Ecuaciones Diferenciales.pdf

7/13/2019 Ecuaciones Diferenciales.pdf

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ECUACIONESDIFERENCIALESPARA

FACULTADES DE CIENCIAS, INGENIERA Y DE

FORMACIN DOCENTE.

CUARTA EDICINPRIMERA EN LINEA

Dr. Jos A. Sarabia R.

Profesor Titular

UNIVERSIDAD POLITCNICA: ANTONIO JOS SUCRE

UNEXPO-BARQUISIMETO


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ECUACIONESDIFERENCIALES

PARA

FACULTADES DE CIENCIAS, INGENIERA Y DEFORMACIN DOCENTE.

CUARTA EDICINPRIMERA EN LINEA

Dr. Jos A. Sarabia R.Profesor TitularUNIVERSIDAD POLITCNICA: ANTONIO JOS SUCREUNEXPO-BARQUISIMETO

Correos:[email protected];[email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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III

INTRODUCCIN

El presente texto de Ecuaciones Diferenciales tiene como finalidad proveer al lector unaseleccin de los temas que usualmente se suelen cubrir en las carreras de Ingeniera,Matemticas, Fsica, Qumica y en las carreras de formacin docente en Matemticas y Fsica.Aclaro que el texto no tiene ninguna pretensin de originalidad, sino que ms bien se quiere darun modesto enfoque a los clsicos cursos de Ecuaciones Diferenciales usuales.

En el texto se hace una distribucin en cinco captulos. En el primero, se desarrollan lasecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno. En el segundo captulo se estudian lasecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, de orden n. En este captulo, se hace usode ciertas nociones de lgebra Lineal.

En el tercer captulo se hace un sencillo estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias linealescon coeficientes variables, sobre todo cuando estos coeficientes son funciones analticas. Luegose tocan algunos aspectos cuando hay singularidad regular. Asimismo, se introducen algunasfunciones especiales, como la funcin gamma, la de Bessel, Legendre, etc.En el cuarto captulo se hace un sencillo estudio de ciertas ecuaciones diferenciales con derivadasparciales, sobre todo de la ecuacin cuasi-lineal y las cnicas.Finlmente, en el captulo cinco, se estudian las propiedades ms importantes de la Transformadade Laplace, algunos mtodos para hallarlas, sus aplicaciones a la resolucin de ecuacionesdiferenciales y se hace la evaluacin de ciertas integrales impropias importantes.En el texto se dan numerosos ejemplos y ejercicios resueltos, as como ejercicios propuestos, consu respuesta, cuando sta las tenga.

Pudiera suceder que al abrir el libro, algunas palabras aparezcan en negrita, sin que la palabra loamerite. Esto es consecuencia de la traduccin de cierta parte del texto del antiguo Word alWord 2007. Por esto el autor, adelanta excusas por esta interferencia.

El autor le estara sumamente agradecido a los lectores que le hagan llegar a los correoselectrnicos que se indican abajo: erratas, ideas para mejorar alguna demostracin, ejerciciosinteresantes, en fin cualquier aspecto que el lector considere que puede mejorar al texto.

La idea que me anima a colocar este texto en INTERNET, es el que ste sea de fcil acceso atodos los lectores, en especial los estudiantes que lo necesiten sin costo alguno.Los dems textos del autor(es) se pueden encontrar buscando en GOOGLE o en mi blog:

http://joseantoniosarabia.blogspot.com/

Direcciones electrnicas del autor: [email protected]; [email protected]

Barquisimeto, VENEZUELA. Marzo del 2014
http://joseantoniosarabia.blogspot.com/http://joseantoniosarabia.blogspot.com/http://joseantoniosarabia.blogspot.com/


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IV

DEDICATORIA:

Al Dr. Shair Ahmad: mi tutor de la tesis de doctorado, magnfico profesor einvestigador, a quien tantos venezolanos, profesionales de la matemtica, ledebemos gran parte de nuestra formacin.

Al Dr. Shiam Kalla, gran investigador y formador de numerososposgraduados en Venezuela y quien me recondujo de la rutina a lainvestigacin en matemtica.

Al Dr. Francisco Montesdeoca, mi alumno, amigo, colega y productor denumerosos trabajos de investigacin en matemtica. Un caso, donde conorgullo digo, que el alumno super con creces a su profesor.

Al Dr. Jorge Salazar (+): gran amigo y colega, magnfico escritor, productorde excelentes textos y a quin la Olimpiada en Matemticas le debe gran partedel impulso del cual actualmente goza. Sus amigos lo recordamos conprofundo sentido de amistad y admiracin.

Agradecimientos:

1) MSc. Nora Scoppetta:por su ayuda en el respaldo de tcnicas de computacin, as como susconsejos didcticos.

2) PhD. Francisco Montesdeoca:por las correcciones y sugerencias hechas durante la escrituradel mismo.

3) MSc. Ernesto Ruiz:por haberse encargado de la dura tarea del levantamiento de mis notas, enlas tres primeras ediciones.

4) Dra. Laura Sarabia de Ortega:mi hija, quin dise la cartula.


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V

TABLA DE CONTENIDOS

CAPTULO IECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. Introduccin...................................................................................................................... 1

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.................................................. 2

3. Ecuaciones Diferenciales de Resolucin Directa............................................................ 5

3.1 Ecuaciones diferenciales de variable separable................................................................ 53.2. Ecuaciones diferenciales homogneas de orden cero....................................................... 73.3 Ecuacin diferencial lineal de primer orden..................................................................... 143.4 Ecuaciones diferenciales exactas...................................................................................... 19

4. Consideraciones geomtricas alrededor de la ecuacin diferencial de primer orden... 24

4.1 Envolvente......................................................................................................................... 244.2 Solucin singular de una ecuacin diferencial.................................................................. 274.3 Ecuacin diferencial de Clairaut........................................................................................ 27 4.4 Trayectorias ortogonales.................................................................................................... 30

CAPTULO II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN n

1. Introduccin......................................................................................................................... 40

2. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes..................... 51

3. Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas............................................................. 63

3.1 Introduccin......................................................................................................................... 633.2 Mtodo de variacin de parmetros..................................................................................... 643.3 Mtodo del operador D........................................................................................................ 753.4 Mtodo del anulador............................................................................................................ 79

4. El mtodo de reduccin de orden........................................................................................ 85


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VI

5. La ecuacin diferencial de Cauchy-Euler....................................................................... 89

6. La ecuacin diferencial de oscilacin............................................................................... 92

7. Ejercicios variados para todo el captulo..........................................................................106

CAPITULO III

ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES VARIABLES.FUNCIONES ESPECIALES

1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes analticos...........................112

1.1 Introduccin.........................................................................................................................112 1.2 Soluciones de la ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes analticos..........113

2. Funciones de Legendre..........................................................................................................121

2.1 Resolucin de la ecuacin diferencial de Legendre...............................................................121 2.2 Polinomios de Legendre.........................................................................................................124

3. Funciones especiales de punto singular................................................................................137

3.1 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con puntos singulares..........................137

3.2 Mtodo de Frobenius................................................... ........................................................1383.3 La funcin gamma.................................................................................................................1503.4 Ecuaciones diferenciales de Bessel y funciones de Bessel....................................................1533.5 La funcin beta......................................................................................................................1623.6 La funcin factorial generalizada o factorial ascendente.....................................................164

4. Funciones hipergeomtricas.................................................................................................174

4.1 Introduccin..........................................................................................................................1744.2. Propiedades de la funcin hipergeomtrica...........................................................................178

5. Ecuacin diferencial de Laguerre........................................................................................183

5.1 Introducccin.........................................................................................................................1835.2. Funcin de Laguerre de primera especie de orden k.............................................................1845.3 Polinomios de Laguerre.........................................................................................................185


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VII

CAPTULO IV

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

1. Series de Fourier............................................................................................................191

1.1 Introduccin...................................................................................................................1911.2 Frmulas de FourierEuler (*).....................................................................................1911.3 Series de Fourier para funciones pares o impares..........................................................1951.4 Cambio de escala............................................................................................................198

2. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (e.d.d.p)..........................................205

2.1 Introduccin....................................................................................................................205

2.2 Obtencin de una e.d.d.p. de la cual .....................................2052.3 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de fcil resolucin...............................2072.4 Ecuacin diferencial cuasi-lineal......................................................................................2083. Ecuaciones diferenciales cnicas.......................................................................................214

3.1 Introduccin.......................................................................................................................2143.2 Mtodo de separacin de variables.....................................................................................2153.3 Aplicaciones........................................................................................................................2173.4 Reduccin de ecuaciones cnicas a formas cannicas........................................................231

CAPITULO V

TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Introduccin..........................................................................................................................241

2.Teoremas fundamentales.......................................................................................................243

3. Propiedades de la Transformada de Laplace......................................................................246

4. Transformada de Laplace de la funcin escaln unidad y funciones relacionadas..........251

5. Propiedades de la transformada de Laplace aplicables a la resolucin de ecuacionesdiferenciables..............................................................................................................................257

5.1 Transformada de Laplace de una derivada..........................................................................257


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VIII

5.2 Resolucin de una e.d. ordinaria lineal con coeficientes constantes usandotransformada de Laplace.......................................................................................................260

5.3 Transformada de Laplace de la integral de una funcin.......................................................262

5.4 Transformada inversa de Laplace de fracciones simples......................................................2635.5 Segundo teorema de traslacin.............................................................................................2685.6 Transformada de Laplace de funciones peridicas...............................................................275

6. Derivacin e integracin de la transformada de Laplace..................................................280

7. Mtodos especiales para el clculo de transformadas e inversas de

transformadas de Laplace..........................................................................................................289

7.1 Por medio de series...............................................................................................................2897.2 Por medio de ecuaciones diferenciales..................................................................................2917.3 Transformada de Laplace de la convolucin de dos funciones.............................................2937.4 Otros mtodos para obtener la transformada de Laplace o su inversa.................................296

8. Aplicacin de la transformada de Laplace para la resolucin de ciertas ecuacionesdiferenciales parciales................................................................................................................301

9. Problemas resueltos variados................................................................................................307

BIBLIOGRAFA..................................................................................................315


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1

CAPTULO I

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. Introduccin

Denominamos ecuacin diferencial ordinaria de orden n, a la ecuacin: (1)Donde es una funcin continua definida sobre un intervalo abierto Asimismo,denominamos solucin de (1) en un intervalo , a una funcin , con derivadaensima enI,que satisface a (1) en dicho intervalo. O sea:

Ejemplo 1a) es solucin de en pues: (Teorema fundamental del Clculo Integral).c) Supongamos que una partcula se mueve a lo largo de una recta, de manera que en el instantet, su rapidez est dada por Si parti del punto posicin en elinstante t, se calcula as:

En lo que sigue, procederemos a resolver algunas ecuaciones diferenciales del tipo:

(2)

Dondef es continua en un disco de centro y radio R.En general, se puede preveer la existencia de tales soluciones, bajo ciertas condiciones, pero aveces encontrarlas por algn procedimiento, se puede tornar difcil. En estas circunstancias,generalmente se procede a encontrarlas en forma aproximada.


