Ecuaciones MESH Para Una Etapa de Equilibrio

8/18/2019 Ecuaciones MESH Para Una Etapa de Equilibrio

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Calculo Riguroso de Destilación para una Torre deSeparación de Tres Componentes y Cinco Etapas

Maricarmen López Alvarez

Resumen.

La siguiente investigación consta dela realización de balancescompletos de materia y energía para una torre de destilación de

3 componentes y 5 etapas. Este balance se realiza por medio de

las ecuaciones MESH para obtener las temperaturas de las

etapas y del condensado, así como la composición dentro de la

columna, aciendo uso de !olymat ".#$ por medio del sistema

de Ecuaciones %o Lineales y de Matlab por medio de los

m&todos %LE' y (S)L*E+.

Introducción

Hasta 1950, los cálculos correspondientes a los problemas de rectifcación de

torres de destilación, tenían ue realizarse !a mano"# Aunue se disponía de

m$todos ri%urosos, eran di&íciles de aplicar#

'ara el dise(o fnal del euipo de etapa m)ltiple se reuiere una

determinación ri%urosa de la temperatura, la presión, los caudales *

composiciones de las corrientes * las velocidades de trans&erencia de calor

para cada etapa# +ada la elevada no linealidad de las ecuaciones ue

describen el proceso, es necesario resolver el problema %eneral por el uso de

procedimientos iterativos * los diversos m$todos diferen en la selección delconunto de variables independientes#

Los primeros intentos para la resolución de este problema era por medio de

sistema de ecuaciones &ormado por los balances de materia, las relaciones

de euilibrio, los sumatorios de &racciones molares * los balances de entalpía

estos balances son conocidos como ecuaciones M-.H#

Las ecuaciones M-.H /M balance de materia, - euilibrio, . sumatorio

de &racciones molares o másicas * H balance de entalpía se describen a

continuación#

Las ecuaciones M-.H para una etapa de euilibrio son2

1# 3alances de moles del componente /M4ecuaciones, nc ecuaciones para

cada etapa


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V

(¿¿ j+W j ) y i , j L j−1 x i , j−1+ F j zi , j+V j+1 y i , j+1=( L j+U j) xi , j+¿

# -uilibrio vapor4liuido /-4ecuaciones, nc ecuaciones para cada etapa2 y i , j=k i , j xi , j

6# .uma de &racciones molares /.4ecuaciones

∑i=1

nc

yi , j=1

∑i=1

nc

x i , j=1

7# 3alance de entalpia /H4ecuaciones

V

(¿¿ j+W j ) H jQ+ L j−1 h j−1+ F j h Fj+V j+1 H j+1=( L j+U j)h j+¿

8nas de las .4ecuaciones se pueden reemplazar por la ecuación del balance

de moles totales

L j−1+ F j+V j+1= L j+U j+V j+W j

ariables de etapa de euilibrio * columna de ecuaciones M-.H

n :)mero total de etapas F j elocidad de ;uo de

alimentación en la etapa j :)mero de etapa k i , j asta la etapa

? 1


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zi , j =racción molar del componente

i entrando al estado

W j elocidad de ;uo de la

corriente de la parte vapor

desde la etapa T j @emperatura del estado V j elocidad de ;uo del vapor

desde la etapa >asta la etapa

41

3 'roducto de &ondo de columna U j elocidad de ;uo de lacorriente de la parte liuida

desde la etapa

+ 'roducto del destilado H j -ntalpia de la corriente liuidaue dea la etapa

Q j @rans&erencia de calor desde el

plato Tabla 1 . Nomenclatura de la ecuaciones MESH

-ste sistema de ecuaciones resulta de aplicar los m$todos componente acomponente# -sto suelen dar lu%ar a una matriz de coefcientes en &orma de

matriz tridia%onal, * se resuelven mediante un m$todo de eliminación

pro%resiva ue recibe el nombre de al%oritmo de @>omas#

Actualmente es posible realizar de manera más rápida * efciente %racias

di&erentes pro%ramas capases de resolver t$cnicas de análisis n)meros#

A continuación presentaremos un problema de una torre de destilación,

donde utilizaremos las ecuaciones M-.H * di&erentes m$todos para la

resolución de este problema# .e emplearan el uso de pro%ramas di&erente'ol*mat> * Mat>lab

