MIS NOTAS DE CLASE Jos Daro Snchez Hernndez Bogot -Colombia. enero - 2006danojuanos@hotmail.comdanojuanos@tutopia.comdanojuanos@yahoo.com CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASLaideaespresentarunresumendelmaterialqueusenlapreparacindeloscursosparaestudiantesdelascarrerasdeIngenieriaycienciasbsicas.Setratadeunadisciplinadegranutilidadendiversoscamposdelconocimientotalescomo:fsica,qumica,cienciasnaturales,biologa, geologa e ingeniera en general, pretendiendo un aprendizaje rpido, pero con muchosejercicios propuestos, algunos de la vida diaria. CONTENIDOINTRODUCCIN..........................................................................%1. Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales..........................%2. Algunas sugerencias para la construccin de modelos .................... %3. Prueba del modelo........................................................................... &4. Modelo del crecimiento ilimitado de la poblacin........................... '5. Solucin analtica del modelo poblacional ........................................ (6. Modelo logstico de la poblacin....................................................)7. Anlisis cualitativo del modelo logstico........................................*8. Sistemas depredador-presa........................................................... "!9. Un modelo de ahorro..................................................................... "#10. Un problema de mezclado........................................................... "$11. Mezcla en un tanque.................................................................... "$12. Ejercicios......................................................................................"%Captulo 1Ecuaciones de primer orden ............................................................... "*1. Enunciado del problema .............................................................."*2. Teora de ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden....................................................................................#"2.1. La geometra de....................................................... .C.> 0 > C #" ( )2.2. Campo de pendientes................................................................ ##2.3. Casos especiales importantes .....................................................#$2.4. Campo de pendientes para ecuaciones autnomas.C.> 0 C #% ( )...........................................................................................2.5. Tcnica numrica.......................................................................#'2.6. Ejercicios...................................................................................#)3. Tcnicas cualitativas..................................................................$!3.1. Equilibrio y lneas de fase..........................................................$"3.2. Ecuaciones autnomas................................................C.> 0 C $" ( )3.3. Metfora de la cuerda................................................................$"3.4. Como dibujar lneas de fase......................................................$#3.5. Como usar las lneas de fase para esbozar soluciones..............$$ Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE2.3.6. Dibujo de lneas de fase a partir de slo informacincualitativa .......................................................................................$%3.7. El papel de los puntos de equilibrio..........................................$%3.8. Clasificacin de los puntos de equilibrio ...................................$&3.9. Localizacin de los puntos de equilibrio ....................................$'3.10. Teorema de la linealizacin.....................................................$'3.11. Ejercicios.................................................................................$(4. Teora cuantitativa4.1. Ecuaciones con variables separables.........................................%!4.2. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones de variablesseparables........................................................................................%$4.3. Ecuaciones D.O. de primer orden con coeficienteshomogneos .....................................................................................%%4.4. Ecuaciones diferenciables transformables a homogneas .........%'4.5. Breves notas de clculo en varias variables ...............................%)4.5.1. Derivada de un campo escalar ................................................%)Teorema de la funcin implcita .....................................................%*4.6. Ecuaciones difenciables exactas..............................................%*4.6.1. Diferenciales totales y formas exactas..................................%*4.6.2. Ecuaciones exactas ................................................................&"4.6.3. Factor de integracin............................................................5. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden....................&%5.1. La ecuacin .............................................................. C +C ! &&w5.2. Ecuacin .............................................................. C +C , B &&w( )5.3. La ecuacin diferencial lineal general de primer orden .............&'5.4. Ecuacin de Lagrange............................................................... &*6. Aplicaciones geomtricas.......................................................... '!7. Compartimientos....................................................................... '$7.1. Problemas de mezcla ................................................................. '%7.2. Calentamiento y enfriamiento..................................................'(7.3. Mecnica Newtoniana............................................................... ("7.3.1. Procedimiento para modelos Newtonianos...........................("7.4. Un circuitoL-R en serie............................................................ ($7.5. Ejercicios.................................................................................. (&Ejercicios generales sobre el captulo I.............................................)#Captulo IIEcuaciones con Operadores............................................................)*1. Preliminares............................................................................... )*2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes......................... *"2.1. Introduccin.............................................................................. *"2.2. La ecuacin homognea de segundo orden..............................*#2.3. Ecuaciones de segundo orden con condiciones iniciales ........... *%3. Dependencia e independencia lineal.......................................... *(3.4. Una frmula para el Wronskiano.............................................. "!!4. La ecuacin diferencial lineal no homognea de segundoorden.............................................................................................. "!"5. La ecuacin diferencial lineal homognea de orden..............8 "!$6. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas deorden que satisfacen condiciones iniciales................................ 8 "!&7. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes reales .........."!* Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE3.8. Ejercicios.................................................................................... ""#9. La ecuacin diferencial lineal no homognea de orden..........8 ""%9.2. Un mtodo especial para resolver ecuaciones no homogneas.. "")10. lgebra de los operadores con coeficientes constantes.......... "#!10.3. Ejercicios............................................................................... "#%11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales autnomos en dos variables............................................................................"#%12. Movimiento Armnico simple..................................................13(Captulo IIIEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.......... "&$1. Introduccin............................................................................"&$2. Problemas con valores iniciales para una ecuacin homognea. "&%3. Soluciones de la ecuacin homognea..................................... "&'4. Wronskiano e independencia lineal .........................................."&(5. Reduccin de orden de una ecuacin diferencial homognea ... "'"6. La ecuacin diferencial no homognea.................................... 1'$7. Ecuaciones diferenciales homogneas con coeficientesanalticos......................................................................................"'&8. La ecuacin de Legendre........................................................."')9. Ecuaciones lineales con puntos singulares regulares............."($9.1. Introduccin.........................................................................."($9.2. La ecuacin de Euler.............................................................."(%9.3. Ejercicios..............................................................................."((9.4. Ecuaciones de segundo orden con puntos singularesregulares,caso particular............................................................"()9.5. Ecuacin de segundo orden con puntos singulares regularescaso general................................................................................ ")"9.6. Ecuacin de Bessel................................................................")%9.7. Ejercicios.............................................................................. "*!10. Def. y propiedades lineales de la......transformada de Laplace "*$10.2. La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales ...#!#10.3. Convolucin........................................................................#!$10.4. Ejercicios.............................................................................#!&11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales......................#!(11.2. Sistemas homogneos de ecuaciones diferenciales concoeficientes constantes...............................................................#!(11.3. Sistemas de ecuaciones dif. lineales no homogneos ......... 2"(11.4. Ejercicios............................................................................ ##!Bibliografia.................................................................................. ##' Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE4.INTRODUCCIN1. MODELACION POR MEDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.Que es un modelo? Es el proceso de representacin del "mundo real", entrminos matemticos. Los modelos matemticos que estudiamos son sistemasque evolucionan con el tiempo, pero con frecuencia, tambin estn supeditadosaotrasvariables.Unavezelaboradoelmodelo,debemoscompararlasprediccionesdesteconlosdatosdelsistema.Sielmodeloyelsistemaconcuerdan, tenemos confianza en que las hiptesis hechas al crear el modelosonrazonablesyquepodemosusarloparahacerpredicciones;sinoconcuerdan, entonces debemos estudiar y mejorar nuestras suposiciones.Los tipos de predicciones que son razonables dependen de nuestras hiptesis.Si nuestro modelo se basa en reglas precisas, como las leyes de Newton sobreelmovimiento,olasdeinterscompuesto,entoncespodemosusarloparahacer predicciones cuantitativas muy exactas.2. ALGUNAS SUGERENCIAS PARA LA CONSTRUCCION DE MODELOS.Los pasos bsicos para elaborar un modelo son:Paso ".Establezca claramente las hiptesis en las cuales se basar el modelo.Estas deben describir las relaciones entre las cantidades por estudiarse.Paso. # Defina completamente las variables y los parmetros que se usarn enel modelo.Paso. $ Use las hiptesis formuladas en el paso para obtener ecuaciones que "relacionen las cantidades del paso. #Lascantidadesennuestrosmodelosseagrupanentrescategoras:lavariableindependiente, las variables dependientes y los parmetros.Enecuacionesdiferencialeslavariableindependientecasisiempreeseltiempo.Lasvariablesdependientessoncantidadesquesonfuncionesdelavariable"independiente".Porejemploenfsica"laposicinesunafuncindeltiempo". Es posible enunciar vagamente el objetivo de un modelo expresado entrminos de una ecuacin diferencial, por ejemplo: "describa el comportamientodelavariabledependiente,conformecambielavariableindependiente".Podemos preguntar si la variable dependiente aumenta o disminuye, o si oscila,o tiende a un lmite.Los parmetros son cantidades que no cambian con el tiempo (o con la variabledependiente)peroquepuedenajustarse(porcausasnaturales,oporunexperimentocientfico).Porejemplo,siestamosanalizandolacantidaddeozonoenlascapassuperioresdelaatmsfera,entonceslavelocidadconquese libran los fluorocarbonos de los refrigeradores, es un parmetro.Enelpaso3,formulamoslasecuaciones.Lamayorpartedelosmodelosqueconsideremossonexpresadoscomoecuacionesdiferenciales.Enotraspalabras,esperamosencontrarderivadasennuestrasecuaciones.Ponga Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE5.atencin afrases como " Ya razn de cambio de..." "tasa de crecimiento de " . querazndecambioessinnimodederivada.Porsupuesto,pongaatencintambina" "(derivadadelaposicin)y" "(derivadadela velocidad aceleracinvelocidad)enmodelosdefsica.Lapalabrasignifica," "eindica es,esigualdnde se encuentra la igualdad.Una importante regla emprica que usamos al formular modelos es: Simplifiquesiempre que pueda el lgebra. Por ejemplo al modelar la velocidad de un gato, @alcaerdeunedificioalto,podemossuponer que: La resistencia del aire creceal aumentar la velocidad del gato:resistencia del aire 5@ /8/6 -+=9 ./ 6+ 83/@/5@ /8/6 -+=9 ./6 1+>9 #Veamosotroejemplointeresante.Mediantelaadopcindelasprcticasbabilnicasdelamedicincuidadosaylasobservacionesdetalladas,losantiguosgriegos,tratarondecomprenderlanaturalezaapartirdelanlisislgico.LosconvincentesargumentosdeAristteles,dequeelmundonoeraplanosinoesfrico,llevaronaloscientficosdeaquellapocaaconsiderarlasiguientepregunta .Yresulta aquequivalelacircunferenciadelatierra?asombrosoqueEratsteneshayalogradoobtenerunarespuesta,bastanteprecisa,paraesteproblemasintenerquesalirdelaantiguaciudaddeAlejandra.Sumtodoimplicabaciertassuposicionesysimplificaciones:Latierraesunaesferaperfecta,losrayosdelsolviajanentrayectoriasparalelas,la ciudad de Siena se encuentra a estadios ( &!!! " /=>+.39 ##! C+ ! >! #!!!! ("$!/!!&> Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE13.lo que da> #!P8 #!'$ #!!!!("$!Despusdedejarque$5000acumuleninteresesdurantediezaos,podemosretirar $1000 anualmente, por ms de diez aos10. UN PROBLEMA DE MEZCLADO.Elnombredeserefiereaunacoleccindeproblemasdiferentes, mezcladodondedosomssustanciassemezclanentres,adistintasvelocidades.Losejemplosvarandelmezcladodecontaminantesenunlago,alamezcladeproductosqumicosenuntanque;aladifusindehumodecigarroenelaireen un cuarto, a la mezcla de especias en un platillo de curry.11. MEZCLA EN UN TANQUE.Consideremosungrantanquequecontieneazcaryaguaconlosqueseprepararn refrescos embotellados. Suponga que El tanque contiene 100 galones de lquido, la cantidad que fluye hacia adentroeslamismaquefluyehaciaafuera,perosiemprehay100galoneseneltanque. El tanque se mantiene bien mezclado, por lo que la concentracin de azucares uniforme en todo el tanque. Elaguaazucaradaquecontiene5cucharadasdeazcarporgaln,entraaltanquea travs del tubo, a razn de 2 galones por minuto. E El agua azucarada que contiene 10 cucharadas de azcar por galn, entra altanque a travs del tubo, a razn de 1 galn por minuto. F G Elaguaazucaradasaledeltanqueatravsdeltuboaraznde3galonespor minuto.Paraelaborarelmodelo,eseltiempomedidoenminutos(lavariable >independiente).Paralavariabledependientetenemosdosopciones.Podemosescoger la cantidad total de azcar en el tanque en el tiempo, medida en W> >cucharadas, o bienla concentracin de azcar en el tanque, en el tiempo G> >medida en cucharadas por galn.Desarrollemoselmodeloparaeneltanque como la variable dependiente, W>larazndecambiodeesladiferenciaentrelacantidaddeazcarquese Waade y la cantidad de azcar que se retira. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE14.El azcar que entra en el tanque llega por los tubos y, y puede calcularse E Ffcilmentemultiplicandoelnmerodegalonesporminutodelamezclaendulzada que entra al tanque por la cantidad de azcar por galn. La cantidaddeazcarquesaledeltanqueporeltubo,dependedelaconcentracinde Gazcar en el tanque en ese momento. La concentracin est dadapor, porW"!!loqueelazcarquesaledeltanque,enesemomento,eselproductodelnmerodegalonesquesaleporminuto(3galonesporminuto)ylaconcentracin. El modelo esW"!!.W W.C "!! # & $/8>?,9E/8>?,9 F=+63.+ ./+D -+< :9< /6>?,9 G_ ____ 1 10 As la ecuacin del modelo estar dada por.W $W #!!!$W.> "!! "!! #! Posteriormenteveremosquelasolucindeestaecuacinsepuedeobteneranalticamente y estar dada por la frmulaW> G/ !!$> #!!!$Dondelacontantesepuededeterminarsiseconocelacantidadaxactade Gazcar que se encuentra inicialmente en el tanque. Considerando el caso en elcual,lasolucinesdadaporyconstituyelasolucinde G ! W> #!!!$equilibrio.12. EJERCICIOS1. Considere el modelo de poblacin .T T.> #$! !%T " donde es la poblacin en el tiempo. T> >(a) Para qu valores de est en equilibrio la poblacin? (b) Para qu valores Testcreciendolapoblacin?(c)Paraquvaloresdeestdecreciendola Tpoblacin?2. Considere el modelo de poblacin.T T T.> #!! &! !# " " T donde es la poblacin en el tiempoT >a) Para qu valores de est en equilibrio la poblacin?(b) Para qu valores Testcreciendolapoblacin?(c)Paraquvaloresdeestdecreciendola Tpoblacin?3. Considere la ecuacin diferencial.C.>$ # C C "#C(a)Paraquvaloresdeestenequilibrio?(b)Paraquvaloresde(t) C C> Cest creciendo?(c) Para qu valores de est decreciendo? C C>4.Latasaalaqueunacantidaddeunistoporadiactivosedesintegraesproporcionalalacantidaddeistopospresentes.Laconstantedeproporcionalidaddependeslodelapartcularadiactivaconsiderada.Modelela desintegracin radioactiva usando la notacin variable independiente) > >3/7:9 Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE15. -+8>3.+. ./ 3= >9:9= 3@9= :+3-?6+< :/ /8/6 >3/7:9 > variable dependiente)-(parmetro) - >+=+ ./ ./=38>/1 ! .C.> +B ,C B -C Bha sido propuesto como un modelo para un sistema depredador-presa de dosespecies particulares de microorganismos (dondeyson parmetros). + , -(a)Quvariable,o,representalapoblacindepredadora?Quvariable B Crepresenta la poblacin presa?(b) Qu pasa a la poblacin depredadora si la presa se extinque? Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE18.17.Lossiguientessistemassonmodelosdelaspoblacionesdeparejasdeespeciesqueporrecursos(unincrementoenunaespeciedisminuye compitenlatasadecrecimientodelaotra)o(unincrementoenunaespecie cooperanaumentalarazndecrecimientodelaotra).Paracadasistemaidentifiquelasvariables(independienteodependiente)ylosparmetros(capacidaddesoporte, medida de interaccin entre las especies, etc.). Compiten o cooperanlas especies?(Suponga que todos los parmetros son positivos.)(a) (b)_ _.B B.> R.C.>.B.>.C.> B BCC BC B BC C BC "# $# $ "#18.Enuncampodeconcentracindeprisioneros,elcapitndeunabarracaque contena unos 12 mil prisioneros, recibi la orden de incendiarla. El capitndecidedarunaoportunidadalosprisionerosparasalvarse,siresolvanelsiguienteproblema:Haydospuertasdesalida,unadeellaslosconducealalibertadylaotraoperaunmecanismoqueacabaconlabarracaensegundos.El capitn les ofrece diez bolsas con monedas, cada una de ellas contiene 100monedas, pero una contiene monedas falsas junto con la clave para saber culdelaspuertaslollevaalalibertad.Tienenunabalanzaquepuedenusarsolamenteunavez.Silasmonedasfalsaspesandosgramosylasverdaderasungramoquhicieronlosprisioneros,sifinalmentequedaronenlibertad?.Establezca un modelo para resolver este problema.CAPITULO I ECUACIONES DE PRIMER ORDEN1. ENUNCIADO DEL PROBLEMASeauna funcin de las variables reales y dondepertenece a 0> B > B 7 > Bunconjunto abierto de. Se llamaH d#SOLUCIONo integral de la ecuacin.B.>w 0> B B 0> B o atodafuncincontinuaydiferenciabledefinidasobreunintervalo B > :abierto no vaco de tal que su grfico est contenido en y tal que se tenga M d H: :w> 0> > > M para todo La ecuacin es llamada , es B 0> B >wECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDENla variable independiente y es la variable dependiente o funcinB incgnita.Resolverestaecuacin,eshallarlassolucionesyestudiarlas.Selellamamsparticularmente " al hecho de hallar la solucin a PROBLEMA DE CAUCHY " :>B 0> BB> B > B w! ! ! ! donde HVeremosquebajohiptesisconvenientessobrelafuncin,elproblemade 0Cauchy posee siempre al menos una solucin y que posee una sola cuando seimpone a condiciones suplementarias. 0 Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE19.Decirqueunarcodeconecuacinessolucindelaecuacin # H : B >B 0> Bwdefinidaenequivaleadecirqueposeeunatangenteentodo H #punto, cuyas pendientes estan dadas por. Un tal arco ser llamado0> B # ARCOINTEGRAL.Enlosprximospargrafosutilizaremosotranotacin,esdecir,consideraremos la ecuacin en la forma B 0> BwJ> B> B > !w.Conelfindefacilitarunpocoelestudiodelasecuacionesdiferenciales,laprimera notacin es llamaday a la segunda NORMAL NO NORMAL.Elvocabloserefierealhechodequeenelproblemasolamente ORDINARIOaparecern derivadas ordinarias y no hay derivadas parciales.Como un ejemplo consideremos el caso en el cual es independiente de, esto 0 >es, cuando se tiene la ecuacinB 0> "w .B.> dondeestdefinidaenunciertointervalo;0 M elproblemaobjetodelasecuaciones diferenciales es hallar una funcin definida en, tal que exista F F Mwah,yque. Esteesunodelosproblemasmsimportantesdel Fw> 0>clculo.Mstodavia,siescontnuaensabemosquelafuncinintegral0 M F!definida porF!>>> 0B.B!dondeesunciertopuntofijoen,esunasolucinde.Ademssies > M "!Fcualquier solucin de, entonces existe una constantetal que " -F F > > -!paratodoendandolugaraunafamiliadesolucionesdeestaforma, > Mconocida comoAs en el caso en el cual es continua, todas solucin general. 0las soluciones de son conocidas, y el estudio de la ecuacin diferencialse " "reduce al estudio de la integracin.Comounsegundoejemploloencontramosenlosmodelosdepoblacinqueafirma:lavelocidaddecrecimientodeunapoblacinesproporcionalalapoblacinmisma.Conesteenunciadoyusandoaltiempocomovariable >independienteyconrepresentandolapoblacinencualquierinstante, :>entonceslavelocidaddecrecimientoestardadaporylaecuacin.:.>diferencial de la poblacines dada por.:.> 5: #donde es un parmetro que se usa como la constante de proporcionalidad. 5Haytresteoriasomtodosparahallarlasolucindeunaecuacindiferencialasaber:Elprimeroesunmecanismo elcualitativo,elcuantitativoyelnumrico. basadoentcnicasgeomtricas,elsegundoutilizaclculocontcticasquepermiten obtener frmulas y el tercero utiliza los computadores .Aspor la teora cuantitativa la solucin deesta dada por #:> -/5>la cual existe para todo real. > Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE20.Las ecuaciones diferenciales de una forma ms general, involucran derivadas deorden superiores. Supongamos ahora que es una funcin definida parareal J Ben un intervalo, y para los nmeros complejosdefinidos en los M C C C" #8"conjuntosrespectivamente.ElproblemadehallarunafuncinW W W" # 8"Fsobrela cual tenga derivadas ah, y tal que para toda, se cumplan las M 8 B Msiguientes condiciones3 F F F5 " !5-B W 5 " # $ 8 " B B33 JB B ! F F8se llama y se representa por: ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN8JB C C C ! w 83Una funcin definida en un intervalola cual esveces derivable y adems F M 8satisfaciendolascondicionessellamadeen. 3 33 # M SOLUCION Generalmente aqu tambin vamos a considerar ecuaciones de la formaC 0B C C C 8 w 8" .Terminamos esta seccin con el siguiente cuadro sinptico el cual nos resumelas ideas bsicas

2. TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENUnanotamuyinteresantedelanlisiscuantitativosehallaenelhechodequeenmuchosproblemas,lasvariablesysonconsideradasequivalentes, B Crefierense a la ecuacin diferencial.C.B 0B C $y es natural considerar, conjuntamente con la ecuacin $.B ".C 0BC %Siambasecuacionestienensentido,entoncessonequivalentes,yaquesilafuncinessolucindelaecuacinentonceslafuncininversa C CB $ Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE21.B BC % $ % es solucin de y, por lo tanto, las ecuaciones y poseen curvasintegrales comunes. Si, en cambio, en algunos puntos una de las ecuaciones $opierdesusentido,entoncesenesospuntosesnaturalsustituirlaporla %otra ecuacin.2.1LA GEOMETRIA DE.C.> 0> CSi la funcines la solucin de la ecuaciny su grfica pasa por C> 0> C.C.>elpuntodondeentonceslaecuacindiferencialdicequela > C C C> " " " "derivadaenestdadaporelnmero.Geomtricamente,esta.C.>" " "> > 0> C igualdaddeenconsignificaquelapendientedelarecta.C.>" " "> > 0> C tangente a la grfica deen el puntoes. Note que no hay nada C> > C 0> C " " " "especial acerca del punto ,aparte del hecho de que es un punto sobre > C " "la grfica de la solucin C> La igualdad de y debe valer para todo, para la cual satisfaga a la.C.>0> C > C>ecuacindiferencial.Enotraspalabras,conlosvaloresdelladoderechodelaecuacindiferencialseobtienenlaspendientesdelastangentesentodoslospuntos sobre la grfica de Esto sugiere un mtodo de hallar la solucin de C>una ecuacin diferencial conocido como elnombre depara TEORIACUALITATIVA la solucin de ecuaciones diferenciales.2.2. CAMPO DE PENDIENTES.Esta simple observacin geomtrica nos conduce a visualizar las soluciones deuna ecuacin diferencial de primer orden de la forma.Si nos dan la.C.> 0> Cfuncin , obtenemos una idea burda de las grficas de las soluciones de 0> Claecuacindiferencial,medianteelbosquejodeunconjuntodetrazosoconjuntodepequeossegmentoscuyaspendientesenelpuntoes > Cjustamente, dicho conjunto es conocido como elEn 0> C CAMPO DE PENDIENTES. estaformaseleccionandopuntosenelplanoysegmentosahde > C pendientesseobtienenunconjuntodelneasminitangentesacurvas 0> Csolucin de la ecuacin, llamadaso . Una vezque.C.> 0> C MARCASISOCLINAStenemos una gran cantidad de dichas marcas podemos visualizar las grficas delas soluciones.ComounejemploconsideremoslaecuacindiferencialEnotras.C.> C >palabraselladoderechodelaecuacindiferencialestdadaporlafuncin0> C C >.Paraadquiriralgodeprcticaconlaideadecampodependientes,delineamossucampoenformamanualconunpequeonmerodepuntos.Luegoveremosunaversingeneralpormediodeuncomputador Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE22.deestecampodependientes.Elaborarestasgrficasmanualmentesueleresultar tedioso por lo que consideramos slo nueve puntos en el plano. Por >Cejemploenelpuntotenemos= . > C " " 0> C 0" " " " #Portantoesbozamosunsegmentodelneaconpendientecon pequeo #centroen.Parabosquejarelcampodependientesentodoslosnueve " "puntosusamoslafuncinparacalcularlaspendientesapropiadas.Los 0> Cresultados se resumen en el siguiente cuadro> C 0> C > C 0> C > C 0> C "" # ! " " " " ! " ! " ! ! ! " ! " " " ! ! " " " " #Unavezquetenemosesosvalores,losusamosparaobteneruncroquisaproximado del campo de pendientes para la ecuacin Elesbozodelcampodependientessehacemsfcilsiusamosunacomputadora.Lagrficaesuncroquisdelcampodependientesparaestaecuacinsobrelareginenelplano, > C $ > $ $ C $ >Ccalculamos valores de la funcinsobrepuntos en esa regin. 0> C #& #& '#& 2.3. CASOS ESPECIALES IMPORTANTES.Desdeelpuntodevistaanaltico,lasecuacionesdelasformas,y.C.> 0>.C.> 0Csonalgomsfcilesdeconsiderarquelasecuacionesmscomplicadas,porquesonloquemstardellamaremosdevariableseparable.La geometra de sus campos de pendientes es igualmente especial. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE23.CAMPO DE PENDIENTES PARA .C.> 0>.Si el lado derecho de la ecuacin diferencial en consideracin, es simplementeunafuncinde,oenotraspalabras,silapendienteencualquier > 0>.C.>punto es la misma que la de cualquier otro punto con la misma coordenada. >Geomtricamente esto implica que todas las marcas de pendientessobre cadalnea vertical son paralelas. Siempre que uncampodependientestieneestapropiedad geomtrica para todas las lneasverticalesdeldominioen consideracin,sabemosquelaecuacincorrespondienteesrealmenteunaecuacindelaforma.Porejemplo,consideremoselcampode.C.> 0>pendientesmostradoenlagrfica. Generamosestecampo de pendientesapartirdelaecuacinydelclculosabemosque.C.> #>C> #>.> >G G#donde es la constante de integracin. Por consiguientela solucin general de la ecuacin diferencial consiste en la funcin de la formaC> >G#2.4. CAMPO DE PENDIENTES PARA ECUACIONES AUTNOMAS .C.> 0CElladoderechodelaecuacinnodependedelavariableindependiente.El >campodependientesenestecasoestambinalgoespecial.Aqulaspendientesquecorrespondenadospuntosdiferentesconlamismacoordenadasoniguales.Esdecir,yaqueellado C 0> C 0> C 0C" #derechodelaecuacindiferencialdependeslode.Enotraspalabra,el Ccampo de pendientes de una ecuacin autnoma es paralelo a lo largo de cadalnea horizontal. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE24. Porejemplo,parahallarelcampodependientesdelaecuacinautnoma.C.> %C" C 0C %C" C ,hallamosloscerosdelafuncinydespussusigno, en efecto:3 %C" C ! C ! C "33 %C" C Signo de as=31 ! =3 C ! C "! =3 C ! C " !=3 ! C ".C.> es___Elhechodequelasecuacionesautnomasproducencamposdependientesque son paralelos a lo largo de lneas horizontales, indica que podemos obtener un nmero infinito de soluciones a partir de una solucin, trasladandonuevamente la grfica de la solucin dada hacia la izquierda o hacia la derecha.EJEMPLO. Resolver la ecuacin diferencial .C.># =/8 C /C#"! Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE25. " =/8 C ! =/8 C ! C 8 /C#"!# #1# =/8 C ! :+9.9 C /C#"!#