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2

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Aunque en general, las ecuaciones diferenciales del tipo (2), son difciles de resolver por mtodoselementales, inclusive algunas slo se pueden resolver por mtodos aproximados, sin embargohay algunas que se pueden resolver en forma directa.

Definicin 1Seaf una funcin definida en Diremos quef es 2-Lipschitz o Lipschitz enla segunda variable (abreviaremos 2-Lips) en G, si existe tal que: Nota: tambin puede ser el producto cartesiano del tipo .Ejemplo 2

a) Sea Luego: Por lo tanto f es 2-Lips en b) Sea para Supongamos quef sea 2-Lips. Luego: O sea:

Luegof no es 2-Lips en A continuacin enunciaremos dos teoremas de existencia y unicidad para una ecuacindiferencial tipo (2).

Teorema 1aSea Sea

Entonces el problema de valor inicial:

Tiene solucin nica en donde: Es decir, existe una nica funcin


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3

Teorema 1bSea son continuas en un dominio al punto: Entonces existe un intervalo elcual el problema: Tiene una solucin nica Ejemplo 3

entonces es acotada en G. Por el teorema 1b, existe una nica solucin de la ecuacin diferencial,pasando por (2,1) (Vea la fig. 1).

Fig. 1

x

y

x=g( t )

(2,1)

2 - h 2 + h2

1 - k

1 + k


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4

Definicin 2Dada la ecuacin diferencial: , denominamos solucin general de (3), en

a una funcin

derivable en ambas variables, y que cumpla con

estas dos condiciones:(i) satisface a (3), (ii) tal que satisface a (3),y pasa por Nota:la solucin que cumple con (ii), recibe el nombre de solucin particular.

Ejemplo 4 Nota: hasta ahora hemos usado como variable independiente a t, y como variable dependiente a

x, pero otras veces, usaremos otras letras, como por ejemplo, la x como variable independiente yla y, como variable dependiente.

Ejercicios

1) Demuestre que si tiene acotada sobre entoncesfEs 2-Lips. Sobre G.

2) Sea Demuestre que esLips. sobre 3) Sea que es 2-Lips en con compacto. Pero si no esacotado, entonces no es 2Lips en 4) Encuentre la ecuacin diferencial de la cual es solucin la funcin sealada: Resp.

5) Demuestre que las funciones del lado izquierdo, son soluciones de las ecuaciones diferencialesdel lado derecho:


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5

6) Determine un dominio donde la ecuacin diferencial:

Resp.

(Disco abierto de centro (0,0) y radio 2).

3. Ecuaciones diferenciales de resolucin directa

3.1. Ecuaciones diferenciales de variable separable

Definicin 3La ecuacin diferencial: (4), recibe el nombre de e.d. de variableseparable.

Ahora siP y Q tienen derivadas continuas en un intervalo

, entonces por el teorema 1, existe

solucin particular pasando por: En efecto: Luego:

Veamos que la solucin de (4), est implcita en la igualdad anterior:


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6

Ejemplo 5

a) Resolvamos:

Podemos tomar como dominio a Por ejemplo la solucin particular que cumple con b) Consideremos ahora la e.d.: Despejando, tenemos: Integrando, resulta:

Invitamos al lector a encontrar un dominio G, donde el ejemplo b) tenga solucin nica para lacondicin inicial: Ejercicios

1) Halle la solucin general o particular, segn se indique, de las siguientes e.d.

d) e)

2) La ley de enfriamiento de Newton, afirma que la tasa de cambio instantneo de la temperatura

en grados Farenheit en un medio de temperatura

, en el instante t, es proporcional a la

diferencia:

. O sea:

Si un cuerpo que sigue la ley de enfriamiento de Newton, est en un medio a temperatura inicialde A los 75 minutos, latemperatura del cuerpo era de Cul es el valor de la constante K , y cunto tardar enllegar a una temperatura de ?


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7

Resp.

3) Un tanque hemisfrico tiene un radio de 4 pies, al principio est lleno de agu, y en la parteinferior tiene un hueco de 1 pulgada de dimetro. Cunto tiempo tarda en vaciarse?

Sugerencia: la velocidad con que sale el agua, cuando el nivel de agua es y es: donde es el rea de la superficie (Vea la figura 5). Ahora, por la ley de Torricelli: Donde: y a,es el rea del hueco inferior.Resp.Aprox. 2150 s.

3.2. Ecuaciones diferenciales homogneas de orden cero

En lo que sigue vamos a estudiar otro tipo de e.d., que aparece con frecuencia en las diferentesaplicaciones a la Fsica e Ingeniera.

Definicin 4Sea tal que: . Diremos quef es una funcin homognea de orden

Cuando:

diremosquef es homognea de orden cero.

Ejemplo 6 . En efecto:

c) La funcin: , pues si existe \


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8

Entonces, para:

Definicin 5La ecuacin diferencial: se dice que es una e.d. homognea de orden cero en uncierto dominioD, o simplemente homognea, sif lo es en ese dominio.

Sea la e.d. homognea: (5), con continua en un dominioD,tal que Entonces:

Ahora, nos queda una ecuacin diferencial de variable separable: Si: entonces: Rompiendo el cambio de variable, nos queda la solucin implcita de (5).

Ahora, si: nos queda: Ejemplo 7

a) Resolvamos: 'y x

yy x

Como: ( , ) ( , )y x y x

f x y f x yy x y x

, tenemos que la e.d es homognea. Luego:

2

2

vx x v 1 v 1 1 v 1 v dxxv v xv = v xv dv=-

vx x v 1 v 1 1 v 1 v x

Integrando, nos resulta:


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9

( )2

2 2

dv vdv 1Ln x C arctgv+ Ln 1 v Ln x C

1 v 1 v 2

Luego: ( ) ( )2 2 2 2y 1 y 1arctg Ln x y Ln x Ln x C arctg Ln x y C x 2 x 2

( )2 2y 1

arctg Ln x y C x 2

b) Resolvamos: ( )2 2xdy ydx x y dx x > 0

Trasponiendo trminos, la e.d nos queda:

22 2

2 2

dy y y dv dx1 xv +v=v+ 1 v xv = 1 v

dx x x x1 v

Integrando, y rompiendo el cambio el cambio de variable, tenemos:

( )2 2

2 2 x yyLn v 1 v Lnx LnC v 1 v Cx Cx

x x

2 2 2y x y Cx

Ecuaciones diferenciales reducibles a homogneas

Consideremos la ecuacin diferencial:dy ax by c

fdx Ax By C

(6)

Conf cumpliendo las condiciones del teorema 1.Observamos, que si , entonces (6) es una e.d homognea, luego la idea para resolverlaes hacer cambios de variable, de forma que quede una expresin sin trmino independiente.

Asi, haciendo: , nos queda lo siguiente:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ax by c a X h b Y k c aX bY ah bk c

Ax By C A X h B Y k C AX BY Ah Bk C

Queremos hallar h y k,tales que:


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10

ah bk c 0

Ah Bk C 0

Aqu se presentan dos casos:

Caso 1a b ah bk c 0

aB Ab 0A B Ah Bk C 0

Luego, el sistema tiene una solucin nica (Vea la fig. 2, Caso 1). Suponiendo que ya loscalculamos, la ecuacin diferencia (6), nos queda as:

dy dY aX bY f

dx dX AX BY

(7)

Como vemos, es homognea, por lo que la podemos resolver de la forma usual, y al final,rompemos el cambio de variable.