Metodologa

.e consideró una columna de destilación simple con 5 etapas para separar

'ropano /1# n43utano /, * i43utano /6# La corriente de alimentación se

consideró como B10#10, B0#C0, B60#0 respectivamente# La cantidad de

calor aportado al calderín es de 91D6 3@8E> -l destilado se eFtrae a una

velocidad de 0#6 lbmolE> * el producto del &ondo de la columna a

0#7lbmolE>#

'rimero se desarrollaron las ecuaciones M-.H para el balance moles por

componente * el balance de entalpias#

-n el ap$ndice 3 del libro !undamentals o" Multicomponent Distillationde C#arles D. Holland se encuentran las constante de euilibrio para loscomponentes * tambi$n para el cálculo de la entalpia liuidas * de vapor#


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Resolución por medio de $olymat#

.e desarrollaron las 7 ecuaciones de balance de componente * balance de

ener%ía para cada uno de los 6 componentes * para cada etapa# Lasecuaciones se in%resaron en -cuaciones :o Lineales &orma en ue se

in%resaron la ecuaciones lo ponemos ver en el Ap$ndice A, ue se encuentra

al fnal de artículo# Auí el orden de las ecuaciones no a&ecta para la

iteración de las ecuaciones#

Resolución por medio de Matlab

'or medio del pro%rama MAtlab se desarrollaron m$todos di&erentes :L-G

* =.olve para la resolución del problema#

-l desarrollo de las ecuaciones ue se ocuparon en estos dos metodos &ueron

eFactamente las mismas ue en el pro%rama 'ol*mat># La )nica di&erencia

es ue auí se manea un len%uae de pro%ramación di&erente * es necesario

cambia un poco el &ormato#

-l orden en ue se aneFan los comando si a&ectan en la eecución del

m$todo, primero se debe escribir el comando se%)n el m$todo a utilizar

despu$s se in%resar las ecuaciones de balance de ener%ía * de componente,

al fnal se debe de escribir las ecuaciones de las variables inplicitas de la

temperatura * la velocidad del ;uo de vapor de cada etapa#

La descripción mas detalla de estos comando lo puede ver el en ap$ndice 3

para el m$todo :L-G * ap$ndice para el m$todo de =solve#

M%todo N&E' en Matlab

-s un m$todo ue realiza .olución num$rica no lineales /:L ecuaciones /-G

-specialmente dise(ado para problemas num$ricamente sensibles#

8na descripción más detallada de los comandos in%resados * de la &orma en

ue se escribieron los balances de ener%ía * componente se describen en el

Ap$ndice 3#

M%todo !S(&)E en Matlab

-l m$todo =solve implemetan tres al%oritmos di&erentes2 trust re%ión do%le%,

trust re%ion re;ective, * Levenber%4Maruardt


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I &solve/=8:,I0 comienza en la matriz I0 * trata de resolver las

ecuaciones en =8:# =8: acepta la entrada I * devuelve un vector /matriz

de la ecuación valores = evaluado en I#

I &solve/=8:,I0,J'@KJ:. resuelve las ecuaciones con los parámetros de

optimización predeterminados reemplazados por los valores de opciones, unar%umento creado con la &unción J'@KMJ'@KJ:.# er J'@KMJ'@KJ:. para

más detalles# 8tilice la opción acobiana para especifcar ue la diversión

tambi$n devuelve un ar%umento se%unda salida ue es la matriz acobiana

en el punto I# .i =8: devuelve un vector = de los componentes de M cuando

I tiene lon%itud n, entonces es una matriz de m por n donde /i, es la

derivada parcial de = /i con respecto a F /# /@en%a en cuenta ue el

acobiano es la transpuesta de la pendiente de =#

I &solve/'