2.5. TCNICA NUMRICA.Elconceptogeomtricodeuncampodependientes,talcomolovimosenlaseccin2.1estntimamenterelacionadaconunmtodonumricofundamentalparaaproximarsolucionesdeunaecuacindiferencial.Dadounproblema de valor inicial

.C.>! ! 0> CC> C"El mtodo es debido al matemtico suizo del siglo XVII Leonhard Euler y por esollevasunombre.ParadescribirelmtododeEuler,comenzamosconelproblemadevalorinicial .Comonosesdadalafuncin,podemos " 0> Ctrazar su campo de pendientes en el plano. La idea del mtodo es empezar >Cenelpuntoenelcampodependientesydardictados > C ! !pequeospasos por las tangentes en sta. Primero elegimos un tamao del paso (pequeo) , ?>elcualdeterminalaexactituddelasolucinaproximada,ascomoelnmerode clculos que son necesarios para obtener la aproximacin. Comenzamos en> C > C > > > > C ! ! " !, seguimos hacia un segundo punto donde y es1 1 1 1?un punto sobre la lnea que pasa pory cuya pendiente es proporcionada > C ! !por el campo de pendientes en. En repetimos el proceso, esto es > C > C ! ! 1 1porpasamosunsegmentocuyapendienteesdadaporelcampode > C 1 1vectoresoseaporysobrestatomamosunnuevopunto0> C > C " " 2 2donde.Delamismamanerausamoselcampodependientesenel > > ># "?puntoparacalcularelsiguientepunto.Aslasecuenciade > C > C 5 5 5" 5"valores son aproximaciones a la solucin en los tiempos. C C C > > > ! " # ! " #Geomtricamente el mtodo produce una sucesin de pequeos segmentos delnea que conectan con. Para poner en practica el mtodo de > C > C 5 5 5" 5"Euler,necesitamosunafrmulaquenosdetermineapartirde > C 5 5 +1 +1> C > >5 5 5".Encontraresfcil,puesespecificandoeltamaodelpaso,se ?tiene entonces Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE26.> > >5" 5?Paraobtenerapartirde,usamoslaecuacindiferencial.Sabemos C > C 5" 5 5quelapendientedelasolucinalaecuacinenelpuntoes.C.>5 5 0> C > C 0> C C5 5 5",yelmtododeEulerusaestapendienteparacalcular.Dehechodetermina al punto suponiendo que se encuentra sobre el segmento > C 5 5 +1 +1que pasa por con pendiente> C 0> C 5 5 5 5 Ahorapodemosusarnuestroconocimientobsicodelaspendientesparadeterminar. De la frmula para la pendiente de una lnea recibimos C5"C C> >5 55" 55" 5 0> C .Como,eldenominadoresjustamente,porlotanto, > > > > > >5" 5 5" 5? ?tenemosC C>5 5 5" 5 5 55" 5? 0> C C C 0> C > ?de dondeC C0> C >5" 5 5 5 ?Esta es la frmula deseada para el mtodo de Euler.En resumen se siguen los siguientes pasos1. Establezca el tamao de ?>2. Use la ecuacin diferencial para determinar la pendiente de 0> C 5 53. Calcule el siguiente puntomediante las frmulas > C 5 5 +1 +1> > > C C0> C >5" 5 5" 5 5 5? ? y.EJEMPLO: Usando el mtodo de Euler halle la solucin aproximada del problema .C.># > C ! > "C! " > !#& ?UsamoslafrmuladeEuler,yunaparticinparael C C0> C >5" 5 5 5 ?intervalo con pasoobteniendo ! " > !#& ?> ! > !#& > !& > !(& > "! " # $ %y .As iniciamos conluego calculamos. Para calcularC " 0! " ! " " C! "# tenemos C C 0! "!#& " "!#& !(&" !luego se calculaahora 0> C >C !#& !(& !$"#&" " ""# #C C 0> C !#& !(& !$"#&!#& !'%' " " "se evala enseguida, en esta forma 0> C >C !& !'%'& !!)#!%# # ### #C C 0> C !#& !'%'& !!)#!% !#& !''(!"$ # # # Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE27.de esta manera, para obtener 0> C >C !(& !''(!" !$!&!*)$ $ $$# #C C 0> C !#& !''(!" !$!&!*) !#& !(%$#)&% $ $ $finalmente. 0> C >C " !(%$#)& !%%()% % %%# #Resumimos todos los clculos anteriores en la siguiente tabla5 > C > C 0> C ! ! " ! " "" !#& !(& !#& !(& !$"# !& !'%'& !& !'%'& !!)#!%$ !(& !''(!" !(& !''(!" !$!&!*)% " !(%$#5 5 5 5 5 5)& " !(%$#)& !%%()Finalmentelasolucinaproximadaeslapoligonalcuyosvrticesestandadospor el conjunto ! " !#& !(& !& !'%'& !(& !''(!" " !(%$#)& ,, , ,En el plano podemos observar el grfico de este conjunto >C 2.6. EJERCICIOSEn los ejercicios 1 a 8, use el mtodo de Euler con el tamao de paso dado ?>paraaproximarlasolucinalproblemadevalorinicial,enelintervalodetiempoespecificado.Surespuestadebeincluirunatabladelosvaloresaproximadosdelavariabledependiente.Tratedeincluirtambinuncroquisde la grfica de la solucin aproximada" > !& #C " ! > #C! $. .C.>?# > !#& > C ! > "C! ". .C.>#?$ > !& C #C " ! > #C! ". .C.>#?% > !& =/8C ! > $C! ". .C.>?& > "! $ AA " ! > &A! %. .A.>?' > !& $ AA " ! > &A! !. .A.>?( > !& / ! > #C! #. _ .C.>#C? Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE28.) > !& / " > $C" #. _ .C.>#C?* ( ) Compare sus respuestas a los ejerciciosy, y d sus observaciones."! & ' Comparesusrespuestasalosejerciciosy.Estfuncionandobienelmtodo de Euler en este caso? Qu hara usted para evitar las dificultades quepueden surgir?""Haga un anlisis cualitativo de la solucin del problema de valor inicial en elejercicioycomparesusconclusionesconsusresultados.Questmalcon 'las soluciones aproximadas obtenidas por el mtodo de Euler?"# CC! ".Considereelproblemadevalorinicial:. Usandoelmtodode_.C.>Euler,calculetressolucionesdiferentesaproximadascorrespondientesa?> "! !& !#& ! > % ysobreelintervalo.Grafiquelastressoluciones.Culessonsusprediccionesacercadelasolucinrealalproblemadevalorinicial?"$ # CC! ". Considere el problema de valor inicial :. .C.>UsandoelmtododeEuler,calculetressolucionesdiferentesaproximadascorrespondientesaysobreel intervalo. Grafique las ?> "!!& !#& ! > %tressoluciones. Quprediccioneshaceustedacercadelasolucinrealalproblemadevalorincial?Comserelacionanlasgrficasdeesassolucionesaproximadas con la grfica de la solucin real? Por qu?.En los ejercicios a, consideramos la ecuacin del modelo del circuito"% "( VG.@.> VGZ >@- -Supongaquelafuentedevoltajeestdecayendo Z > / Z >!">exponencialmente.Siy , use el mtodo de Euler para calcular los V !# G "valoresdelasolucinconlascondicionesinicialesdadassobreelintervalo! > "!"% @ ! ! "& @ ! # "' @ ! # "( @ ! % . . . .- - - -") :C C #C # .Considereelpolinomio.Empleandolatecnologa$apropiada,(a) esboce el campo de pendientes para ,.C.> :C(b)dibujelasgrficasdealgunasdelassolucionesusandoelcampodependientes,(c)describalarelacinentrelasracesdeylassolucionesdelaecuacin :Cdiferencial, y(d) con el mtodo de Euler, aproxime la o las races reales de con tres cifras :Cdecimales"* :C C %C " .Considereelpolinomio.Mediantelatecnologa$apropiada,(a) bosqueje el campo de pendientes para,.C.> :C Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE29.(b)esbocelasgrficasdealgunasdelassolucionesutilizandoelcampodependientes,(c)describalarelacinentrelasracesdeylassolucionesdelaecuacin :Cdiferencial, y(d)aplicandoelmtododeEuler,aproximela,olas,racesrealesdecon :Ctres cifras decimales.: El mtodo de Euler tambin funciona con una W?1/ negativa . [3. TCNICAS CUALITATIVAS: TEOREMADEEXISTENCIA Supongamosqueesunafuncincontinuaen 0> Cun rectngulo de la forma en el plano. Si es > C+ > , - C . >C > C ! !un punto de este rectngulo, entonces existe y una funcindefinida % ! C>para,la cual resuelve el problema de valores iniciales > > >9 !% % .C.>! ! 0> CC> CTEOREMA DE UNICIDAD:Supongamos queyson funciones continuas en 0> C`0`Cun rectngulo de la formaen el plano. Si es > C+ > , - C . >C > C ! !un punto de ste rectngulo siy son dos funciones que resuelven el C > C >" #problema de valores iniciales .C.>! ! 0> CC> Cparatodoenelintervalo(paraalgnpositivo),entonces > > > >9 !% % %C > C > > > > >" # 9 !paratodoenelintervalo.Esdecirlasolucin % %del problema es nica.EJEMPLO 1. Para el problema de valores iniciales .C.># $ >>CC" 'implican los teoremas anteriores la existencia de una solucin nica?Enefecto,enestecasoy.Puestoqueambas 0> C >>C $>C# $ #`0`Cfuncionessoncontinuasencualquierrectnguloquecontengaalpunto, " 'secumplenlashiptesisdelosteoremasanteriores,luegoelproblemadevalores iniciales, posee una solucin nica en un intervalo con centro en , B "de la forma donde" " ! % % %EJEMPLO 2. Para el problema de valores iniciales .C.> $CC# !#$implican los teoremas anteriores la existencia de una solucin nica?En efecto, en este caso y. Desafortunadamente , no es 0> C $C #C# "$ $`0 `0`> `Ccontinua o incluso indefinida en. Por consiguiente, no existe un intervalo C !que contenga a en la cual ysean continuas. # ! 0`0`C Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE30.3.1. EQUILIBRIO Y LNEAS DE FASE.Dada la ecuacin diferencial podemos obtener una idea de cmo se.C.> 0> C comportanlassoluciones,dibujandosuscamposdependientesygrficas,ousando el mtodo de Euler y calculando soluciones aproximadas. A veces hastapodemosobtenerfmulasparalassolucionesytrazarlosresultados.Todosestos procedimientos requieren una buena cantidad de trabajo, ya sea numrico(clculo de las pendientes o el mtodo de Euler) o analtico.3.2. ECUACIONES AUTNOMAS.C.> 0CSiconocemoselCAMPODEPENDIENTESalolargodeunalneavertical, > >!entoncesloconocemosentodoelplano .Demaneraque,envezde >Cgraficarlotodo,podramosdibujarslounalneaquecontuvieselamismainformacin. Esta lnea se llama para la ecuacinautnoma LINEA DE FASE.3.3. METFORA DE LA CUERDA.Suponga que le dan la ecuacin diferencial autnoma .C.> 0C. Piense que unacuerdacuelgaverticalmente,extendindoseinfinitamentehaciaarribayhaciaabajo.Lavariabledependienteledaaustedunaposicindelacuerda(la Ccuerda es el eje). La funcinproporciona un nmero para cada posicin C 0Csobrelacuerda.Supongaqueelnmeroestrealmenteimpresosobrela 0Ccuerdaalaalturaparacadavalorde.Porejemplo,alaaltura,el C C C #"(valor est impreso sobre la cuerda. 0#"(Ustedestahorasobrelacuerdaalaalturaeneltiempoyrecibelas C > !! siguientesinstrucciones:" y Leaelnmeroqueestimpresosobrelacuerda desplcesehaciaarribaohaciaabajodelacuerda,convelocidadigualaesenmero.Asciendasielnmeroespositivoodesciendasielnmeroesnegativo.(Unnmerograndepositivosignificaqueustedsubirmuyrpidamente,mientrasqueunnmeronegativocercanoacero,significaqueusteddescenderlentamente).Conformesedesplace,contineleyendolosnmerossobrelacuerdayajustesuvelocidad,demodoquesiempreconcuerdeconelnmeroimpresosobrelacuerda".Siustedobedeceaesteconjuntoextraodeinstruccionesgeneraunafuncinquedasuposicin C>sobrelacuerdaeneltiempo.Suposicineneltiempoes, > > ! C! C!porqueesahdondeustedestabasituadoinicialmente.Lavelocidaddesumovimientoeneltiempoestardadaporelnmerosobrelacuerda,por.C.>>lo quepara toda.Por consiguiente, su funcin de posicin es.C.> 0C>> C>una solucin del problema de valor inicial .C.>! 0CC! C .Lalneadefaseesunaimagendeestacuerda.Comoestediosoregistrarlosvalores numricos de todas las velocidades, solo marcamos la lnea de fase conlosnmerosenquelavelocidadescero,eindicamoselsignodelavelocidadsobrelosintervalosintermedios.Lalneadefaseproporcionainformacincualitativa acerca de las soluciones. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE31.EJEMPLO: Consideremos la ecuacin y hallemos su lnea de fase y.C.> C "Cel grfico aproximado de sus soluciones.Primeramente se hace notar que una forma sencilla de hallar la lnea de fase de.C.> 0C 0C ,eshallandoelsignodesobreunarectahorizontalyluegoselevantaverticalmentedestacandosobreellalospuntosdeequilibrioymarcandosobrestarectaconunaflechahaciaarriba,enaquellosintervalosdonde el signo dees positivo y con una flecha hacia abajo en los intervalos 0Cdonde el signo de es negativo, asen el caso particular de, 0C 0C C "Ctenemos=31 C ! " =3C C " ! " =31C "C ! " Luego=310C !=3 C ! !=3 ! C " ! =3 C "___Los valoresson los puntos de equilibrio y las funciones C ! C "C > ! C > "" # para todo >son las soluciones de equilibrio y constituyen las asntotas para el grfico de lassoluciones 3.4. COMO DIBUJAR LNEAS DE FASEPodemosdarunadefinicinmsprecisaalalneadefasedandolospasosrequeridos para dibujarlas. Para la ecuacin autnoma .C.> 0C C Dibuje la lnea 0C ! Encuentrelospuntosdeequilibrio(losnmerostalesque)ymrquelos sobre la lnea C 0C ! Encuentrelosintervalosdevaloresparaloscualesydibujelasflechas que sealen hacia arriba sobre esos intervalos C 0C ! Encuentrelosintervalosdevalor,paraloscualesydibujeflechasque sealen hacia abajo en esos intervalos. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE32.3.5. COMO USAR LAS LNEAS DE FASE PARA ESBOZAR SOLUCIONESCon este propsito consideremos la ecuacin, como lo hemos.A.> # A=/8Ahechoantesiniciamosestableciendoelsignodelafuncin0A # A=/8Aas

