ECUACIONES LINEALES

www.matematicadeoctavo.weebly.com ECUACIONES DE PRIMER GRADO 8º

Prof. Carlos A. Gómez P. / Profa. Mari Rubiela Tello Página 63

ECUACIONES LINEALES

CONCEPTOS

IGUALDAD: Es la expresión en que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor;

es decir, es una equivalencia entre dos cantidades o expresiones algebraicas.

ECUACIÓN: Es una igualdad que está integrada por valores conocidos (constantes) y desconocidos

(literales) llamados incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas y que solo se verifica

para determinados valores de las incógnitas.

Los elementos de una ecuación son: miembros, términos, grado, raíz o solución de una ecuación.

3x + 6 = 11 – 2x

En el ejemplo anterior, podemos observar los valores constantes 6 y 11; así como valores literales

3x y 2x (donde x es la incógnita).

El grado de la ecuación se determina por el mayor valor que posee la incógnita como exponente, por

tal razón a las Ecuaciones Lineales también se les conoce como Ecuaciones de Primer Grado.

Este tipo de ecuaciones solo tienen una raíz o solución (valor que satisface la ecuación).

Las ecuaciones se clasifican en: numéricas, literales, enteras, fraccionarias e irracionales.

Ecuación Numérica: Es una ecuación que no tiene más letras que la incógnita.

Ejemplos: 3x – 8 = – 2 ; 5 + 3x = 8 + x ; 3y + 4 = 5

Ecuación Literal: Son aquellas que además de la incógnita aparecen otras letras que se consideran constantes.

Ejemplos: 2x + 4m = x – m ; 4y – 2b = b + y

Ecuación Entera: Es cuando todos los coeficientes de los términos son números enteros.

Ejemplos: 7x – 5 = 2x + 3 ; 8y + 3 = – 7 + 7y

Ecuación Racionales: Cuando por lo menos una incógnita aparece en el denominador.

Ejemplos: 3

2

4

1

2

2

x ; 5

13

42

x

x

Ecuación Irracional: Cuando por lo menos una incógnita figura bajo el signo radical.

Ejemplos: 842 xx ; 4113 xx

TÉRMINOS TÉRMINOS

MIEMBRO IZQUIERDO MIEMBRO DERECHO

OPERACIONES



RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, se efectúan los siguientes pasos.

1. Se ordena la ecuación, para lo que se trasponen los términos de modo que todos los que contienen

a la incógnita queden en el miembro izquierdo y los independientes en el derecho.

*** La transposición de términos es el proceso de traslación de una cantidad o término de un

miembro de la ecuación al otro, el cual pasaría a efectuar la operación inversa. Así, podemos decir que

la operación inversa a la adición es la sustracción y que la inversa a la multiplicación es la división.

2. Se efectúan las operaciones indicadas en cada miembro para reducir los términos semejantes.

3. En caso que la incógnita quede afectada por un coeficiente distinto de uno, se dividen ambos

miembros de la ecuación por dicho coeficiente (incluido el signo), quedando así determinada la

raíz.

4. Para comprobar que la solución es correcta, basta con reemplazar la misma en la ecuación

original, realizar las operaciones indicadas y verificar que la igualdad se cumple.

Ejemplos:

Determine la solución de:

a) 5x – 14 + 3x = 18x – 4

5x + 3x – 18x = – 4 + 14

8x – 18x = 10

–10x = 10

10

10

10

10

x

x = – 1

5x – 14 + 3x = 18x – 4

5(–1) – 14 + 3(–1) = 18(–1) – 4

–5 – 14 – 3 = –18 – 4

– 22 = –22

PASO 1. Se trasponen los términos de modo que todos los

que contienen a la incógnita queden en el miembro izquierdo y

los independientes en el miembro derecho, al trasponer términos

de un miembro a otro, a estos se le cambiará el signo.

PASO 2. Se reducen los términos semejantes en ambos

miembros.

PASO 3. En caso tal que la incógnita quede afectada por un

coeficiente distinto de 1 positivo, éste dividirá ambos miembros

sin cambiarle el signo. Efectuando las operaciones, queda determinada la raíz o solución.

PASO 4. Comprobación con x = – 1

Reemplazar el valor encontrado en la ecuación original y

efectuar las operaciones indicadas.

Comprobar la igualdad.



b) 8y + 5y + 5 = 20 + 6y + 6

8y + 5y – 6y = 20 + 6 – 5 Transponer términos de un miembro a otro.

