ECUACIONES

Jaime Mayhuay CastroInstructor

PROBLEMA 1

1.- ¿Cuál es el número que aumentado en 72 nos da 128?

x: el numero buscado x+72 = 128 x = 56

2.- Halla el número que disminuido en 19 da como resultado 313

x: el numero buscado x - 19 = 313 x = 332

x = 56x = 332

PROBLEMAS

3.- Calcula el número, cuyo triple disminuido en 7 unidades resulta 326

4.- Halla el número cuyo duplo aumentado en su mitad da como resultado 90

x: el numero buscado

3x – 7 = 326 x= 111

x: el numero buscado

902

2 xx

multiplicando todo por 2 4x+ x = 180 x= 36

x= 111

x= 36

PROBLEMAS

5.- El triple de la edad de José, aumentado en un año, es igual al duplo de su edad, aumentada en 13 años, ¿Cuál será la edad de José dentro de 13 años?

6.- La suma de dos números es 300 y su diferencia 42, ¿Cuál es el número mayor?

x: edad de José3x + 1 = 2x +13 x = 12Edad dentro de 13 años 25 años

Sean los números x; yx + y = 300x - y = 42 Resolviendo por Reducción x= 171 ( Mayor)

Rpta: 25 años

El mayor 171

PROBLEMAS

7.- Entre Juan y Jorge tienen $ 2500; si Jorge tiene $ 700 menos que Juan, ¿Qué cantidad tiene Jorge?

8.- Calcula un número cuya tercera parte aumentada en 2, exceda en 1 a la suma de la quinta y la sexta parte del número.

Juan x; Jorge : x -700Sumando x + x - 700 = 2500 x= 1600Jorge : 1600-700 = 900 dólares.

x: el numero buscado

165

23

xxx 1

3011

36

xx

190

3318030 xx 30xJorge tiene 900 dólares

El numero es 30

PROBLEMAS

9.- ¿Cuál es será el triple de la mitad del número cuya cuarta parte sumada con su setima parte resulte 11.

10.- ¿Cuál es la tercera parte de un numero cuyo triple de su inversa, aumentado en 11/12, resulta igual a la unidad?

x: el número;

Me piden:

x/4 +x/7 = 11

23x

28

112811

1174

x

x

xx Busco : x/3

1213121113

11211)1(3

x

x

x x = 36

3(28:2) = 42

Me piden.36: 3 = 12

PROBLEMAS11.- No recuerdo cuantos caramelos tenía, sólo sé que luego de comerme el doble de la quinta parte, más 7 me quedan 11¿Cuántos caramelos tenía?

12.- Divide 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20. Hallar la primera.

Nro de caramelos: x; Come: 2(x/5) +7 Quedan 11

5318

5218

11752

x

xx

xx

Rpta: 30

1ra parte: x; 2da parte: 2x; 3ra parte: 3x -20 x +2x +3x-20 = 196 x = 36la 1ra parte es 36

Rpta: 36

PROBLEMAS13.- Seis personas iban a comprar una casa contribuyendo en partes iguales pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner $200 más. ¿Cuál era el valor de la casa?

14.- El largo de un buque, que es 461 pies excede en 11 pies a 9 veces el ancho. Hallar el ancho.

Valor de casa: T Cada uno aporta ; CASO 1 T = 6x;CASO 2 T = 4( x +200); Igualando: 6x = 4( x +200) x=$ 400;Precio de la casa T = $ 2400

Rpta: $ 2 400

Ancho del buque : xLargo : 461 , excede es diferencia461 - 9x = 11 x = 50 pies

Rpta: 50 pies

PROBLEMAS

15.- Un hacendado compro 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le hubiera costado $10 menos ¿Cuánto le costó cada caballo?

16.- El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número.

