ECUACIONES E INECUACIONES
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ECUACIONES E INECUACIONES Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma , donde y son constantes reales con , y es una variable real. Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto, la cual establece que: Para cada número real , se define su valor absoluto y se denota , de la siguiente manera: ó si Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera: Aplicando esta definición o expresiones de la forma se tiene:
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ECUACIONES E INECUACIONES
Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e
inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ,
donde y son constantes reales con , y es una variable real. Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto, la cual establece que:
Para cada número real , se define su valor absoluto y se denota de la siguiente manera:
ó
si
Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera:
Aplicando esta definición o expresiones de la forma se tiene:
Ejemplo
Usando la definición de valor absoluto se tiene:
Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta información en la tabla siguiente:
Ejemplo
y en forma resumida podemos escribir:
Ejemplo
,
,
y en forma resumida podemos escribir:
Ejemplo
,
,
y en forma resumida podemos escribir:
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
Demostración
Hay dos posibles casos:
Caso 1:
Caso 2:
Propiedad 2
Si
Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 3
Si
Demostración
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
en particular:
Usando esta definición se tiene que:
Propiedad 4
Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Si entonces
Demostración
Aquí también usaremos el hecho de que:
Si
Propiedad 6
Demostración
, se tiene que:
Propiedad 7
Sea una variable real y un número real positivo:
Interpretación geométrica de esta propiedad
Demostración
Como
Propiedad 8
Sea una variable real y un número real positivo entonces:
Demostración
Como , se tiene:
Resolviendo esta inecuación:
De aquí se tiene:
Interpretación geométrica de esta propiedad:
Propiedad 9
Sea una variable real y un número real positivo entonces:
DemostraciónEsta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:
Propiedad 10
Sea una variable real y un número real positivo entonces:
i. ii.
Demostración
Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:
i.
ii.
Propiedad 11
Demostración
Sabemos que
CASO 1:
(*)
Además como entonces y como entonces: (**)Así por (*) y (**) se tiene que:
(I)
CASO 2:
Además como entonces
(****)
Así por (***) y (****) se tiene que:
(II)
Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:
Propiedad 12 (desigualdad triangular)
Si Demostración
Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:
L EMA:
Sean
Si
Demostración (del lema)
Supongamos que , hay que demostrar que
i. ii.
por i. y ii. se tiene que
Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:
Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.
Demostración de la desigualdad triangular
, se tiene que:
Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:
, por la propiedad (10. i)
Ecuaciones que involucran valor absoluto
A continuación resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los en que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definición de valor absoluto. Además es importante tener en cuenta que toda ecuación que involucre valor absoluto se puede resolver usando la definición.
Ejemplo 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Solución
1.
Por la propiedad 7
o
o
o
ObservaciónComo dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definición. Para ilustrar esto resolveremos la ecuación anterior usando la definición de valor absoluto.
; por definición
;
;
Por lo tanto:
Con esta información construimos la tabla siguiente:
Así el conjunto solución , de -2,5
2.
Por la propiedad 7:
3.
Por la propiedad 1, , siempre es mayor o igual que cero, por lo tanto:
!Nunca!
Así
4.
Por la propiedad 2:
img20a
5
Por la propiedad 1,
Así
6.
Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera:
o sea:
Con esta información construimos la siguiente tabla:
Así el conjunto solución S de es
7.
En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:
,
,
Con esta información construiremos la siguiente tabla:
Así el conjunto solución
8.
En este caso:
o sea:
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí se tiene que el conjunto solución
9.
10.
= 5
11.
Pero:
,
,
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí se tiene que el conjunto solución
11.
Pero:
,
,
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí se tiene que el conjunto solución
Ejercicio 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ejemplo 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nota: En las ecuaciones que resolveremos a continuación omitiremos algunos pasos al escribir la definición de cada uno de los valores absolutos involucrados.
Solución
1.
En este caso se tiene que:
1.
2.
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí se tiene que el conjunto solución de
2.
En este caso se tiene que:
1.
2.
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí que el conjunto solución de es S, donde
3.
,
,
Resolviendo esta ecuación por fórmula general:
De aquí se tiene que el conjunto solución de
Nota: A partir de (*) esta ecuación se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos (1) y (2) anteriores.
4.
Resolviendo esta ecuación por fórmula general:
5.
En este caso se tiene que:
1.
2.
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí se tiene que el conjunto solución de
6.
En este caso se tiene que:
1.
2.
Con esta información construimos la siguiente tabla:
De aquí que el conjunto solución de
Ejercicio 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Inecuaciones que involucran valor absoluto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma
, donde y son constantes con y es una variable real. Para esto utilizaremos la definición de valor absoluto, y en los casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resolución.
Ejemplo 1
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Solución
1.
Sabemos que:
Con esta información construimos la siguiente tabla:
En consecuencia el conjunto solución
Nota: La inecuación y otras similares se pueden resolver aplicando propiedades del valor absoluto y además algunos resultados que se enuncian a continuación y que aceptaremos sin demostrar.
Resultado 1
1.
2.
Resultado 2
1.
2.
Resultado 3
1.
2.
Ejemplo
Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, se resuelve así.
Ejemplo
Ejemplo
Ejercicios
Resuelva cada une de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ejemplos Adicionales
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
Solución:
1.
En este caso se tiene que:
Así:
2.
En este caso se tiene que:
Con esta información construimos la siguiente tabla:
3.
Como:
Así:
4.
Además:
Así:
De aquí se tiene que:
Ejercicio 4
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