Caso 2a b a b

aB Ab 0 k a=kA b=kBA B A B

Entonces, (6), nos queda as:( )dy k Ax By c

fdx Ax By C

, y haciendo: ,z Ax By resulta:

dz dy dy 1 dz A kz c dz kz cA B f Bf A

dx dx dx B dx B z C dx z C

La cual es una e.d de variable separable. La resolvemos, y despus rompemos el cambio devariable. (Vea la fig. 2, Caso )

Fig. 2

L1

L2

(h,k)L1

L2

Caso 1 Caso 2


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11

Ejemplo 8

a) Resolvamos la siguiente e.d :dy x y 3

dx x y 1

Como:h k 3 0

2 0h k 1 0

es compatible determinado, y resolviendo, tenemos:

;dY X Y

h 2 k=1 x=X+2; y=Y+1dX X Y

Haciendo:2

1 v 1 v dX Y Xv Xv +v= dv

1 v 1 v X

Integrando, resulta:( )

22

2

1 Y 1 Y arctgv Ln 1 v Ln X C arctg Ln 1 Ln X C

2 X 2 X

Aplicando propiedades de logaritmo, tenemos:

( )2

2 2

2

Y 1 Y Y 1arctg Ln 1 Ln X C arctg Ln X Y Ln X Ln X C

X 2 X X 2

( ) (( ) ( ) )2 2 2 2Y 1 y 1 1

arctg Ln X Y C arctg Ln x 2 y 1 C X 2 x 2 2

Finalmente tenemos:

(( ) ( ) )2 2y 1 1

arctg Ln x 2 y 1 C x 2 2

b) Resolvamos ahora la e.d:dy 2x y 2

dx 4x 2y 1

Como:

entonces en la e.d. hacemos:

Luego:

dz dy dy dz 2 2

dx dx dx dx .

Por lo tanto:dy dz z 2 dz z 2 5z 2z 1

2 2 - dz dxdx dx 2z 1 dx 2z 1 2z 1 5z


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12

Integrando, nos queda:2 1

z Ln z x C 2z+Ln z 5x 5C 2(-2x+y)+Ln 2x y 5x A5 5

Finalmente, tenemos:

2(-2x+y)+Ln 2x y 5x A

Ejercicios

1) Resuelva las siguientes e.d. :

)

)

) )

2

2 2 2 2 2

a (x+y)dx+xdy=0 Resp. x 2xy C

b xdy-ydx= x y y+ x y Cx

c (2 st s dt tds 0

) ( ) ( )

)

2

2 2

C s=t Ln

t

y y yd xcos ydx xdy ysen xdy ydx xycos C

x x x

dye x y x y

dx

y

=sen Ln x Cx

2) Supongamos que la trayectoria que sigue un mvil en un plano viene dada por cumpliendo con la ecuacin diferencial:( ). Donde: es la velocidad constante relativa al viento;2 20 0

0

dy 1v y u x y v

dx v x

es la velocidad del viento.u Si parti del punto halle la funcin que describe la trayectoria.Resp.

0 0

u u1 1

v vb x x

y 2 b b

3) Resuelva las siguientes e.d. :


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13

)

) ) (

) )

5 2

2 2 2

a (3y-7x+7) dx-(3x-7y-3)dy=0 Resp. x y 1 x y 1 C

4 y 5b x 2y 1 dx 2x 3 dy 0 Ln 2x 3 = +C

2x 3c (xy+y x dx x dy 0 y=xtg(Ln x

+C)

dy 2x y 2d) = Ln 2x y x 2 y C

dx 4x 2y 1

)( )

( ))

2

4

x y 1 2y x 4 1e y = 3arctg - Ln y 4y xy 5x 7 =C

2x y 5 23 x 2

2 x y 1f y = y x 3 =C y 2x 3

3x y 5

4) Halle la curva en la que la razn del segmento interceptado por la normal a la curva , sobre eleje ox, con respecto al radio vector (Distancia del punto Pde la curva al origen) es constante.(Vea la figura 3).

Resp.( )2 2 2 2x y k x C

Fig. 3

5) Una partcula de masa una unidad se mueve en lnea recta y es atrada hacia un punto fijo O,de esta recta, por una fuerza Siendoxla distancia de la partcula al punto O. Haytambin una fuerza de roce: que se opone al movimiento; siendo la velocidad de lapartcula cuando est a la distanciax. Halle la e.d. que describe el movimiento y resulvala.

x

y

rN

P

OA

OAk

OP


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14

Resp.

); ( ) , .2

2 2 2 2dv k v k k v x kv Ln v kvx x arctg C donde:dx x 2 4

6*) Sea . Demuestre que: (Teorema de Euler)3.3. Ecuacin diferencial lineal de primer orden

Definicin 6Denominamos ecuacin lineal de primer orden a una ecuacin diferencial de la forma:

( ) ( ) (8); con ( ) y ( ) continuas en I = (a,b)y P t y Q t P t Q t

Sea Veamos como podemos encontrar una solucin: de (8), que satisfagala condicin: .Multiplicando (8) por:

( )

( )

t

x0

P u du

t e y observando que es derivable, por serP(t)

continua enI y tambin derivable en entonces: ( ) ( ) ( )t P t t . Y en (8), tenemos:( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d t y t

t y t t y t Q t t Q t t dt

Por otra parte, ( ) ( )Q t t es continua enI, luego integrando la expresin anterior entre y x,resulta:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , pero: ( ) , y como: (t) 0 t I

0

x

0 0 0

x

x y x x y x t Q t dt x 1 , tenemos:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x t

x x0 0

0 0

x xP u du P u du

0 0

x x

1y x y t Q t dt y(x) e y x Q t e dt

x

O sea, la solucin de (8), cumpliendo con: , es:( ) ( )

( )

x t

x x0 0

0

xP u du P u du

0

x

y(x) e y Q t e dt

(#)

Recprocamente, el lector puede probar como ejercicio, que (#) satisface la e.d (8) y la condicininicial: .Para ello basta usar el teorema fundamental del Clculo Integral. Adems (#)


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15

es la nica solucin del problema, pues si hubiera otra repitiendo los pasos dados paraobtener (#), llegaramos precisamente a que:

( ) ( )

( ) ( )

x t

x x0 0

0

xP u du P u du

0

x

z(x) e y Q t e dt y x

enI.

Luego, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 2Sean Entonces el problema devalor inicial:

( ) ( ); )0 0y P x y Q x y(x y (8)

Tiene solucin nica enI,siendo sta:

( ) ( )

( )

x t

x x0 0

0

xP u du P u du

0

x

y(x) e y Q t e dt

(#)

Ejemplo 9

a) Resolvamos la e.d. :2x1 e

y 1 yx x

Primero, veamos cul es el intervaloIque conviene.

Observemos que: ( )2x1 e

P x 1 y Q(x)=x x

son continuas en luego si porejemplo, tomamos: Usando (#), tenemos:

( ) .

x t

x x0 0

0 0

1 11 du 1 dux x2t x 1 2t

u ut 1

0 0

x x

e e ey x e y e dt y e tdt

t x t

( ) 00

xx 1 x 1x 1t x 1

0 0

x

e ey x y e e dt y e e

x x

Si, por ejemplo: entonces la solucin es: ( )

x 1x 1 2ey x 2 e e

x


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16

Observacin:En realidad el procedimiento que usamos para obtener la solucin de (8), sirve fundamentalmentepara demostrar la existencia y unicidad del problema:

( ) ( )y P t y Q t ; .Ahora, en la prctica, podemos seguir el siguiente procedimiento, usando integral indefinida oantiderivada.En efecto:

Dada:2 x1 e

y 1 yx x

, la multiplicamos por:( )

( )

11 dxP x dx Lnx x xxx e e e xe

Obteniendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x

x x x x x x x1 d exe y x 1 xe y x xe y x 1 x e y x xe y x xe ex dx x

O sea: ( ) ( )2x x

x x x xd e exe y x e xe y x e C y(x)= Cdx x x

Si queremos una solucin tal que: entonces obtenemos:

2x x 2x x 1 x 1 x 1x 1 22 e 2 e e 2e e eC e y(x)= e e 2 e

e x e x x x x x

( )x 1

x 1 2ey x e 2 ex

b) Sea un circuito RL con voltaje de entrada: ( w es constante), con unaresistencia R y una bobina de autoinduccin L. Hallemos la expresin de la intensidad de lacorriente elctrica As, de acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, tenemos la ecuacin diferencial:

( ) ( ) ;di

E t Ri t L

dt

con la condicin inicial:

En nuestro caso:


25/324

17

( )

( ). Como: (t) =

( ) ( )

( ) ( )

( ) co

( )

Rt

L

R Rt t

L L

R Rt t

L L

R Rt t

L L

diV 120sen wt Ri L

dt

di R 120i sen wt edt L L

d 120e i t e sen wt

dt L

120e i t e sen wt dt

L

Rsen wt w

120 Le i t e

L

s( )

22

2

wt

CR

wL

( ) cos( )( )

Rt

L2 2 2 2 2 2 2 2 2

120wL Rsen wt wL wt 120wLi 0 0 C= i(t)=120 e

R w L R w L R w L

( ) cos( )R

tL

2 2 2 2 2 2

Rsen wt wL wt 120wLi(t)=120 e

R w L R w L

El primer sumando recibe el nombre de componente estacionaria, y el segundo, componente

transitoria, pues cuando ella se hace cero.Ejercicios

1) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

) ( ) ( )

) ( )

) ( )

3 4 2

sent

2 2 2 tgx

1a y y x 1 Resp. 2y=(x+1) C x 1

x 1

ds 1b cost s sen2t s=sent-1+Ce

dt 2dy

c cos x sec x y sec xtgx y=tgx-1+Cedx

L

R

V=120sen(wt)

Fig. 4


26/324

18

) ( ) ( )

) ( ) ; ( ) ( )

)

)

2 2

2 y

3x 3x3

2 3 22 2 2

2 3

d ydx 2x xy 4 dy 0 xy 4 y 1 Ce

e x 1 y 3x y 6 xe y 0 1 y=e 3 x 2 2

1 1 1 C f y y=x 1 y= x x+

x 4 2 x

g y +(t

2gx)y=sen2x; y(0)=1 y=3cosx 2cos x

2) Sea la ecuacin diferencial: ( ) ( ) , con , .ny P x y Q x y n 0 1 y P,Q continuas en unintervalo A esta e.d se le llama ecuacin de Bernoulli.Demuestre que haciendo elcambio: n 1u y , la e.d de Bernoulli, se transforma en una e.d. lineal de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )du 1 n P x u 1 n Q xdx

3) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales, usando el problema anterior:

) .