CASO 1 CASO 2Nro de caballos : 35 40Precio de c/caballo: x X-10DINERO : 35x 40(x-10)

Igualo: 35x = 40 (x-10) x= 80 Rpta:$ 80

El numero : x3 x – 55 = 233 – x x= 72

Rpta:72

PROBLEMA17.- Halla el mayor de tres números consecutivos, tales que el duplo del menor más el triple del mediano más el cuádruple del mayor equivalga a 740.

18.- Halla dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triple de su diferencia.

Menor :x ; Mediano: x+1; Mayor : x+ 2 2 x +3(x +1)+4(x+2) = 740 Resolviendo x= 81El mayor: x+2 = 83

Rpta: 83

Sean los números x; y x - y = 18 x + y = 3(18)Tenemos:x + y =54 x - y = 18 x= 36 y=18

Rpta: 36 y 18

PROBLEMAS

19.- Halla el triple de un número que aumentado en sus 5/6 equivale a su triple disminuido en 7.

20.- Después de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40 m. ¿Cuál era la longitud de la pieza?

El número: x ; Me piden: 3x x + 5x/6 = 3x - 7 Multiplico Por 6 6x + 5x= 18x -42Resolviendo. x= 6

Vendo : 3/5Queda: 2/5 2T/5 = 40 T = 100 m

Me piden: 3(6) = 18

La longitud: 100 m

PROBLEMAS

21.- Halla el número cuyos 7/8 exceden a sus 4/5 en 3.

22.- Halla dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4.

El número: x

354

87 xx

40

3403235

x

xx

Mayor : xMenor: x+ 1

2420544

45)1(4

xxx

xx

Mayor : 24Menor: 25

El número 40

PROBLEMAS23.- La suma de dos números es 59, si el mayor se divide entre el menor el cociente es 2 y el residuo 5. Halla los números.

24.- La suma de dos números es 436, y si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo 73. Halla los números.

Sean los números x; y x + y = 59 (1)x / y. se obtiene C= 2 ; R= 5Algoritmo de la división: x = 2y + 5 (2)(2) Reemplazo en (1)2y + 5 +y = 59 y = 18; x= 41

Sean los números x; y x + y = 436 (1)x / y. se obtiene C= 2 ; R= 73Por el algoritmo de la division x = 2y +73 (2)(2) Reemplazo en (1) 2y + 73 + y = 436 y =121; x=315Los números : 18 y 41

Los números: 121; 315

PROBLEMAS25.- En tres días un hombre gano $175. Si cada día gano la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿Cuánto gano cada día?

26.- Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que me quedó, tengo 21 soles, ¿Cuánto tenía al comienzo?

1er día: x;2do día: x / 2; 3er día : x /4 x + x/2 + x/4 = 175 Multiplico por 44x+ 2x+ x= 700 x= 100Gano 100, 50 , 25

Tenía : x; gasto : x/2; Quedo : x/2Presto : x/4 Quedo : x/4 x/4= 21 x=84

Rpta: 100, 50 , 25

Tenia: 84 soles

PROBLEMAS27.- Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 3 /4 del resto son gallinas y las cuatro aves restantes son gallos, ¿Cuántas aves hay en la granja?

28.- Cinco veces, un número disminuido en uno, mas tres equivale a 4 veces, el mismo número aumentado en seis, menos siete. Halla el número disminuido en ocho.

El numero : x5(x-1) +3 = 4( x+ 6) -7Resolviendo: x= 19

El número de aves : x Palomas: 4x/5 El resto : x/5Gallinas: 3/ 4( x/5) = 3x/20Gallos : 4

80

41001580

4203

54

x

xxx

xxxTotal de aves

80 El numero 19

PROBLEMAS29.- El quíntuplo de un número, disminuido en uno; representa al cuádruple de ese número, aumentado en siete. Halla el número aumentado en dos.

30.- Halla un numero sabiendo que el cuádruple de ese número, disminuido en nueve, equivales al doble de ese número, mas quince.

