Ecuaciones No Lineales

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Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado . La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado . y = 7 − x Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x 2 + (7 − x) 2 = 25 Se resuelve la ecuación resultante. x 2 + 49 − 14x + x 2 = 25 2x 2 − 14x + 24 = 0 x 2 − 7x + 12 = 0

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Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuandoal menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por elmtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:1Sedespeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente enla de primer grado.y = 7 x2Se sustituyeel valor de la incgnita despejadaen la otra ecuacin.x2+ (7 x)2= 253Se resuelve la ecuacinresultante.x2+ 49 14x + x2= 252x2 14x + 24 = 0x2 7x + 12 = 0

4Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.x = 3y = 7 3y = 4x = 4y = 7 4y = 3EJERCICIOS

1

y = 7 xx2+ (7 x)2= 25x2+ 49 14x + x2= 252x2 14x + 24 = 0x2 7x + 12 = 0

x = 3y = 7 3y = 4x = 4y = 7 4y = 3

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3

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5

6El producto de dos nmeros es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cules son esos nmeros?El producto de dos nmeros es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cules son esos nmeros?

7Halla una fraccin equivalente acuyos trminos elevados al cuadrado sumen 1184Halla una fraccin equivalente acuyos trminos elevados al cuadrado sumen 1184.

8El producto de dos nmeros es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cules son esos nmeros?

El producto de dos nmeros es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cules son esos nmeros?

sistemas de ecuaciones no linealesEjercicios y problemas resueltos con solucin en vdeo

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

Ejercicio 1ver solucin

Ejercicio 2ver solucin

Ejercicio 3ver solucin

Ejercicio 4ver solucin

Ejercicio 5ver solucin

ECUACIONES LINEALESejercicios sistemas de ecuacionesEjercicios y problemas resueltos con solucin en vdeo

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

Ejercicio 1ver solucin

Ejercicio 2ver solucin

Ejercicio 3

Resuelve los siguientes sistemas no lineales con dos incgnitas:

Despejamos la variable x en la primera ecuacin:x + y = 10x = 10 - y

Sustituimos en la segunda ecuacin:x2+ y2= 68(10 - y)2+ y2= 68100 - 20y + y2+ y2= 682y2- 20y + 32 = 0

Simpificamos la ecuacin dividiendo entre 2 :y2- 10y + 16 = 0

Si y = 8x = 10 - y = 10 - 8 = 2Si y = 2x = 10 - y = 10 - 2 = 8

El sistema tiene dos soluciones:x1= 2 , y1= 8 ; x2= 8 , y2= 2

Despejamos la incgnitayde la primera ecuacin y sustituimos su valor en la segunda ecuacin:

x = 12 + 3y

(12 + 3y)2- y2= 7

144 + 72y + 9y2- y2= 7

8y2+ 72y + 137 = 0

A continuacin resolvemos la ecuacin de segundo grado:

Por ltimo sustituimosy1ey2en la primera ecuacin del sistema:

Por lo tanto las soluciones son:

En primer lugar desarrollamos la igualdad notable de la primera ecuacin:

Multiplicamos la segunda ecuacin por- 1y aplicamos el mtodo de reduccin:

Despejamos la incgnitayy la sustituimos en la segunda ecuacin del sistema:

Multiplicamos cada trmino de la expresin porx2:x4+ 3600 = 169x2x4- 169x2+ 3600 = 0Para resolver la ecuacin bicuadrada realizamos un cambio de variable:x2= tResolvemos la siguiente ecuacin de segundo grado:t2- 169t + 3600 = 0

Deshacemos el cambio de variable para hallar las soluciones parax:

Despejando la incgnitay:

Por lo tanto las soluciones del sistema son:

Resolvemos el sistema mediante el mtodo de sustitucin:x + y = 7y = 7 - x

Simplificamos la ecuacin dividiendo entre m.c.d.(7,49,84) = 77x2- 49x + 84 = 0x2- 7x + 12 = 0

Sustituimos los valores encontrados para calcular el valor de y :Si x = 4 , entonces:y = 7 - x = 7 - 4 = 3Si x = 3 , entonces:y = 7 - x = 7 - 3 = 4

Los nmeros pedidos son 3 y 4.