luego=310C ! =3 # A ! =3 A ! ! =3 ! A # ! =3 # A ! =3 A #___1 1111 1 Enresumensupongaqueesunasolucindelaecuacindiferencial C>autnoma.C.> 0C 0C! ! C! C> C! > Sientonces es un punto de equilibrio ypara todo,es solucin 0C! ! C> > C> > Sientonces escrecienteparatodoycuandose incrementa, o bientiende al primer punto de equilibrio mayor queC> C! 0C! ! C> > C> > Sientonceses decreciente para toda y, cuandose incrementa, o bien tiende al primer punto de equilibrio menor que. C> C!Cuandodecrece,podemosencontrarresultadossimilaresquetambinson >vlidos(eltiempocorrehaciaatrs).Sientonces(entiempo 0C! ! C>negativo)a,oalsiguientepuntodeequilibriomenor.Si 0C! !entoncestiende(entiemponegativo)a+ ,oalsiguientepuntode C> equilibrio mayor.3.6. DIBUJO DE LNEAS DE FASE A PARTIR DE SLO INFORMACION CUALITATIVA Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE33.Paradibujarlalneadefasedelaecuacindiferencialtenemosque.C.> 0Cconocer la posicin de los puntos de equilibrio y los intervalos sobre los que lassolucionessoncrecientesodecrecientes.Esdecir,tenemosquesaberculessonlospuntosenloscuales,los intervalos en que y aquellos 0C ! 0C !en los cuales. En consecuencia, podemos dibujar la lnea de fase para la 0C !ecuacindiferencialsloconlainformacincualitativaacercadelafuncin0C 0C . Por ejemplo, suponga que no conocemos una frmula para, pero quetenemos su grfica. De la grficapodemosdeterminarlosvaloresde para Closcuales 0C ! 0C ! 0C ! y decidir en cuales intervalos y. Con esta informacinesposibledibujarlalneadefaseyapartirdeellaobtenerloscroquiscualitativosdelassoluciones.Podemospasarentoncesdelainformacincualitativadealasgrficasdelassolucionesdelaecuacindiferencial 0C.C.> 0C,sinescribirjamsunafrmula.Paramodelosdadoslainformacindisponible es completamente cualitativa, este enfoque es muy apropiado.3.7. EL PAPEL DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.Yahemosdeterminadoquetodasolucindeunaecuacindiferencialautnomatiendea+ o- cuandoaumenta,obientiende.C.> 0C >asintticamenteaunpuntodeequilbriocuandocrece.Porconsiguiente,los >puntosdeequilibriosonsumamenteimportantesparaentenderelcomportamiento a largo plazo de las soluciones.Tambinvimosqueparadibujarunalneadefasenecesitamosencontrarlospuntosdeequilibrioestoes,losintervalosenloscualesespositivayen 0Closqueesnegativa.Siescontinua,podemoscambiardepositivoa 0C 0negativosloenlospuntosdonde,esdecirenlospuntosde C 0C !! !equilibrio.Porlotanto,estosltimostambinjueganunpapelcrucialenelesbozo de la lnea de fase. De hecho, los puntos de equilibrio son la clave paraencontrar la lnea de fase.EJEMPLO Dada la siguiente lnea de fase hallar el espacio de soluciones Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE34. 3.8. CLASIFICACION DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.Dadasuimportacia,esconvenienteponerlenombrealosdiferentestiposdepuntosdeequilibrioyclasificarlosdeacuerdoconelcomportamietodelassolucionescercanas.Consideremosunpuntodeequilibrio,comoel C C!mostrado Paraligeramentemenorquelasflechassealanhaciaarriba;paraC C C!ligeramentemayorque,lasfechassealanhaciaabajo.Unasolucincon C!condicin inicial cercana a es una asntota acuando . C C > ! !Decimos que un punto de equilibrio es un si cualquier solucincon C!SUMIDEROcondicininiciallosuficientementecercanoaesasintticaacuandoC C >! !aumenta.Decimosqueunpuntodeequilibrioesunacuandotodaslas C!FUENTEsolucionesquecomienzansuficientementecercadetiendenhaciaC C! !conformedecrece.Estosignificaquetodaslassolucionesquecomienzan >cercade(peronoen)tendernaalejarsedeamedidaquese C C C >! ! !incrementa. Entonces, una fuentees un sumidero si el tiempo transcurre haciaatrs. (El nombre de debe supuestamente ayudar a imaginar soluciones fuenteque brotan de un punto). Los sumideros y las fuentes son dos tipos principalesdepuntosdeequilibrio.Todopuntodeequilibrioquenoesnifuentenisumidero es llamado NODO Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE35.EJEMPLO:Dadalaecuacinclasificarlospuntosdeequilibrio.C.># C C 'como sumideros, fuentes o nodos(1)asysonlospuntosde CC ' C #C $ C # C $#equilibrio(2)=31 C # #=31C $ $=31 .C.>$ #

(3) La lnea de fase es aspara.C.> ! $ C #.C.> ! C $ C # parade aques sumidero, es una fuente. $ #(4) Las trayectorias se pueden apreciar en la grfica.3.9. LOCALIZACIN DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO.Paralocalizareltipodepuntodeequilibriosinnecesidaddehacerlalneadefase, existe un resultado conocido como teorema de linearizacinel cual es unresultado similar al famoso criterio de la segunda derivada para la clasificacinde los puntoscrticos de una funcin, y a continuacin lo recordamos.Sea y un punto crtico, es decir,tenemos C 0B B 0 B !! !w(a) sientonces es un mximo local 0 B ! B 0 B ww! ! !(b) si, entonceses un mnimo local 0 B ! B 0 B ww! ! !(c)si,entoncesnoesnimximonimnimolocal,esun 0 B ! B 0 B ww! ! !punto de cambio de concavidad por ejemplo.3.10. TEOREMA DE LA LINEARIZACIN.SupongaqueesunpuntodeequilibriodelaecuacindiferencialC 0C!.C.>donde es una funcin diferenciable continuamente. Entonces 0 0 C ! C Si, entonces es un sumiderow! ! Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE36. 0 C ! C sientonceses una fuentew! !

