecuación (*) es: Esta expresión, aunque parezca extraño, vale 4 (puede comprobarse con una calculadora). Para hallar las otras dos raíces, dividimos el polinomio y3 – 6y – 40 por y – 4 (la división es exacta, pues 4 es raíz de la ecuación), obteniéndose: y3 – 6y – 40 = (y – 4 )(y2 + 4y + 10) . Al resolver la ecuación cuadrática: y2 + 4y + 10 = 0 se obtiene: Así las raíces de la ecuación (*) son: y1 , y2 e y3 , y como x = y – 1, las raíces de la ecuación original son:

Observar que en este caso p = –6 < 0 y , por eso la ecuación tiene una raíz real y dos complejas.

2. x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0

El cambio de variable es x = y + 2 (pues a = – 6). La ecuación cúbica se transforma en: y3 – 3y – 2 = 0 (*) (p = –3, q = –2) y la ecuación cuadrática a resolver es: z2 – 2z + 1 = 0 , de donde u3 = v3 = 1, así una raíz de la ecuación (*) es y1 = 2. Para hallar las otras dos raíces fac-torizamos obteniendo: (y – 2 )(y2 + 2y + 1) , y así las otras dos raíces son iguales y2 = y3 = – 1. Luego las raíces de la ecuación original son: x1 = 4, x2 = x3 = 1. En este caso tenemos que p = –3 < 0 y D = 0, por lo que la ecuación tiene sólo dos raíces reales y una de ellas repetida.

3. x3 + 9x2 + 21x +5 = 0

Al hacer el cambio de variable que corresponde (x = y – 3), resulta: y3 – 6y – 4 = 0 (*). En este caso p = –6 < 0 y D = – 4 < 0, por tanto la ecuación tiene tres raíces reales diferentes. La ecuación cuadrática que resulta es: z2 – 4z + 8 = 0, que tiene dos raíces complejas u3 = 2 + 2 i , v3 = 2 – 2 i, por tanto una raíz de la ecuación (*) es , y aunque parezca extraño este ¡es un número real!, cuyo valor se halla usando el Teorema de De Moivre para el cálculo de raíces de Números Complejos (ver recuadro al lado). Tiene tres valores, que son: . Con cualquiera de ellos que se elija, se puede facto-rizar y3 – 6y – 4, y así determinar las otras dos raíces de (*), que naturalmente serán las otras dos no escogidas. Así las raíces de (*) son y por tanto las raíces de la ecuación original son:

–

/–

u + v = q

uv = p

3 3

3

–

/–

u + v = q

u v = p

3 3

3 3 3 27

–3

2 027

pz qz =

2 2

– – q q p q q p

u = v =3 3

3 3, 2 4 27 2 4 27

2 2

3 3– – q q p q q p

u = v =3 3

, 2 4 27 2 4 27

2 2

3 3 – – q q p q q p

x =3 3

+2 4 27 2 4 27

Resolución de la Ecuación

de Tercer Grado

3 320 + 14 2, 20 14 2u = v =

3 31 20 + 14 2 + 20 14 2y =

2 3 2 + 6 i , 2 6 i y = y =

1 2 3 3, 3 + 6 i , 3 6 i x = x = x =q p

D2 3

= + = 392 > 04 27

3 31 2 + 2i + 2 2iy =

2, 1 + 3, 1 3

1 2 3= 2, = 1 + 3, = 1 3y y y

. 1 2 3= 5, = 2 + 3, = 2 3 x x x

El Teorema de De Moivre

Abraham de Moivre (1667 – 1754) fue un matemático francés famoso por enunciar el teorema que lleva su nombre y por predecir la fecha exacta de su muerte a través de un cálculo matemático. Fue muy amigo de Isaac Newton, quién cuan-do alguien le preguntaba sobre algún tema de Matemáticas, respondía: “Vayan donde Abraham de Moivre a consultarle, él sabe mucho más que yo de esto”. Aunque nunca obtuvo un título académico oficial, fue miembro de la Real Society de Londres a los 30 años. De Moivre halló una fórmula para operar con números complejos en forma trigonométrica. El número complejo z = a + bi puede expre-sarse en términos de su módulo r (longitud del vector determinado por z) y su argumento α (ángulo que forma el vector con el eje X ) del modo siguiente: Esta se llama forma trigonométrica del complejo.