Despejamos la variable y de la segunda ecuacin:

Sustituimos en la primera ecuacin y resolvemos:x y = 1200x (3x) = 12003x2= 1200 x2= 400x = 20

Sustuimos el valor de x en la segunda ecuacin para hallar el valor de y :Six = 20y = 3x = 3 20 = 60

El sistema tiene una nica solucin:x = 20 , y = 60

Resolvemos el sistema mediante sustitucin.

Despejamos la variable y de la segunda ecuacin:x + y = 5x - 5y6y = 4xy=2x/3

Sustituimos en la primera ecuacin y resolvemos:

El sistema tiene dos soluciones:x = 0 e y = 0 ; x=5/2ey=5/3

Simplificamos ambas ecuaciones:xy/2 = 96xy = 192

x2+ y2= (x - y - 8)2x2+ y2= x2+ y2+ 64 + 2xy - 16x - 16y0 = 64 + 2xy - 16x - 16y16x + 16y - 2xy = 64

Comoxy = 192, la segunda ecuacin queda:16x + 16y - 2192 = 6416x + 16y - 384 = 6416x + 16y = 448x + y = 28

Resolvemos el sistema mediante sustitucin. Despejamos la variable x en la primera ecuacin y sustituimos en la segunda:xy = 192x = 192/y

Siy = 16x = 192/y = 12Siy = 12x = 192/y = 16La soluciones son: x1= 12 , y1= 16 ; x2= 16 , y2= 12

Resolvemos el sistema por el mtodo de sustitucin despejando la incgnita x de la segunda ecuacin:x - y = 1x = 1 + y

20x - 16y - xy = 2220(1 + y) - 16y - (1 + y)y = 2220 + 20y - 16y - y - y2= 22y2- 3y + 2 = 0

Siy = 2x = 1 + y = 3Siy = 1x = 1 + y = 2

El sistema tiene dos soluciones: x1= 3 , y1= 2 ; x2= 2 , y2= 1

Lo resolvemos mediante el mtodo de sustitucin.

Se trata de una ecuacin bicuadrtica. Para resolverla hacemos el cambio de variable:z = y2Nos queda una ecuacin de segundo grado:z2- 100z + 2304 = 0

Siz = 64z = y2y = z = 64 =8Siz = 36z = y2y = z = 36 =6

Sustituimos para calcular el valor de x en cada caso:Siy = 8x = 48/y = 48/8 =6

Siy = -8x = 48/y = 48/-8 =-6

Siy = 6x = 48/y = 48/6 =8

Siy = -6x = 48/y = 48/-6 =-8

El sistema tiene cuatro soluciones:x1= 6 , y1= 8 ; x2= -6 , y2= -8 ; x3= 8 , y3= 6 ; x4= -8 , y4= -6

Aplicamos el mtodo de igualacin despejando la variable y en ambas ecuaciones:

Igualamos ambos resultados:

Como x 0 , necesariamente:240x - 5760 = 0240x = 5760x = 24Six = 24y = 240/x = 10

La solucin del sistema es:x = 24 , y = 10

Resolvemos el sistema mediante sustitucin.Despejamos la variable x de la primera ecuacin:x + y = 25y = 25 - xSustituimos pory = 25 - xy resolvemos:

Aplicamos:m.c.m.(x, 25 - x , 6) = 6x(25 - x)

Six = 15y = 25 - x = 10Six = 10y = 25 - 10 = 15

Realizamos los siguientes cambios de variable:

De esta forma obtenemos el siguiente sistema:

A continuacin quitamos denominadores:

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales por el mtodo de reduccin:

Despejando la ecuacin resultante tenemos que:

z = 1/2

Sustituimos el valor dezpara calculart:

6t + 2z = 3

6t + 1 = 3

6t = 2

t = 1/3

Por ltimo tenemos que deshacer el cambio de variable:

Por lo tanto las soluciones son:

x = 3

y = 2