0 C ! 0 C si,osinoexiste,entoncesnecesitamosinformacinw w! !adicional para determinar el tipo de. C!Este teorema se deriva inmediatamente del anlisis anterior a su enunciado, unavez que recordamos que si, entonces est decreciendo cerca de y 0 C ! 0 Cw! !si,entoncesestcreciendocercade.Esteanlisisyesas 0 C ! 0 Cw! !conclusiones son un ejemplo de y es una tcnica que a menudo LINEARIZACION,encontramosdeutilidad.Laderivadanosdaelcomportamientodela 0 C w!mejoraproximacinlinealacercade.Sirepresentamosporsumejor 0 C 0!aproximacinlinealentonceslaecuacindiferencialqueobtenemosesmuycercana a la ecuacin diferencial original para lams prxima a. C C!Como ejemplo, consideremos la ecuacin diferencial.C.>& % 2C C-9=C #C #( C 1Com se ve la lnea de fase cerca de?. Dibujar la lnea de fase para sta C !ecuacinsermuycomplicado.Tendramosqueencontrarlospuntosdeequilibrio y determinar el signo. Por otra parte es fcil observar que2C C !es un punto de equilibrio porque Calculemos 2! !2 C -9=C #C C&C #=/8C #C #( & Cw & % & %1Aquluegoporelteoremadelinearizacinconcluimos 2 ! -9=! " !wque es unaC ! fuente.3.11. EJERCICIOSEn los ejercicios 1 a 4, nos referimos a una funcin, pero no proporcionamos 0su frmula. Sin embargo, supongamos que satisface la hiptesis del teorema 0deunicidadentodoelplano,ydamosvariassolucionesparalaecuacin >Cdiferencialdada.Finalmente,especificamosunacondicininicial.Usandoelteoremadeunicidad,qupuedeconcluirustedacercadelasolucinconlacondicin inicial dada?" 0C > # 0C.C .C.> .> es solucin, es una solucin, C > $ a> C > % a>" "es una solucin, C! " C > # a># es una solucin, C > ! a>$C! "$ 0> C % 0> C.C .C.> .> es solucines una solucin, C > > # a> C > " a>" " es solucin es una solucin, C > > a> C > " > a># ## # C! " C! !Enlosejercicios5a8sedaunacondicininicialparalaecuacindiferencial.C.> C #C $C Qudiceelteoremadeexistenciayunicidadrespectoalasolucin correspondiente?& C! % ' C! $ ( C! " ) C! "* C > C > >" (a) Demuestre que y son soluciones a"# ##.C.># # # % C C #C>#> >> Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE37.(b) Compruebe que si es una solucin de la ecuacin diferencial en el inciso C>(a)yentonces para todo! C! " > C> >" ># #"! C Considere la ecuacin diferencial.C.>#$(a) Demuestre que para todo es una solucin C > ! >"(b) Compruebe quees una solucin.C > #>#($(c)Verifiquequeperoqueparatoda.Porqueste C ! C ! C C C > >" # " #ejemplo no contradice el teorema de unicidad?"" 0C .Considereunaecuacindiferencialdelaforma,queesuna.C.>ecuacinautnoma,ysupongaquelafuncinescontinuamente 0Cdiferenciable. (a)Supongaqueesunasolucinyqueunmximolocalen.Sea C > > >" !C C > 0C !! " ! !. Demuestre que (b) Use la informacin del inciso (a) para esbozar el campo de pendientes a lolargo de la lnea en el plano. C C >C!(c)Demuestrequelafuncinconstanteesunasolucin(enotras C > C# !palabras es una solucin de equilibrio) C#(d) Verifique quepara todoC > C >" !(e) Compruebe que si una solucin de tiene un mnimo local, entonces.C.> 0 C ( )esunafuncinconstante;esdecir,tambincorrespondeaunasolucindeequilibrio."# C > C ( ) ( ) a Demuestrequeysonsolucionesdelaecuacin" #" ">" >#.C.># C .( ) b Qu puede decir usted acerca de las soluciones de para la cual la.C.># Ccondicin inicialsatisface la condicin? C ! " C ! ( ) ( )"#[ Sugerencia: Podra encontrar la solucin general, pero qu informacin puedeobtener usted de su respuesta al slo incisoa . ( )["$ Considere la ecuacin .C C.> >#( ) ( ) aDemuestre que la funcin constantees una solucin C > !"( ) bCompruebe que hay un nmero infinito de otras funciones que satisfacen laecuacindiferencialqueconcuerdanconestasolucincuando,peroque > !sondiferentesdecerocuandoSugerencia:Ustednecesitadefiniresas > ! [funcionesusandounlenguajecomo:cuandoycuando C > > ! C > ( ) ( )> ![.En losejercicios a se da un problema de valor inicial. "% "(( ) aEncuentre una frmula para la solucin.( ) bEstablezca el dominio de definicin de la funcin.( ) c Describaquleocurrealasolucincuandotiendealoslimitesdesudominiodedefinicin.Porqupuedeextenderselasolucinparauntiempomayor?"% C C ! " "& C ! !.C .C.> .> C" >#$ "( ) ( )()()"' C ! " "( C " ! .C .C.> .> C#" "C# ()#( ) () Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE38.Enlosejerciciosa,esbocelaslneasdefaseparalaecuacindiferencial ") #&dada. Identifique los puntos de equilibrio como sumideros, fuentes o nodos.") $C " C "* C 'C "' #! C #" .. . .C .C .C .C.> .C .> .> C## "( ) cos## A A #$ A # =/8A #% A #A "! .. .A .A .A.> .> .>#cos ( )#& A.A.>tanEnlosejerciciosasedaunaecuacindiferencialyseespecificanvarias #' $#condiciones inciales. Esboce las grficas de las soluciones que satisfacen a esascondiciones iniciales. En cada ejercicio, coloque todas sus grficas sobre un parde ejes.#' $C " C C ! " C # " C ! C ! #.C.> #"( ) ( ) ( ) ( ) ( )#( C 'C "' C ! " C " ! C ! "! C ! &.C.>#( ) ( ) ( ) ( )#) C C ! ! C " " C ! C !.C.> #cos( ) () ( ) ( )11#* A A A ! ! A $ " A ! # A ! ".A.>cos ( ) ( ) ( ) ( )$! A # =/8A A ! " A ! A ! " A ! $.A (.> %( ) ( ) ( ) ( ) ( )$" C ! ! C " $ C ! #.C.> C#"( ) ( ) ( ) ( ) pregunta capciosa$# A #A "! A ! ! A " A ! #.A ".> ##( ) ( ) Enlosejerciciosa,describaelcomportamientoalargoplazodela $$ $*solucin de la ecuacin diferencial=con la condicin inicial dada.C.>#C %C #$$ C ! ! $%C ! " $&C ! " $'C ! "! ( ) ( ) ( ) ( )$( C ! "! $)C $ " $*C " ! ( ) ( ) ()%! 0 C Considerelaecuacinautnoma.Supongaquesabemosque.C.>( )0 " 0 # ! () ()( ) ( ) a Escribatodoslosposiblescomportamientosdelasolucindeque C >satisfacen la condicin inicial. C ! " ( )( ) ( ) bSuponga tambin que paraDescriba todos los posibles 0 C ! " C #comportamientos de la solucin que satisface la condicin inicialC > C ! " ( ) ( )En los ejercicios a, encontrar la grfica de una funcinEsboce la lnea %" %% 0 C ( )de fase para la ecuacin diferencial autnoma .C.> 0 C ( ) Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE39.Enlosejerciciosasemuestraunalneadefaseparaunaecuacin %& %'diferencialautnoma.Hagaunbosquejodelagrficadelafuncin.C.> 0 C ( )correspondiente(Suponiendoqueestalamitaddelsegmento 0 C C ! ( )mostrado en cada caso) %* Sea una funcin continua. 0 C ( )( ) ( ) ( ) a Supongaquey.Demuestrequehayunpuntode 0 "! ! 0 "! !equilibrio para entre y ..C.> 0 C C "! C "! ( )( ) ( ) ( ) b Considereque,queyquehaymuchospuntosde 0 "! ! 0 "! !equilibrio finitos entre y. Sies una fuente, demuestre que C "! C "! C ".C.> 0 C C "! C "! ( )debetenerporlomenosdossumiderosentrey(Puede usted decir dnde estn localizados?)4. TEORIA CUANTITATIVA4.1. ECUACION CON VARIABLES SEPARABLESLasecuacionesdiferencialesdeltiposellaman1C.C 0B.B ECUACIONESDEVARIABLESSEPARABLES.Paraestemodelodeecuacioneselanlisiscuantitativonos brinda el siguiente resultado:TEOREMA.Siysonfuncionescontinuasyyes 0 1 J B 0B K C 1C Cw walgunasolucindeentoncesexisteunaconstantetalque 1C.C 0B.B -KCB JB - C .Inversamente,cualquierfuncindiferenciablelacualsatisface para cualquier constante es solucin de la ecuacin KC JB - -1C.C 0B.B.DEMOSTRACION.Lasegundaafirmacinesclara,puescualquierfuncinquesatisfacealaecuacinesunasolucindelaecuacin KC JB -1CC 0Bw,locualesinmediatoporlaregladelacadenaparaladiferenciacin.Porlotantonecesitamossolamenteprobarquecualquiersolucin tiene la misma forma.Seacualquiersolucindelaecuacinlacualpodemos C 1C.C 0B.Bescribir en la forma siguiente1CB 0B >.C.Bpara todo &Sea,dondeescualquierantiderivadade.Entoncesporla LB KCB K 1regla de la cadena y la identidad obtenemos &L B K CBC B 1CBC B 0B J Bw w w w w Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE40.Esto es,y tienen la misma derivada. Se sigue que existe una constante tal L K -que y por lo tanto se tiene que. LB JB - KCB JB -

Elteoremaanteriornosindicaquecualquiersolucindeunaecuacindevariableseparablepuedeobtenerseintegrandomiembroa 1C.C 0B.B miembro as 1C.C 0B.B - 'donde es una constante arbitraria. -Hemosobtenidolaecuacin,satisfechaparatodaslassolucionesdela 'ecuacinAdemstodasolucindelaecuacinessolucin 1C.C 0B.B.'deyaquesilafuncinsesustituyeenlaecuacin,la 1C.C 0B.BCB 'tranformaenunaidentidad,entoncesderivandodichaidentidadobtenemosque satiface a CB 1C.C 0B.B.Esposiblequeenalgunosproblemasnoseaposibleexpresarlasintegralesindefinidasenfuncioneselementales;pero,apesardeesto, 1C.C 0B.Bconsideraremos resuelto tambin en este caso el problema de la integracin dela ecuacin diferencialen el sentido de que lo hemos reducido 1C.C 0B.Baunproblemamssimple,yaestudiadoenelclculointegral.Sihayqueobtenerunasolucinparticularquesatisfacelacondicinsta CB C ! !evidentemente se determina por la ecuacin C BC B! !1C.C 0B.Bla cual se obtiene de C BC B! !1C.C 0B.B -usando la condicin inicial. CB C! !EJEMPLO 1. Estudie la solucin de la ecuacinB.B C.C !Las variables estn separadas, ya que el coeficiente de es funcin de, y el .B Bcoeficiente de es funcin de slo. Integrando obtenemos .C C B.B C.C - B C - o bien # # #"lacualesunafamiliadecircunferenciasconcentroenelorigendecoordenadas.

EJEMPLO 2. Estudie la solucin de la ecuacin. / .B B.CP8C#Integrando obtenemos. Las integrales no se pueden resolver por / .B B.CP8C#funcioneselementales,sinembargo,laecuacinoriginalseconsideraintegrada, puesto que el problema se redujo a un problema de integracin.

Lasecuacionesdeltipoenlascualeslos : < : +8D ">+8D.C>+8D>+8 " " >+8D " " 111%%Asde donde,.D #>+8D.B ">+8D #>+8D">+8D.D .Bintegrando se recibe " " " " "#>+8D # # # % # % .D B G P8=/8B C B C B G1 1.4.3.ECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIASDEPRIMERORDENCONCOEFICIENTES HOMOGNEOS.Ocasionalmente una ecuacin diferencial ordinaria (D.O.) cuyas variables no sonseparables puede convertirse en una cuyas variables son separables por mediodeunasustitucinapropiada.Unejemploendondeestemtodosiemprefuncionar,escuandoloscoeficientesdelaecuacinsonfuncioneshomogneas del mismo grado, de acuerdo con la siguiente definicin.DEFINICION. Se dice que una funcin continuaes homognea de grado si, 0B C -para todo nmero real>0>B >C > 0B C-Porejemplo,lasfuncionesysonhomogneasdegradodos,y B C BC /# #BC#BCC #" "BCson funciones homogneas de grado, y es homognea de grado - . !_Supongamos ahora quey son funciones homogneas del mismo QB C RB Cgrado y consideremos la ecuacin diferencial -QB C.B RB C.C !.Afirmamosquelasustitucinconvertiraestaecuacinenunacuyas C @Bvariables sean separables. En efecto, tenemos entonces Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE43.QB @B.B RB @B@.B B.@ !lacualdebidoalahomogeneidadquehemossupuestoenypuede Q Rescribirse en la formaB Q" @.B B R" @@.B B.@ !- -de dondeQ @.B R @@.B B.@ !" "en donde y son funciones nicamente de, separando ahora las variables Q R @" "se obtiene.BB Q @@R @R @ .@ !"" "OBSERVACON: La forma normal de una ecuacinhomognea esC wQBCRBCen donde la funcin es homognea de grado. En este caso el argumento !QRque acabamos de dar implica que la sustitucin convertir a la ecuacin C @BC 0B C 0B Cwenunacuyasvariablessonseparablessiemprequeseahomognea de grado. !EJEMPLO 1. Hallar la solucin general de la ecuacin:CwBCBCComo la funcin es homognea degrado, hacemos la sustitucin,BCBC! C @Bcon lo que obtenemos@ B .@ "@.B "@Se separan ahora las variables para obtener.B @"B @ " .@ !#se sigue queP8 B P8@ " >+8 @ P8G G !| |"## "De dondeB @ " G/ G !_# >+8 @" ycomotenemos,endondeesunaconstante @ B C G/ GCB# # >+8 CB_"arbitraria distinta de cero.