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F11 F1 F61 F1 F F6

'ol*mat>

0#10191

0#D75D90#0917

990#09056

D50#C099

190#07

9

:L-G 0#10 0#D7C 0#091 0#0905 0#C0C 0#05.olver 1 0#10 0#D7C 0#091 0#0905 0#C0C 0#05

.olver 0#10 0#D7C 0#091 0#0905 0#C0C 0#05 .olver6 0#10 0#D7C 0#091 0#0905 0#C0C 0#05

Tabla *.Composición de los tres componentes en laetapa 1y *

F16 F6 F66 F17 F7 F67

'ol*mat> 0#0CCC017 0#C19C65C 0#059 0#0190C 0#C6DC507 0#19967

:L-G 0#0CCC 0#C19C 0#0 0#019 0#C6DD 0#1996

.olver 1 0#0CCC 0#C19C 0#0 0#019 0#C6DD 0#1996

.olver 0#0CCC 0#C19C 0#0 0#019 0#C6DD 0#1996 .olver6 0#0CCC 0#C19C 0#0 0#019 0#C6DD 0#1996

Tabla +. Composición de los tres componentes en laetapa +y ,

F15 F5 F65

'ol*mat>

0#079709

0#CD5700#1DD51

D5

:L-G 0#079 0#CD5 0#1DD5

.olver 1 0#079 0#CD5 0#1DD5

.olver 0#079 0#CD5 0#1DD5

.olver6

0#079 0#CD5 0#1DD5

Tabla ,.Composición de los tres componentesen la etapa -

t& t0 t1 t t6 t7 t5

'ol*mat>

D1#9D15

D#71CD0#D99

9D6#199

9D7#957

9DC#9

790#196

9

:L-GD1#9D1

5 D#71CD0#D99

9D6#199

9D7#957

9DC#9

790#19

69

.olver 1D1#9D1

5 D#71CD0#D99

9D6#199

9D7#957

9DC#9

790#19

69


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.olver D1#9D1

5 D#71CD0#D99

9D6#199

9D7#957

9DC#9

790#19

69 .olver6

D1#9D15 D#71C

D0#D999

D6#1999

D7#9579

DC#97

90#1969

Tabla -.Temperatura de cada etapade la columna

Conclusiones

omo podemos ver en las tablas de resultados los valores obtenidos por los

5 di&erentes m$todos resultaron eFactamente i%uales, así ue podemos

ase%urar ue cualuiera de estas t$cnicas son lo sufcientemente precisas

para reportar los datos obtenidos de las temperaturas * composiciones de

cada etapa#

Re"erencias

'# +eu;>ard2:eNton Met>ods &or :onlinear 'roblems# 4AOne Knvariance and Adaptive Al%orit>ms#.eries omputational Mat>ematics 65, .prin%er /007

8# :oNaP, L# Qeimann2A =amil* o& :eNton odes &or .*stems o& Hi%>l* :onlinear-uations 4 Al%orit>m, Kmplementation, Application#

BK3, @ec>nical


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/11 =t1 1.127e2 3."'&2et1 .01"0e't142 17.'2&e12t1454/12 = t2 1.127e2 3."'&2et2 .01"0e't242 17.'2&e12t2454/1 = t 1.127e2 3."'&2et .01"0e't42 17.'2&e12t454/1 =t 1.127e2 3."'&2et .01"0e't42 17.'2&e12t454/1 =t 1.127e2 3."'&2et .01"0e't42 17.'2&e12t454

/2f =tf 1.1'171e2 3".'""etf 31".2112e'tf42 2'.2'e12tf454/20 =t0 1.1'171e2 3".'""et0 31".2112e't042 2'.2'e12t0454/21 =t1 1.1'171e2 3".'""et1 31".2112e't142 2'.2'e12t1454/22 =t2 1.1'171e2 3".'""et2 31".2112e't242 2'.2'e12t2454/2 =t 1.1'171e2 3".'""et 31".2112e't42 2'.2'e12t454/2 =t 1.1'171e2 3".'""et 31".2112e't42 2'.2'e12t454/2 =t 1.1'171e2 3".'""et 31".2112e't42 2'.2'e12t454