) ( )

)

23 3 2 2 x

2 3 2 3 ax

3 3 2 4 2

a y xy x y Resp y x 1 Ce 1

b 3y y ay x 1 0 a y Ce a x 1 1

1c y y x y y x Cx 1

x

) ( ) ;

) ( ( ) - ) ( ) ( )

3 12 2 6 5 2 22 2

2

d 5 1 x y xy x 1 x y 0 y 1 x C 3 1 x

e dx dy 2xcsc 2y x 0 cot y +xLnsen y =Cx

4) Sea la ecuacin diferencial: ( )y P t y 0 8 , con continua en a) Demuestre que si son soluciones de entonces: tambin es solucin de la e.d.

b) Sea una solucin de: ( ) ( )y P t y Q t 8 , donde es continua enI.Demuestreque es solucin de (8) si, y slo si: es solucin de .

5) En el ejemplo 9b, reemplace la bobina de induccin por un condensador de capacidad C,constante. Aplique la segunda ley de Kirchhoff, y luego derive. De esta manera obtendr la e.d.lineal (Circuito RC):


27/324

19

( )di 1 dE t R i

dt C dt , siendo: ( ) ( )0E t E sen wt .

De nuevo, la condicin inicial es:

Resp.

/( ) cos( ) ( ) ; :( )

t RC 0 0

22

wE C wE C i t Ke wt wRCsen wt donde K=

1 wRC 1 wRC

3.4. Ecuaciones diferenciales exactas

Definicin 7

Diremos que la expresin:

es una diferencial exacta en un dominio

si existe una funcinf, diferenciable sobreD, tal que: En este caso, tenemos que: , enD.Asimismo, diremos que la ecuacin diferencial: (9), es exacta, si lo es.Teorema 3 (Sin demostracin)

Si

(9) es exacta enD, y f es tal que:

, enD.

Entonces la solucin general de (9) enD, es: .Para una demostracin, vea [8], teorema 2.2.1.

Ejemplo 10

Para la e.d.: v la funcin: , cumple con: en Luego, la ecuacin diferencial es exacta, y:

es su solucin

general.Teorema 4Sean: , funciones con derivadas parciales continuas en un dominio Entonces: (9)es exacta si, y slo si: enD.En este caso la solucin general viene dada por:


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20

( , ) ( , ) ( , ) , donde (x , )

0 0

yx

0 0 0

x y

f x y P u y du Q x v dv C y D (fijo)

Demostracin:Si (9) es exacta, entonces existe tal que: pues: en D. O sea: es unafuncin conservativa en el dominioD, luego: es irrotacional (Vea [11], Cap. I).O sea:

( , ) ( ) ( ) ( ( , ) ( , ))

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y

x y

i j k

F x y 0 0 i 0 0 j Q x y P x y k 0x y z

P x y Q x y 0

Q x y P x y en D.

Recprocamente, si en D, entonces: ( , )F x y = 0 , luego esconservativo enD, es decir, existe Por lo tanto: O sea: (9) esexacta, pues: Asimismo, de acuerdo al Clculo Vectorial, tenemos que:

es una funcin potencial de y adems, por reglas de derivacinbajo el signo de integral, tenemos:( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , )]

( , ) ( , ) [ ( , )] ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

0 0

0

y y

x 0 1 0 1

y y

y

x 0 2 0 0

y

f x y P x y D Q x v dv P x y D Q x v dv

f x y P x y D P x v dv P x y P x y P x y P x y

Similarmente:

( , ) ( , ) ( , )

0

y

y 2

y

f x y 0 D Q x v dv Q x y (x,y) D

Ejemplo 11Resolvamos la ecuacin diferencial:

( ) .y y2x e dx xe dy 0

( , ) ( , ) ( , ) , donde (x , )

0 0

yx

0 0 0

x y

f x y P u y du Q x v dv y D


29/324

21

Como vemos:( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

y y

yy

y xy y

x

P x y 2x e P x y eP x y e Q x y

Q x y xe Q x y e

Luego, es exacta. Por lo tanto, su solucin general es:

( , ) ( ) ( )

( , )

0

0 0

0 0 0

00

yx

y v

x y

x yy y y2 v 2 y 2 y

yx

f x y 2u e du xe dv C

f x y u ue xe x xe xe xe x xe C

( , )

2 y

f x y x xe C

Otra forma de encontrar la solucin general, es la siguiente:

Como: Donde es una funcin arbitraria, derivable de y. Pero: luego:

Luego: Factor integrante

En general,la mayora de las ecuaciones diferenciales tipo: , no sonexactas en un cierto dominio, es decir existe tal que: Nos preguntamos, si ser posible encontrar una funcin con derivadas parciales continuasen el dominioD,de tal manera que:

sea exacta, o sea que se cumpla que: enD. A tal funcin se le denomina: factorintegrante de la E.D (9). O sea:

(10)


30/324

22

La ecuacin (10) recibe el nombre de ecuacin diferencial en derivadas parciales cuasi-lineal.La cual, bajo ciertas condiciones, tiene solucin, siendo esta, el factor integrante buscado. Sinembargo, resolver la ecuacin (10), puede ser muy complicado. Por esta razn , hallaremos

algunos factores integrantes, ms como ejercicio de derivadas parciales, que como mtodo pararesolver ecuaciones diferenciales tipo (8). Sobre todo si se conoce a priori alguna propiedad delfactor integrante, como por ejemplo que sea slo funcin dex, o dey, dexy, etc. Lo que hace a laecuacin (10) ms sencilla.

Ejemplo 12

Sabiendo que: acepta un factor integrante de la forma: encontremos este factor integrante, y apliquemoslo para resolver una e.d. que est en este caso.En efecto, cuando: la ecuacin (10), queda as:

( , ) ( , )( )( , ) ( ) ( , ). ( )( ( , ) ( , ))

( ) ( , )

y x

x y

P x y Q x yxQ x y x P x y 0 x Q x y P x y

x Q x y

Luego, si( , ) ( , )

( , )

y xP x y Q x y

Q x y

slo depende dex, es porque el factor integrantedepende dex,

nicamente.Consideremos la e.d. :

Luego: Por lo tanto no es exacta, pero:

( , ) ( , )

( , )

y xP x y Q x y 2y y 1 d 1 Ln =Lnx (x)=x

Q x y xy x x

Tomamos C= 0, por razones de sencillez. Luego, multiplicando la e.d. por , tenemos: (#)

Ahora, tenemos:

Como (#) es exacta, al aplicar la frmula, resulta: (haga Ud. los clculos)


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23

Proponemos al lector, que resuelva la e.d. (#), usando el segundo mtodo que indicamos en elejemplo 11.

Ejercicio (Sub-seccin 3.4)


)

)

) cos

3 3 4 2 4 3

32 2 2

12 2

2 2 3

1 1 xa 4x y dx 3x y dy 0 Resp. x y Ln C

x y y

Lny 1 1 xb x dx Ln x x 1 dy 0 +Ln x x 1 Lny 1 =C

y 3x 1

c 3x y 2y dx+ 2x y

cos

( ))

3 2

3 2 2 2 3

12xsen2y 2y dy=0 x y xcos2y sen2y=C 2

Ln Lny 2 Lnx 1d xy dx+ x y dy=0 Lnx Ln Lny + x y =C

x 3 yLny 3

)

)

) (

2 2

e xy +y= 4 xy+4x=C

f 2xsen3ydx 3x cos3ydy=0 x sen3y C

g 6

) ( )

) ( )

) cos se

3 2 2 2 3 2

2 2

x x

xy y dx 4 y 3x 3xy dy 0 y(0)=1 3x y xy 2y 2

dy 2x yh y 1 =1 x y xy 3

dx x 2y

i e seny tgy dx e y x

c2 xy dy 0 e seny xtgy C

2) Encuentre el factor integrante y con l, transforme la e.d en exacta, luego, resu;elvala porcualquiera de los dos mtodos.

) ( )

) ( )

) ( )

2

a ydx xdy 0 con = y Resp. y Cx

b 2ydx+xdy=0 con = x x y C

c y 1 dx xdy 0 con

( )

) ( cos3 4 3

xy x y cx+1

d x+3x seny)dx+ x y dy=0 con = (x) x+x seny C

) ( ) ( )

) ( ) ( )

2 2 2 2

4 8 5 7 m n 7 2 3 9

e x y y dx xdy 0 con x y y tg C x

f 7x y 3y dx 2x 9xy dy 0 con x y x y x y C

) ( , ) (cos cos )

) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

g tgydx+tgxdy=0 con x y x y senxseny C

h x 2xy y dx x 2xy x dy 0 con x y x y C x y


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24

3) Sea la e.d.: homognea de grado m (O sea,P yQsonfunciones homogneas de grado m).

a) Demuestre que si: ambas, continuas enD,entonces: es factor integrante de la ecuacin diferencial (#).eb) Ahora, si: entonces, la solucin general de (#), es: c) Aplique lo anterior para resolver la e.d. :

d) Idem, para:

Sugerencia: use el problema 6, seccin 3.2 (Teorema de Euler)

Resp.c) 4. Consideraciones geomtricas alrededor de la ecuacin diferencial de primer orden.

4.1. Envolvente

Dada la familia de curvas: denominamos envolvente de esa familia, a una curvaL, tal que en cada uno de sus puntos es tangente a una curva de la familia.Ejemplo 13a) La familia de circunferencias: tiene como envolvente, al par de rectas: (Vea la figura 5).