El Teorema de De Moivre (para raíces) afirma que:

Con este teorema, que permite calcular raíces de números complejos, probaremos que la expresión

es un número real. Primero expresamos el complejo 2 + 2i en forma polar: . Así: con k = 0, 1, 2. Reemplazando estos valores de k obtenemos los tres valores de esta raíz que son: Los respectivos valores de v son: Los valores que toma u + v son: Luego se ha comprobado que los tres valores que toma u + v son números reales.

Si entonces:

con k = 0,1, …, k – 1.

3 32 2 + 2 2 , donde 2 /u v i i v u

2 2 2 2 (cos 45 sen45 )i i

3 6 45 360 45 360

3 32 2 8 (cos sen )

k ku i i

360 360(cos sen )n n k k

n nz r i

1 2

3

2 (cos15 sen15 ), 2 (cos135 sen135 ),

2 (cos 255 sen255 )

u i u i

u i

(cos sen ) y z r i n

(cos sen )z r i

1 2

3

2 (cos15 sen15 ), 2 (cos135 sen135 ),

2 (cos 255 sen255 )

v i v i

v i

1 1 2 2

3 3

2 2cos15 1 3, 2 2 cos135 2

2 2 cos 255 1 3

u v u v

u v

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Los Protagonistas del Problema

SCIPIONE DEL FERRO (1465

Fue el primero en hallar la solu-ción a una ecuación de tercer grado, aunque no publicó sus resultados, como era su costum-bre, sino que la comunicó a un grupo reducido de discípulos y amigos. Tenía un anotador don-de guardaba sus descubrimientos importantes el cual pasó, des-pués de su muerte, a su yerno Aníbal della Nave. Del Ferro también hizo impor-tantes contribuciones en la racio-nalización de fracciones, exten-diendo los métodos conocidos para denominadores con raíces cuadradas a denominadores con suma de tres raíces cúbicas.

NICCOLO TARTAGLIA (1499

Murió en Roma y, según una leyenda, su muerte se produjo exactamente el día que él había predicho.

En las páginas anteriores se dio un método para resolver una ecuación de tercer grado en general, pero para el caso particular en que una de las raíces es un número racional (o entero), existe un método mucho más sencillo que se puede usar. Nos referimos al denomi-nado Método de Ruffini. Este método fue ideado por el matemático italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822) y permite factorizar un polinomio p(x) en factores linea-les de la forma x – a y/o factores cuadráticos irreducibles de la forma x2 + bx + c. Así la reso-lución de la ecuación cúbica se reduce a resol-ver una ecuación lineal y una cuadrática.

Mediante ejemplos explicaremos el método. Veamos las ecuaciones en la página 7, resueltas allí con el método de Cardano.

1. x3 + 3x2 – 3x – 45 = 0.

Las posibles raíces racionales son los factores enteros del término constante que es – 45. Estos son: ±1, ±3, ±5, ±9, ±15 y ±45. Se debe probar con cada uno de ellos cuál es raíz de la ecuación. En este caso es x = 3. La comprobación se puede hacer con la división sintética: De este cálculo se obtiene que la ecuación se puede expresar, en forma factorizada como: (x – 3)(x2 + 6x + 15) = 0. Resolviendo la ecuación cuadrática: x2 + 6x + 15 = 0 se obtiene que los valores de x son Así las raíces de la ecuación son:

2. x3 – 6x2 + 9x – 4 = 0.

En este caso las posibles raíces racionales son: ±1, ±2 y ±4, que son los factores enteros del término constante que es – 4. Al comprobar, usando división sintética, se obtiene que x = 1 es una raíz de la ecuación. Factorizando queda: (x – 1)(x2 – 5x + 4) = 0. La ecuación cuadrática tiene soluciones: 1 y 4. Así las raíces de la ecuación son: 1 (doble) y 4.

3. x3 + 9x2 + 21x +5 = 0.

Las posibles raíces racionales son los factores del término constante 5: ±1 y ±5. Se comprue-ba que – 5 es una raíz y la ecuación cuadrática resultante es x2 + 4x + 1 = 0 , de raíces: ; por tanto las raíces de la ecua-ción cúbica son:

EL MÉTODO DE RUFFINI

3 + 6 i , 3 6 i .x = x =

1 2 33, 3 + 6 i , 3 6 i .x = x = x = . 1 2 3= 5, = 2 + 3, = 2 3 x x x

2 3 y 2 3

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ABACOM Boletín Matemático

Para entender qué son y cómo actúan las sustancias antioxidantes es necesa-rio conocer algunas cosas previamen-te.