El número : x 5x -1 = 4 x +7Resolviendo x= 8Numero buscado: 10

El Número: x4x - 9 =2 x + 15 x= 12Número buscado: 12

Número es: 10

Número es: 12

PROBLEMAS

31.- la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 424. Halla el mayor de ellos.

32.- Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/120 .¿Cuánto tengo?

Números impares consecutivos:El menor : x ; El mayor : x+2(x+2) 2 – x 2 = 424 desarrollando x 2 + 4x + 4 – x 2 = 424resolviendo x= 105El mayor es 107

Tengo : xx 2 – 2x =120 x(x- 2)= 120Resolviendo:x= 12 soles

El mayor es 107

Tengo 12 soles

PROBLEMAS33.- Dos números son consecutivos, tal que la tercera parte del mayor excede en 15 a la quinta parte del menor. El número mayor es:

34.- Se tiene dos números consecutivos, cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. El consecutivo de la suma de los números es:Números consecutivos:

Menor: xMayor : x+1

El mayor es 111

110

1515

355

1553

1

x

xx

xx

Números consecutivos: Menor= x Mayor= x+1

812

420312

3)1(5

41

x

xxx

xxxxRpta:

18

PROBLEMAS35.- A una iglesia asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. El número de hombres es el quíntuplo de las mujeres y el de mujeres es el triple que el de niños. ¿Cuántos hombres hay?

36.- ¿Cuánto mide el largo de un rectángulo de 30 cm. de ancho, tal que al quitarle 2 cm en ambas direcciones su área disminuye en 196 cm2?

Hombres. H = 15x Mujeres: M =3x Niños: N = x 15x +3x + x= 399 Resolviendo. x= 21Nro de hombres : 15(21) = 315.

Largo ; l = ¿?a= 30; su área = 30 x l se disminuyen 2 cml= x – 2; a = 2830 x – 28(x-2) = 196; x= 70

Nro de hombres 315.Largo mide : 70 cm

PROBLEMAS37.- La tercera parte y la cuarta parte de una canasta de frutas son naranjas y manzanas respectivamente. Halla el número de frutas que contiene la canasta si la suma de naranjas y manzanas es 21.

38.- Con S/ 1296 se han comprado igual número de vasos de tres clases distintas; siendo los precios respectivamente de cada clase de vaso 7,8 y 12 soles. ¿Cuántas docenas se compraron?

Nro de vasos: x7x + 8 x +12 x = 1296 x=48Nro de docenas. 48 : 12 = 44 docenas

Nro de frutas en la canasta: x

36

21127

2143

x

x

xx

Nro de frutas 36

Nro de docenas 4

PROBLEMAS39.- Manuel compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 m. Diego compra un tercio del mismo rolo más 4 m por lo cual recibe 8m menos que Manuel. ¿Cuántos metros compro Manuel?

40.- Un niño tenía 20 bolas, unas rojas y otras azules, Si se pierde 4 bolas de cada color, entonces el triple del número de bolas azules equivaldría al número de las bolas rojas. ¿Cuántas bolas rojas tenia?

Rojas = x;Azules = 20 – xPierde 4 bolas de cada colorRojas = x - 4; Azules = 20 – x – 4= 16-x3( 16- x) = x- 4 x=13

Manuel = x/2 -12; Diego : x/ 3 + 4

144

8)312(

224

8)43(12

2

x

xx

xx

Manuel compra: 60 Bolas rojas : 13

PROBLEMAS41.- Dos personas tienen S/3680 y S/2560 respectivamente, Los dos gastan la misma cantidad de dinero, de tal manera que lo que le queda a la primera es el triple de lo le queda a la segunda ¿Cuánto gasto cada una?

42.- Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta 1200 soles. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra?

Gastan la misma cantidad = x;3680 – x= 3( 2560 – x) Resolviendo x= 2000

Gasto cada uno S/2000

Nro de personas= x;Paga cada persona = x + 194x( x+194) = 1200, resolviendo la ecuación por método Del aspa x= 6

Nro de personas: 6

PROBLEMAS43.- En una granja se tiene pavos, gallinas y patos. Sin contar las gallinas se tiene 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves y sin contar los patos tenemos 4 aves. Luego el número de pavos es.

