ECUACIONES LINEALES

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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA ÁLGEBRA LINEAL LUZ STELLA PEÑA CONTRERAS Página 1 ECUACIONES LINEALES Ya sabemos que el Álgebra lineal es una rama de las matemáticas rica en teorías y aplicaciones, que surgió debido al estudio de ecuaciones lineales, por eso comenzaremos estudiando éstas. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. Ecuaciones lineales o de primer grado: Son las igualdades algebraicas con incógnitas de exponente uno. Se pueden representar de la siguiente manera: Componentes: En la anterior ecuación lineal observamos: Los Miembros: Se lama primer miembro de una ecuación a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Las variables x1, x2, x3, ... , xn, son las incógnitas de la ecuación y pueden tomar cualquier valor real. Los coeficientes: a1, a2, a3, ... , an, son números reales fijos Por último, el número real b se llama término independiente. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 1. Se efectúan las operaciones indicadas si las hay. 2. Se hace la trasposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contenga la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas. 3. Se reducen términos semejantes en cada miembro. 4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 35 22x +6 18x = 14 30x + 32 1. Como no hay operaciones indicadas pasamos al siguiente paso. 2. Trasponemos términos: -22x -18x + 30x = 14+32-35-6 3. Reduciendo -10x = 5 4. Dividiendo por 5 y despejando la incógnita x = - ½ 5. Comprobamos el resultado. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pasos a tener en cuenta:

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ECUACIONES LINEALES

Ya sabemos que el Álgebra lineal es una rama de las matemáticas rica en teorías y aplicaciones, que surgió

debido al estudio de ecuaciones lineales, por eso comenzaremos estudiando éstas.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una

infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,

predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales

de análisis numérico.

Ecuaciones lineales o de primer grado: Son las igualdades algebraicas con incógnitas de

exponente uno. Se pueden representar de la siguiente manera:

Componentes: En la anterior ecuación lineal observamos:

Los Miembros: Se lama primer miembro de una ecuación a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Las variables x1, x2, x3, ... , xn, son las incógnitas de la ecuación y pueden tomar cualquier

valor real.

Los coeficientes: a1, a2, a3, ... , an, son números reales fijos

Por último, el número real b se llama término independiente.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

1. Se efectúan las operaciones indicadas si las hay. 2. Se hace la trasposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que

contenga la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas. 3. Se reducen términos semejantes en cada miembro. 4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la

incógnita. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 35 – 22x +6 – 18x = 14 – 30x + 32 1. Como no hay operaciones indicadas pasamos al siguiente paso. 2. Trasponemos términos: -22x -18x + 30x = 14+32-35-6 3. Reduciendo -10x = 5 4. Dividiendo por 5 y despejando la incógnita x = - ½ 5. Comprobamos el resultado.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Pasos a tener en cuenta:

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Lenguaje algebraico14

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Un número cualquiera. m

Un número cualquiera aumentado en siete. m + 7

La diferencia de dos números cualesquiera. f - q

El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5

La división de un número entero entre su antecesor x/(x-1)

La mitad de un número. d/2

El cuadrado de un número y^2

La semisuma de dos números (b+c)/2

Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es igual

a 12. 2/3 (x-5) = 12

Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2.

La parte mayor de 1200, si la menor es w 1200 - w

El cuadrado de un número aumentado en siete. b2 + 7

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su

consecutivo equivalen a tres. 3/5 p + 1/2 (p+1) = 3

El producto de un número con su antecesor equivalen a 30. x(x-1) = 30

El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. x3 + 3x

2

Ahora resolveremos un problema paso a paso:

De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido, después la mitad del resto y

quedan aún 1500 litros. Calcular la capacidad del depósito.

Traducción del lenguaje simbólico:

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Expresión y resolución de la ecuación:

Verificación del resultado obtenido

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SISTEMA DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES:

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar, en función de sus soluciones, del

siguiente modo: Consistente e inconsistente.

Consistente o compatible: Puede ser de dos formas a) Determinado: Cuando la solución es única. b) Indeterminado: Cuando hay infinitas soluciones

Incompatible o inconsistente: c) Cuando no tienen solución.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS

Existen cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones: 1. Igualación 2. Suma y resta (eliminación) 3. Sustitución 4. Determinantes 5. Gráfico

1. MÉTODO DE IGUALACIÓN: consiste en realizar los siguientes pasos: · Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. · Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuación lineal para la otra incógnita. · Se resuelve la ecuación lineal. · Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de la otra. · Se realiza la comprobación.

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Ejemplos. Aplicando el método de igualación, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

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2. MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN)

El método de suma y resta, también llamado de eliminación consiste en efectuar el procedimiento siguiente: · Se multiplica cada ecuación por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos. · Se suman ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuación en términos solamente de la otra variable. · Se resuelve la ecuación lineal. · Se despeja la otra variable de cualquiera de las ecuaciones del sistema. · Se sustituye el valor obtenido en la expresión despejada para obtener el valor de la otra. · Se realiza la comprobación. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación:

3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en efectuar los siguientes pasos: · Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones. · Sustituir la expresión despejada en la otra ecuación. · Se resuelve la ecuación lineal, generalmente fraccionaria. · Se sustituye este valor en la expresión despeja a fin de obtener el valor de la otra. · Se realiza la comprobación.

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Ejemplos. Mediante el método de sustitución, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

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4. MÉTODO DE DETERMINANTES

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5. MÉTODO GRÁFICO:

Como ya se mencionó, cada ecuación lineal de un sistema representa una recta. Esto implica que la representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas y recuérdese que: · Si se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. · Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado y sus soluciones son todos los puntos de la recta. · Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Para fines de graficación conviene despejar de ambas ecuaciones la variable y . Se puede elaborar una tabla de valores o se ubican los puntos en que cruzan a los ejes coordenados para cada recta, se trazan y se analiza su comportamiento. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método gráfico:

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PROBLEMAS CON SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS

Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se trata de un tema fundamental para todas las disciplinas que utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen, y a menudo, se expresa en forma de ecuación lineal. Dentro del proceso de resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales, se pueden definir cinco etapas: · Leer el problema - Definir las incógnitas principales de forma precisa

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· Traducción matemática del problema para plantearlo · Resolución · Interpretación de las soluciones para contrastar la adecuación de las soluciones obtenidas. Ejemplos:

SUERTE

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TRABAJO DE CLASE

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