Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se reducen a de variables separables
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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se reducen a de variables separables. Ecuaciones que se reducen a separables: f(y/x ). Ecuaciones que se reducen a separables: f(y/x). Ejemplo 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden - PowerPoint PPT Presentation
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dy yy fdx x
ln ln ln /
exp
dy dzy zx z xdx dx
dz dz dxz x f zdx f z z x
dz dx x c x cf z z x
dzx cf
yzx
z z
dy yy fdx x
sin
sin
dy dzy zx z xdx dx
dzz x z
x
dx
yz
z
dz dxxz
sindy y ydx x x
sin
ln csc cot lnsin
ln csc cot ln ln ln
csc cot
csc / cot /
dz dxz x
dz dxz z xz xz z x c cx
cx z z
cx y x y x
sinsin
dy y y y dz dxzdx x x x z x
más
2 2
2 2
sin cos2 2
sin 2sin cos 2sin cos2 2 2 2
sin cos sin cos1 12 2 2 22 22sin cos 2sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
ln cos ln sin2 2
x x dxdx dx
x x x xx
x x x xdx dx dx dx
x x x x x x
x x
dyy f ax bydx
1
1/
/
z ax dy a dzyb dx b b dx
a dz dzf
z
z bdxb b dx f
x y
z b
a b
a
dz dx x cf z a b
dyy f ax bydx
2dyy x ydx
dyy f ax bydx
2 2
22
ln2
2ln 2 ln ln 2 exp
2 2 exp
ex
2
p 2 2
dy dzy z xdx dx
dz dzz dxdx zdz dx x cz
zz c x z c xc
x y c x
y x x
z x
x
y
c
2dyy x ydx
exp
ex
2
2
p 2
2 2c x x x
x
ddx
y
y c x
2 exp 2 2dy x y y x c x xdx
1 1dyydx x y
dyy f ax bydx
22
2
1
11 1
1 12 2
2
dy dzy x zdx dx
dz zdz dxdx zzdz dx x c
z x c x y x c
x y c
z x
x
y
1 1dyydx x y
,
, ,es homogenea si
dyy f x ydx
f x y f x y
,
1
1,
, ,
dy dvv xdx dxv x
dvv x f x
d dxf
y
x
x
x fdx
v
Sustituir con
La ecuación resultante, en y es separable
, , ,dyy f x y f x y f x ydx
es homogenea si
,
, ,
y xf x yy x
y x y x y xf x y f x yy x y x y x
Es homogenea:
dy y xy xdx
1 11 1
11
dy dvv xdx dxxdv x xv x
dx x x x
dvv x
y vx
dx
dy y xdx y x
2 2
2
1 1 1 21 1 1
11 2
dvxdx
dx dx
11
dy y x dvy vx v xdx y x dx
con
2
2
2 2 22
2 2 22
2 2 2
11 2
1ln ln ln 1 221/ 1 2 1 1 2 1
1 2
2
dx dx
x c
x x y yx cc c x x
x x y y c
2
11 2
dx dx
2 22
dy y xdx y x
x xy y c
3 3
3 3
dy x ydx x y
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
,
, ,
x yf x yx y
x y x yf x y f x yx yx y
Es homogenea:
3 3 3 3
3 3 3 3
1 13 4 3
3 3
3
4 3
11
1 11 1
11
dy dvy vx v xdx dx
dv x v x vv xdx x v x v
dx v v v vv dv dvx v v
v dvv v v
3 33 3 3 3
3 33 3 3 3, ,x ydy x y x yf x y f x y
dx x y x yx y
4 33
4 3
3 2
ln
ln 111 4
3 7 2 7 2 7 2 7 7arctan14 7 7 7 7
2 1 73 7 arctan14 7
dx xx
v v vv dvv v v
v v v
v
3
4 3
11
dx v dvx v v v
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x yy x
, ,, ,
, , 0
,
Resolver y
La solución a
está dada implicitamente por
donde es una constante arbitraria
g x y g x yM x y N x y
x y
N x y dy M x y dx
g x y c
c
2, :g x y
g gdg dx dyx y
g gy x x y
R R
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencialordinaria de primer orden 0ydx xdy
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x yy x
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x yy x
1y xy x
¡Sí es exacta!
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x yy x
g yxg xy
0ydx xdy
, , 0
, ,
La ecuación
es exacta si y sólo si
N x y dy M x y dx
M x y N x yy x
1
11
,
,
g y g x y yx c yxg dcx x x c cy dyg x y yx c c
yx
cte
, , 0
, , , 0
La ecuación
es exacta, peN roO
Sí
N x y dy M x y dx
I x y N x y dy M x y dx
, , , 0
,
I x y N x y dy M x y dx
I x y
La función es el llamado "factor integrante"
1. Hay técnicas para saber si existe
2. En ocasiones es posible "verlo"
1
, exp
M N xN y x
I x y x dx
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
1
, exp
N M yM y x
I x y y dy
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
, ,
1,
M x y y xy N x y x xy
I x yxM yN
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
, expay
M NaMy x xN
I x y e x dx
, , 0N x y dy M x y dx
Ejemplo