44.- Un número es el cuádruplo de otro, si se aumenta cada uno 6 el producto aumenta 456, calcula dichos números y dar como respuesta la suma de ellos.

Nro de pavos: x; Nro de gallinas: y Nro de patos: z x + z = 5y + z = 7x + y = 4Resolviendo:x = 1; y= 3; z= 4

Nro de pavos:

1

Nro = 4x; El otro = x; El Producto = 4x2 (4x+6)(x+6) - 4x2 = 456; Resolviendo x= 14El otro = 14; el numero= 56.

La suma 70

PROBLEMAS45.- Una caja contiene 2240m soles en billetes de 20 y 100 soles hay doble número de los primeros que de los segundos billetes. ¿Cuántos hay de cada clase?

46.- Una caja de lápices contiene una tercera parte más de lápices que una segunda caja. Si esta última tiene 3 lápices menos ¿Cuántos lápices tendrá la primera caja?

Billetes S/20= 2x; billetes de S/100= x2x(20) + x( 100) = 2240; Resolviendox= 16De S/ 20 son 32.De S/ 100 = 16

1ra caja= x + x/3= 4x/3; 2da caja= x

De S/ 20 son 32. y de S/ 100 = 16

La 1ra cajatiene 12

9

3334

334

x

xx

xx

PROBLEMAS47.- Alberto tiene dos veces más que lo que tiene Juan, Si albero le da S/15 a Juan entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tenían entre los dos?

48.- Un número excede al 5, como el 13 excede al número. ¿Cuál es el número?

Alberto =3x ( dos veces mas) Juan = x 3x -15 = x + 15 Resolviendo x=15Los dos tienen 4( 15) = 60

El numero : xx – 5 =13 – xResolviendo: x = 9

Los dos tendrían S/ 60

El número es 9

PROBLEMAS

49.- Disminuyendo el doble de un numero de 25, se obtiene 1 ¿Cuál es el numero?

50.- Disminuyendo el doble de un numero en 25 se obtiene 1 ¿Cuál es el numero?

El numero :x25 - 2x = 1;Resolviendo x =12

El numero : x2x - 25 = 1;Resolviendo x =13

El número es 12 El número es 13

PROBLEMAS51.- Se tenía 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si retiran 4 niños, los restantes reciben 5 caramelos más. ¿Cuántos niños había inicialmente?

52.- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, mas S/10, si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles más de lo que yo tengo. ¿Cuánto me quedaría si comprara un artículo que cuesta la cuarta parte de lo que no gastaría?

CASO 1 CASO 2 Número de niños: x x-4Cada /uno recibe: y y+5Total xy = 400; (x-4)(y+5) = 400 Resolviendo y2+5y -2000= 0 y= 20 y x = 16

Nro de niños 16

Yo =3x/2 + 10 Tu = x ……………………. Tu = 2x2x – (3x/2+10) = 5 x = 30Yo tengo = 55Gasto: x No gasto : 55 – x x= (55- x)/4 x= 11Le queda = S/44

Me queda S/44

PROBLEMAS

53.- Un regalo envuelto cuesta S/13 y sin envolver cuesta S/.11 más de lo que cobran por envolverlo ¿Cuánto cobran por envolverlo?

54. En un corral hay 13 animales entre conejo y gallinas si tienen 42 patas ¿Cuántos conejos hay?

R= Precio del regalo E= envolverloR + E =13 ( regalo envuelto )R – E = 11 resolviendoR = 12 E= 1

Animales Patas Conejos = x 4gallinas = y 2x + y = 134x + 2y = 42; Resolviendo x= 8 conejos

Por envolverlo es S/ 1 Hay 8 conejos

PROBLEMAS

55.-En un taller hay 25 vehículos entre autos y motos. Si se tienen 70 ruedas en total ¿Cuánto autos hay?