EJEMPLO 2. Hallar la solucin del problema _BC.B B .C C B C .CC! "# # #Laecuacineshomogneaylasustitucinllevalaecuacinalade C @Bvariable separable siguiente: ".B .@ .@B @@ "@# # _ Haciendo la sustitucinobtenemos @ >+8 9.@@ "@"@@ # ##__ Gintegrando la ecuacin obtenemos "P8 P8@ P8 P8 GB @ B B C"@ C C"B C_ __#C#B#CB# # Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE44.De donde_B CP8G CP8C#C#Como se tiene que , obtenindose la solucin deseada C! " P8G "_B C CP8C#C#

EJEMPLO 3. Halle la solucin del problema de valores iniciales_B C BC CC" "#.C.BLa ecuacin es homognea y la sustitucinlleva a la ecuacin C @BB B @ B @@ B B@ " @ @@ B @_ _ # # # #.@ .@.B .B @" @ @ B" @ @ @_ _ # #.@.B B" @ @ @ @ @_ _ # #.@.BSeparando variables tenemos" @ @@ @ @.BB__## Integrando tenemos .@ .@ .B@ @ @@ B _#- Para calcular la primera integral se hace la sustitucin obteniendo @ "D_.@ @"@ @ @@ _# # GAs # P8@ P8 # P8 # P8 _ __@" G G G@ B BC C BC"CBCBCBPero de donde.Luego la solucin deseada es C" " G "# P8BC # P8BC !_ _CB CBC Co sea

4.4ECUACIONES DIFERENCIABLES TRANSFORMABLES A HOMOGNEAS.Lasecuacionesdeltipopuedenreducirseaecuaciones.C + B, C-.B + B, C- 0 " " "# # #homogneas, si trasladamos el origen de coordenadas al punto de interseccinB C " "de las rectas+ B , C - ! + B , C - !" " " # # # yesto siempre y cuando + ,+ , !" "# #Obtenindose el caso conocido como conforme, pues seconservan los ngulosen latransformacin entre planos. Efectivamente, los trminos independientes- -" #yenlasecuacionesdeestasrectas enlasnuevascoordenadas \ B B ] C C " "serigualacero;ytambinloscoeficientesdelascoordenadas permanecen invariablesy la ecuacin toma la forma.C.B .\.] .] .] ].\ + \, ] .\ \+ \, ]+ ,+ , 0 " " \# #" " ]# # ]\o bien< Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE45.que ya es una ecuacin homognea.Este mtodo no se puede aplicar cuando + ,+ , !" "# #pues en este caso hay paralelismo entre las ecuaciones+ B , C - ! + B , C - !" " " # # # yy es cuando se tienen coeficientes proporcionales, as+ ,+ ,# #" " 5y la ecuacin se puede escribir en la forma.C + B, C-.B 5+ B, C-" " 0 J + B , C ( )" " "" " #porconsiguiente,comosedemuestrafcilmente,elcambiodevariableD + B , C" "transformalaecuacinconsideradaenunaecuacindevariableseparable.EJEMPLO 1. Halle la solucin de la ecuacin..C BC".B BC$Primero que todo veamos el determinante dela transformacin " "" " # !,esto nos indica que estamos en un caso conforme y podemos entonces resolverel sistema simultneo de ecuacionesB C " !B C $ !Se obtiene.Haciendo se obtiene B " C # B \ " C ] #" ".] \].\ \]El cambioconduce a la ecuacin de variable separable siguiente ] D\D \ P8 " #D D P8 \ P8G G !.D "D .\ " ".\ "D "#DD \ # #"D.D##| | | | " #D D \ G \#\] ] G B #BC C #B 'C G# # # # #.AFIRMACIONES 1.Las ecuaciones diferenciales de la forma.C EBFC.B C E BF C 77" 7" "se puede transformar en homognea mediante el cambio Efectivamente C @7dC .B .B .B .B.@ .@ 7" .C7 7C de donde" .@ EBF@7 .B E BF @" "la cual es homognea.2.Las ecuaciones de la forma.C.B E CF BB ECFB7" 7" "7sepuedetambintransformaraunaecuacinhomogneahaciendoelcambiode variableEfectivamente B >7.B.C .C .C .C 7B .B .> 7 .> E CF >.> .B .> " " 7".C .C .C ECF>77"" " 7 B la cual es claramente homognea. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE46.EJEMPLO 1. Halle la solucin de la siguiente ecuacin:. # .C C BC.B BC "$ En efecto,# #C #C #C .C .C "BC .C .C C B.B BC " .B BC " .B C BC .B BCC "BC C C B$ $ $# # # ## # # # ## #Se hace aqu segn la afirmacin, obtenindose cuya solucin 1@ C # .@ B@.B @Bes dada por. B #B@ @ G B #BC C G# # # # %EJEMPLO 2. Hallar la solucin de la siguiente ecuacin: .C $B CB.B CB# &$En efecto;.C .C $CB.B CB .B CBB $CB # B # $$ $$se hace aqu para obtener > B$B B $ # #.C .C $C> .C $C>.B .> .B C> .> C>.>,as,hacemos para obtener C D>.> G> "'D$D >$D$.D# " 'D $D # #de donde se obtiene que la solucin es dada por. B 'CB $C G' $ #

4.5. BREVES NOTAS DE CLCULO EN VARIAS VARIABLES4.5.1.DERIVADADEUNCAMPOESCALAR.Seaunconjuntoabiertoy Y #0 Y 0 una funcin o campo escalar, se dice que es derivable en un punto\ Y 0 \ si existe una transformacin lineal dada porw # 0 \ ] w2!0\2] 0\ 2limpara todo . ] d#EJEMPLO 1. Halle la derivada de la siguiente funcin0 d d#B C 0B C B #BC#En efecto,0 B C + , w2! 2!0B2+C2,0BC B2+ #B2+C2,B #BC2 2lim lim# # #+B #,B #+C 2+ #2+, lim lim2! 2!#2+B2 + #2,B#2+C#2 +,2## # # #B #C+ #,B #B #C #B + ,4.5.2Seaunafuncinderivableenunpunto.Designemos 0 Y d d \ Y#conloselementosdelabasecannicade,enestas 3 " ! 4 ! " d#condicionessonllamadaslasderivadasparcialesde 0 \ 3 0 \ 4 w w`0 `0`B `C Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE47.0 \conrespectoalaprimeracomponentedeyalasegundacomponentede\ respectivamente.EJEMPLO 2. Hallar las derivadas parciales de0B C BC C "# `0`B 2 2w2! 2!0B2C0BC B2CC BCC 0 B C 3 C lim lim" "# #`0`B 2 2w2! 2!0BC20BC BC2C2 BCC 0 B C 4 lim lim" "# # B C C2 B C lim2!" "# # " "# #-

4.5.3 Sea un campo escalar diferenciable. El gradiente de, el cual 0 Y d d 0#serepresentapor,eslamatrizasociadaalatransformacinlinealf0 0 \ wcon respecto a las bases cannicas y sera dada porf0\ \ \ a\ Y `0 `0`B `C Es claro que el gradiente es un vector y nos permite simplificar gran nmero defrmulas en el anlisis vectorial, as tenemos por ejemplo0 \ ] f0\ ] wEJEMPLO 3. Sientonces 0B C B #BC#0 B C + , B #BC B #BC + ,w # # ` ``B `C #B #C #B + , #+B #+C #,CDEFINICION:Seaunafuncindefinidaenunabiertode,se 0 Y d Y d# #d dicequeesunafuncincontinuamentediferenciablecuandoysus 0 0derivadas son funciones continuas y derivables, en ese caso se dice que es de 0clase. V"TEOREMADELAFUNCIONIMPLICITA:Supngasequeysusderivadasparciales JB C`J `J`B `C! B C estn definidas y son continuas en una regin delplano. Seaun H!puntocualquieradeenelcualysupongamosque H ( )`J`C! !B C !JB C G! !.Entoncesexisteunafuncincontinuamentediferenciable nicaC CB M B definida en un intervaloalrededor detal que!3 CB C 33 JB CB G M 333 C B ! !w en `J`B`J`C4.6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS4.6.1. DIFERENCIALES TOTALES Y FORMAS EXACTAS. Las tcnicas restantes para laresolucin de ecuaciones diferenciales en su forma normal de primer orden secentran en la nocin de de una funcin en dos variables. DIFERENCIALTOTAL .JRecordemos que est definida por la frmula .J.J .B .C "`J `J`B `C entendindosequeestaexpresintienesentidosiemprequeyexistan.`J `J`B `CComo y son tambin funciones de y pueden volverse a escribir como`J `J`B `CB C.J QB C.B RB C.Cy en esta forma sugiere de inmediato el siguiente resultado: Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE48.LEMA 1. Supongamos queQB C.B RB C.C ! #est definida en una regin y queexiste una funcin diferenciabletal H d J#queQB C RB C $`J `J`B `C

en todos los puntos de la regin . Entonces la expresin, dondeH JB C G Ges una constante arbitraria, define la solucin general de en . # HDEMOSTRACION:Esteresultadosesiguedirectamentedelteoremadelafuncinimplcita. En efecto, por hiptesis y son continuas en. J`J `J`B `CHAdemscomoentodoslospuntosdeldominiodelaecuacin RB C !QB C.B RB C.C ! $ RB C ycomodesesigueque,nose`J `J`C `Canula en punto alguno en.Por lo tanto si es un punto cualquiera deH H B C ! !ysielteoremadelafuncinimplcitaafirmaquelafuncin JB C G! !JB C Gdeterminaunanicafuncincontinuamentediferenciableyunintervalo alrededor detal que M B! C w `J `J`B `C RBCQBCentodoelintervalo.Dedondeessolucindeylapruebaes M JB C G #completa.

Se dice que una expresin de la formaes unaQB C.B RB C.C DIFERENCIALEXACTAen una regin, si existeuna funcintal que H J.J QB C.B RB C.CEnestecaso,sedicequelaecuacindiferencialdeprimerordencorrespondienteQB C.B RB C.C !esyla expresin ,donde es una constante arbitraria, se EXACTA JB C G Gllamala(o)deestaecuacin.Enestos INTEGRALGENERAL INTEGRALPRIMERAtrminosellemaprecedenteafirmaquelaintegralgeneraldeuna JB C Gecuacin diferencial exactaQB C.B RB C.C !determina la solucin general de la ecuacin en aquellas regiones del planodonde .`J`C !EJEMPLO 1. La expresin es una diferencia exacta en todo el plano ya B.B C.CqueDedondelaecuacinesexactaysu . B.B C.C B.B C.C ! B C## #integral general esB C G G !# # #

En este caso las curvas integrales (es decir, las curvas definidas por ) JB C Gson la familia de crculos en el plano con centro en el origen. BCEJEMPLO 2. La ecuacines exacta, ya que #B .B B .C ! / /C C Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE49.` ``B `CC C C C BB #B BB B / / / /de donde la integral general de esta ecuacin es donde es una BB G G / C constante arbitraria y la solucin general esC P8 B !| |GBB#.