Fig.5

x

y

x=2x=-2

O


33/324

25

b) La familia de las rectas: es la familia de lasrectas cuya distancia al origen es constante e igual a Como ms adelante demostraremos, la envolvente de dicha familia es la circunferencia de centro

el origen y radio (Vea la figura 6), o sea: En lo que sigue enunciaremos un teorema que nos permitir hallar esta envolvente. Lademostracin de este teorema, la obviaremos por razones de nivel, no obstante puede consultarseen [10].

Fig. 6

Teorema 5Sea donde tiene derivadas parciales continuas en un dominio y adems en La curva que se obtiene eliminando Cpor medio del sistema:

Es la envolvente de la familia de curvas: Ejemplo 14a) Hallemos la envolvente de la familia de circunferencias: fijo).Para ello, formamos el sistema:

x

y

O

cosx ysen p

p es constante, p 0

x2+y2= p2


34/324

26

O sea, la envolvente es el par de rectas: (Vea la fig. 7).

b) Sea:

la familia de las rectas que distan del origen una

distancia igual ap(Vea la fig. 6). Para hallar la envolvente de ella, de acuerdo al teorema 5,eliminamos por medio del sistema:

Reemplazando en (ii), resulta:

2

2 2 2 2

2

x xyx 1 0 -x p x xy 0 x p x y 0

pp

Luego la envolvente a la familia es: 2 2y p x , o sea; se trata de lacircunferencia: Nota: la recta no es envolvente, por que por ejemplo, no toca a dos miembros de lafamilia, como son:

x

y

y=2

y=-2

(x - a)2+y2= 4

Envolvente: y = 2, y = - 2

Fig. 7


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27

4.2. Solucin singular de una ecuacin diferencial

El siguiente teorema, relaciona el concepto de envolvente con la solucin general de unaecuacin diferencial, tipo: Para su demostracin, puede ver [10].Teorema 6Sea la solucin general de la ecuacin diferencial: en un ciertodominioD. Si acepta derivadas parciales continuas en entonces laenvolvente: de , tambin es solucin de Nota: si la solucin ,no pertenece a la familia diremos que es solucinsingular de (1).

Ejemplo 15

Encontremos la solucin singular (Si es que existe) de: 22 2y 1 y a (#), con constante.Hallemos primero la solucin general. Despejando a: y , tenemos:

( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2

a y dyy dx a y x C x C y a

y a y

Luego, la solucin general de la e.d.(#), es la familia de circunferencias: ( )2 2 2x C y a .Hallando su envolvente, resulta:

(Vea la fig.7). Como ambas funciones no

pertenecen a la familia: ( )2 2 2x C y a (solucin general de(#)), concluimos diciendo que: , son soluciones singulares de (#).4.3. Ecuacin diferencial de Clairaut

A la ecuacin diferencial: (11), donde tiene derivada continua en yadems es biyectiva en se le conoce como ecuacin diferencial de Clairaut.El siguiente teorema nos explica cmo obtener la solucin general y la solucin singular de (11).

Teorema 7La ecuacin diferencial de Clairaut: con continua ybiyectiva sobreun intervalo abierto Entonces, la solucin general de (11) es: su envolvente es una solucin partcularDemostracinComo es derivable, podemos derivar (11), obteniendo:


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28

( ) ( ) ( )y xy y y y 0= x y y y 0 o x y 0

En el primer caso, tenemos: ,y 0 luego reemplazando en la e.d., tenemos: ( )y xC C (#) La cual es la solucin general de (11).

Ciertamente: es solucin general de (11), pues dados: , como: entonces, luego: Luego, hay un valor de la constante arbitraria C,tal que hace que pase por: Por el teorema 6, la envolvente de (#), es solucin singular de (11), de manera que eliminando C,por medio del sistema, obtendremos la solucin singular: As, de la segunda ecuacin, tenemos:

Luego, una solucin particular de (11) es:

Ejemplo 16

a) Encontremos la solucin general y una particular de: 21

y xy y2

De acuerdo al teorema 7, la solucin general es:

21y Cx C2

Para hallar la solucin particular, eliminamos C por medio del sistema:

2

2 2 2

1 y Cx C 1 1

y x x x22 2

x C 0

Luego, la solucin singular es:


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29

b) Resolver: (#)2

xy y y .

Primero, hacemos:

(##)2 2 3 2 21 1z y z= xz + z z xC C y Cx C x Ax B6 2

Ahora, para hallar la solucin particular de (##), eliminamos Cpor medio del sistema:

2

22 2 2

2

z Cz C 1 1 1 1 1 C z z z z z y y

2 2 4 4 4z 2C 0

1y 1 y 0 y =0 y = 4 y Ex F y 2x Hx L

4

Donde: E, F, H y L son constantes arbitrarias. De manera que en realidad (#), tiene comoenvolvente de su solucin general, a dos familias de curvas, ya que la solucin general de (#),tiene tres constantes arbitrarias: La razn de este resultado, es que (#) no es unaecuacin de Clairaut, sino que se reduce a (##), que es de Clairaut, mediante el cambio:

x

y

21y x2

Envolvente

y = C x + C2/2Solucin general

Fig. 8


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30

4.4. Trayectorias ortogonales

Consideremos un haz de curvas: Si la curva corta a cadamiembro de la familia ( i ), ortogonalmente, es decir, las rectas tangentes a cada curva, en elpunto de corte, forman un ngulo recto, diremos que ( ii) es una trayectoria ortogonal de lafamilia ( i ).

En el caso en que la familia ( i ), sea la solucin general de una ecuacin diferencial de la forma: entonces podemos obtener la trayectoria ortogonal, resolviendo la ecuacindiferencial:

( , )1

f x yy

(12)

Resolviendo la ecuacin (12), obtendremos de su solucin general, una familia, donde cadamiembro es una trayectoria ortogonal de ( i ) (Vea la fig. 9a).

Ejemplo 17

a) Encontremos la familia ortogonal a la familia de circunferencias: Derivando la ecuacin anterior con respecto a tenemos: Despejando C de (##), y reemplazando en (#), tenemos:

2 2

2xyy

1 x y

Por lo tanto, la ecuacin diferencial que nos va a proveer la familia ortogonal, ser:2 2

1 x yy

2xy

y (Ecuacin difrencial tipo Bernoulli)2 2

11 x y 1 1 xy y y2xy 2x 2x 2

Vea el problema 2, seccin 3.3. En este caso: luego el cambio en la ecuacindiferencial, debe ser:

. Por lo tanto:

( )

1 2

11Lndx

Lnx xx2

1 1 x 1 1 1 1 1 1 1y y y yy y x u u x

2x 2x 2 2x 2 x 2 2x 2 x

1 1 1 d 1 1u u x x e e e u 1

x x x dx x x


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31

O sea:

( )

2 2 2

2 222 2 2

1 1u x B u 1 x Bx y 1 x Bx

x x

B Bx y 1 x A y A 1 A 1

2 2

Veamos qu representa la familia: . As, completando cuadrados, yhaciendo:

CD

2 , nos queda la ecuacin:

Esta ecuacin representa a todas las circunferencias de centro y radio: con

Por ejemplo, entre ellas est:

(Vea la fig. 9).

Por otra parte, nuestra familia ortogonal a (#), es la familia de las circunferencias de centro: y radio: O sea: ( )

2 2 2x A y A 1 A 1 (##)

(Vea la figura 9b, donde las circunferencias rojas, pertenecen a la familia (#), y las negras a lafamilia (##)).Nota:el lector puede comprobar que la familia (#), tambin representa a las circunferencias quepasan por los puntos:

x

y

x2+(y+C)2=1+C2

(x-A)2+y2=A 2-1

P1 P2

P1=(-1,0)P2=(1,0)

;A 1;C

Fig. 9b

x

y

( , )0 0m y x y

( , )0 0

1m

y x y

Fig. 9a


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32

Ejercicios

1) Halle la envolvente de las siguientes familias de curvas:

)

)

)

)

2 2

2

2 2 4

1a y Cx C Resp. y x

4

1b y Cx y 4x

C

1c Cx C y 1 y x

4

d

)

)

2 2

3 2 3 7

2 2 3 2

1 y Cx C y=x

4

1 1e y Cx C x y= x + x3 27

f Cy =C x +xy y =4x

2) Halle la envolvente del haz de rectas tales que los ejes de coordenadas interceptan a estasrectas en un segmento de longitud constante a.

Sugerencia:la recta que pasa por es 2 2 2x y 1 con A B aA B

.

Resp./ / /2 3 2 3 2 3x y a

3) Halle la solucin general y la particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) ( ) con Resp. ; ( )

b) ( ) ;

c)( )

2 2

2 2 2 2

2

1p x 1 p 1 y p y y Cx y 1 4

C

y xy 1 y y Cx 1 C y x 1

1y xy

y

; =

d) ;

3 2

2

2 2 2

1 27y Cx y x

4C

1 1y xy y y Cx C y x

4 4

4) Halle las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:


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33

Ejercicios de repaso

1) Encuentre una ecuacin diferencial de la cual sea solucin: Resp. 2) Tiene solucin la e.d. : Resp.No, pues el miembro izquierdo es no negativo, y el derecho es negativo.

3) Determine en qu dominio tiene solucin la e.d. : Resp.En pues: tiene derivadas parciales continuas en todo 4) Idem, para: /2 3

5y y

2 .