La respiración celular consiste, básica-mente, y en una visión muy general, en transportar electrones, que estaban en los alimentos, hasta el Oxigeno, que es un átomo con una gran capaci-dad para atraerlos (alta electronegati-vidad). En ese transporte se van gene-rando moléculas que almacenan ener-gía, la que se usará cuando sea nece-sario.

Junto con la producción de energía se producen sustancias intermedias que tienen unos o más átomos desestabili-zados porque tienen electrones des-apareados en su última capa, a estas sustancias se les llama radicales. És-tos se estabilizarán sólo si son capaces de incorporar el electrón que les falta; debido a esto son oxidantes, es decir,

oxidan, o quitan electrones, a otras moléculas, para estabilizarse.

En los organismos vivos existen meca-nismos, generalmente enzimáticos, para estabilizar estas sustancias oxi-dantes, a veces estos mecanismos pueden fallar, o su acción puede estar disminuida, por problemas en su fabri-cación, derivados de dieta insuficiente,

Cuando estos oxidantes no son neutra-lizados y quedan libres dentro del or-ganismo (“radicales libres”) buscarán hacerse de un electrón rápidamente y, debido a esto, pueden desestabilizar estructuras tales como proteínas, membranas, ácidos nucleicos (DNA, RNA) provocando serios problemas de salud si no son controlados.

Hay alimentos que contienen sustan-cias capaces de ayudar a estabilizar estos radicales libres, se les llama anti-oxidantes, son principalmente minera-les como Fierro, Cobre, Cinc, Manga-neso. Se encuentran principalmente en carnes rojas, vegetales, huevos, le-gumbres, verduras, frutas, cacao (chocolate) y maní.

Bibliografía:

http://www.portalantioxidantes.com/antioxidantes/

A B A Q U I M

¿QUÉ SON LOS ANTIOXIDANTES?

El Avión El sueño de volar se remonta a épocas remo-tas. Ya en el siglo XV Leonardo da Vinci había diseñado una máquina voladora. Otros apa-ratos lograron volar, como globos o zepeli-nes, pero el primer avión propiamente tal no surgió sino hasta 1890. El 9 de Octubre de ese año, el ingeniero francés Clément Ader logró despegar y hacer volar una distancia de 50 metros un avión denominado Ecole. Pos-teriormente mejoraría su invento hasta hacer volar por 300 metros el Avión III, en 1897. Pero según la Fédéreration Aéronautique Internationale, el 17 de Octubre de 1903, los hermanos estadounidenses Wilbur y Orville Wright realizaron el primer vuelo, sostenido y controlado, de un apa-rato impulsado por un motor. Unos años más tarde, en 1906, el brasi-leño Santos Dumont fue el primer hombre en volar a bordo de un avión impulsado por un motor aeronáutico.

El Teléfono En 1876 el inventor escocés nacionalizado estadounidense Alexander Graham Bell logró patentar, una horas antes que su compatriota Elis-ha Gray, el primer teléfono capaz de trasmitir y recibir la voz humana.

Sin embargo, en 1857, el inventor italiano Antonio Meucci había construido un telé-fono para conectar su oficina, ubicada en el sótano de su casa, con el dormitorio, debido al reumatismo de su esposa, pero no contaba con el dinero suficiente para pagar la patente de su invento. En 2002 el Congreso de Estados Unidos reco-noció el trabajo de Meucci, declarándolo co-mo el inventor del teléfono en desmedro de Graham Bell.

La Televisión En 1924 el inventor escocés John Logie Baird logró la trasmisión de imágenes mediante un

aparato de su invención, claro que la imagen carecía de nitidez, pues sólo constaba de 25 líneas. En 1928 logró llevar una imagen desde Londres hasta Nueva York, a través de señales de radio, mejorando la resolución a 240 líneas. En 1936, mediante su apoyo, los berlineses pudieron ver imágenes de los eventos de las Olimpíadas de ese año. En 1937 la BBC logró mejorar notoriamente el invento y así ha seguido mejorando hasta nuestros días, en que cada vez aparecen aparatos con mejor resolución y con pantallas más grandes.

Veremos, en esta ocasión, inventos que surgieron a fines de siglo XIX y comienzos del siglo XX. Todos ellos tuvieron un lento inicio hasta llegar a perfeccionarse y, en la actualidad, no nos imaginaríamos la vida sin ellos.