/f =tf 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7etf 17.'&1"&e' tf42 &0.'12e12tf454/0 =t0 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7et0 17.'&1"&e' t042 &0.'12e12t0454/1 =t1 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7et1 17.'&1"&e' t142 &0.'12e12t1454/2 =t2 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7et2 17.'&1"&e' t242 &0.'12e12t2454/ =t 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7et 17.'&1"&e' t42 &0.'12e12t454/ =t 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7et 17.'&1"&e' t42 &0.'12e12t454

/ =t 1'.&"7"1e2 3"1.2&""7et 17.'&1"&e' t42 &0.'12e12t454

# Entalpias molares del -apor de cada componente en cada etapa

6-11= '1.7&&10 3'&.'1&1&et1 3".70&00e"t1425426-12= '1.7&&10 3'&.'1&1&et2 3".70&00e"t2425426-1= '1.7&&10 3'&.'1&1&et 3".70&00e"t425426-1= '1.7&&10 3'&.'1&1&et 3".70&00e"t425426-1= '1.7&&10 3'&.'1&1&et 3".70&00e"t42542

6-21= 12.""7&' 11.'2et1 31"."12e"t1425426-22= 12.""7&' 11.'2et2 31"."12e"t2425426-2= 12.""7&' 11.'2et 31"."12e"t42542

6-2= 12.""7&' 11.'2et 31"."12e"t425426-2= 12.""7&' 11.'2et 31"."12e"t42542

6-1= 17."1 11'.2&2et1 312.'777'e"t1425426-2= 17."1 11'.2&2et2 312.'777'e"t2425426-= 17."1 11'.2&2et 312.'777'e"t425426-= 17."1 11'.2&2et 312.'777'e"t425426-= 17."1 11'.2&2et 312.'777'e"t42542

# Entalpias molares del l)+uido de cada componente en cada etapa

61f =1.000"0 31.&'0222e01tf3 2.&0''7etf425426l10 =1.000"0 31.&'0222e01t0 2.&0''7et042542

6l11 =1.000"0 31.&'0222e01t1 2.&0''7et1425426l12 =1.000"0 31.&'0222e01t2 2.&0''7et2425426l1 =1.000"0 31.&'0222e01t 2.&0''7et425426l1 =1.000"0 31.&'0222e01t 2.&0''7et425426l1 = 1.000"0 31.&'0222e01t 2.&0''7et42542

62f = 20.2&'110 32.007e1tf .'""17etf425426l20 =20.2&'110 32.007e1t0 .'""17et0425426l21 =20.2&'110 32.007e1t1 .'""17et1425426l22 =20.2&'110 32.007e1t2 .'""17et242542


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6l2 =20.2&'110 32.007e1t .'""17et425426l2 =20.2&'110 32.007e1t .'""17et425426l2 =20.2&'110 32.007e1t .'""17et42542

6f = 1".00 32.1"1'"0e1tf .17"20&etf425426l0 = 1".00 32.1"1'"0e1t0 .17"20&et0425426l1 = 1".00 32.1"1'"0e1t1 .17"20&et1425426l2 = 1".00 32.1"1'"0e1t2 .17"20&et2425426l = 1".00 32.1"1'"0e1t .17"20&et425426l = 1".00 32.1"1'"0e1t .17"20&et425426l = 1".00 32.1"1'"0e1t .17"20&et42542

#(lculo de la temperatura del punto de ,ur,uja

ftf5 = /1f z1 3 /2f z2 3/f z 1ft05 = /10 810 3 /20 820 3/080 1ft15 = /11 811 3 /21 821 3/181 1ft25 = /12 812 3 /22 822 3 /282 1ft5 = /1 81 3 /2 82 3/8 1ft5 = /1 81 3 /2 82 3/8 1

ft5 = /1 81 3 /2 82 3/8 1

# !alance 9olar de los componentes por etapas

f8115 = V1:05 /11 3 :15 811 3 V2 /12 812f8215 = V1:05 /21 3 :15 821 3 V2 /22 822f815 = V1:05 /1 3 :15 81 3 V2 /2 82