56.-Si Juan recibe 5 soles tendría el doble que si hubiera gastado 5 soles ¿Cuánto tiene Juan?

Vehículos Ruedas Autos = x 4 motos = y 2x + y = 254x + 2y = 42; resolviendox= 10 autos

Juan tiene = xRecibe S/5 = x+5Hubiera gastado : x-5x + 5 = 2( x – 5); resolviendox= 15

Numero de autos 10Juan tiene S/ 15

PROBLEMAS

57.- Un alambre de 28 m se cortan en tres partes tal que cada parte es el doble del anterior. ¿Cuánto mide la parte mayor?

58.- La suma de dos números es 36 si uno de ellos es el doble del otro ¿Cuál es el mayor de estos números?

1ra parte = x; 2da= 2x; 3ra= 4x x +2x+4x = 28; x= 4; el mayor = 16

Nro = x;El otro = 2x; x + 2x = 36; x= 12; el mayor es 24

El mayor = 16 El mayor es 24

PROBLEMAS59.- Hugo, Paco, y Luis recibieron cierta cantidad de dinero cada uno. Hugo recibió el doble de Paco y este S/12 más que Luis. Si entre los tres han recibido S/ 60. ¿Cuánto ha recibido Paco?

60.- La suma de dos cifras de un número es 9 si cambiamos el orden de las cifras el nuevo número excede al anterior en 9 unidades ¿Cuál es el numero?

Luis = x Paco= x+ 12Hugo =2(x+ 12); 2(x+12) +x+12+ x= 60; x = 6; Paco= 6 + 12 = 18

El número = ab; cambiamos el orden ba la suma: b + a = 9 … (1)ba – ab = 9descoponiendo10 b+a -10a – b=9; 9 b - 9a=9; b – a= 1 …..(2)Resolviendo (1) y (2)b = 5; a= 4

Paco recibe S/ 18El número es 45

PROBLEMAS61.- En un corral hay conejos y gallinas en total hay 35 cabeza y 100 patas ¿Cuántos conejos y gallinas Hay?

62.- La suma de dos cifras de un número es 16. Si cambiamos el orden de sus cifras el número obtenido excede al anterior en 18 unidades. ¿Cuál es el número? PATAS

Conejos = x 4 gallinas = y 2PLANTEANDOx + y = 354x + 2y = 100Resolviendo:

x=15 conejos; y = 20 gallinas

El número : ab; cambio el orden : bala suma: a + b = 16 (1)ba – ab = 18 Descomponiendo 10 b+a -10a – b=18; 9 b - 9a=18; simplifico b – a= 2 (2) De (1) y (2) a = 9; b=7. El numero 97

15 conejos; 20 gallinasEl numero 97

PROBLEMAS 63.- En un corral hay oveja y patos, en total hay 225 cabezas y 810 patas ¿Cuantas ovejas y patos hay?

64.- La suma de dos cifras de un número es 12. Si cambiamos el orden de sus cifras el nuevo número obtenido excede al anterior en 36 unidades. ¿Cuál es el número?

PatasNro de ovejas = x …… 4Nro de patos = y …… 2 x + y = 2254x + 2y = 810Resolviendo por reducción

x=180 ovejas; y = 45 patos

El número: ab; cambiando su orden: ba la suma de cifras: a + b = 12 ……. (1) ba – ab = 36 Descomposición 10 b + a -10a – b=36; 9 b - 9a=36; b – a = 4 ……… (2)Resolviendo (1) y (2)b = 8; a=4, el número es 48

180 ovejas; 45 patosel número es 48

PROBLEMAS65.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

Habitaciones Nro de camas dobles = x, 2 sencillas = y 1 x + y = 50 2x + y = 87 Resolviendo x=37 dobles; y = 13 sencillas

MUCHAS GRACIAS

x=37 dobles; y = 13 sencillas