Resp. 5) Verifique que la funcin

, situada del lado izquierdo es solucin de la ecuacin

diferencial de la derecha:

) (n constante) Resp. ( )

) ( ) (p constante)

)

n 2 2

x

2 p

2 2

a y ax x ny C C 0

b y 2 p x C y Ae

c x y 2ax y

( )

) ( )

) cos

) cos

2

2 2

32

2 2 2 2 2

x 2

x

A x y

xd y x y A y 2x

2a x

e seny ke x A y

f e y k

( )

) ( ) =C

) cos y ( )

2 2

x

2 2 2 x y

2 2

e seny A

g x A 1 y x Ae

h y C x Ln sen x A


42/324

34

) ( )

) ( )

) ( )

x

2 x 2 x

2 x 3x

a f x e y y 0

b f x Ae Be y 4 y 0

c f x Ae Be

/

) ( ) cos

) ( )

) ( )2

1 22 3

x

x t

0

y y 6 y 0senx

d f x xy y xx

e f x x 1 x yy x 2x

f f x e e dt C

) ( )

) ( ) ( +C)

) (

2x x

x

0

x x y

y y e

sentg f x x dt xy y xsenx

t

h f x Ln e y e

i f

) ( )

) ( ) ( ) ( )( )

2x x x x

x

2

1x e 1 2Ln e 1 1 e y e 0

e 1

Lnx xj f x x 1 x y 1 4x y 2 y 0

1 x

6) En lo que sigue, se dan funciones en forma implcita. Compruebe que sonsoluciones de la ecuacin diferencial de la derecha.

)

) ( ) ( )

y y

2 2

a e Cx 1 xy 1 ey

b arctg Ln C x y 0 x y dx x y dy 0x

) ( )

) ( ( ))

)

x

2 2 2

0

4 2 2 2 2

3

c x y sen t dt y xy y sen x

d x 2x f x 16 0 xyy x y 0

1e y y x C

x

) cos ( )

22

2

5 4 2

x 1y x

3y 1

f y senx y C y xdx 4 ysenx dy 0



43/324

35

) ( ) Resp. ( )

)

)

2 2

2x 2x x

2 2

a x 1 y y 1 0 x y C 1 xy

b y y e y e Ce

c xy x y y

) ( )sec

)

3x x 2 x

yarcsen Lnx C x

d 3e tgydx 2 e ydy 0 tgy C 2 e 0

x y 1e y

2x 2y 1

( )

)

) cos

2

2

x 2y 3Ln x y 2 C

1f xy y y Lnx y

1 Cx Lnx

g 2xsen3ydx 3x 3ydy 0

) cos cos cos cos

2x sen3y C

h senx ydxx xsenydy 0 y C x

/

) ( ) ( ) ( )

)

)

2 1 x

2

4 y 5i x 2y 1 dx 2x 3 dy 0 Ln 2x 3 C

2x 3

1 2xj y y 1 0 y x 1 Ce

x

ydx xdk xdx ydy

+y2 2

2 2

y yx 2arctg C

xx y

/) ( ) y

) y e +C

2 2 1 2

y y

2

4l x 4 y dy 2ydx 0 x Cy

5

dx y 1m 2xLnx xe Lnx

dy y

) ( ) ( )

) cot csc

)

2

x 4

n y x y y tg x C x

o y y x x ysenx x C

p 2y 3xy e y

( )

) cos sec (sec )cos

) ( ) ( )

3 x 2

3

2 2

2 2

y e x 1 C x

1q xy ysenx Ay A xtgx Ln x tgx C

y x

m y y x y 0

o

) ( ) (sol. general);

2 2x2y x C 4y 2x 1 Ce

n y xy Ln y y Cx LnC y 1 Lnx

8) Halle la ecuacin que exprese el nmero de habitantes en el instante t, sabiendo que lavariacin instantnea de poblacin es proporcional a la diferencia de la natalidad menos lamortalidad . Si el porcentaje de natalida es del 2 % y el de mortalidad, del 1 %; que inicialmentehaba 10 millones de habitantes y que anualmente se reciben 25 000 emigrantes. Cul ser elnmero de habitantes dentre de 10 aos?. Cundo se duplicar la poblacin?Resp.


44/324

36

aos.9) Resuelva el circuito RL de lafigura 10. Donde:

.

Resp. 10) Resuelva el circuito de la figura 11. Donde: Resp.

12) El nmero de bacterias, en un cultivo, crece proporcionalmente al nmero presente. Elinvestigador observa que el nmero de bacterias se triplica en una hora, mientras que inicialmentehaba 1500 por cm2. Qu nmero de bacterias por cm2, habr en 5 horas?Resp.364500 por cm2.

13) Un bloque de masa 150 gr, es sometido a una fuerza,. en la direccin del movimiento, de 50gf. Asimismo, la fuerza de roce es de 10 gf, y la resistencia del viento es el doble de la velocidad,en cm/s. Si el bloque est inicialmente en reposo, halle: a) la velocidad y el desplazamiento en elinstante t; b) Idem para

Resp.

( / ) ( / )) ( ) ; ( ) ( )

) ( ) , / ; ( ) , .

980 75 t 980 75 t 75a v t 20 1 e x t 20 t e 1980

b v 2 11 52 cm s s 2 13 14 cm

C

R

E(t)=E0sen(wt)

Fig. 11

L

R

E(t)=E0sen(wt)

Fig. 10


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37

14) Halle la familia de curvas tales que la pendiente de la recta tangente, en cualquier punto, esproporcional a la abscisa del punto de contacto. Halle el miembro de la familia de curvas quepasa por:

Resp. 15) Resuelva la ecuacin diferencial: bajo la condicin: Resp.

cos2

1y

x

16) Halle la familia de curvas tal que la razn del segmento interceptado por la tangente en el ejeoy con respecto al radio vector, es una cantidad constante e igual a k.Resp.

1 k 1 k 1 1y Cx x2 C

17) Encuentre la curva tal que el producto del cuadrado de la distancia entre cada punto de lacurva y el origen, por el tamao del segmento interceptado sobre el eje de las abscisas por lanormal en el punto mencionado, es igual al cubo de la abscisa de este punto.

Sugerencia: debe llegar a la e.d. homognea( )

2

2 2

xyy

y x y

Resp.

18) Halle la curva cuya subnormal en un punto de la curva, es la media aritmtica de la abscisa yla ordenada del punto.Resp. 19) Sabiendo que acepta como un factor integrante de la forma: halle Luego, utilice esto para resolver la ecuacin diferencial: Resp.

20) Una recta se desplaza de modo que la suma de las medidas de los segmentos interceptadospor ella sobre los ejes de coordenadas es igual a la constant . Halle la ecuacin dela envolvente de este haz de rectas, adems grafique la familia de rectas y su envolvente.Resp. (astroide)


46/324

38

21) Halle la ecuacin de la familia de circunferencias de centro en la recta: y radio (constante).Luego, encuentre la envolvente de esta familia. Grafique su respuesta.

Resp. 22) Encuentre la solucin general y la singular de las siguientes ecuaciones diferenciales:

/ /) Resp. ;

) ( ) ; ( )

)

( )

2 3 2 3

2 2

2 2 2

2

y Ca y xy y xC x y 1

1 C1 y

b y xy y y y xC C C 4y x 1

1c y xy

y

;

) ( ) ( ) ( ); ( )

) ( constante )

3 2

2

1 27y xC y x 0

4Cd y 2xy Ln y x 0 y 2xC Ln C y 1 Ln2 Ln x

ae y xy a y x

2y

/

;

) ( ) ( ) ; ( )

2

23 3 5 2

aC y 2ax

2C

x 4f y y y 0 x 0 y C C x D y x A

2 15 3

23) Aplique el teorema 1b, para demostrar que el problema:

Tiene solucin nica en el disco de centro y radio .24) Halle las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:

( es el parmetro) Respuestas:

( es el parmetro)

( es el parmetro)

n 2 2

bx 2

x

a ) y ax a a ) x ny C

b ) y ae a b ) 2x by C

c ) cos y ae a

xc ) seny Ae

25) Encuentre la solucin al problema: Resp.


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39

26) Resuelva la siguiente e.d.:

Sugerencia para (b) y (d): haga

luego: . .

dz dy dz y z

dy dx dy

27) La ecuacin diferencial: recibe el nombre de E.D. deRicatti. Donde son continuas en un intervalo abiertoI.a)Demuestre que si es una solucin de (#) en I,entonces el cambio: ( ) 1y f x

v , la

transforma en la e.d. lineal: ( ) ( ) ( ) ( ).v B x 2A x f x v A x

b) Sabiendo que: es solucin de: Halle otra solucinusando (a).

Resp.

b) 28) Sean soluciones distintas de (#) en el problema 27. Halle tal que:

sea solucin de (#).

Aplique esto para encontrar una tercera solucin de la e.d. en (b), del problema anterior.Resp.


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40

CAPTULO II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN n

1. Introduccin

Definicin 1Consideremos la ecuacin diferencial: (1)Donde los: y , son continuas en un intervalo abiertoJ.A la ecuacin diferencial (1) la denomionamos: ecuacin diferencial lineal de orden n.Cuando R

,diremos que(1) es homognea.

Ejemplo 1

( )

( )

) cos , con J ; ecuacin lineal de orden 2.

) ; con J ( , ); ecuacin lineal de orden 3.

) ( ) (cos ) ; con J ( , ); ecuacin lineal

x

3 3

4 2

a 3xy y e y x

1b y xy 8x y senx x 1

x 1

c Lnx y 4 x y 9 x y 0 0 2

( )

homognea de orden 4.

d) ( ) , no es ecuacin diferencial lineal .3 2y y 8y x

Sean:

y

.

Como sabemos del Clculo, el operador:d

Ddx

es una transformacin lineal, de en Lo mismo que: nnn

dD

dx , de en En consecuencia, el operador:

Es una transformacin lineal de en Con base en lo anterior, (1) se puede escribir as:

(2)

Ejemplo 2Las ecuaciones (a), (b) y (c) del ejemplo 1, se pueden escribir as:


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41

) ( )( ) cos , donde: ( )

) ( )( ) , donde: ( )

2 x

3 3

a L D y x L D 3xD D e I

1b L D y senx x L D D xD 8x I

x 1

( )

) ( )( ) , donde: ( ) ( ) (cos )

) Para: , tenemos: ( )( ) , donde: ( ) .