f8125 = :1 811 V2 /12 3 :25 812 3 V /1 81 3 z1 Ff8225 = :1 821 V2 /22 3 :25 822 3 V /2 82 3 z2 Ff825 = :1 81 V2 /2 3 :25 82 3 V / 8 3 z F

f815 = :2 812 V /1 3 :5 81 3 V /1 81

f825 = :2 822 V /2 3 :5 82 3 V /2 82f85 = :2 82 V / 3 :5 8 3 V / 8

f815= : 81 V /1 3 :5 81 3 V /1 81f825 = : 82 V /2 3 :5 82 3 V /2 82f85 = : 8 V / 3 :5 8 3 V / 8

f815 = : 81 V /1 3 !5 81f825 = : 82 V /2 3 !5 82f85 = : 8 V / 3 !5 8

# !alance de Entalpias

fV15 = V1 6-1 3 V2 6-2 :1 6l1 3 :0 60fV25 = V2 6-2 3 V 6- 3:1 6l1 :2 6l2 36fFfV5 = V 6- 3 V 6- 3:2 6l2 : 6lfV5 = V 6- 3 V 6- 3 : 6l : 6lfV5 = V 6- 3 % 3: 6l : 6l

# !alance de 9ateria ;otal

:0 = V1 $ # :i+uid returnin< from t6e condenser :1 = V2 $ # :i+uid flo rate from sta


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:2 = V 3F $ # >tatatata


11/19

V05 = 1.1V05 = 1."1&

tf05 = 20t005 = "70t105 = "7t205 = "7't05 = "'2t05 = "'"t05 = "&0

$ENDICE /

Matlab

function tresycinconleq

iopt.nonlin = 4; % The problem is mildly nonlinear

iopt.mprmon = 2; % We want to see summary of the iteration monitor.

wk.niter = 3; % !umber of !ewton"iterations.

# = $.2; .; .2; .&'; .&'; .&'; .&'; .'&((; .&((;... .)' ;.&*&2; .&2*&2; .'; .(; .2;...

&.&;&.&3; &.&3';&.&43; &.&4*; '2;(;(4;();)2;);*+;

% # must be a column ,ector. To -et other solutions

% modify this ,ariable.

#scal = $ +;

par = $+; % The function myfun/ has no e#tra parameters.

T01 = &e"'; % The required tolerance.

% ctual call to sol,er.


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$# info wk+ = nleq&myfun##scalT01ioptparwk/

function $fun fail + = myfun#infla-par/

%

%

-lobal fail

% separatin- ,ariables

5 = &; 6& = .&; 62 = .(; 63 = .2;

7 = .4; 8 = .3; 9 = *&)3;

% asi-nacion de ,ariables

#&& = #in&/;

#2& = #in2/;

#3& = #in3/;

#&2 = #in4/;

#22 = #in'/;

#32 = #in/;

#&3 = #in(/;

#23= #in)/;

#33= #in*/;

#&4= #in&/;

#24= #in&&/;

#34= #in&2/;

#&'= #in&3/;

#2'= #in&4/;

#3'= #in&'/;

:&= #in&/;

:2= #in&(/;

:3= #in&)/;

:4= #in&*/;

:'= #in2/;

tf= #in2&/;

t= #in22/;

t&= #in23/;

t2= #in24/;

t3= #in2'/;

t4= #in2/;

t'= #in2(/;

%

k&f =tf "&4.'&24(4e"2


13/19

k&4 =t4 "&4.'&24(4e"2


14/19

hl&2 ="&4.'