Patricio Ruiz-Tagle Correa

La evidencia científica indica que, más allá de las promesas de retardar el en-

vejecimiento, los antioxidantes juegan un importante rol en la prevención de

enfermedades tales como: cardiovasculares, tumorales y neurodegenerativas.

Se les conoce como “moléculas cuyo consumo es sinónimo de salud”.

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¿Sabías que?...

… un año es el período de tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta alrededor del sol y aproximadamen-te consiste en 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 se-gundos, o sea 365 días y un cuarto menos 11 minutos y 14 segundos. Normalmente se redondea diciendo que dura 365 días y un cuarto. Esa cuarta parte de un día se va acumulando, de forma que cada cuatro años se añade un día más al año, el 29 de Febrero, llamán-dose año bisiesto. Como es menos de un cuarto, algu-nos años que deberían ser bisiestos no lo son, y estos son los años múltiplos de 100, excepto que sean múl-tiplos de 400, los que sí son bisiestos (por ejemplo el año 2000 fue bisiesto, pero el 2100 no lo será).

????? … en 1582 se eliminaron 10 días del calendario, pa-sando del jueves 4 de Octubre de 1582 al viernes 15 de Octubre de 1582. El objetivo que se perseguía era que el equinoccio de primavera del hemisferio norte cayera el 21 de Marzo. En el primer concilio ecuméni-co de la Iglesia, celebrado en el año 325 quedó esta-blecido que la primavera comenzaba en esa fecha. Se había desplazado porque la duración media del año, según el calendario que se usaba hasta ese entonces, difería un poco de la duración real del año.

????? … se cree que el calendario gregoriano, que se usa en casi todo el mundo, tiene un error de 4 años. Proba-blemente el culpable sea un monje escita del siglo VI llamado Dionisio el Exiguo, también conocido como el pequeño Dionisio (se supone que por su estatura). Este fraile realizó los cálculos en los que se basó la reforma gregoriana (hecha en 1582). Para actualizar el sistema implantado en tiempos de Julio César, to-mó como punto de partida el nacimiento de Jesús, pero lo ubicó en el 753 de la fundación de Roma, en vez de en el 749. Así tenemos que “Cristo nació en el año 4 antes de Cristo”.

????? … el actual siglo XXI comenzó el día 1 de Enero de 2001 y no como se cree erróneamente el 1 de Enero de 2000. Esto debido a que el siglo I d.C. se completó el 31 de Diciembre del año 100 y por tanto el siglo XX finalizó el 31 de Diciembre de 2000. Tan extendida estaba esta creencia errada, que en los Juegos Olímpicos de Sydney en el año 2000, el presi-dente del Comité Olímpico de la época, Juan Antonio Samaranch, declaró que “serán los primeros Juegos Olímpicos del Siglo XXI”.

¿QUÉ ES UNA LÍNEA RECTA?

Siendo la línea recta uno de los elementos más simples en Geo-metría, nos resulta difícil dar una definición de ella. Para una circunferencia, por ejemplo, no hay problemas en definirla: es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a una distancia fija (radio) de un punto fijo (centro); pero definir una recta no es tan sencillo. En la obra Los Elementos de Euclides encontramos las defini-ciones: La línea es una cantidad solamente larga, es decir, sin ancho ni espesor. La línea recta es la que corre en forma direc-ta de un extremo a otro sin desviarse para ningún lado. Esta definición es, evidentemente, imprecisa y ambigua. Arquímedes decía que … la recta es la distancia más corta en-tre dos puntos. Esta definición, que fue avalada por Legendre, cae en un círculo vicioso, pues no se puede dar el concepto de distancia independiente del concepto de recta. Leibniz da una definición basada en el movimiento: Una recta es la línea que permanece inmóvil cuando gira en torno a dos pun-tos fijos. También da la definición siguiente: Recta es la línea que divide al plano en dos partes que coinciden por superposi-ción. Esta última definición no es precisa pues existen otras líneas que cumplen con esta condición. Así, vemos que algunos conceptos muy usados y cotidianos, presentan gran dificultad al tratar de definirlos.