13y – 6y = 26 – 5 Reducir términos semejantes de igual signo en ambos miembros.

7y = 21 Reducir términos semejantes de distinto signo en ambos miembros.

7

21

7

7

y Dividir en ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

y = 3 Determinar la raíz o solución de la ecuación.

Comprobación con y = 3

8y + 5y + 5 = 20 + 6y + 6

8(3) + 5(3) + 5 = 20 + 6(3) + 6 Reemplazamos la solución y = 3 en cada variable “y”.

24 + 15 + 5 = 20 + 18 + 6 Efectuamos todas las multiplicaciones.

44 = 44 Realizamos las reducciones de términos semejantes en cada miembro.

c) x + 2x + 1 = 8 – 3x – 3

x + 2x + 3x = 8 – 3 – 1 Transponer términos a ambos miembros.

6x = 8 – 4 Reducir términos semejantes de igual signo.

6x = 4 Reducir términos semejantes de diferente signo.

6𝑥

6 =

4

6 Dividir en ambos miembros por el coeficiente de x.

x = 𝟐

𝟑 Determinar la raíz o solución de la ecuación.

Verifique la respuesta efectuando la comprobación…



d) 6m + 9 2m = 2m − 11

6m − 2m − 2m = −11 − 9 Transponer términos a ambos miembros.

6m – 4m = − 20 Reducir términos semejantes de igual signo.

2m = − 20 Reducir términos semejantes de diferente signo.

2𝑚

2 =

− 20

2 Dividir en ambos miembros por el coeficiente de x.

m = − 10 Determinar la raíz o solución de la ecuación.

Verifique la respuesta efectuando la comprobación…

Complete el proceso para resolver la siguiente ecuación siguiendo los pasos indicados en los

ejemplos anteriores.

9z – 4z – 6 = 24 – 8z – 17

9z – 4z ____ = 24 – 17 ____ Transponer términos de un

miembro a otro cambiándole signo.

____ – 4z = ____ – 17 Reducir términos semejantes de igual signo en ambos miembros.

____ z = ____ Reducir términos semejantes de distinto signo en ambos miembros.

1313

z Dividir en ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

z = ____ Determinar la raíz o solución de la ecuación.

Comprobación con z = ____

9z – 4z – 6 = 24 – 8z – 17

9( ) – 4( ) – 6 = 24 – 8( ) – 17 Sustituir el valor encontrado por la incógnita “z”.

_____ – _____ – 6 = 24 – _____ – 17 Obteniendo los productos indicados.

_____ – _____ = 24 – _____ Reduciendo cantidades de igual signo.

_____ = _____ Reduciendo cantidades de diferente signo.



PRÁCTICA #18

Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.

a) 5x + 6 = 10x + 5 Resp.: 1

5

b) 36 – 6y = 34 – 4y Resp.: 1

c) 7y + 13 = 13y + 12 Resp.: 1

6

d) 9x – 45 + 4x – 16 = 4 Resp.: 5

e) 10x + 5x – 1 = 65x – 36 Resp.: 7

10

f) 8x – 9x + 15 = 12x – 180 Resp.: 15

g) 2z – 3 + z – 35 = 2 – 9z – 4 Resp.: 3

h) 2y – 6 – 12y + 15 = 17 – 8y Resp.:−4

i) 8x + 9 – 12x = 4x – 12 – 5x Resp.: 7

j) 4y – 8 + 15y + 10 = 20y + 9 – 5 Resp.: −2

k) x – 8 – x – 3 = 4 – 2x Resp.: 15

2

l) 5x – 1 – x + 2 = 8x – 3x – 4 Resp.: 5

m) x + 3x – 1 = 6 – 4x + 3 Resp.: 5

4

n) x – 3 + 4x + 3x + 4 = – 7 Resp.: −1

o) 4y – 2y – 3y – 5 – 4 = 1 Resp.: −10

p) 4m – 1 – 4m + 6m – 4 = – 2 Resp.: 1

2

q) 4x + 3x – 2 – 2x + 5 = – 3 – x Resp.: −1

r) y – 5 + 3y – 5y –7 + 7y = – 3 Resp.: 3

2

s) 2x + 9 – 3x – 4 = – 7 – 2x + 1 + 4 Resp.: −7

t) – 3m + 6 + 9 + 3m = – 4m – 5 Resp.: −5

“Como es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano

independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de

la realidad”. Albert Einstein.

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