15/19

fun/ = 1& #3& " :2 k32 < 12/ #32 < :3 k33 #33 < 63 5;

fun(/ = 12 #&2 " :3 k&3 < 13/ #&3 < :4 k&4 #&4;

fun)/ = 12 #22 " :3 k23 < 13/ #23 < :4 k24 #24;

fun*/ = 12 #32 " :3 k33 < 13/ #33 < :4 k34 #34;

fun&/ = 13 #&3 " :4 k&4 < 14/ #&4 < :' k&' #&';fun&&/ = 13 #23 " :4 k24 < 14/ #24 < :' k2' #2';

fun&2/ = 13 #33 " :4 k34 < 14/ #34 < :' k3' #3';

fun&3/ = 14 #&4 " :' k&' < 7/ #&';

fun&4/ = 14 #24 " :' k2' < 7/ #2';

fun&'/ = 14 #34 " :' k3' < 7/ #3';

fun&/ = ":& h,& < :2 h,2 " 1& hl& < 1 h;

fun&(/ = ":2 h,2 < :3 h,3 < 1& hl& " 12 hl2 < hf5;

fun&)/ = ":3 h,3 < :4 h,4 < 12 hl2 " 13 hl3;

fun&*/ = ":4 h,4 < :' h,' < 13 hl3 " 14 hl4;

fun2/ = ":' h,' < 9 < 14 hl4 " 1' hl';

fun2&/ = k&f 6& < k2f 62 < k3f 63 "&;

fun22/ = k& #& < k2 #2 < k3#3 "&;

fun23/ = k&& #&& < k2& #2& < k3&#3& "&;

fun24/ = k&2 #&2 < k22 #22 < k32#32 "&;

fun2'/ = k&3 #&3 < k23 #23 < k33#33 "&;

fun2/ = k&4 #&4 < k24 #24 < k34#34 "&;

fun2(/ = k&' #&' < k2' #2' < k3'#3' "&;

% !1>9& requires that myfun returns a column ,ector...

fun = fun?;

$ENDICE C

Metodo !S(&)E por medio de Matlab.

%

function tresycincofsol,e

% tres componestes cinco fases fsol,e

#in = $.2; .; .2; .&'; .&'; .&'; .&'; .'&((; .&((;...

.)' ;.&*&2; .&2*&2; .'; .(; .2;...

&.&;&.&3; &.&3';&.&43; &.&4*; '2;(;(4;();)2;);*+;

% @ake a startin- -uess at the solution

options = optimset?8isplay??iter?/; % 0ption to display output

$#Ae#itfla-AA+ = fsol,emyfun#inoptions/

options = optimset?8isplay??iter? ?Tol5un? &e"& ...

?TolB? &e"& ?@a#Cter? ' ?@a#5un>,als? 2 ...


16/19

?l-orithm? ?1e,enber-"@arquardt?/;

$#Ae#itfla-AA+ = fsol,emyfun#inoptions/

options = optimset?8isplay??iter??l-orithm??1e,enber-"@arquardt?/;

$#Ae#itfla-AA+= fsol,emyfun#inoptions/

end

function $fun+ = myfun#in/

% separatin- ,ariables

5 = &; 6& = .&; 62 = .(; 63 = .2;

7 = .4; 8 = .3; 9 = *&)3;

% asi-nacion de ,ariables

#&& = #in&/;

#2& = #in2/;

#3& = #in3/;

#&2 = #in4/;

#22 = #in'/;

#32 = #in/;

#&3 = #in(/;

#23= #in)/;

#33= #in*/;

#&4= #in&/;

#24= #in&&/;

#34= #in&2/;

#&'= #in&3/;

#2'= #in&4/;

#3'= #in&'/;

:&= #in&/;

:2= #in&(/;

:3= #in&)/;

:4= #in&*/;

:'= #in2/;

tf= #in2&/;

t= #in22/;

t&= #in23/;

t2= #in24/;

t3= #in2'/;

t4= #in2/;

t'= #in2(/;%k&f =tf "&4.'&24(4e"2


17/19

k2f =tf "&4.&)&(&'e"2


18/19

h,& = k&&#&&h,&&


19/19

fun23/ = k&& #&& < k2& #2& < k3&#3& "&;

fun24/ = k&2 #&2 < k22 #22 < k32#32 "&;

fun2'/ = k&3 #&3 < k23 #23 < k33#33 "&;

fun2/ = k&4 #&4 < k24 #24 < k34#34 "&;

fun2(/ = k&' #&' < k2' #2' < k3'#3' "&;

%

>nd

Ecuaciones MESH Para Una Etapa de Equilibrio

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