Ecuaciones en Derivadas Parciales Curso de Introducción

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  • Departamento de Anlisis MatemticoUniversidad de La Laguna

    Ecuaciones en Derivadas Parciales

    Curso de Introduccin

    Jos C. Sabina de Lis

    La Laguna, 26 de septiembre de 2014

  • ndice general

    INTRODUCCIN vi

    1. Algunas Edps de referencia 11.1. Definiciones bsicas. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . 1

    1.1.1. Recapitulacin de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . 11.2. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1. Ecuacin del transporte simple . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes . . . . . . . . 51.2.3. Ecuacin de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4. Funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5. Funciones homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.6. Introduccin a los coeficientes variables . . . . . . . . . . 8

    1.3. Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Ecuacin de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. La ecuacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. La ecuacin del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5. Ecuacin de las superficies mnimas: un ejemplo de ecua-

    cin cuasilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6. El problema de Cauchy: generalidades . . . . . . . . . . . 15

    1.4. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. La Ecuacin de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5.1. La ecuacin de las ondas unidimensional . . . . . . . . . . 181.5.2. Ecuacin de las ondas bidimensional . . . . . . . . . . . . 24

    1.6. La Ecuacin del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7. La ecuacin del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.7.1. La ecuacin del calor n-dimensional . . . . . . . . . . . . 321.7.2. Difusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2. Primer orden 472.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.1.1. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    iii

  • iv NDICE GENERAL

    2.3. La ecuacin general de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5. Integrales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6. Lagrange-Charpit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3. El problema de Cauchy 753.1. Funciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2. El problema general de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3. Teorema de Cauchy-Kowalevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4. Ecuacin de ondas 934.1. Clasificacin de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Transformacin de operadores de segundo orden . . . . . . . . . 954.3. Clasificacin de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    4.3.1. Operadores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.2. Operadores con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 103

    4.4. Ecuacin de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.1. El problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.2. Velocidad de propagacin finita de las perturbaciones . . 1064.4.3. Soluciones generalizadas. Propagacin de discontinuidades 1074.4.4. Soluciones simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4.5. El problema no homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    4.5. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogneos . . . . . . 1164.5.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogneos . . . . 1184.5.4. Problemas de contorno perturbados . . . . . . . . . . . . 120

    4.6. Problemas semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.6.1. Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.6.2. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    4.7. Ecuacin de ondas n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.7.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.7.2. Medias esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3 . . . . . . . . 1274.7.4. Propagacin de ondas en el plano n = 2 . . . . . . . . . . 130

    4.8. El caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.8.1. Dimensiones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.8.2. Mtodo del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . . 134

    4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

  • NDICE GENERAL v

    5. Ecuacin del calor 1475.1. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2. El problema perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.3. No unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4. Soluciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.5. Problemas de valor inicial y contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6. Principios del mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.7. Principios del mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.8. Soluciones positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    6. Series de Fourier 1736.1. Series de Fourier: introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.3. Series de Fourier: primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . 1796.4. Resultados de convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5. Cuestiones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.6. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.7. Fenmeno de Gibb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.8. Teorema de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    7. Separacin de Variables 1997.1. Ecuacin del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.2. Funcin de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.3. Ecuacin de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.4. Ecuacin de ondas amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.5. Problemas no homogneos: funcin de Green . . . . . . . . . . . 207

    7.5.1. El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.5.2. Propiedades del operador solucin . . . . . . . . . . . . . 212

    7.6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

    8. Ecuacin de Laplace (n = 2) 2258.1. Frmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

    8.1.1. Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . 2298.1.2. Deduccin geomtrica de la frmula de Poisson . . . . . . 2308.1.3. Problema de Dirichlet en un rectngulo . . . . . . . . . . 232

    8.2. Ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.3. Singularidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

  • vi NDICE GENERAL

    9. Ecuacin de Laplace (Rn) 2479.1. Identidades de Green. Solucin fundamental . . . . . . . . . . . . 2479.2. Propiedades de las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . 2499.3. Ecuacin de Laplace en la bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.4. Funciones armnicas: propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.5. Mtodo de Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.6. El semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589.7. La ecuacin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

    A. Funciones diferenciables 269

    B. Series Mltiples 273

    C. Superficies. Integrales de superficie 277

    D. Diferenciacin bajo el signo integral 285

    BIBLIOGRAFA 287

  • Introduccin

    Estas son unas notas dinmicas sobre ecuaciones en derivadas parcia-les(edps en lo que sigue), es decir, en continua remodelacin. Al estar colgadasen la red nos podemos permitir ese lujo. Disculpe el posible lector el nmeroinmoderado de erratas tipogrficas y algunas de las otras (que he tratado dedisipar hasta el exterminio con el paso del tiempo).

    Las edps dan al estudiante de matemticas la impresin ese fue al menosmi caso de materia caprichosa. Se aplica un enorme esfuerzo al estudio de tresmeros casos particulares de segundo orden. Esto, en mis tiempos, donde lacarrera pona gran nfasis en materias tan abstractas como la topolga gene-ral o el cculo diferencial en espacios de Banach, resultaba desolador para elprincipiante.

    Otro agravante, cada pequeo avance en el anlisis de estas ecuaciones (v. g.de coeficientes constantes a coeficientes variables) supone un esfuerzo consi-derables incluso en las situaciones ms humildes (v. g. la