4 2 2

3 x x 3 2

c L D y 0 L D Lnx D 4 x D 9 x I

d y 3y 6 y 9y e L D y e L D D 3D 6D 9I

Teorema 1

Sea (Ncleo deL), entonces es un subespaciovectorial de Demostracin:

Sean: Entonces: Luego es subespacio de Al subespacio se le llama espacio de soluciones de la ecuacin diferencial linealhomognea Definicin 2

Dadas las funciones:

si existen constantes reales:

no todas

nulas, tales que: Entonces diremos que el conjunto de funciones: es linealmente dependienteenJ.(Abreviaremos: l.d. enJ ).En caso contrario, diremos que: es linealmente independienteenJ.( l.i. enJ)O sea:


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42

Ejemplo 3

) ,cos ,cos( ) es l.d. en , pues: ( ) cos cos( ) .

) , , es l.i. en , pues si: . . . , entonces para , tenemos:

. Luego: para y

2 2 2 2

2 2

1 2 3

1

a sen x x 2x 1 sen x x 2x 0

b 1 x x C 1 C x C x 0 x x 0

C 0 x 1 x

, nos queda: y .

Por lo tanto: . Luego, , , es l.i. en .

2 3 2 3

2

2 3

1 C C 0 C C 0

C C 0 1 x x

Definicin 3Sean:

Denominamos Wronskiano de

enJ, y lo

denotamos por: o simplemente: , al determinante:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) (3)

( ) ( ) ( )

1 2 n

1 2 n

n 1 n 1 n 1

1 2 n

f x f x f x

f x f x f xW x x J

f x f x f x

Teorema 2

Sea: l.d. enJ . Entonces: Demostracin:Como es l.d. enJ,entonces, existen no todos nulos tales que: Luego, derivando (#) hasta veces, tenemos el siguiente sistema homogneo:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1 n n

1 1 n n

n 1 n 1

n 1 n n

C f x C f x 0

C f C f x 0

C f x C f x 0

Como sabemos que algn entonces tenemos que el sistema tiene soluciones no triviales,luego el determinante del sistema debe anularse. Es decir:


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43

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1 2 n

1 2 n

n 1 n 1 n 1

1 2 n

f x f x f x

f x f x f xW x 0 x J

f x f x f x

El siguiente resultado, es el contra-recproco del teorema 2.

CorolarioSi existe tal que: entonces es l.i. enJ.Ejemplo 4

) , , es un conjunto l.d. en . En efecto:

( ) ( ) ( )

a 1 x 1 x 2x 1

a b c 0a 1 x b 1 x c 2x 1 0

a b 2c 0

El sistema es compatible indeterminado, as por ejemplo acepta entre otras, la solucin: Luego, , ,1 x 1 x 2x 1 es l.d. en .

) ,cos es l.i. en = , .

En efecto:

cos( ) ( cos ) . , de manera que tenemos ( )

cos

En realidad bastaba con que hubiera un donde ( ) , de acuerd

2 2

b senx x J 02

senx xW x sen x x 1 x J W x 0 x J

x senx

x W x 0

o al corolario.

) , es l.i. en , .

Como:

( ) cos cos (cos ) cos

cos cos

( ) . Por ejemplo para / , tenemos: ( / ) .

De nuevo, por

2 2 2

3

c senx sen2x J 02

senx sen2xW x 2senx 2x sen2x x 2senx x sen x 2senx x

x 2 2x1

W x 2sen x x 6 W 6 04

el corolario: , es l.i. en , .senx sen2x J 02


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44

En realidad, es l.i. en cualquier intervalo abiertoque contenga a /6.Nota:Si es l.i. enJ, e inclusive tienenderivadas de orden hasta n-1, no necesariamenteexiste En efecto, tomando: y Se puede demostrar, fcilmente, que son l.i.en , (Vea la Fig. 1), sin embargo:

( )

2x x xW x 0 x

2 x 2x

En otras palabras, el recproco del corolario no

siempre se cumple.Teorema 3 (De existencia y unicidad)

Sea: (2), con y con continuas enJ Sea: y sean: Entonces existe una solucin de (2),y slo una, enJcumpliendo las siguientes condiciones iniciales:

Nota:

La demostracin se puede consultar en [1], tomo II, Cap. VI y VII.Ejemplo 5

) En la ecuacin diferencial: , ( ) , ( ) , ( )

( ) , son continuas en ( , ). Adems: ( ) . As, si , e

existe u

x

2 1 0

2 0 0 1

1 x 1 xa y y e y senx a x a x a x

x 1 x 2 x 1 x 2

1y R x senx J 1 2 a x 0 x J x J y y

x 1

na solucin nica para el problema:

( )( )

x

o 0

0 1

1 xy y e y senx

x 1 x 2

y x yy x y

) El problema: ( ) con ( ) ; ( ) , tiene solucin nica en ( , )

pues , , , son continuas en , y ( ) en .

2 x

2 x 2

2

b x y senx y e y 1 y 1 2 y 1 1 J 0

x senx e y 1 J a x x 0 J

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f1(x) = f2(x)f1(x)

f2(x)

Fig. 1


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45

A continuacin veremos que si es l.i. enJ,y son soluciones de (1) o (2), entoncesexiste tal que: Es decir se cumple, en este caso, el recproco delcorolario al teorema 2.

Nota: como en el teorema 2, hemos supuesto que entonces la ecuacindiferencial (1), y en consecuencia (2), se puede escribir en la forma mnica, al dividir la ecuacindiferencial por es decir:

Donde:

( ) ( )( ) ( , , ); ( )

( ) ( )

i

i

n n

a x R xb x i 1 n 1 Q x

a x a x , continuas enJ.

Por esta razn en adelante, siempre escribiremos la e.d. lineal de orden n, en la forma (4).

Asimismo, en el caso homogneo, tenemos:

(5)Teorema 4

Sean: soluciones de (5) en el intervalo abiertoJ. Entonces: esl.i. en J, si y slo si: existe tal que: Demostracin:

Sea Supongamos que: enJ. Entonces el sistema:(I)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 n n

1 1 n n

n 1 n 1

1 1 n n

C f x C f x 0

C f x C f x 0

C f x C f x 0

Tiene solucin no trivial, para cada pues el determinante del sistema es nulo.Sea:

la cual es solucin de (5), de acuerdo al teorema 1.

Sea fijo). Entonces: de acuerdo al sistemalineal de ecuaciones (I). Pero, la funcin tambin es solucin de (5), ycumple: . Luego por el teorema 3, debe tenerse que: enJ. Por lo tanto: donde algn


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46

Entonces: sera l.d. enJ, contrario a la hiptesis. Luego, debe existir talque: Es el corolario del teorema 2.Teorema 5Para tenemos que: .Demostracin:Primero demostremos que si (5) es de orden n , entonces en existen nsoluciones de (5)linealmente independientes.Por el teorema de existencia y unicidad, para existe una nica solucin cumpliendo lascondiciones iniciales:

para: y O sea:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) det

( ) ( ) ( )

1 0 2 0 n 0

1 0 1 0 1 00

n 1 n 1 n 1

1 0 2 0 n 0

f x 1 f x 0 f x 0 1 0 0

0 1 0f x 0 f x 1 f x 0W x 1 0

0 0 1f x 0 f x 0 f x 1

Luego, por el teorema 4, es l.i. enJ.Demostremos ahora que

genera a

Como es l.i. enJ, entonces por el teorema 4, existe tal que: Sea una solucin no nulade (5). Observemos que el sistema lineal:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Con ( )

( ) ( ) ( )

1 1 n n

1 1 n n

n 1 n 1 n 1

1 1 n n

C f x C f x f x

C f x C f x f xW x 0

C f x C f x f x

Es compatible determinado, con solucin no trivial, es decir, algn pues si todos los entonces por el teorema de existencia y unicidad, Sea: Entonces,g es solucin de (5), y como:

( ) ( ) ( )1 1 n nC f x C f x f x


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47

( ) ( ) ( )1 1 n nC f x C f x f x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n 1 n 1 n 11 1 n nC f x C f x f x

Luego, de nuevo por el teorema de existencia y unicidad, tenemos que: en J. Por lo tanto: O sea: genera a y como es l.i., entonces es base de luego:

.Definicin 4Dada la e.d.: continua en el intervalo abierto J . Y sea: una base de , entonces a lasolucin de (5): (6)La denominamos solucin general de(5).

Esto porque cualquier solucin de (5), se puede escribir como combinacin lineal de labase, es decir: Ejemplo 6Las funciones: son soluciones l.i. de: Por lo tanto: es base de Luego, la solucin general de la e.d. es: Teorema 6Sea: una base de y sea una solucin particular de:

Entonces la solucin general de (4), viene dada por:

( ) ( ) ( )

n

i ii 1

f x x C f x (6)

Demostracin:

Sea una solucin de (4), entonces: , y como tambin es solucinde (4), entonces: Luego: pues:


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48

Como

es base de

enonces, existen reales:

tales que:

Luego: Ejemplo 7

Para la ecuacin diferencial lineal no homognea, de orden 2:

(#)Tenemos que una base de

es:

(Comprubelo!), y una solucin

particular de la no homognea es: luego, de acuerdo al teorema 6, la solucin generalde (#) es: .Nota:El operador responde a las leyes de la potenciacin, es decir cumple con las leyes:

Pero debe tenerse cuidado al multiplicar operadores tipo:

Pues por ejemplo: puede no tener sentido, a menos que se derivable, en estecaso tendramos: Veamos el siguiente ejemplo.Ejemplo 8Calculemos:

Por otra parte:


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49

Luego: Vea tambin el numeral 4, del siguiente grupo de ejercicios.No obstante, cuando los sean constantes, es decir que: ,Entonces si se pueden multiplicar como polinomios.Por ejemplo: Vea tambin el numeral 5, del siguiente ejercicio.