Todo esto est muy bien, pero ser poco menos que intil, en lo que se refierealaresolucindeecuacionesdiferencialesexactas,cuandoestassenospresentancomounproblemaconcreto,enestecasosedebedeterminarunafuncincuyadiferencialsealaecuacindiferencialdada.Supongamos,con Jestefinqueesladiferencialdeunafuncinenunareginy Q.B R.C J Hqueysoncontinuamentediferenciablesen.Entonces,como Q R HQB C RB C `J `J`B `Ctenemos`Q ` J `R ` J`C `C`B `B `B`C # # y las hiptesis de continuidad implican en efectoque estas dos derivadas soniguales, recuerde el famoso teorema de las derivadas mixtas. En otras palabras:Si es una diferencial exacta, cuyos coeficientes son continuamente Q.B R.Cdiferenciables, entonces.`Q `R`C `BEsteresultadoesjustamentelaclasedecriteriodeexactitudqueestamosbuscando,contalquesurecprocoseacierto.Yloser,tanprontocomoimpongamos una ligera restriccin sobre la naturaleza geomtrica de la reginH en la cual esta definida la diferencial. Concretamente, debemos requerir queH sea ,lo cual es otra forma de decir que no existenSIMPLEMENTE CONEXA hoyosen. Ms formalmente, una regin del plano se dicesi es H H SIMPLEMENTE CONEXAimposibledibujarunacurvacerradasimpleenlacualrodeepuntosqueno Hesten en. El plano en su totalidad, el semiplano superior, o el interiorde un Hcrculo son simplemente conexos, mientras que el interior de un crculo del cualhemosquitadosucentro,olareginentredoscrculosconcntricosnosonsimplemente conexos.TEOREMA :Sea yfunciones continuamente diferenciables en una QB C RB Creginsimplementeconexa.Entoncesesunadiferencialexacta H Q.B R.Censiempreque. H`Q `R`C `B.Cuandoseenunciaconestegradodegeneralidad,lapruebadelteoremarequiereelusodelaintegral de linea, y por ello la omitiremos. En su lugar estableceremos una versin restringidade esteresultado bajo la hiptesis de que la regin es todo el plano. H.DEMOSTRACION: Debemos construir una funcin tal que J JB C.J Q.B R.Ces decir, tal que`J `J`B `C QB C RB C Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE50.Parahacerlo,seaunpuntofijoporlodemsarbitrariodelplanoysea B C ! !B Cun punto variable. SeaJB C QB C .B RB C.C B CB C!! !dondeen la segunda integral se mantiene fijo y el integrando se ve como una Bfuncin de slo . Entonces C`J `R `Q`B `B `C! !CC QB C .C QB C .CCC+ !! QB C QB C QB C QB C! !Por analoga se tiene que, y hemos completado la prueba.`J`C RB C

4.6.2ECUACIONESEXACTAS.Supongamosqueest QB C.B RB C.C !definidaenunareginsimplementeconexadelplano,ysupongamosque HQB C RB C ysonfuncionescontinuamentediferenciableen.Entonces HQB C.B RB C.C ! es exacta si y slo si. Adems, cuando ste es`Q `R`C `Bel caso, la integral general de la ecuacin es, en donde JB C GJB C QB C .B RB C.CB CBC ! ! !y es cualquier punto de. B C ! !HEJEMPLO 1. La ecuacin es exacta, ya que #B / .B B/ .C !C C` ``C `BC C C C( ) #B / / B/ /As la ecuacin es exacta y su integral esta dada por, de donde JB C GJB C #B / .B B/ .CB CBC ! !!C CPara facilitar el clculo suponemos quees el punto. Entonces B C ! !! !JB C #B/ .B B/ .C BB / ! !BC C C C!EJEMPLO 2. Hallar la integral general de la ecuacin=/8BC BC -9= BC .B B -9= BC .C !#Comoloscoeficientesdeestaecuacinsoncontinuamentediferenciablesentodo el plano, y comola ecuacin es exacta. Por lo tanto su integral`Q `R`C `Bgeneral es, en donde JB C GJB C =/8BC BC -9= BC .B B CBCB -9= BC .C! ! ! ! !#Haciendoobtenemos B C ! ! ! Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE51.JB C B -9= BC .C B=/8BC!C#

4.6.3FACTORESDEINTEGRACION.Enocasiones puedeutilizarselatcnica anterior para resolver una ecuacin de primer orden de la formaQB C.B RB C.C !quenoesexacta.Sesigueestoalmultiplicarloscoeficientesdelaecuacinporunafuncindistintadeceroescogidadetalmaneraque . . B C Q.B R.C ! . . sea exacta.Laecuacinseresuelveacontinuacinylasolucinde Q.B R.C ! . .QB C.B RB C.C ! secompletaaadiendotodaslassolucionessuprimidaslascualessurgendelaecuacin.Lafuncinse . . B C ! B Cllama un de la ecuacin FACTOR DE INTEGRACIONQB C.B RB C.C !los siguientes ejemplos ilustran esta tcnica.EJEMPLO 1. Hallar la solucin general de la ecuacinCBC ".B B.C !Siescribimosdenuevolaecuacinenlaformay BC .B C.B B.C !#recordemosqueesevidentequeesunfactordeintegracin . C C.BB.CB C C"# #de la ecuacin. Utilizndolo obtenemosB.B !C.BB.CC#y se sigue que la integral general es B B# C# G C !

CASOS PARTICULARES: 1- Cuando el factor integrante es funcin de nicamenteB, entonces` ``C `B( ) ( ) . . QB C RB Cse convierte en. . . . .`Q `R `Q `R`C `B `C `Bw w R R P8 .B..w`Q `R`C `B C BR RQ R| | . /B: . Q RRC B.B el cual es el factor integrante para este caso.EJEMPLO : Resolver la ecuacinB C.B B.C !$Aquas QB C B C RB C B " "$ `Q `R`C `BAhora`Q `R`C `BR B B""#= de donde.B /B: .B / # "B BP8 "B##Tenindose,( ) ( ) B .B B ! B .B !C .C C .CB B B B# # # QB C B RB C CB B"# `Q " `R`C B `B #. Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE52.La integral general ser ! !B C.C CB # BBB.B G#.

2 - Cuando el factor integrante es funcin de nicamente, entonces C ` ` `Q `R `R `Q`C `B `C `B `B `Cw w() () . . . . . . . Q R Q Q ..w`Q `R`C `B B CQ QB CR Q P8 RQQ.C C /B: .C| | ( ). .EJEMPLO. Resolver la siguiente ecuacin C -9=B.B B BC =/8B.C !Aqu de donde se tiene QB C C -9= B RB C B BC =/8B`Q `R`C `B " " C -9= Bentonces`R `Q`B `C " C -9= B "donde`Q `R`C `BQ C-9= BC-9= B "entonces existe un factor integrante de la formadado por .C.C /B: ".C / CCon este factor integrante la ecuacin dada toma la fomaC// -9= B.B B/BC// =/8B.C !C C C C Ccomo` ``C `BC C C C C C C C( ) ( ) C// -9= B /C// -9= B B/BC/ / =/8Bse sigue que la integral general estar dada por ! !B CC C C C-9= B.B B/BC// =/8B.C G BC =/8B/ G

3-Casoenelcualelfactorintegranteestadadoporelproductodedosfuncionese , es decir \B ] C.B C \B ] CReemplazando en la condicin de exactitud tenemos` ``C `B( ) ( ) \B ] C Q \B ] C R\] Q ] Q ] \ R \R \] Q \] Q ] \ R \] Rw w w wC B C B\] Q R ] \ R \] QC Bw wLuego ydeben elegirse de manera que \ ]`Q `R \ ]`C `B \ ] R Qw wEJEMPLO. Hallar la solucin de la ecuacin:BC C.B B C B.C !# #AquQB C BC C RB C B C B# #e , entonces`Q `R`C `B #BC " #BC " #por lo tanto# B C B BC C\ ]\ ]# #w w( ) ( ) Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE53.Eltanteonossugierequee,porlotantoy\ " ] " "\ B ] C BCw w B C .la ecuacin se convierte enBC C B CBBC BC B C" "# #.B .C ! C .B B .C ! .La ltima ecuacin es exacta y tiene por solucin general a " "B C" "B C C .B B .C 5dedonde la solucin es:BC P8 G| |CB5.ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENEstaesunaecuacindelaforma,dondesonciertas C +BC ,B +B ,Bwfunciones definidas en un intervalo. Escribindola en la forma normal vemos Mque toma la forma siguienteC 0B C +BC ,BwSi para todo en la ecuacin correspondiente ,B ! B MC +BC !wsellama,mientrasquesiECUACIONLINEALHOMOGNEADEPRIMERORDEN ,B !para todo entonces la ecuacin es llamada. B M C +BC ,BwNO HOMOGNEAObsrvesequesiparatodo,entonceslafuncin ,B ! B M0B C +BC ,B C es lineal en, esto es,0B C C 0B C 0B C " # " #y adems es homognea en, esto es: C0B -C -0B Cdonde es una constante arbitraria. -Primeroresolvemoselcasosencillodeendondeesuna C +BC ,B +Bwconstante, y luego trataremos el caso general5.1.LA ECUACIN . C +C !wSi es una constante y es una solucin de entonces, y + C +C ! + ! < < 'P738"!!!PB! ! 51 Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE63.B> > lacantidaddesalquehayeneltanqueenelinstante.Primerosedebedeterminarlavelocidadalacualentralasaleneltanque,puestoquelaconcentracindelasalmueraesde,seconcluyequelavelocidadde " 51Pentrada de sal al interior de tanque es'P738" 51P ' 51738Por hiptesis la salmuera se mantiene bien agitada as que la concentracin dela sal en el tanque se mantiene uniforme, y en cualquier instante es igual a B>divididaporelvolumendelfluidocontenidoeneltanque.Puestoquesteconteneinicialmenteylavelocidaddelflujoalinteriordeltanqueesla "!!! Pmisma que la velocidad de salida, el volumen es igual a la constante, por "!!! Pconsiguiente la velocidad de salida est dada por' P738 51P 51738 B> $B>"!!! &!!Puesto que el tanque contiene inicialmente slo agua, hacemos Resulta B! !as el siguiente problema de valores iniciales .B.> ' B! !$B&!!como un modelo matemtico para el problema de mezclas. Esta ecuacin es devariableseparableolinealysusolucinanalticaesmuyfcil,obtenindosequeB> "!!!" / $>&!!As la concentracin de sal en el tanque en el tiempo es >B>"!!!$>&!! " / 51PPara determinar cundo la concentracin de la sal es dese despeja de"#O1P >la ecuacin" / / $>&!! $>&!! " "# #por lo tanto,> ""& 738&!!68#$

EJEMPLO 2. Para el problema de mezcla descrito en el ejemplo, supngase que "la salmuera sale del tanque a razn de en vez de, con todas las & P738 ' P738demscondicionesiguales.Determinelaconcentracin de sal en el tanque enfuncin del tiempoEn efecto, puesto que la diferencia entre la velocidad de flujo hacia el interior ?--------------------------'P738 B> &P738"51PPB> ! 51del tanque y la velocidad de salida es, la cantidad con la cual la ' & "P738sal abandona el tanque es&P738 51738 51738 B> &B>"!!!> "!!!>Resulta el problema de valor inicial Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE64. .B &B.> "!!!> ' B! !como modelo matemtico para el problema de mezclas. Puesto que la ecuacines lineal, podemos hallar el factor integrante para .B &.> "!!!> B '.> / "!!! >&.>"!!!>&As la ecuacin se nos transforma en..>& &( ) "!!! > B "!!! > 'de dondeB> "!!! > G"!!! >&pero entonces, luego B! ! G "!!!'B> "!!! > "!!! "!!! >' &La concentracin sera entonces dada porB>"!!!>' ' " "!!! "!!! > 51P