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RÉCORD DEFINITIVO EN 100

METROS PLANOS

En cada campeonato de atletismo, ya sea Panamericanos, Olimpíadas o Mundial, observamos que se baten muchos ré-cords. Así es como en la carrera de los 100 metros planos, una de las más apasionantes, cada vez se va rebajando el récord; durante muchos años no se podía bajar de 9,9 segun-dos, pero actualmente Usain Bolt ostenta el récord de 9,58 segundos para esta prueba. Las preguntas que surgen son, ¿se seguirá bajando de esta marca? y si es así, ¿hasta qué registro se podría llegar? El matemático holandés John Einmahl, de la Universidad de Tilburg, apoyándose en la Teoría de los Valores Extremos y en proyecciones estadísticas, ha calculado que el récord defi-nitivo para la carrera de los 100 metros planos es de 9,29 se-gundos. Para esto usó las mejores marcas de 1.546 atletas de élite y con la ayuda de un computador y elaborados cálcu-los matemáticos llegó a esta conclusión.

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ABACOM Boletín Matemático

El factorial de un número entero positivo n, que se define como el producto de los números desde 1 hasta el número n, se expresa n!, es decir se usa un signo de exclamación. ¿Por qué será? Veamos los factoriales de algunos números: 1! = 1; 2! = 1x2 = 2; 3! = 1x2x3 = 6; 4! = 1x2x3x4 = 24, etc.

Si avanzamos un poco más obtene-mos que: 9! = 362.880. Como se ve, los factoriales aumentan rápida-mente a medida que n crece. Si nos preguntamos cómo escribir un número muy grande usando una sola cifra, el factorial nos ayuda a encontrar una respuesta: (9!)!. Es decir el factorial del número 362.880, que es un número inmen-samente grande (si se pretende cal-cular con una calculadora científi-ca, común y corriente, el resultado excede su memoria y arroja Math ERROR).

Este número que se ve insignificante, y que fue escrito con una sola cifra – el 9 – si calculásemos su valor y quisiéramos escribirlo con caracteres de tamaño normal tendría cerca de ... ¡140 kilómetros de largo! Como para escribirlo con signo de exclamación.

SONRIENDO EN

LA SALA DE CLASES

La profesora de Matemáticas pregunta a Pedrito: – ¿Cuál es la diferencia entre 12 y 9? – Que uno de los números es más grande que el otro,

señorita.

– A ver Pepita, si 1 + 1 es 2 y 2 + 2 es 4, ¿cuánto es

4 + 4? – ¡Ah, es injusto! Ud. responde las más fáciles y me

pregunta la difícil a mí.

– Ya niños, respóndanme, todos juntos, ¿cuánto es 6

por 8? – “Todos juntos”.

El profesor pregunta a un alumno: – ¿Cuál es la diferencia entre “ignorancia” e

“indiferencia”? A lo que el alumno responde: – No lo sé y no me interesa.

En clase de Lenguaje: – A ver Juanito, dígame dos pronombres. – ¿Quién?, ¿Yo? – Perfecto, tienes un siete.

La profesora en clase de Geografía: – A ver Rosita, ubica en ese mapa dónde está Améri-

ca. La niña se para, va al mapa y la indica. – Muy bien – le dice la profesora –. Y tú Jaimito,

dime ¿quién descubrió América? – Rosita, señorita . . .

En clase de Química: – Señorita, ¿sabía Ud. que el potasio es el elemento

más racista de la Tabla Periódica? – No, ¿por qué? – Porque si juntan a tres de ellos forman el KKK . . .

– Pero niño por Dios, ¡cómo escribes lluvia con acen-

to! – exclama la profesora de Lenguaje. – Señorita, en la televisión dijeron que así se escribía. – No puede ser, debes estar equivocado. ¿En qué pro-

grama lo dijeron? – En el Informe Meteorológico, dijeron que en este

invierno las lluvias se acentuarían . . .

RELATIVIDAD

Si todos los objetos de nuestro uni-verso fuesen, simultáneamente, agrandados o achicados en una cierta proporción, no podríamos diferenciar este nuevo universo del antiguo. Como dijera el escritor francés Ana-tole France: “Las cosas en sí mis-mas no son grandes ni pequeñas, y cuando decimos que el universo es vasto, esta es una idea puramente humana”

BUENO . . . QUERÍAS UN GENIO, ¿NO?