Ejercicios

1. Sean: Halle Resp. 2. Demuestre que:

a) con: , y distintos entre si, es l.i. en

es l.i. en

es l.d. en para (fijo).3. Sean:

parapara( ) ; ( ) ; ( )

parapara

3

3

1 2 33

1 x 01 x x 0f x f x f x 1 x

1 x x 01 x 0

Demuestre que:

a) son continuas en b) en c) es l.i. en d) Qu concluye con respecto al corolario del teorema?

e) Podrn ser soluciones de una misma e.d. tipo (5)?.


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50

Resp.d) El recproco del corolario 2 no siempre se cumple. e) No, pues de existir tal e.d., entonces

tendramos una contradiccin con el teorema 4.4. Sean: Calcule: Soniguales?

Resp.

.5. Calcule:

) ( )( ) ; ) ( )( ); ) ( )

) ( )( ); ) ( )( ); ) ( )

2 2 n

2

a D 2I D I b D 2I D 2D 5I c D aI

d D xI D xI e xD I xD 2I f xD 2I

Resp.

) ; ) ; )

) ( ) ; ) ; )

3 3 n n 1 n 1 n

2 2 2 2 2 2

n na D 3D 2I b D D 10I c D aD a D a I

1 n 1

d D xD 1 x I e x D xD 2I f x D 5xD 4I

6. Calcule:

) ( ); ) ( )( ), donde: ( ) , ( , , , )m kx kx nn 1 0 ia D e b L D e L D a D a D a I a i 0 1 n

Resp.

) ; ) ( )( ) ( )m kx kx kxa k e b L D e L k e .

7. Seaf una solucin de la e.d.: en Halle en funcin de Resp. 8. Sean soluciones de la e.d. (5), de orden dos, en un intervalo abierto J. Y sea fijo). Demuestre que:


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51

( )

) ( ) ( )

) Si , es l.i. en , entonces: ( ) , .

x

1

c

a t dt

1 2

a W x W c e

b f f J W x 0 x J

9. Enunciey demuestre la propiedad anterior, para el caso general de orden n.

2. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes

En lo que sigue estudiaremos la forma cmo obtener soluciones linealmente independientes de laecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes, es decir:

La cual escrito en trminos del operadorD, nos queda as: donde el operador es: A este operador, le asociamos el polinomio: el cualrecibe el nombre de polinomio caracterstico asociado a la ecuacin diferencial (5).

Como sabemos del Clculo de Variable Compleja y el Algebra, todo polinomio de grado concoeficientes reales se puede descomponer en la forma:

Donde las son las races reales o complejas, distintas del polinomio.Como en el caso de los coeficientes constantes, se comporta como un polinomio, tenemosque el operador se puede descomponer en la forma: (7)Ejemplo 9

) ( )( )

) ( )( )

) ( )( )

2

3 2 2

2

a D 3D 2I D 2I D I

b D 7D 16D 12I D 3I D 2I

c D 9I D 3iI D 3iI

Teorema 7

Sea Si Se decompone en la forma: entonces tenemos que: Para


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52

Demostracin:Primero observemos que el producto de operadores con coeficientes constantes, esconmutativo, luego en

el orden de los factores lo podemos cambiar

como queramos.Sea: , entonces:

Por lo tanto: osea: Veamos ahora los diferentes casos que se pueden presentar cuando hallamos las races delpolinomio caracterstico 1) Todas las races son reales y distintas entre si.

2) Tiene una raz real mltiple de orden n.3) Es de orden dos y tiene como races a: con 4) Combinacin de los casos anteriores.Caso 1: tiene las n races reales y distintas

Teorema 8

Sea: , tal que su polinomio caracterstico es: esuna base de

Por lo tanto la solucin general de (5) es:

(7)Demostracin:

Como entonces: Sea con Entonces: Por lo tanto:

Luego, por el teorema 7, tenemos que: .O sea: Adems:


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53

Luego, de acuerdo al teorema 4, tenemos que: es l.i. y como de acuerdo alteorema 5, entoncesBes base de Por lo tanto la solucin general de (5), es:

(7).

Ejemplo 10

) Dada la e.d.: , tenemos que: ( ) ( )( ). Luego:

( ) es la solucin general.

) Para: , tenemos: ( ) ( )( )( ). Lueg

2

L

4 x x

1 2

3 2

L

a y 5y 4 y 0 P x x 5x 4 x 4 x 1

f x C e C e

b y 4 y y 6 y 0 P x x 4x x 6 x 1 x 2 x 3

o:

( ) es la solucin general.

Si por ejemplo, se pide que: ( ) y ( ) , ( ) ; debe cumplirse que:

; ; . O sea: ( ) es la solucin partic

x 2x 3x

1 2 3

x 2x 3x

1 2 3 p

f x C e C e C e

y 0 1 y 0 8 y 0 22

C 1 C 1 C 3 f x e e 3e

ular solicitada.

Caso 2: tiene una raz real mltiple de orden nTeorema 9

Sea

con:

para un cierto

Entonces: es una base de y por tanto la solucin generalde: es: (8)Demostracin:


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54

Haremos la demostracin, usando induccin sobre el orden de la ecuacin diferencial.

Para tenemos: Cuya solucin general es: Como vemos, la tesis del teorema se cumple para Aunque no es necesario, para efectos dela demostracin, el hacer la prueba para lo haremos para inducir la forma de la solucin.As, si tenemos: Haciendo: nos queda:( )

Luego:

( ) ( )

( ); donde: y .

ax

ax ax ax ax ax

ax ax

1 2 2 1

D aI u 0 u au 0 u Ae

dD aI y u Ae y ay Ae e y e y A e y A

dx

e y Ax B y e C C x C A C B

Por lo que para tambin se cumple la tesis.Supongamos que se cumple para es decir que la solucin general de: es: (Hiptesis inductiva)

Sea, entonces la ecuacin diferencial: (#)Haciendo: (#) nos queda as: Y por la hiptesis inductiva,tenemos que:

Ahora, como: entonces, resolviendo laecuacin diferencial lineal: Tenemos:

Luego:

Donde: Luego, la tesis es vlida Pues hemos demostrado que los elementos del conjunto:


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, generan a y como: entoncesBes base de El lector, de paso, observar que hemos demostrado indirectamente que B es l.i. De todasmaneras, lo invitamos a demostrarlo, directamente de la definicin de l.i.

Ejemplo 11

( )

) El de la e.d. : es: ( ) ( ) .

Luego, de acuerdo al teorema 9, la solucin general de la e.d. es: ( ) .

) Para la e.d. : , tenemos qu

2 2

L L

2x

1 2

3

a P y 4y 4 y 0 P x x 4x 4 x 2

y e C C x

b y 3y 3y y 0

e: ( ) ( ) . Luego,

la solucin general ser: ( ).

3 2 3

L

x 2

1 2 3

P x x 3x 3x 1 x 1

y e C C x C x

Caso 3: el orden de la e.d. es dos y PLtiene dos races complejas

Teorema 10La ecuacin difrencial: tiene como solucin general en a lafuncin: (10)Demostracin:

Clramente, tenemos que:

( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) sen( ) ( )

Adems: cos( ), ( ) es l.i., luego: cos( ), ( ) es base de (

2 2 2 2

2 2 2 2

D a I ax a ax a ax 0 ax N L

D a I sen ax a sen ax a sen ax 0 ax N L

ax sen ax B ax sen ax N L

), pues

dim( ( )) .

Luego la solucin general de: es: cos( ) ( )2 1 2

N L 2

y a y 0 y C ax C sen ax

CorolarioLa ecuacin diferencial: tiene como solucingeneral en , a la funcin: (12)


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Donde: son las races del polinomio caracterstico .Demostracin:Hagamos el cambio:

, escogiendo

de forma que la ecuacin diferencial

quede en la forma (9). As, reemplazando en (11), tenemos:

(#)Hallemos tal que: Resolviendo, tenemos que:

(Tomamos para mayor sencillez).Reemplazando en (#), resulta:

. Por el teorema 10, tenemos que:

cos

Como las races de: son: = i ;

a 2 2x

2

2 2

1 2

22

4b a 4b ae u u 0 u u 0

4 4

4b a 4b au C x C sen x

2 2

a 4b a a 4r ar b 0 r i

2 2 2

.

Entonces:

2b a

2

cos( ) ( ) ( cos( ) ( ) )

De manera que una base para ( ) es: cos( ), ( ) , pues ciertamente es l.i.

( Prubelo ), y genera a (

a

x x21 2 1 2

x ax

u C x C sen x y uv ue e C x C sen x

N L B e x e sen x B

N

), para: ( ) , con: .2 2L L D D aD bI a 4b 0

Ejemplo 12La ecuacin diferencial: , tiene como polinomio caracterstico a: +1. Cuyas races son:

Luego, de acuerdo al corolario de teorema 10, la solucin general es:


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Caso 4: combinacin de los casos anteriores, inclusive races complejas repetidas.

En este caso trataremos una combinacin de los casos de races reales, races reales repetidas,

races complejas, y races complejas repetidas.El siguiente teorema nos da la forma de la solucin general de la e.d. en todos los casos.

Teorema 11

Para con: (13)Tal que:

races de: Si: Entonces una base de es:

Luego la solucin general ser:

(15)

Obviaremos su demostracin, por la gran difi

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