EJEMPLO3.Consideremosuntanquequecontieneunvolumende. "!!!! 7>$Supongamos que en el tiempo el agua est limpia y que el estanque tiene > !dos corrientes que fluyen hacia l, la y la, y otra ms de salida, la corriente E FG E &!! 7> . Supngase que desde la corriente fluyen por da hacia el estanque,$y desde la corren por da F (&! 7>$ En el tiempo, el agua que llega al estanque por la corriente se contamina > ! Eporlasaldelcauceaunaconcentracindekilogramosporcada. & "!!! 7>$Supongamosqueelaguaeneltanqueestbienmezclada,porloquelaconcentracin de sal en cualquier tiempo dado es constante. Para empeorar lascosas,tomeencuentatambinqueenelinstantealguienempiezaa > !arrojar basura en el estanque a razn de por da. La basura se asienta en &! 7>$el fondo del estanque, reduciendo el volumen en por da. Para ajustar la &! 7>$basura que llega, se incrementa la razn de agua que sale por la corriente a G"$!! 7>$ por da y los bordes del estanque no se desbordan.La descripcin se parece mucho a la de los problemas de mezclado que hemosconsiderado (donde "estanque" reemplaza a "tanque" y "corriente" reemplaza a Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE65."tubo"). El nuevo elemento aqu es que el volumen total no es constante,puesste disminuyepor da, a causa de la basura arrojada. &!7>=$Sieslacantidaddesal(enkilogramos)enelestanqueeneltiempo, W> >entoncesesladiferenciaentrelarazndeentradadesalylaraznde.W.>salidadeesteslidodelestanque.Lasalingresaalestanquesloporlacorrienteylavelocidadalacualentra,eselproductodesuconcentracin Eenelagua,ylaraznalaqueelaguaentraporlacorrientaA.Comolaconcentracinesdekilogramosporylaraznalaqueelagua & "!!! 7>=$ ingresa al tanque por la corriente es de por da, as la razn a la que E &!! 7>=$la sal entra al estanque eskilogramos por da. &!! & &"!!! #Laraznalaquelasalsaleporlacorrienteeselproductodesu Gconcentracin en el estanquey la razn a la que el agua sale del estanque "$!!7>= $porda .Paradeterminarlaconcentracin,observamosquestaeselcocientedelacantidaddesalenelestanqueporelvolumen.Comoel W Zvolumen es inicialmente de y disminuye en por da, sabemos "!!!! 7>= &! 7>=$ $que. Por consiguiente la concentracin es, yla razn Z > "!!!! &!>W"!!!!&!>a la que la sal sale del estanque es"$!! W #'W"!!!!&!> #!!>La ecuacin diferencial que modela la cantidad de sal en el estanque es por lotanto.W & #'W.> # #!!> Estemodeloesvlidoslomientrashayaaguaenelestanque,esdecir,entanto que el volumen sea positiva. La ecuacin diferencial es Z > "!!!! &!>entoncesvlidapara.Comoelaguaestlimpiaeneltiempo! > #!! > !lacondicininicialesLaecuacindiferencialparalasalenel W! !estanquenoesautnoma.Sucampodependientesestdado,yapartirdestaomedianteelmtododeEulerpodramosaproximarlasolucinconelvalorinicialComolaecuacineslinealpodemostambinencontrar W! !una frmula para la solucin. Reescribiendo la ecuacin diferencial como.W #'W &.> #!!> # vemos que el factor integrante es.> / #!! >#'#!!>.> #'Multiplicando ambos lados porse obtiene .>. &.> ##' #'( ) #!! > W #!! >De donde se halla la solucin deseadaW #!#!!> #!!>"! #!!#' .

7.2. CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTONuestrametaesformularunmodelomatemticoquedescribaelcomportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en un lapso de24 horas en funcin de la temperatura externa, del calor que se genera dentro Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE66.deledificioydelsistemadecalefaccinoaireacondicionado.Apartirdeestemodelo nos gustara responder las tres preguntas siguientes:(a) Cunto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?(b)Comvaralatemperaturadeledificiodurantelaprimaverayelotoocuando no se emplea calefaccin o aire acondicionado?(c) Com vara la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utilizaaire acondicionado, o en el invierno, cuando se emplea calefaccin?Unplanteamientonaturalparamodelarlatemperaturainteriordeunedificioconsiste en utilizar el anlisis compartimental. Si representa la temperatura X>delinteriordeledificioeneltiempoyseconsideraaledificiocomounslo >compartimiento,entonceslarazndecambiodelatemperaturaesexactamenteladiferenciaentrelaraznalaqueaumentalatemperaturaylarazn a la que la misma disminuye.Consideraremos tres factores principales que afectan la temperatura del interiordeledificio.Elprimerfactoreselcalorproducidoporlaspersonas,lucesymquinasqueseencuentrandentrodeledificio.Estoocasionaunarazndeincremento de la temperatura que se denotar con. El segundo factor es el L>calentamiento(enfriamiento)queproporcionaelcalefactor(oelaireacondicionado). Esta razn de incremento ( disminucin) de la temperatura serepresentar con. En general la razn dey la Y> calentamiento adicional L>razndecalefaccin(aireacondicionado)sedescribenentrminosde Y>energaporunidaddetiempo(talescomounidadestrmicasbritnicas(btu)por hora). Sin embargo, multiplicando por ladel edificio (en capacidad calrica unidades de grados de cambio de temperatura por energa calorfica) se puedenexpresar ambas cantidades yen trminos de temperatura por unidad L> Y>de tiempo.Eltercerfactoressobrela elefectodelatemperaturaexteriorQ>temperaturainteriordeledificio.LaevidenciaexperimentalhademostradoqueestefactorsepuedemodelarusandolaLEYDENEWTONDELENFRIAMIENTO,queestablecequehayunarazndecambiodelatemperaturaquees X>proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior y la temperatura R>interior Esto es, la razn de cambiode la temperatura del edificio debida X>aes Q>5Q> X>Laconstantepositivadependedelaspropiedadesfsicasdeledificio,tales 5comoelnmerodepuertas,deventanasyeltipodeaislamiento,perono 5depende de Por consiguiente, cuando la temperatura exterior es mayor Q X >quelainterior,entoncesyhayunaumentoenlaraznde Q> X> !cambio de la temperatura del edificiodebido a. Por otra parte, cuando la Q>temperaturaexterioresmenorquelainterior,entonces,yhay Q> X> !una disminucin de dicha razn de cambio. Resumiendo, obtenemos .X.> 5Q> X> L> Y> " Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE67.donde la razn de calentamieto adicional es siempre no negativa y es L> Y>positivaparaelsistemadecalefaccinynegativaparaelderefrigeracinporaire adicionado. Un modelo ms detallado de la dinmica de la temperatura deledificiopodraincluirmsvariablespararepresentardiferentestemperaturasendiferentescuartosozonas.Dichoplanteamientoutilizaraelanlisiscompartimental, siendo los cuartos los distintos compartimentos.Puestoquelaecuacineslineal,sepuederesolverusandoelmtodo "examinado en la teora general. Reescribiendo en la forma cannica ".X.> > T>X> U> #dondese T> 5 U> 5Q> L> Y> (funcindeforzamiento)encuentra que el factor integrante es.> /B: 5.> / ( )5>Para resolver, se multiplica cada miembro por y se integra: # /5>/ > 5/ X> / U>5> 5> 5> .X.>/ X> / U>.> G5> 5>Resolviendo pararesulta X>X> / / 5Q> L> Y>.> G5> 5>.

EJEMPLO2.Encontrarlatemperaturadeledificiosilaraznde X>calentamientoadicionalesigualalaconstante,nohaycalefaccin L> L!enfriamiento, y la temperatura exterior vara en forma de onda Y> ! Q>senoidal durante un perodo de 24 horas, con su mnimo en (media noche) > !y su mximo en (medio da);esto es > "#Q> Q F-9= A>!donde es una constante positiva y radianes/hora (sta podra ser F A ##% "#1 1la situacin durante la primavera elotoo, cuando no se utiliza calefaccin niaire acondicionado).SOLUCION: La funcin dada por U>U> 5Q> L> Y>en este casoU> 5 Q F-9= A> L ( )! !Si hacemos , entonces F Q L O! ! !U> 5 F F-9= A> $ ( )!donde representa el valor medio diario de; esto es 5F U>!5F U>.>!"#% !#%.Cuandolafuncindeforzamientodelaecuacinsesustituyeenla U> $expresin de la temperatura dada por la ecuacinX> / / Q> L> Y> .> G 5> 5> ( )el resultado (luego de utilizar integracin por partes) esX> / / 5F 5F-9= A> .> G5> 5>! ( )X> F FJ> G/!5>donde Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE68.J> -9= A>A5 =/8A>"A5#La constante se elige de tal modo que a la media noche ( ) el valor de la G > !!temperatura sea igual a cierta temperatura inicial. De esta manera X X!G X FJ! X ! !F"A5#

EJEMPLO3.Supngasequeeneledificiodelejemplo2estinstaladountermostatosencilloqueseutilizaparacompararlatemperaturainteriorrealdeledificioconunatemperaturadeseada.Silatemperaturarealesmenor XHquelatemperaturadeseada,elcalefactorproporcionacalentamiento;delocontrario,seencuentraapagado.Silatemperaturarealesmayorqueladeseada,elacondicionadordelaireproporcionaenfriamiento;delocontrario,seencuentraapagado.(Enlaprctica,hayunazonamuertaalrededordelatemperaturadeseadaenlacualladiferenciadetemperaturanoresultasuficienteparaactivareltermostato,peroestehechonosetomaencuentaaqu).Suponiendoquelacantidaddecalorenfriamientosuministradoesproporcional a la diferencia de temperatura, es decirY> 5 X X>Y Hdonde es la constante (positiva) de proporcionalidad, encuentre. 5 X>YSOLUCION:Sielcontrol,proporcionalsesustituyedirectamenteenla Y>ecuacin diferencial del modelo.X.> 5Q> X> L> Y>de la temperatura del espacio, se obtiene.X.>Y H 5Q> X> L> 5 X X>= 5 5 X> L> 5Q> 5 X ( )Y Y H 5 5 X> 5Q> 5 X.X.>Y Y H TX> U>.X.>dondeT 5 5 U> 5Q> L> 5 XY Y HyCuandolarazndecalentamientoadicionalesunaconstanteyla L!temperaturaexteriorvaracomoondasenoidalduranteunperododeQ #%horasdelamismaformaquesucedienelejemplo,# lafuncindeforzamiento esU> 5Q F-9= A> L 5 X! ! Y H.Lafuncintieneuntrminoconstanteyuntrminocosenoexactamente U>comolaecuacindelejemploanterioryesta U> 5Q F-9= A>!equivalencia resulta ms aparente, luego de la siguiente sustitucinU> 5 F F -9=A> %" # " dondeA 5 5 5##% "#" Y1 1, F F# "5 X5Q L5 5F5 Y H ! !" ",Lasexpresionesparalaconstanteylafuncindeforzamientodela T U>ecuacinsonigualesalasexpresionesdelejemplo2exceptoquelas % Daro Snchez HMIS NOTAS DE CLASE69.constantes yson reemplazadas respectivamente por las constantes5 F F 5 ! "F F# "y.Porconsiguiente,lasolucindelaecuacindiferencial.X.> TX> U> ser igual que la solucin de la temperatura en el ejemplo 2,excepto que trminos constantes estn cambiados. De esta manera $X> F F J > G/# " "5 >"dondeJ > "-9= A> A5 =/8A>" A5( )( )"" #Laconstanteseeligedemaneraqueeneltiempoelvalordela G > !!temperatura sea igual a. As que X!G X F F J!! # ".

7.3 MECANICA NEWTONIANA.Lamecnicaeselestudiodelmovimientodelosobjetosyelefectodelasfuerzas que actan sobre ellos. Constituye el fundamento de varias ramas de lafsica y la ingeniera. La mecnica Newtoniana o clsica trata del movimiento deobjetosesdecir,objetosquesoncomparadosconordinarios,grandes untomo,ydemovimientolentocomparadoconlavelociadaddelaluz.Unmodelo de la mecnica Newtoniana se puede basar en las leyes de Newton delmovimiento:".Cuandouncuerponoestsujetoaningunafuerzaexternaresultante,semueve a velocidad constante.#.Cuandouncuerpoestsujetoaunaomsfuerzasexternas,larazndecambioconrespectoaltiempo, delacantidaddemovimientodelcuerpo,esigual a la suma vectorial de las fuerzas externas que actan sobre l.$. Cuando dos cuerpos actan recprocamente, la fuerza que el primero ejercesobre el segundo es igual en magnitud, pero de direccin opuesta, a la fuerzaque el segundo ejerce sobre el primero.7.3.1 PROCEDIMIENTO PARA MODELOS NEWTONIANOS".Determinelasfuerzaspertinentesqueactansobreelobjetoen todas estudio.Estiltrazarundiagramasencillodelobjetoydescribirenlestasfuerzas.#Elegirunsistemadeejescoordenadosapropiadospararepresentarelmovimiento del objeto y las fuerzas que actuan sobre l. Tngase presente queeste sistema de coordenadas debe ser un. marco de referencia inercial $ J> B AplicarlaleydeNewtontalcomoseexpresaenlaecuacin .:.> .>.Bdondees la cantidad de