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oticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNotici

Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

Ya está aquí el Quinto Concurso de Bandas Escolares 2015 Un año más, la carrera de Ingeniería Civil Acústica de la Univer-sidad Austral de Chile invita a los estudiantes secundarios de todo es país a la quinta versión del Concurso de Bandas Escola-res. Los ganadores podrán grabar dos canciones originales en estudio profesional. El concurso está dirigido a bandas y solistas de todo Chile, que sean estudiantes regulares de enseñanza media y que posean algún demo canción inédita de su propia autoría. El premio para el primer lugar consiste en la grabación de dos canciones origi-nales en el estudio profesional del Instituto de Acústica de la UACh, el que incluye 30 horas de grabación con productor musi-cal a cargo, ingeniero de grabación y asistente; 10 horas de mez-cla y 5 horas de masterización. Si la(las) o el(los) ganador(es) no reside(n) en la Región de Los Ríos, el premio incluirá el traslado desde la ciudad de origen a Valdivia, además de alojamiento para todas(os) las(los) integrantes de la banda. Por su parte el premio del segundo lugar consiste en un pack de grabación que incluye interfaz, audífonos, micrófono de conden-sador y software de grabación. Y por último, para el tercer lugar el premio es un interfaz de audio. Cabe mencionar que el plazo de inscripción es hasta el 30 de septiembre del presente año y las bases se encuentran en www.acusticauach.cl

¡Chile está en DICOM! De Arica a Punta Arenas, Chile ha ingresado por primera vez al grupo de países endeudados ecológicamente. Así lo informó la ONG WWF, en el mes de agosto, tras dar a conocer un informe que advierte que la humanidad comenzó a vivir a crédito frente a la naturaleza, consumiendo los recursos que son herencia para las próximas generaciones.

El informe elaborado por Red Global de la Huella Ecológica, socio de WWF, manifiesta que por primera vez el largo y angosto Chile sobrepasa sus propios límites ecológicos, planteándose que sería necesario 1.1 Chiles para sostener el consumo y la demanda actual del país en un año. Lo que nos deja sin crédito y en DI-COM. Por su parte, el mundo requiere de 1.5 planetas tierra para producir los recursos ecológicos renovables necesarios para sustentar la huella actual de los seres humanos. Ricardo Bosshard, director de WWF Chile, comentó a los medios que “como país se nos acabarían los recursos el próximo 28 de noviembre, algo que no obstante en la práctica no notamos di-rectamente, ya que comenzamos a cubrir nuestra demanda con un consumo no sustentable de recursos. Se trata de una deuda ecológica que es evidente por los niveles de emisiones de CO2

generados en el mundo, pérdida de biodiversidad, escasez de agua, desertificación, erosión del suelo, colapso de pesquerías y el impacto del cambio climático” señaló. El panorama no parece alentador, sin embargo, para generar un cambio positivo se propone que las energías renovables sean el centro de la matriz eléctrica, que se reduzca el uso de energía fósil en el transporte, que se determinen más áreas protegidas marinas y terrestres y que se logren proyectos de desarrollo compatibles con la biodiversidad hasta llegar a un consumo de recursos más sustentable por parte de la comunidad.

En este 18 de septiembre, nos echamos una paya, tanto es así gancho, que has-ta los números visten con chupalla Nos ponemos menos payeros porque se descubrió que nuevos modelos matemáticos son un aporte a las viñas. Reajustar la carga de racimos que se deja en la planta para conseguir una mejor maduración, así como optimizar la gestión de los recur-sos en la bodega, son algunos de los beneficios que se conse-guirían si se pudiera predecir con exactitud una cosecha.

Actualmente hay pocos modelos, validados estadísticamente, capaces de predecir el rendimiento de un viñedo. Esto se debe a las dificultades dinámicas que presentan factores como el clima, región, condiciones de suelo, variedad, patrón, heterogeneidad o dimensión de la plantación. Por ende, es común que se regis-tren variaciones, haciendo difícil la predicción. Sin embargo, investigadores han estudiado y comparado diver-sos modelos de predicción de cosecha para estimar rendimien-tos en diferentes momentos, durante el ciclo de vida en los viñe-dos. Para ello, seleccionaron 14 parcelas de un viñedo de más de 700 hectáreas de superficie total, realizando predicciones en tres momentos diferentes del ciclo de las frutas. De esta manera, con dichos datos se elaboraron ecuaciones de predicción, las cuales arrojaron que el estudio representa un avance importante para los viticultores, ya que ofrecen modelos matemáticos que pueden ser utilizados en diferentes momentos del ciclo de vida para analizar rendimiento y antelación en bode-ga, lo cual mejora la gestión y así mismo proporcionará un stock considerable cada vez que tengamos que gritar ¡Viva Chile mmmier-coles!